Топологическая рекурсия

В математике топологическая рекурсия — это рекурсивное определение инвариантов спектральных кривых.Она имеет приложения в перечислительной геометрии , теории случайных матриц , математической физике , теории струн , теории узлов .

Введение

Топологическая рекурсия — конструкция в алгебраической геометрии . В качестве исходных данных принимается спектральная кривая : данные $\left(\Sigma ,\Sigma _{0},x,\omega _{0,1},\omega _{0,2}\right)$, где: $x:\Sigma \to \Sigma _{0}$ – покрытие римановых поверхностей с точками ветвления; $\omega _{0,1}$ является мероморфной дифференциальной 1-формой на $\Sigma$, регулярный в точках ветвления ; $\omega _{0,2}$ является симметричной мероморфной билинейной дифференциальной формой на $\Sigma ^{2}$ имеющий двойной полюс по диагонали и без остатка.

Тогда топологическая рекурсия представляет собой рекурсивное определение бесконечных последовательностей симметричных мероморфных n-форм. $\omega _{g,n}$ на $\Sigma ^{n}$, с полюсами только в точках ветвления, для целых чисел g≥0 таких, что 2g-2+n>0. Определение представляет собой рекурсию целого числа 2g-2+n.

Во многих приложениях n-форма $\omega _{g,n}$ интерпретируется как производящая функция , измеряющая набор поверхностей рода g с n границами. Рекурсия находится на 2-2g+n эйлеровых характеристиках , отсюда и название «топологическая рекурсия».

Схематическая иллюстрация топологической рекурсии: рекурсивное добавление пар штанов для построения поверхности рода g с n границами.

Источник

Топологическая рекурсия была впервые обнаружена в случайных матрицах . Одна из основных целей теории случайных матриц - найти асимптотическое разложение n-точечных корреляционных функций большого размера, а в некоторых подходящих случаях асимптотическое разложение принимает форму степенного ряда . n-форма $\omega _{g,n}$ тогда это г ^й коэффициент в асимптотическом разложении n-точечной корреляционной функции. Это было найдено что коэффициенты $\omega _{g,n}$ всегда подчиняйтесь одной и той же рекурсии на 2g-2+n. Идея рассмотреть это универсальное рекурсивное соотношение за пределами теории случайных матриц и продвигать его как определение инвариантов алгебраических кривых возникла у Эйнарда-Орантина в 2007 году. который изучал основные свойства этих инвариантов.

Важным применением топологической рекурсии были инварианты Громова – Виттена . Марино и БКМП выдвинул гипотезу, что инварианты Громова–Виттена торического Калаби–Яу 3-мерного порядка ${\mathfrak {X}}$ являются ТР-инвариантами спектральной кривой, являющейся зеркалом ${\mathfrak {X}}$.

С тех пор топологическая рекурсия породила большую активность, особенно в перечислительной геометрии . ​​связь с формализмом Гивенталя и многообразиями Фробениуса . Установлена

Определение

(Случай простых точек ветвления. О точках ветвления более высокого порядка см. раздел « Разветвления более высокого порядка» ниже)

• Для $n\geq 1$ и $2g-2+n>0$:

$${\begin{aligned}\omega _{g,n}(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})&=\sum _{a={\text{branchpoints}}}\operatorname {Res} _{z\to a}K(z_{1},z,\sigma _{a}(z)){\Big (}\omega _{g-1,n+1}(z,\sigma _{a}(z),z_{2},\dots ,z_{n})\\&\qquad \qquad \qquad +\mathop {{\sum }'} _{\overset {g_{1}+g_{2}=g}{I_{1}\uplus I_{2}=\{z_{2},\dots ,z_{n}\}}}\omega _{g_{1},1+\#I_{1}}(z,I_{1})\omega _{g_{2},1+\#I_{2}}(\sigma _{a}(z),I_{2}){\Big )}\end{aligned}}$$где $K(z_{1},z_{2},z_{3})$ называется ядром рекурсии: $K(z_{1},z_{2},z_{3})={\frac {{\frac {1}{2}}\int _{z'=z_{3}}^{z_{2}}\omega _{0,2}(z_{1},z')}{\omega _{0,1}(z_{2})-\omega _{0,1}(z_{3})}}$
и $\sigma _{a}$ — локальная инволюция Галуа вблизи точки ветвления $a$, это так, что $x(\sigma _{a}(z))=x(z)$.Штрихованная сумма ${\sum }'$ означает исключение двух терминов $(g_{1},I_{1})=(0,\emptyset )$ и $(g_{2},I_{2})=(0,\emptyset )$.

• Для $n=0$ и $2g-2>0$:

$F_{g}=\omega _{g,0}={\frac {1}{2-2g}}\ \sum _{a={\text{branchpoints}}}\operatorname {Res} _{z\to a}F_{0,1}(z)\omega _{g,1}(z)$
с $dF_{0,1}=\omega _{0,1}$ любая первообразная от $\omega _{0,1}$.

• Определение $F_{0}=\omega _{0,0}$ и $F_{1}=\omega _{1,0}$ более сложный вопрос, и его можно найти в оригинальной статье Эйнара-Орантена.

Основные свойства

• Симметрия: каждый $\omega _{g,n}$ представляет собой симметричный $n$-форма на $\Sigma ^{n}$.
• полюса: каждый $\omega _{g,n}$ мероморфен, имеет полюсы только в точках ветвления с исчезающими вычетами.
• Однородность: $\omega _{g,n}$ является однородным по степени $2-2g-n$. Под изменением $\omega _{0,1}\to \lambda \omega _{0,1}$, у нас есть $\omega _{g,n}\to \lambda ^{2-2g-n}\omega _{g,n}$.
• Уравнение Дилатона:

$\sum _{a={\text{branchpoints}}}\operatorname {Res} _{z\to a}F_{0,1}(z)\ \omega _{g,n+1}(z_{1},\dots ,z_{n},z)=(2g-2+n)\omega _{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})$
где $dF_{0,1}=\omega _{0,1}$.

• Уравнения цикла: следующие формы не имеют полюсов в точках ветвления.

$\sum _{z\in x^{-1}(x)}\omega _{g,n+1}(z,z_{1},\dots ,z_{n})$
$\sum _{\{z\neq z'\}\subset x^{-1}(x)}{\Big (}\omega _{g,n+1}(z,z',z_{2},\dots ,z_{n})+\sum _{\overset {g_{1}+g_{2}=g}{I_{1}\uplus I_{2}=\{z_{2},\dots ,z_{n}\}}}\omega _{g_{1},1+\#I_{1}}(z,I_{1})\omega _{g_{2},1+\#I_{2}}(z',I_{2}){\Big )}$где в сумме нет простого числа, т.е. ни один исключенный член.

• : Деформации $\omega _{g,n}$ удовлетворяют уравнениям деформации
• Пределы: задано семейство спектральных кривых ${\mathcal {S}}_{t}$, предел которого как $t\to 0$ представляет собой сингулярную кривую, разрешенную путем масштабирования в степени $t^{\mu }$, затем $\lim _{t\to 0}t^{(2-2g-n)\mu }\omega _{g,n}({\mathcal {S}}_{t})=\omega _{g,n}(\lim _{t\to 0}t^{\mu }{\mathcal {S}}_{t})$.
• Симплектическая инвариантность: в случае, когда $\Sigma$ — компактная алгебраическая кривая с обозначением симплектического базиса циклов, $x$ является мероморфным и $\omega _{0,1}=ydx$ является мероморфным и $\omega _{0,2}=B$ — фундаментальный дифференциал второго рода, нормированный на разметке, то спектральная кривая ${\mathcal {S}}=(\Sigma ,\mathbb {C} ,x,ydx,B)$ и ${\tilde {\mathcal {S}}}=(\Sigma ,\mathbb {C} ,y,-xdy,B)$, есть то же самое $F_{g}$ сдвинуто на некоторые условия.
• Модульные свойства: В случае, когда $\Sigma$ — компактная алгебраическая кривая с обозначением симплектического базиса циклов, а $\omega _{0,2}=B$ – фундаментальный дифференциал второго рода, нормированный на разметке, то инварианты $\omega _{g,n}$ являются квазимодульными формами по модульной группе изменений маркировки. Инварианты $\omega _{g,n}$ удовлетворяют уравнениям BCOV.

Обобщения

Разветвления более высокого порядка

В случае, если точки ветвления не простые, определение изменяется следующим образом: (простые точки ветвления соответствуют k=2):
$\omega _{g,n}(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\sum _{a={\text{branchpoints}}}\operatorname {Res} _{z\to a}\sum _{k=2}^{{\rm {order}}_{x}(a)}\sum _{J\subset x^{-1}(x(z))\setminus \{z\},\,\#J=k-1}K_{k}(z_{1},z,J)\sum _{J_{1},\dots ,J_{\ell }\vdash J\cup \{z\}}\sum '_{\overset {g_{1}+\dots +g_{\ell }=g+\ell -k}{I_{1}\uplus \dots I_{\ell }=\{z_{2},\dots ,z_{n}\}}}\prod _{i=1}^{l}\omega _{g_{i},\#J_{i}+\#I_{i}}(J_{i},I_{i})$
Первая сумма по разделам $J_{1},\dots ,J_{\ell }$ из $J\cup \{z\}$ с непустыми частями $J_{i}\neq \emptyset$, а во второй сумме штрих означает исключение всех членов таких, что $(g_{i},\#J_{i}+\#I_{i})=(0,1)$.

$K_{k}$ называется ядром рекурсии:
$K_{k}(z_{0},z_{1},\dots ,z_{k})={\frac {\int _{z'=*}^{z_{1}}\omega _{0,2}(z_{0},z')}{\prod _{i=2}^{k}(\omega _{0,1}(z_{1})-\omega _{0,1}(z_{i}))}}$
Базовую точку * интеграла в числителе можно выбрать произвольно в окрестности точки ветвления, инварианты $\omega _{g,n}$ от этого зависеть не будет.

Инварианты топологической рекурсии и числа пересечений

Инварианты $\omega _{g,n}$ можно записать через числа пересечений тавтологических классов.

(*) $\omega _{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})=2^{3g-3+n}\sum _{G={\text{Graphs}}}{\frac {1}{\#{\text{Aut}}(G)}}\int _{\left(\prod _{v={\text{vertices}}}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}\right)}\,\,\prod _{v={\text{vertices}}}e^{\sum _{k}{\hat {t}}_{\sigma (v),k}\kappa _{k}}\prod _{(p,p')={\text{nodal points}}}\left(\sum _{d,d'}B_{\sigma (p),2d;\sigma (p'),2d'}\psi _{p}^{d}\psi _{p'}^{d'}\right)\prod _{p_{i}={\text{marked points}}\,i=1,\dots ,n}\left(\sum _{d_{i}}\psi _{p_{i}}^{d_{i}}d\xi _{\sigma (p_{i}),d_{i}}(z_{i})\right)$
где сумма ведется по двойственным графам устойчивых узловых римановых поверхностей полного арифметического рода $g$, и $n$ гладкие отмеченные отмеченные точки $p_{1},\dots ,p_{n}$и снабжен картой $\sigma :\{{\text{vertices}}\}\to \{{\text{branchpoints}}\}$. $\psi _{p}=c_{1}({\mathcal {L}}_{p})$ — класс Чженя кокасательного расслоения ${\mathcal {L}}_{p}$ слой которого является кокасательной плоскостью в точке $p$. $\kappa _{k}$ это $k$^й Класс каппа Мамфорда.Коэффициенты ${\hat {t}}_{a,k}$, $B_{a,k;a',k'}$, $d\xi _{a,k}(z)$, – коэффициенты разложения Тейлора $\omega _{0,1}$ и $\omega _{0,2}$ вблизи точек ветвления следующим образом:в районе точки ветвления $a$ (предполагается простым), локальная координата $\zeta _{a}(z)={\sqrt {x(z)-a}}$. Расширение Тейлора $\omega _{0,2}(z,z')$ возле точек ветвления $z\to a$, $z'\to a'$ определяет коэффициенты $B_{a,d;a',d'}$
$\omega _{0,2}(z,z')\mathop {\sim } _{z\to a,\ z'\to a'}\left({\frac {\delta _{a,a'}}{(\zeta _{a}(z)-\zeta _{a'}(z'))^{2}}}+2\pi \sum _{d,d'=0}^{\infty }{\frac {B_{a,d;a',d'}}{\Gamma ({\frac {d+1}{2}})\Gamma ({\frac {d'+1}{2}})}}\,\zeta _{a}(z)^{d}\zeta _{a'}(z')^{d'}\right)d\zeta _{a}(z)d\zeta _{a'}(z')$.
Расширение Тейлора в $z'\to a$, определяет коэффициенты 1-формы $d\xi _{a,d}(z)$
$d\xi _{a,d}(z)={\frac {-\Gamma (d+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\operatorname {Res} _{z'\to a}(x(z')-a)^{-d-{\frac {1}{2}}}\omega _{0,2}(z,z')$чье расширение Тейлора вблизи точки ветвления $a'$ является
$d\xi _{a,d}(z)\mathop {\sim } _{z\to a'}{\frac {-\delta _{a,a'}(2d+1)!!d\zeta _{a}(z)}{2^{d}\zeta _{a}(z)^{2d+2}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{a,2d;a',2k}2^{k+1}}{(2k-1)!!}}\zeta _{a'}(z)^{2k}d\zeta _{a'}(z)$.
Напишите также разложение Тейлора $\omega _{0,1}$
$\omega _{0,1}(z)\mathop {\sim } _{z\to a}\sum _{k=0}^{\infty }t_{a,k}\ {\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{(k+1)\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}}\ \zeta _{a}(z)^{k}d\zeta _{a}(z)$.
Эквивалентно коэффициенты $t_{a,k}$ можно найти из коэффициентов разложения преобразования Лапласа, а коэффициентов ${\hat {t}}_{a,k}$ – коэффициенты разложения журнала преобразования Лапласа
$\int _{x(z)-x(a)\in \mathbb {R} _{+}}\omega _{0,1}(z)e^{-ux(z)}={\frac {e^{-ux(a)}{\sqrt {\pi }}}{2u^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }t_{a,k}u^{-k}={\frac {e^{-ux(a)}{\sqrt {\pi }}}{2u^{3/2}}}e^{-\sum _{k=0}^{\infty }{\hat {t}}_{a,k}u^{-k}}$ .

Например, у нас есть
$\omega _{0,3}(z_{1},z_{2},z_{3})=\sum _{a}e^{{\hat {t}}_{a,0}}d\xi _{a,0}(z_{1})d\xi _{a,0}(z_{2})d\xi _{a,0}(z_{3}).$

$\omega _{1,1}(z)=2\sum _{a}e^{{\hat {t}}_{a,0}}\left({\frac {1}{24}}d\xi _{a,1}(z)+{\frac {{\hat {t}}_{a,1}}{24}}d\xi _{a,0}(z)+{\frac {1}{2}}B_{a,0;a,0}d\xi _{a,0}(z)\right).$

Формула (*) обобщает формулу ELSV , а также формулу Мамфорда и формулу Мариньо - Вафа .

Некоторые приложения в перечислительной геометрии

Рекурсия Мирзахани

Рекурсия М. Мирзахани для гиперболических объемов пространств модулей является примером топологической рекурсии.Для выбора спектральной кривой $\left(\mathbb {C} ;\ \mathbb {C} ;\ x:z\mapsto z^{2};\ \omega _{0,1}(z)={\frac {4}{\pi }}z\sin {(\pi z)}dz;\,\omega _{0,2}(z_{1},z_{2})={\frac {dz_{1}dz_{2}}{(z_{1}-z_{2})^{2}}}\right)$
n-форма $\omega _{g,n}=d_{1}\dots d_{n}F_{g,n}$ - преобразование Лапласа объема Вейля-Петерсона
$F_{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})=\int _{0}^{\infty }e^{-z_{1}L_{1}}dL_{1}\dots \int _{0}^{\infty }e^{-z_{n}L_{n}}dL_{n}\quad \int _{{\mathcal {M}}_{g,n}(L_{1},\dots ,L_{n})}w$
где ${\mathcal {M}}_{g,n}(L_{1},\dots ,L_{n})$ — пространство модулей гиперболических поверхностей рода g с n геодезическими границами соответствующей длины $L_{1},\dots ,L_{n}$, и $w$ – форма объема Вейля-Петерссона.
Топологическая рекурсия для n-форм $\omega _{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})$, тогда эквивалентно рекурсии Мирзахани.

Виттена – Концевича Числа пересечения

Для выбора спектральной кривой $\left(\mathbb {C} ;\ \mathbb {C} ;\ x:z\mapsto z^{2};\ \omega _{0,1}(z)=2z^{2}dz;\,\omega _{0,2}(z_{1},z_{2})={\frac {dz_{1}dz_{2}}{(z_{1}-z_{2})^{2}}}\right)$
n-форма $\omega _{g,n}=d_{1}\dots d_{n}F_{g,n}$ является
$F_{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})=2^{2-2g-n}\sum _{d_{1}+\dots +d_{n}=3g-3+n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(2d_{i}-1)!!}{z_{i}^{2d_{i}+1}}}\quad \left\langle \tau _{d_{1}}\dots \tau _{d_{n}}\right\rangle _{g}$
где $\left\langle \tau _{d_{1}}\dots \tau _{d_{n}}\right\rangle _{g}$ — Виттена-Концевича число пересечений классов Чженя кокасательных линейных расслоений в компактифицированном пространстве модулей римановых поверхностей рода g с n гладкими отмеченными точками.

Числа Гурвица

Для выбора спектральной кривой $\left(\mathbb {C} ;\ \mathbb {C} ;\ x:-z+\ln {z};\ \omega _{0,1}(z)=(1-z)dz;\,\omega _{0,2}(z_{1},z_{2})={\frac {dz_{1}dz_{2}}{(z_{1}-z_{2})^{2}}}\right)$
n-форма $\omega _{g,n}=d_{1}\dots d_{n}F_{g,n}$ является
$F_{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})=\sum _{\ell (\mu )\leq n}m_{\mu }(e^{x(z_{1})},\dots ,e^{x(z_{n})})\quad h_{g,\mu _{1},\dots ,\mu _{n}}$
где $h_{g,\mu }$ — связное простое число Гурвица рода g с ветвлением $\mu =(\mu _{1},\dots ,\mu _{n})$: количество покрытий ветвей сферы Римана связной поверхностью рода g с 2g-2+n простыми точками ветвления и одной точкой с профилем ветвления, заданным разбиением $\mu$.

Числа Громова–Виттена и гипотеза БКМП

Позволять ${\mathfrak {X}}$ торическое трехмерное многообразие Калаби–Яу с кэлеровыми модулями $t_{1},\dots ,t_{b_{2}({\mathfrak {X}})}$.Его зеркальное многообразие сингулярно над комплексной плоской кривой. $\Sigma$ заданное полиномиальным уравнением $P(e^{x},e^{y})=0$, коэффициенты которого являются функциями модулей Кэлера.Для выбора спектральной кривой $\left(\Sigma ;\ \mathbb {C} ^{*};\ x;\ \omega _{0,1}=ydx;\,\omega _{0,2}\right)$ с $\omega _{0,2}$ фундаментальный дифференциал второго рода $\Sigma$,
По данным БКМП гипотеза, n-форма $\omega _{g,n}=d_{1}\dots d_{n}F_{g,n}$ является
$F_{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})=\sum _{\mathbf {d} \in H_{2}({\mathfrak {X}},\mathbb {Z} )}\sum _{\mu _{1},\dots ,\mu _{n}\in H_{1}({\mathcal {L}},\mathbb {Z} )}t^{d}\prod _{i=1}^{n}e^{x(z_{i})}{\mathcal {N}}_{g}({\mathfrak {X}},{\mathcal {L}};\mathbf {d} ,\mu _{1},\dots ,\mu _{n})$
где ${\mathcal {N}}_{g}({\mathfrak {X}},{\mathcal {L}};\mathbf {d} ,\mu _{1},\dots ,\mu _{n})=\int _{[{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}({\mathfrak {X}},{\mathcal {L}},\mathbf {d} ,\mu _{1},\dots ,\mu _{n})]^{\rm {vir}}}1$
— число Громова–Виттена рода g, представляющее число голоморфных отображений поверхности рода g в ${\mathfrak {X}}$, с n границами, отображенными в специальное лагранжево подмногообразие ${\mathcal {L}}$. $\mathbf {d} =(d_{1},\dots ,d_{b_{2}({\mathfrak {X}})})$ - второй относительный класс гомологии изображения поверхности, а $\mu _{i}\in H_{1}({\mathcal {L}},\mathbb {Z} )$ — классы гомологии (числа витков) граничных образов.
БКМП с тех пор гипотеза была доказана.