Дифференциальные формы на римановой поверхности

В математике конформная дифференциальные формы на римановой поверхности являются важным частным случаем общей теории дифференциальных форм на гладких многообразиях , отличающимся тем, что структура на римановой поверхности по сути определяет оператор звезды Ходжа на 1-формах (или дифференциалах). ) без указания римановой метрики . Это позволяет использовать технику гильбертового пространства для изучения теории функций на римановой поверхности и, в частности, для построения гармонических и голоморфных дифференциалов с заданными особенностями. Эти методы были впервые использованы Гильбертом (1909) в его вариационном подходе к принципу Дирихле, сделав строгими аргументы, предложенные Риманом . Позже Вейль (1940) нашел прямой подход, используя свой метод ортогонального проектирования, предшественник современной теории эллиптических дифференциальных операторов и пространств Соболева . Эти методы первоначально применялись для доказательства теоремы униформизации и ее обобщения на плоские римановы поверхности. . Позже они предоставили аналитическую основу для гармонических интегралов Ходжа (1941) . В этой статье рассматриваются общие результаты о дифференциальных формах на римановой поверхности, которые не зависят от выбора римановой структуры .

Звезда Ходжа на 1-форме

На римановой поверхности звезда Ходжа определяется на 1-формах локальной формулой

$\displaystyle {\star (p\,dx+q\,dy)=-q\,dx+p\,dy.}$

Он четко определен, поскольку инвариантен относительно голоморфных изменений координат.

Действительно, если z = x + iy голоморфно как функция w = u + iv , по уравнениям Коши–Римана x _u = y _v и y _u = − x _v тогда В новых координатах

$\displaystyle {p\,dx+q\,dy=(px_{u}+qy_{u})du+(px_{v}+qy_{v})dv=p_{1}du+q_{1}dv,}$

так что

$-q_{1}\,du+p_{1}\,dv=-(px_{v}+qy_{v})du+(px_{u}+qy_{u})dv=-q(x_{u}du+x_{v}dv)+p(y_{u}du+y_{v}dv)=-q\,dx+p\,dy,$

доказывая заявленную инвариантность.

Заметим, что для 1-форм ω ₁ = p ₁ dx + q ₁ dy и ω ₂ = p ₂ dx + q ₂ dy

$\displaystyle {\omega _{1}\wedge \star \omega _{2}=(p_{1}p_{2}+q_{1}q_{2})\,dx\wedge dy=\omega _{2}\wedge \star \omega _{1}.}$

В частности, если ω = p dx + q dy, то

$\displaystyle {\omega \wedge \star \omega =(p^{2}+q^{2})\,dx\wedge dy.}$

Обратите внимание, что в стандартных координатах

$\star dz=-idz,\,\,\star d{\overline {z}}=id{\overline {z}}.$

Напомним также, что

${\partial \over \partial z}={1 \over 2}\left({\partial \over \partial x}-i{\partial \over \partial y}\right),\,\,\,{\partial \over \partial {\overline {z}}}={1 \over 2}\left({\partial \over \partial x}+i{\partial \over \partial y}\right),$

так что

$df=f_{z}\,dz+f_{\overline {z}}\,d{\overline {z}}=\partial f+{\bar {\partial }}f.$

Разложение $d=\partial +{\bar {\partial }}$ не зависит от выбора локальной координаты. 1-формы только с $dz$ компоненты называются (1,0) формами; те, у кого есть только $d{\overline {z}}$ компоненты называются (0,1) формами. Операторы $\partial$ и ${\overline {\partial }}$ называются операторами Дольбо .

Отсюда следует, что

$\star df=-i\partial f+i{\bar {\partial }}f.$

Операторы Дольбо аналогичным образом могут быть определены в 1-формах и равны нулю в 2-формах. Они обладают свойствами

$d=\partial +{\bar {\partial }}$

$\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.$

Лемма Пуанкаре

На римановой поверхности лемма Пуанкаре утверждает, что каждая замкнутая 1-форма или 2-форма локально точна. Таким образом, если ω — гладкая 1-форма с dω = 0, то в некоторой открытой окрестности данной точки существует гладкая функция f такая, что ω = df в этой окрестности; и для любой гладкой 2-формы Ω существует гладкая 1-форма ω, определенная в некоторой открытой окрестности данной точки такая, что Ω = dω в этой окрестности.

Если ω = p dx + q dy — замкнутая 1-форма на ( a , b ) × ( c , d ) , то p _y = q _x . Если ω = df , то p = f _x и q = f _y . Набор

$\displaystyle {g(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt,}$

так что g _x = p . Тогда h = f - g должно удовлетворять условиям h _x = 0 и h _y = q - g _y . Правая часть здесь не зависит от x , поскольку ее частная производная по x равна 0. Итак

$\displaystyle {h(x,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds-g(a,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds,}$

и, следовательно,

$\displaystyle {f(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt+\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds.}$

Аналогично, если Ω = r dx ∧ dy , то Ω = d ( f dx + g dy ) с g _x − f _y = r . Таким образом, решение дается f = 0 и

$\displaystyle {g(x,y)=\int _{a}^{x}r(t,y)\,dt.}$

Прокомментируйте дифференциальные формы с компактным носителем. Обратите внимание, что если ω имеет компактный носитель, то он обращается в нуль вне некоторого меньшего прямоугольника ( a ₁ , b ₁ ) × ( c ₁ , d ₁ ) с a < a ₁ < b ₁ < b и c < c ₁ < d ₁ < d , то то же самое верно и для решения f ( x , y ). Таким образом, с этими дополнительными условиями компактности лемма Пуанкаре для 1-форм справедлива.

Аналогичное утверждение верно и для 2-форм; но, поскольку существует несколько вариантов решения, при выборе этого решения следует проявить немного больше осторожности.

В самом деле, если Ω имеет компактный носитель на ( a , b ) × ( c , d ) и, кроме того, ∬ Ω = 0 , то Ω = dω с ω 1-формой компактного носителя на ( a , b ) × ( c , г ) . Действительно, Ω должна иметь носитель в некотором меньшем прямоугольнике ( a ₁ , b ₁ ) × ( c ₁ , d ₁ ) с a < a ₁ < b ₁ < b и c < c ₁ < d ₁ < d . Таким образом, r ( x , y ) обращается в нуль при x ⩽ a ₁ или x ≥ b ₁ и при y ⩽ c ₁ или y ≥ d ₁ . Пусть h ( y ) — гладкая функция, поддерживаемая в ( c ₁ , d ₁ ) с ∫ ^д
_c час ( т ) dt знак равно 1 . Установить k ( x ) знак равно ∫ ^д
_c r ( x , y ) dy : это гладкая функция, поддерживаемая в ( a ₁ , b ₁ ). Следовательно, R ( Икс , y ) знак равно р ( Икс , y ) - k ( Икс ) час ( y ) является гладким и поддерживается в ( a ₁ , b ₁ ) × ( c ₁ , d ₁ ) . Теперь оно удовлетворяет ∫ ^д
_c р ( Икс , y ) dy ≡ 0 . Наконец установил

$P(x,y)=\int _{c}^{y}R(x,y)dy,\,\,\,Q(x,y)=h(y)\int _{a}^{x}k(s)\,ds.$

И P , и Q гладкие и поддерживаются в ( a ₁ , b ₁ ) × ( c ₁ , d ₁ ) с P _y = R и Q _x ( x , y ) знак равно k ( x ) час ( y ) . Следовательно, ω = − P dx + Q dy — гладкая 1-форма с носителем в ( a ₁ , b ₁ ) × ( c ₁ , d ₁ ) с

$d\omega =(Q_{x}+P_{y})\,dx\wedge dy=r\,dx\wedge dy=\Omega .$

Интеграция 2-форм

Если Ω — непрерывная 2-форма с компактным носителем на римановой поверхности X , ее носитель K может быть покрыт конечным числом координатных карт U _i и существует разбиение единицы χ _i гладких неотрицательных функций с компактным носителем такое, что х _i = 1 в окрестности К. 2 Тогда интеграл от Ω определяется формулой

$\displaystyle {\int _{X}\Omega =\sum \int _{X}\chi _{i}\Omega =\sum \int _{U_{i}}\chi _{i}\Omega ,}$

где интеграл по U _i имеет обычное определение в локальных координатах. Интеграл здесь не зависит от выбора.

Если Ω имеет локальное представление f ( x , y ) dx ∧ dy , то |Ω| плотность | ж ( Икс , у )| dx ∧ dy , которое корректно определено и удовлетворяет условию |∫ _X Ω| ≤ ∫ _X |Ω|. Если Ω — неотрицательная непрерывная плотность, не обязательно имеющая компактный носитель, ее интеграл определяется формулой

$\displaystyle {\int _{X}\Omega =\sup _{0\leq \psi \leq 1,\,\psi \in C_{c}(X)}\int _{X}\psi \Omega .}$

Если Ω — любая непрерывная 2-форма, она интегрируема, если ∫ _X |Ω| < ∞. В этом случае, если ∫ _X |Ω| = lim ∫ _X ψ _n |Ω|, то ∫ _X Ω можно определить как lim ∫ _X ψ _n Ω. Интегрируемые непрерывные 2-формы образуют комплексное нормированное пространство с нормой ||Ω|| ₁ = ∫ _Икс |О|.

Интегрирование 1-форм по путям

Если ω — 1-форма на римановой поверхности X и γ ( t ) для a ⩽ t ⩽ b — гладкий путь в X , то отображение γ индуцирует 1-форму γ ∗ ω на [ a , b ]. Интеграл от ω вдоль γ определяется формулой

$\displaystyle {\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega .}$

Это определение распространяется на кусочно-гладкие пути γ путем деления пути вверх на конечное число сегментов, на которых он гладкий. В локальных координатах, если ω = p dx + q dy и γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) то

$\displaystyle {\gamma ^{*}\omega =p(\gamma (t)){\dot {x}}(t)\,dt+q(\gamma (t)){\dot {y}}(t)\,dt,}$

так что

$\displaystyle {\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}p(\gamma (t)){\dot {x}}(t)\,dt+q(\gamma (t)){\dot {y}}(t)\,dt.}$

Заметим, что если 1-форма ω точна на некотором связном открытом множестве U , так что ω = df для некоторой гладкой функции f на U (единственной с точностью до константы) и γ ( t ), a ⩽ t ⩽ b , равна гладкий путь в U , то

$\displaystyle {\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}d(f(\gamma (t))=f(\gamma (b))-f(\gamma (a)).}$

Это зависит только от разницы значений f в конечных точках кривой, поэтому не зависит от выбора f . По лемме Пуанкаре каждая замкнутая 1-форма локально точна, поэтому это позволяет вычислять ∫ _γ ω как сумму разностей такого типа и расширять интеграл от замкнутых 1-форм до непрерывных путей:

Теорема о монодромии. Если ω — замкнутая 1-форма, интеграл ∫ _γ ω можно расширить до любого непрерывного пути γ ( t ), a ⩽ t ⩽ b, так что он инвариантен относительно любой гомотопии путей, сохраняющих конечные точки фиксированными.

В действительности образ γ компактен, поэтому его можно покрыть конечным числом связных открытых множеств U _i, можно записать dfi _{на каждом из которых ω} для некоторой гладкой функции f _i на U _i , единственной с точностью до константы. Можно предположить, что [ a , b ] разбито на конечное число замкнутых интервалов K _i = [ t _{i −1} , t _i ] с t ₀ = a и t _n = b так, что γ ( K _i ) ⊂ U _i . Из сказанного выше, если γ кусочно гладко,

$\displaystyle {\int _{\gamma }\omega =\sum \int _{\gamma |_{K_{i}}}\omega =\sum \int _{K_{i}}d(f_{i}\circ \gamma )=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(\gamma (t_{i}))-f_{i}(\gamma (t_{i-1}))=f_{n}(\gamma (b))-f_{1}(\gamma (b))+\sum _{i=1}^{n-1}[f_{i}(\gamma (t_{i}))-f_{i+1}(\gamma (t_{i}))].}$

Теперь γ ( t _i ) лежит в открытом множестве U _i ∩ U _{i +1} , а значит, в связной открытой Vi _. компоненте Разность g _i = f _i - f _{i -1} удовлетворяет условию dg _i = 0 , поэтому является константой c _i, не зависящей от γ . Следовательно

$\displaystyle {\int _{\gamma }\omega =f_{n}(\gamma (b))-f_{1}(\gamma (a))+\sum _{i=1}^{n-1}c_{i}.}$

Формула в правой части также имеет смысл, если γ просто непрерывен на [ a , b ] и может использоваться для определения ∫ _γ ω . Определение не зависит от выбора: кривая γ может быть равномерно аппроксимирована кусочно гладкими кривыми δ, настолько близкими, что δ ( K _i ) ⊂ U _i для всех i ; тогда приведенная выше формула равна ∫ _δ ω и показывает, что интеграл не зависит от выбора δ . Тот же аргумент показывает, что определение также инвариантно относительно малых гомотопий, фиксирующих конечные точки; поэтому по компактности он инвариантен относительно любых гомотопических фиксирующих концов.

Тот же аргумент показывает, что гомотопия замкнутых непрерывных петель не меняет их интегралов по замкнутым 1-формам. Поскольку ∫ _γ df = f ( γ ( b )) − f ( γ ( a )) , интеграл точного вида по замкнутому контуру обращается в нуль. Обратно, если интеграл замкнутой 1-формы ω по любому замкнутому контуру равен нулю, то 1-форма должна быть точной.

Действительно, функцию f ( z ) можно определить на X , зафиксировав точку w , взяв любой путь δ от w до z и положив f ( z ) = ∫ _δ ω . Предположение подразумевает, что f не зависит от пути. Чтобы проверить, что df = ω , достаточно проверить это локально. Зафиксируйте z ₀ и проложите путь δ ₁ от w до z ₀ . Вблизи z ₀ из леммы Пуанкаре следует, что ω = dg для некоторой гладкой функции g, определенной в окрестности z ₀ . Если δ ₂ — путь от z ₀ до z , то f ( z ) = ∫ _{δ 1} ω + ∫ _{δ 2} ω знак равно ∫ _{δ 1} ω + g ( z ) − g ( z ₀ ) , поэтому f отличается от g на константа вблизи z ₀ . Следовательно df = dg = ω вблизи z0 _, .

Замкнутая 1-форма точна тогда и только тогда, когда ее интеграл вокруг любой кусочно гладкой или непрерывной жордановой кривой обращается в нуль.

На самом деле уже известно, что интеграл обращается в нуль для точной формы, поэтому достаточно показать, что если ∫ _γ ω = 0 для всех кусочно гладких замкнутых жордановых кривых γ, то ∫ _γ ω = 0 для всех замкнутых непрерывных кривых γ . Пусть γ — замкнутая непрерывная кривая. Образ γ может быть покрыт конечным числом отверстий, на которых ω точен, и эти данные можно использовать для определения интеграла по γ . Теперь рекурсивно заменим γ гладкими отрезками между последовательными точками деления кривой так, чтобы полученная кривая δ имела лишь конечное число точек пересечения и проходила через каждую из них только дважды. Эту кривую можно разбить на суперпозицию конечного числа кусочно гладких жордановых кривых. Интеграл по каждому из них равен нулю, поэтому их сумма, интеграл по δ , также равна нулю. По построению интеграл по δ равен интегралу по γ и поэтому обращается в нуль.

Приведенный выше аргумент также показывает, что для заданной непрерывной жордановой кривой γ ( t ) существует конечное множество простых гладких жордановых кривых γ _i ( t ) с нигде не имеющими нулевых производных таких, что

$\int _{\gamma }\omega =\sum _{i}\int _{\gamma _{i}}\omega$

для любой замкнутой 1-формы ω . Таким образом, для проверки точности замкнутой формы достаточно показать равенство нулю интеграла вокруг любой регулярной замкнутой кривой, т. е. простой гладкой жордановой кривой с никуда не обращающейся в нуль производной.

Те же методы показывают, что любая непрерывная петля на римановой поверхности гомотопна гладкой петле, нигде не имеющей нулевой производной.

Формула Грина – Стокса

См. Также: теорема Грина и теорема Стокса.

Если U — ограниченная область на комплексной плоскости с границей, состоящей из кусочно-гладких кривых, а ω — 1-форма, определенная в окрестности замыкания U , то формула Грина–Стокса утверждает, что

$\int _{\partial U}\omega =\int _{U}d\omega .$

В частности, если ω — 1-форма компакта на C , то

$\int _{\bf {C}}d\omega =0,$

поскольку формулу можно применить к большому кругу, содержащему носитель ω.

Подобные формулы справедливы на римановой поверхности X и могут быть выведены из классических формул с использованием разбиений единицы . Таким образом, если U ⊂ X — связная область с компактным замыканием и кусочно-гладкой границей ∂ U и ω — 1-форма, определенная в окрестности замыкания U , то формула Грина–Стокса утверждает, что

$\displaystyle {\int _{\partial U}\omega =\int _{U}d\omega .}$

Более того, если ω — 1-форма компакта на X , то

$\int _{X}d\omega =0.$

Для доказательства второй формулы возьмем разбиение единицы ψ _i с носителем в координатных картах, покрывающее носитель ω . Тогда ∫ _X dω = Σ ∫ _X d ( ψ _i ω ) = 0 в силу плоского результата. Аналогично для доказательства первой формулы достаточно показать, что

$\displaystyle {\int _{\partial U}\psi \omega =\int _{U}d(\psi \omega )}$

когда ψ — гладкая функция с компактным носителем в некотором участке координат. Если участок координат не пересекает граничные кривые, обе стороны исчезают по второй формуле, приведенной выше. В противном случае можно считать, что координатный участок представляет собой диск, граница которого пересекает кривую поперечно в двух точках. То же самое будет справедливо и для диска немного меньшего размера, содержащего носитель ψ . Дополняя кривую жордановой кривой путем добавления части границы меньшего диска, формула сводится к плоской формуле Грина-Стокса.

Формула Грина-Стокса подразумевает сопряженное соотношение для лапласиана на функциях, определяемых как Δ f = − d ∗ df . Это дает 2-форму, заданную в локальных координатах формулой

$\Delta f=\left(-{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}-{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}\right)\,dx\wedge dy.$

Тогда если f и g гладкие и замыкание U компактно

$\int _{U}f\Delta g-g\Delta f=\int _{\partial U}g{\star df}-f{\star dg}.$

Более того, если f или g имеет компактный носитель, то

$\int _{X}f\Delta g=\int _{X}g\Delta f.$

Двойственность между 1-формами и замкнутыми кривыми

Теорема. Если γ — непрерывная жорданова кривая на римановой поверхности X , то существует гладкая замкнутая 1-форма α с компактным носителем такая, что ∫ _γ ω = ∫ _X ω ∧ α для любой замкнутой гладкой 1-формы ω на X .

Это достаточно доказать, когда γ — регулярная замкнутая кривая. По теореме об обратной функции существует трубчатая окрестность образа γ , т.е. гладкий диффеоморфизм Γ( t , s ) кольца S ¹ × (−1, 1) в X такой, что Γ( t , 0) = γ ( t ) . неотрицательную функцию g Используя функцию рельефа на втором множителе, можно построить с компактным носителем такую, что g сглаживается относительно γ , имеет носитель в малой окрестности γ и в достаточно малой окрестности γ равна 0 для s < 0 и 1 для s ≥ 0 . Таким образом, g имеет скачкообразный разрыв на γ , хотя его дифференциал dg гладкий с компактным носителем. Но тогда, полагая α = − dg , из формулы Грина, примененной к кольцу γ × [0, ε ], следует, что

$\int _{X}\omega \wedge \alpha =\int _{X}dg\wedge \omega =\int _{\gamma \times (0,\varepsilon )}dg\wedge \omega =\int _{\gamma \times (0,\varepsilon )}d(g\omega )=\int _{\gamma }\omega .$

Следствие 1. Замкнутая гладкая 1-форма ω точна тогда и только тогда, когда ∫ _X ω ∧ α = 0 для всех гладких 1-форм α с компактным носителем.

Фактически, если ω точна, она имеет форму df для f гладкой, так что ∫ _X ω ∧ α = ∫ _X df ∧ α = ∫ _X d ( f α ) = 0 по теореме Грина. И наоборот, если ∫ _X ω ∧ α = 0 для всех гладких 1-форм α с компактным носителем, из двойственности между жордановыми кривыми и 1-формами следует, что интеграл от ω вокруг любой замкнутой жордановой кривой равен нулю и, следовательно, ω точна.

Следствие 2. Если γ — непрерывная замкнутая кривая на римановой поверхности X , то существует гладкая замкнутая 1-форма α с компактным носителем такая, что ∫ _γ ω = ∫ _X ω ∧ α для любой замкнутой гладкой 1-формы ω на X . Форма α уникальна с точностью до добавления точной формы и может считаться имеющей носитель в любой открытой окрестности образа γ .

На самом деле γ гомотопна кусочно-гладкой замкнутой кривой δ , так что ∫ _γ ω = ∫ _δ ω . С другой стороны, существует конечное число кусочно гладких жордановых кривых δ _i таких, что ∫ _δ ω = Σ ∫ _{δ i} ω . Таким образом, результат для δ _i подразумевает результат для γ . Если β — другая форма с тем же свойством, разность α − β удовлетворяет условию ∫ _X ω ∧ ( α − β ) = 0 для всех замкнутых гладких 1-форм ω . Таким образом, разница точна по следствию 1. Наконец, если U любая окрестность образа γ , то последний результат следует из применения первого утверждения к γ и U вместо γ и X. —

Число пересечений замкнутых кривых

Число пересечений двух замкнутых кривых γ ₁ , γ ₂ на римановой поверхности X можно определить аналитически по формуле

$I(\gamma _{1},\gamma _{2})=\int _{X}\alpha _{1}\wedge \alpha _{2},$

где α ₁ и α ₂ — гладкие 1-формы компактного носителя, соответствующие γ ₁ и γ ₂ . Из определения следует, что я ( γ ₁ , γ ₂ ) знак равно - I ( γ ₂ , γ ₁ ) . Поскольку можно считать, что α _i имеет носитель в окрестности образа γ _i , отсюда следует, что I ( γ ₁ , γ ₂ ) = 0 , если γ ₁ и γ ₂ не пересекаются. По определению оно зависит только от гомотопических классов γ ₁ и γ ₂ .

В более общем смысле число пересечений всегда является целым числом и подсчитывает количество раз со знаками пересечения двух кривых. Пересечение в точке является положительным или отрицательным пересечением в зависимости от того, имеет ли d γ ₁ ∧ d γ ₂ тот же или противоположный знак, что и dx ∧ dy = −i/2 dz ∧ d z , для локального голоморфного параметра z = x + я .

Действительно, в силу гомотопической инвариантности достаточно проверить это для гладких жордановых кривых с никуда не обращающимися в нуль производными. α 1 ₁ можно определить, взяв α _df с компактным носителем f в окрестности образа γ _1, равного 0, вблизи левой части γ ₁ , 1 вблизи правой части γ ₁ и сгладив изображение γ ₁ . Тогда если точки пересечения γ2 _{встречаются} ( t ) с γ1 _в моменты = t1 , _t ..., tm _, то

$I(\gamma _{1},\gamma _{2})=\int _{\gamma _{2}}\alpha _{1}=\int _{\gamma _{2}}df=\sum f\circ \gamma _{2}(t_{i}+)-f\circ \gamma _{2}(t_{i}-).$

Это дает требуемый результат, поскольку скачок f ∘ γ ₂ ( t _i +) − f ∘ γ ₂ ( t _i −) равен +1 для положительного пересечения и −1 для отрицательного пересечения.

Голоморфные и гармонические 1-формы

Голоморфная 1-форма ω — это форма, которая в локальных координатах задается выражением f ( z ) dz с f голоморфной . С $dg=\partial _{z}g\,dz+\partial _{\overline {z}}g\,d{\overline {z}},$ отсюда следует, что dω = 0, поэтому любая голоморфная 1-форма замкнута. Более того, поскольку ∗ dz = − i dz , ω должно удовлетворять условию ∗ ω = − iω . Эти два условия характеризуют голоморфные 1-формы. Ведь если ω замкнута, локально ее можно записать как dg для некоторого g . Условие ∗ dg = i dg вынуждает $\partial _{\overline {z}}g=0$, так что g голоморфен и dg = g '( z ) dz , так что ω голоморфен.

Пусть ω = f dz — голоморфная 1-форма. Запишите ω = ω ₁ + iω _2, где ω ₁ и ω ₂ вещественные. Тогда dω ₁ = 0 и dω ₂ = 0; и поскольку * ω знак равно - iω , * ω ₁ знак равно ω ₂ . Следовательно, d ∗ ω ₁ существует однозначное соответствие _{= 0. Этот процесс, очевидно, можно обратить вспять, так что между голоморфными 1-формами и вещественными 1-формами ω 1} , для которого d ω ₁ = 0 и d ∗ω ₁ = 0. При этом соответствии ω ₁ является вещественной частью ω, а ω задается формулой ω = ω ₁ + i ∗ ω ₁ . Такие формы ω ₁ называются гармоническими 1-формами . По определению ω ₁ гармонична тогда и только тогда, когда ∗ ω ₁ гармонична.

Поскольку голоморфные 1-формы локально имеют вид df с голоморфной функцией f и поскольку действительная часть голоморфной функции гармонична, гармонические 1-формы локально имеют форму dh с h гармонической функцией . И наоборот, если ω ₁ можно записать таким образом локально, d ∗ω ₁ = d ∗ dh = ( h _xx + h _yy ) dx ∧ dy , так что h гармоничен.

Замечание. Определение гармонических функций и 1-форм является внутренним и опирается только на основную структуру римановой поверхности. Однако если на римановой поверхности выбрана конформная метрика, можно определить сопряженное d * к d и распространить операцию звезды Ходжа на функции и 2-формы. Лапласиан Ходжа можно определить на k -формах как ∆ _k = dd * + d * d , и тогда функция f или 1-форма ω гармоничны тогда и только тогда, когда они аннулируются лапласианом Ходжа, т. е. ∆ ₀ f = 0 или ∆ ₁ ω = 0. Однако метрическая структура не требуется для применения к униформизации односвязных или плоских римановых поверхностей.

Sobolev spaces on T ²

Теория пространств Соболева на T ² можно найти в работе Bers, John & Schechter (1979) , которой следуют в нескольких более поздних учебниках, таких как Warner (1983) и Griffiths & Harris (1994) . Он обеспечивает аналитическую основу для изучения теории функций на торе C / Z + i Z = R. ² / С ² используя ряды Фурье , которые являются просто разложением по собственным функциям для лапласиана –∂ ² /∂ x ² –∂ ² /∂ y ² . Развитая здесь теория по существу охватывает торы C / Λ, где Λ — решетка в C . Хотя на любой компактной римановой поверхности существует соответствующая теория пространств Соболева, она в данном случае элементарна, поскольку сводится к гармоническому анализу на компактной абелевой группе T ² . Классические подходы к лемме Вейля используют гармонический анализ некомпактной абелевой группы C = R. ² , то есть методы анализа Фурье , в частности операторы свертки и фундаментальное решение лапласиана.

Пусть Т ² = {( и ^ix , и ^запах : x , y ∊ [0,2 π )} = R ² / С ² знак равно C /Λ где Λ знак равно Z + я Z .Для λ = m + i n ≅ ( m , n ) в Λ, положим e _λ ( x , y ) = e ^{я ( MX + Нью-Йорк )} . Кроме того, положим D _x = − i ∂/∂ x и D _y = − i ∂/∂ y . Для α = ( p , q ) установите D ^а =( Д _х ) ^п ( Вы ) ^д , дифференциальный оператор полной степени | α | знак равно п + q . Таким образом, Д ^а е _λ = λ ^а e _λ , где λ ^а = м ^п н ^д . ( e _λ ) образуют ортонормированный базис в C( T ² ) для скалярного произведения ( f , g ) = (2π) ⁻² ∬ ж ( Икс , y ) грамм ( Икс , y ) dx dy , так что ( Σ а _λ е _λ , Σ б _μ е _μ ) знак равно Σ а _λ б _λ .

Для f в C ^∞ ( Т' ² ) и k — целое число, определим k -ю норму Соболева формулой

$\|f\|_{(k)}=\left(\sum |{\widehat {f}}(\lambda )|^{2}(1+|\lambda |^{2})^{k}\right)^{1/2}.$

Соответствующий внутренний продукт

$\displaystyle {(f,g)_{(k)}=\sum {\widehat {f}}(\lambda ){\overline {{\widehat {g}}(\lambda )}}(1+|\lambda |^{2})^{k}}$

делает C ^∞ ( Т ² ) во внутреннее пространство продукта. Пусть H _k ( T ² ) — его пополнение в гильбертовом пространстве. Его можно эквивалентно описать как гильбертово пополнение пространства тригонометрических полиномов — то есть конечных сумм (Σ a _λ e _λ — относительно k- й соболевской нормы, так что H _k ( T ² ) знак равно {Σ а _λ е _λ : Σ | л _| ​ ² (1 + |l| ² ) ^к < ∞} со скалярным произведением

( Σ а _λ е _λ , Σ б _μ е _μ ) _{( k )} знак равно Σ а _λ б _λ (1 + |λ| ² ) ^к .

Как поясняется ниже, элементы пересечения H _∞ ( T ² ) = $\cap$ H _k ( Т ² ) — это в точности гладкие функции на T ² ; элементы объединения H _−∞ ( T ² ) = $\cup$ H _k ( Т ² ) являются просто распределениями на T ² (иногда называемые «периодическими распределениями» на R ² ).

Ниже приводится (неполный) список свойств пространств Соболева.

• Differentiability and Sobolev spaces. C ^к ( Т ² ) ⊂ H _k ( T ² ) для k ≥ 0, поскольку, используя биномиальную теорему для разложения (1 + |λ| ² ) ^к ,

$\displaystyle {\|f\|_{(k)}^{2}=\sum _{|\alpha |\leq k}{k \choose \alpha }\|D^{\alpha }f\|^{2}\leq C\cdot \sup _{|\alpha |\leq k}|D^{\alpha }f|^{2}.}$

• Дифференциальные операторы. Д ^а H _k ( Т ² ) ⊂ H _{k −|α|} ( Т ² ) и Д ^а определяет ограниченное линейное отображение из H _k ( T ² ) до H _{k −|α|} ( Т ² ). Оператор I + ∆ определяет унитарное отображение H _{k +2} ( T ² ) на H _k ( T ² ); в частности ( Я + Д) ^к определяет унитарное отображение H _k ( T ² ) на H _{− k} ( T ² ) для k ≥ 0.

Первые утверждения следуют из того, что D ^а е _λ = λ ^а e _λ и |λ ^а | ≤ |λ| ^|а| ≤ (1 + |λ| ² ) ^|а|/2 . Второе утверждение следует из того, что I + ∆ действует как умножение на 1 + |λ| ² на е _λ .

• Двойственность. Для k ≥ 0 спаривание, переводящее f , g в ( f , g ), устанавливает двойственность между H _k ( T ² ) и H _{− k} ( T ² ).

Это подтверждение того факта, что ( I + Δ) ^к устанавливает унитарное отображение между этими двумя пространствами, потому что ( f , g ) = (( I + Δ) ^к ж , г ) _{(- k )} .

• Операторы умножения. Если h — гладкая функция, то умножение на h определяет непрерывный оператор на H _k ( T ² ).

При k ≥ 0 это следует из формулы для || ж || ²
_{( k )} выше и правило Лейбница . Непрерывность для H _{− k} ( T ² ) следует из двойственности, поскольку ( f , hg ) = ( час f , g ) .

• Пространства Соболева и дифференцируемость (теорема вложения Соболева). При k ≥ 0 H _{k +2} ( T ² ) ⊂ С ^к ( Т ² ) и суп _{|α|≤ k} | Д ^а ж | ≤ C _k ⋅ || ж || _{( к +2)} .

Неравенства для тригонометрических полиномов подразумевают включения. Неравенство для k = 0 следует из

$\sup \left|\sum a_{\lambda }e_{\lambda }\right|\leq \left(\sum (1+|\lambda |^{2})^{-2}\right)^{1/2}\cdot \sum |a_{\lambda }|\leq \left(\sum |a_{\lambda }|^{2}(1+|\lambda |^{2})^{2}\right)^{1/2}=\left(\sum (1+|\lambda |^{2})^{-2}\right)^{1/2}\cdot \left\|\sum a_{\lambda }e_{\lambda }\right\|_{(2)},$

по неравенству Коши-Шварца . Первое слагаемое конечно по интегральному признаку , поскольку ∬ _C (1 + | z | ² ) ⁻² dx dy = 2π ∫ ^∞
₀ (1 + г ² ) ⁻² r dr < ∞ в полярных координатах . В общем случае, если |α| ≤ k, то |sup D ^а ж | ≤ С ₀ || Д ^а ж || ₂ ≤ С ₀ ⋅ С _α ⋅ || ж || _{k +2} в силу свойств непрерывности D ^а .

• Плавные функции. С ^∞ ( Т ² ) = $\cap$ H _k ( Т ² ) состоит из ряда Фурье 2 a _λ e _λ такого, что для всех k > 0 (1 + |λ| ² ) ^к | а _λ | стремится к 0 при |λ| стремится к ∞, т. е. коэффициенты Фурье a _λ имеют «быстрый затухание».

Это непосредственное следствие теоремы вложения Соболева.

• Отображения включения (теорема Реллиха о компактности). Если k > j , пространство H _k ( T ² ) является подпространством H _j ( T ² ) и включение H _k ( T ² ) $\rightarrow$ H _j ( Т ² ) компактен .

Что касается естественных ортонормированных базисов, отображение включения становится умножением на (1 + |λ| ² ) ^{-( k - j )/2} . Поэтому он компактен, поскольку задается диагональной матрицей с диагональными элементами, стремящимися к нулю.

• Эллиптическая регулярность (лемма Вейля). Предположим, что f и u в H _−∞ ( T ² ) = $\cup$ H _k ( Т ² ) удовлетворяют ∆ ты знак равно ж . Предположим также, что ψ f — гладкая функция для каждой гладкой функции ψ, обращающейся в нуль на фиксированном открытом множестве U в T ² ; тогда то же самое верно и для тебя . (Таким образом, если f является гладким относительно U , то же самое относится и к u .)

По правилу Лейбница Δ( ψu ) = (Δ ψ ) u + 2(ψ _x u _x + ψ _y u _y ) + ψ Δ u , поэтому ψu = ( I + Δ) ⁻¹ [ ψu + (Δ ψ ) ты + 2( ψ _Икс ты _Икс + ψ _y ты _y ) + ψf ] . Если известно, что φu лежит в H _k ( T ² ) для некоторого k и всех φ, исчезающих вне U , то дифференцирование показывает, что φ u _x и φ u _y лежат в H _{k −1} ( T ² ). Следовательно, выражение в квадратных скобках также лежит в H _{k −1} ( T ² ). Оператор ( I + Δ) ⁻¹ переносит это пространство на H _{k +1} ( T ² ), так что ψ u должен лежать в H _{k +1} ( T ² ). Продолжая таким же образом, получаем, что ψ u лежит в $\cap$ H _k ( Т ² ) = С ^∞ ( Т ² ).

• Разложение Ходжа по функциям. Ч ₀ ( Т ² ) знак равно ∆ ЧАС ₂ ( Т ² ) $\oplus$ ker ∆ и C ^∞ ( Т ² ) = ∆ С ^∞ ( Т ² ) $\oplus$ потому что ∆.

Идентификация H ₂ ( T ² ) с Л ² ( Т ² ) = ЧАС ₀ ( Т ² ) с помощью унитарного оператора I + ∆ первое утверждение сводится к доказательству того, что оператор T = ∆( I + ∆) ⁻¹ удовлетворяет Л ² ( Т ² ) = я Т $\oplus$ кер Т. ​Этот оператор ограничен, самосопряжен и диагонализуется ортонормированным базисом e _λ с собственным значением |λ| ² (1 + |l| ² ) ⁻¹ . Оператор Т имеет ядро ​​С £ ₀ (постоянные функции) и на (кер Т ) ^⊥ = im T, оно имеет ограниченный обратный вид S e _λ = |λ| ⁻² (1 + |l| ² ) e _λ при λ ≠ 0. Значит, im T должен быть замкнутым и, следовательно, L ² ( Т ² ) = (кер Т ) ^⊥ $\oplus$ кер Т = им Т $\oplus$ кер Т. ​Наконец, если f = ∆g + h с f в C ^∞ ( Т ² ), г в H ₂ ( T ² ) и константой h , g должен быть гладким по лемме Вейля.

• Теория Ходжа о T ² . Пусть Ω ^к ( Т ² ) — пространство гладких k -форм при 0 ⩽ k ⩽ 2. Таким образом, Ω ⁰ ( Т ² ) = С ^∞ ( Т ² ), О ¹ ( Т ² ) = С ^∞ ( Т ² ) дх $\oplus$ С ^∞ ( Т ² ) dy и Ω ² ( Т ² ) = С ^∞ ( Т ² ) dx ∧ dy . Операция звезды Ходжа определяется на 1-формах формулой ∗( p dx + q dy ) = − q dx + p dy . Это определение распространяется на 0-формы и 2-формы посредством * f = f dx ∧ dy и *( g dx ∧ dy ) = g . Таким образом ** = (−1) ^к на k -формах. На Ω существует естественный комплексный скалярный продукт ^к ( Т ² ) определяется

$\displaystyle {(\alpha ,\beta )=\int _{{\mathbf {T} }^{2}}\alpha \wedge \star {\overline {\beta }}.}$

Определим δ = −∗ d ∗ . Таким образом, d принимает Ох ^к ( Т ² ) к Ом ^{к -1} ( Т ² ), аннигилирующие функции; это сопряжение d для вышеуказанных скалярных произведений, так что δ = d * . Действительно, по формуле Грина-Стокса

$\displaystyle {(d\alpha ,\beta )=\int d\alpha \wedge \star {\overline {\beta }}=\int d\alpha \wedge \star {\overline {\beta }}-\int d(\alpha \wedge \star {\overline {\beta }})=(-1)^{\partial \alpha }\int \alpha \wedge d\star {\overline {\beta }}=\int \alpha \wedge \star {\overline {\delta \beta }}=(\alpha ,\delta \beta ).}$

Операторы d и δ = d * удовлетворяют d ² = 0 и δ ² = 0. Лапласиан Ходжа на k -формах определяется соотношением ∆ _k = ( d + d *) ² = дд * + д * д . Из определения ∆ ₀ f = ∆ f . Кроме того, ∆ ₁ ( п dx + q dy ) = ( ∆ p )   dx + ( ∆ q )   dy и ∆ ₂ ( f dx ∧ dy ) = ( ∆ f ) dx ∧ dy . Это позволяет обобщить разложение Ходжа, включив в него 1-формы и 2-формы:

• Теорема Ходжа. Ом ^к ( Т ² ) = кер d $\cap$ поскольку d ∗ $\oplus$ в д $\oplus$ in ∗ d = ker d $\cap$ кер д * $\oplus$ в д $\oplus$ я д *. В гильбертовом пространстве пополнение Ω ^к ( Т ² ) ортогональное дополнение к im d $\oplus$ im ∗ d — это ker d $\cap$ ker d ∗ — конечномерное пространство гармонических k -форм, т.е. постоянных k -форм. В частности, в Ω ^к ( Т ² ) , ker d / im d = ker d $\cap$ ker d * , пространство гармонических k -форм. Таким образом, Рама когомологии де T ² задается гармоническими (т.е. постоянными) k -формами.

Из разложения Ходжа по функциям Ω ^к ( Т ² ) = потому что ∆ _k $\oplus$ я ∆ _k . Поскольку ∆ _k = dd * + d * d , ker ∆ _k = ker d $\cap$ кер д *. Более того, im ( dd * + d * d ) ⊊ im d $\oplus$ я д *. Поскольку кер д $\cap$ ker d * ортогонален этой прямой сумме, отсюда следует, что Ω ^к ( Т ² ) = кер d $\cap$ кер д * $\oplus$ в д $\oplus$ я д *. Последнее утверждение следует из того, что ker d содержит ker d $\cap$ кер д * $\oplus$ im d и ортогонален im d * знак равно im ∗ d .

Гильбертово пространство 1-форм

В случае компактной римановой поверхности C / Λ теория пространств Соболева показывает, что пополнение гильбертова пространства гладких 1-форм можно разложить в сумму трех попарно ортогональных пространств, замыкания точных 1-форм df , замыкание коточных 1-форм ∗ df и гармонических 1-форм (двумерное пространство постоянных 1-форм). Метод ортогонального проектирования Вейля (1940) ставит на прочную основу подход Римана к принципу Дирихле, обобщая это разложение на произвольные римановы поверхности.

Если X — риманова поверхность Ω ¹
_c ( X ) обозначает пространство непрерывных 1-форм с компактным носителем. Он допускает сложный внутренний продукт

$\displaystyle {(\alpha ,\beta )=\int _{X}\alpha \wedge \star {\overline {\beta }},}$

для α и β в Ω ¹
_в ( Х ). Обозначим через H пополнение гильбертова пространства Ω ¹
_в ( Х ). Хотя H можно интерпретировать в терминах измеримых функций, как и пространства Соболева на торах, его можно изучать непосредственно, используя только элементарные методы функционального анализа, включающие гильбертово пространство и ограниченные линейные операторы.

Обозначим через H ₁ замыкание d C ^∞
_c ( X ) и H ₂ обозначают замыкание * d C ^∞
_в ( Х ). Поскольку ( df ,∗ dg ) = ∫ _X df ∧ d g = ∫ _X d ( f d g ) = 0 , это ортогональные подпространства. Обозначим через H ₀ ортогональное дополнение ( H ₁ $\oplus$ Н ₂ ) ^⊥ = Ч ^⊥
₁ $\cap$ ЧАС ^⊥
₂ .

Теорема (разложение Ходжа–Вейля). Ч = Ч ₀ $\oplus$ Ч ₁ $\oplus$ Н ₂ . Подпространство H ₀ состоит из интегрируемых с квадратом гармонических 1-форм на X , т.е. 1-форм ω таких, что dω = 0, d ∗ ω = 0 и || ω || ² = ∫ _X ω ∧ ∗ ω < ∞.

• Любая интегрируемая с квадратом непрерывная 1-форма лежит в H .

Пространство непрерывных 1-форм с компактным носителем содержится в пространстве интегрируемых с квадратом непрерывных 1-форм. Оба они являются пространствами внутреннего продукта для вышеуказанного внутреннего продукта. Поэтому достаточно показать, что любая интегрируемая с квадратом непрерывная 1-форма может быть аппроксимирована непрерывными 1-формами с компактным носителем. Пусть ω — непрерывная интегрируемая с квадратом 1-форма. Таким образом, положительная плотность Ω = ω ∧ ∗ ω интегрируема и существуют непрерывные функции с компактным носителем ψ _n с 0 ⩽ ψ _n ⩽ 1 такие, что ∫ _X ψ _n Ω стремится к ∫ _Х Ом = || ω || ² . Пусть φ _n = 1 − (1 − ψ _n ) ^1/2 , непрерывная функция компактного носителя с 0 ≤ φ _n ≤ 1 . Тогда ω _n = φ _n ⋅ ω стремится к ω в H , поскольку || ω − ω _п || ² = ∫ _X (1 − ψ _n ) Ω стремится к 0.

• Если ω в H такова, что ψ ⋅ ω непрерывна для любого ψ в C _c ( X ), то ω — интегрируемая с квадратом непрерывная 1-форма.

Обратите внимание, что оператор умножения m ( φ ), заданный формулой m ( φ ) α = φ ⋅ α для φ в C _c ( X ) и α в Ω ¹
_c ( X ) удовлетворяет || м (φ)α|| ≤ ||φ|| _∞ ||α||, где ||φ|| _∞ = суп |φ|. Таким образом, m (φ) определяет ограниченный линейный оператор с операторной нормой || м (φ)|| ≤ ||φ|| _∞ . Он непрерывно продолжается до ограниченного линейного оператора на H с той же операторной нормой. Для каждого открытого множества U с компактным замыканием существует непрерывная функция φ с компактным носителем с 0 ⩽ φ ⩽ 1 с φ ≅ 1 на U . Тогда φ ⋅ ω непрерывна на U , поэтому определяет единственную непрерывную форму ω _U на U . Если V — другое открытое множество, пересекающее U , то ω _U = ω _V на U $\cap$ V : на самом деле, если z лежит в U $\cap$ V и ψ в C _c ( U $\cap$ V ) ⊂ C _c ( X ) с ψ = 1 вблизи z , тогда ψ ⋅ ω _U знак равно ψ ⋅ ω знак равно ψ ⋅ ω _V , так что ω _U знак равно ω _V вблизи z . Таким образом, ω _U соединяются вместе, образуя непрерывную 1-форму ω ₀ на X . построению ψ ⋅ ω = ψ ⋅ ω ₀ для любого ψ из Cc _X ( По ). В частности, для φ в C _c ( X ) с 0 ≤ φ ≤ 1 , ∫ φ ⋅ ω ₀ ∧ ∗ ω ₀ = || ж ^1/2 ⋅ ω ₀ || ² = || ж ^1/2 ⋅ ω || ² ≤ ||ω|| ² . Итак, ω ₀ ∧ ∗ ω ₀ интегрируемо и, следовательно, ω ₀ интегрируемо с квадратом, поэтому элемент H . С другой стороны, ω может быть аппроксимировано ω _n в Ω ¹
_в ( Х ). Возьмем ψ _n в C _c ( X ) с 0 ≤ ψ _n ≤ 1 с ψ _n ⋅ ω _n знак равно ω _n . Поскольку действительные непрерывные функции замкнуты относительно решеточных операций . далее можно предположить, что ∫ ψ ²
_n ω ₀ ∧ ∗ ω ₀ и, следовательно, ∫ ψ _n ω ₀ ∧ ∗ ω ₀ , увеличиваются до || ω ₀ || ² . Но тогда ||ψ _n ⋅ ω − ω|| и ||ψ _n ⋅ ω ₀ − ω ₀ || стремятся к 0. Поскольку ψ _n ⋅ ω = ψ _n ⋅ ω ₀ , это показывает, что ω = ω ₀ .

• Любая интегрируемая с квадратом гармоническая 1-форма ω лежит в H ₀ .

Это нетрудно, поскольку ω лежит в H и для f — гладкой функции с компактным носителем ( df ,ω) = ∫ _X df ∧ ∗ω = −∫ _X f d ∗ω = 0 и (∗ df ,ω) = ∫ _Икс df ∧ ω знак равно - ∫ _Икс ω знак ж d равно 0 .

• Каждый элемент H ₀ задается интегрируемой с квадратом гармонической 1-формой.

Пусть ω — элемент из H ₀ и при фиксированном p в X зафиксируем карту U в X, содержащую p , конформно эквивалентную посредством отображения f диску D ⊂ T. ² с ж (0) = п . Идентификационная карта из Ω ¹
_c ( U ) на Ω ¹
_c ( D ) и, следовательно, в Ω ¹ ( Т ² ) сохраняет нормы (с точностью до постоянного множителя). Пусть K — замыкание Ω ¹
_c ( U ) в H . Тогда указанное выше отображение однозначно продолжается до изометрии T группы K в H ₀ ( T ² ) дх $\oplus$ Н0 ( Т ² ) ды . Более того, если ψ принадлежит C ^∞
_c ( U ) тогда Т м (ψ) знак равно м (ψ ∘ ж ) Т . Идентификационная карта T также совместима с d и звездным оператором Ходжа. Пусть D ₁ — меньший концентрический диск в T ² и положим V = f ( V ). Возьмите φ в C ^∞
_c ( U ) с φ ≡ 1 на V . Тогда ( m ( φ ) ω , dh ) = 0 = ( m ( φ ) ω ,∗ dh ) для h в C ^∞
_резюме ​ ) . Следовательно, если ω ₁ = m ( φ ) ω и ω ₂ = T ( ω ₁ ), то ( ω ₂ , dg ) = 0 = ( ω ₂ , ∗ dg ) для g в C ^∞
_в ( Д ₁ ) .

Запишите ω ₂ = a dx + b dy с a и b в H ₀ ( T ² ). Из приведенных выше условий следует ( dω ₁ , ∗ g ) знак равно 0 знак равно ( d ∗ ω ₁ , ∗ g ). Заменив ∗ g на dω ₃ с ω ₃ — гладкой 1-формой с носителем в D ₁ , отсюда следует, что ∆ ₁ ω ₂ = 0 на D ₁ . Таким образом, ∆ a = 0 = ∆ b на D ₁ . Следовательно, по лемме Вейля a и b гармоничны на D ₁ . В частности, оба они, а значит, и ω2 _{гладкие} на D1 _, ; и dω ₂ знак равно 0 знак равно d ∗ ω ₂ на D ₁ . Перенося эти уравнения обратно в X , отсюда следует, что ω ₁ является гладким на V и dω ₁ = 0 = d ∗ ω ₁ на V . Поскольку ω ₁ = m ( φ ) ω и p — произвольная точка, из этого, в частности, следует, что m ( ψ ) ω непрерывна для каждой ψ в C _c ( X ). Таким образом, ω непрерывна и интегрируема с квадратом.

Но тогда ω гладкая на V и d ω = 0 = d ∗ω на V . Опять же, поскольку p было произвольным, это означает, что ω гладкая на X и d ω = 0 = d ∗ω на X , так что ω является гармонической 1-формой на X .

Из формул для операторов Дольбо $\partial$ и ${\bar {\partial }}$, отсюда следует, что

$\displaystyle {dC_{c}^{\infty }(X)\oplus *dC_{c}^{\infty }(X)=\partial C_{c}^{\infty }(X)\oplus {\overline {\partial }}C_{c}^{\infty }(X),}$

где обе суммы ортогональны. Два подпространства во второй сумме соответствуют собственным пространствам ± i оператора Ходжа ∗. Обозначая их замыкания через H ₃ и H ₄ , отсюда следует, что H ^⊥
₀ = H ₃ ⊕ H ₄ и что эти подпространства меняются местами комплексным сопряжением. Гладкие 1-формы H2 _{описание} , H3 _, или H4 _имеют простое в _H1 .

• Гладкая 1-форма в H ₁ имеет вид df для f Smooth.
• Гладкая 1-форма в H ₂ имеет вид ∗ df для f Smooth.
• Гладкая 1-форма в H ₃ имеет вид $\partial$f для f гладкий.
• Гладкая 1-форма в H ₃ имеет вид ${\bar {\partial }}$f для f гладкий.

Действительно, ввиду разложений H ^⊥
₀ и его инвариантность относительно операции звезды Ходжа, достаточно доказать первое из этих утверждений. Поскольку H ₁ инвариантен относительно комплексного сопряжения, можно предположить, что α — гладкая вещественная 1-форма в H ₁ . Следовательно, это предел в H ₁ форм df _n с fn _, гладким и компактным. 1-форма α должна быть замкнутой, поскольку для любого действительнозначного f из C ^∞
_с ( Икс ),

$\int _{X}f\,d\alpha =-\int _{X}df\wedge \alpha =(\alpha ,*df)=0,$

так что d α = 0. Чтобы доказать точность α, достаточно доказать, что ∫ _X α ∧ ∗β = 0 для любой гладкой замкнутой вещественной 1-формы β с компактным носителем. Но по формуле Грина

$\int _{X}\alpha \wedge \star \beta =(\alpha ,\beta )=\lim(df_{n},\beta )=\lim \int _{X}df_{n}\wedge \beta =\lim \int _{X}d(f_{n}\beta )=0.$

Приведенные выше характеристики имеют непосредственное следствие:

• Гладкая 1-форма α в H ^⊥
  ₀ можно однозначно разложить как α = da + ∗ db = ∂f + ∂g , где a , b , f и g гладкие, а все слагаемые суммируются с квадратом.

В сочетании с предыдущим разложением Ходжа–Вейля и тем фактом, что элемент H ₀ автоматически является гладким, из этого сразу следует:

Теорема (гладкое разложение Ходжа–Вейля). Если α — гладкая квадратично интегрируемая 1-форма, то α можно однозначно записать как α = ω + da + * db = ω + ∂f + ∂ g с ω гармонической, квадратично интегрируемой и a , b , f , g гладкими с квадратичными интегрируемые дифференциалы.

Голоморфные 1-формы с двойным полюсом

Следующий результат, интерпретируемый в следующем разделе в терминах гармонических функций и принципа Дирихле, является ключевым инструментом для доказательства теоремы униформизации для односвязных или, в более общем плане, плоских римановых поверхностей.

Теорема. Если X — риманова поверхность, а P — точка на X с локальной координатой z , то существует единственная голоморфная дифференциальная 1-форма ω с двойным полюсом в точке P , так что особая часть ω равна z ⁻² dz вблизи P и регулярен везде, такой, что ω интегрируемо с квадратом в дополнении к окрестности P , а действительная часть ω точна на X \ {P}.

Условие двойного полюса инвариантно относительно голоморфной замены координат z $\mapsto$ г + аз ² + ⋯. Аналогичный результат имеется для полюсов порядка больше 2, где особая часть ω имеет вид z ^{– к} dz при k > 2, хотя это условие не инвариантно относительно голоморфной замены координат.

Для доказательства единственности заметим, что если ω ₁ и ω ₂ — два решения, то их разность ω = ω ₁ − ω ₂ представляет собой интегрируемую с квадратом голоморфную 1-форму, точную на X \ {P}. вблизи P Таким образом , ω = f ( z ) dz , где f голоморфна вблизи z = 0. Существует голоморфная функция g на X \ {P} такая, что там ω = dg . Но тогда g должен совпадать с f вблизи z dg = 0, так что ω = первообразной всюду. Но тогда ω лежит в H ₀ ∩ H ₁ = (0), т. е. ω = 0.

Чтобы доказать существование, возьмем рельефную функцию 0 ⩽ ψ ⩽ 1 в C ^∞
_c ( X ) с носителем в окрестности точки P вида | г | < ε и такой, что ψ ≡ 1 вблизи P . Набор

$\alpha =-d\left({\psi (z) \over z}\right),$

так что α равно z ^–2 dz вблизи P , исчезает вне окрестности P и точен на X \ {P}. Пусть β = α − i ∗ α , гладкая (0,1) форма на X , исчезающая вблизи z = 0, поскольку там она является формой (1,0), и исчезающая в большей окрестности P . С помощью гладкого разложения Ходжа-Вейля β можно разложить как β = ω ₀ + da – i ∗ da, где ω ₀ является гармонической и интегрируемой с квадратом (0,1) формой и гладким дифференциалом , интегрируемым с квадратом. Теперь положим γ = α – da = ω ₀ + i ∗ α − i ∗ da и ω = Re γ + i ∗ Re γ . Тогда α точен на X \ {P}; следовательно, то же самое относится и к γ, а также к его вещественной части, которая также является вещественной частью ω. Вблизи P 1-форма ω отличается от z ^–2 dz гладкой (1,0) формой. Осталось доказать, что ${\bar {\partial }}$ω = 0 на X \ {P}; или, что то же самое, что Re γ гармонична на X \ {P}. На самом деле γ гармонична на X \ {P}; для d γ = d α − d ( da ) = 0 на X \ {P}, поскольку там α точен; и аналогично d ∗ γ = 0, используя формулу γ = ω ₀ + i ∗ α − i ∗ da и тот факт, что ω ₀ гармонична.

Следствие доказательства. Если X — риманова поверхность, а P — точка на X с локальной координатой z , то существует единственная вещественная 1-форма δ , гармоническая на X \ { P }, такая, что δ – Re z ⁻² dz гармоничен вблизи точки z = 0 (точки P ) такой, что δ интегрируемо с квадратом в дополнении к окрестности P. точки Более того, если h — любая вещественная гладкая функция на X с интегрируемым в квадрате dh и h , обращающимся в нуль вблизи P , то ( δ , dh ) = 0.

Существование следует, если взять выше δ = Re γ = Re ω . Поскольку ω = δ + i ∗δ, из единственности ω следует единственность δ. Альтернативно, если δ ₁ и δ ₂ — два решения, их разность η = δ ₁ – δ ₂ не имеет особенности в точке P и гармонична на X \ { P }. Следовательно, он гармоничен в окрестности точки P и, следовательно, везде. η лежит в H0 _{Значит ,} . Но также η точен на X \ P и, следовательно, на всем X , поэтому он также лежит в H ₁ . Но тогда он должен лежать в H ₀ ∩ H ₁ = (0), так что η = 0. Наконец, если N — замыкание окрестности P, не пересекающейся с носителем h и Y = X \ N , то δ| _Y лежит в H ₀ ( Y ), а dh лежит в пространстве H ₁ ( Y ), так что

$(\delta ,dh)=\int _{X}\delta \wedge \star dh=\int _{Y}\delta \wedge \star dh=(\delta |_{Y},dh)_{Y}=0.$

Принцип Дирихле на римановой поверхности.

Смотрите также: принцип Дирихле

Теорема. Если X — риманова поверхность, а P — точка на X с локальной координатой z , существует единственная вещественная гармоническая функция u на X \ { P } такая, что u ( z ) – Re z ⁻¹ гармонична вблизи точки z = 0 (точки P ) такой, что du интегрируемо с квадратом в дополнении к окрестности P. точки Более того, если h — любая вещественная гладкая функция на X с dh, интегрируемая с квадратом и h , обращающаяся в нуль вблизи P , то ( du , dh )=0.

Фактически этот результат непосредственно следует из теоремы и следствия предыдущего раздела. Построенная там гармоническая форма δ представляет собой действительную часть голоморфной формы ω = dg , где g — голоморфная функция на X с простым полюсом в точке P с вычетом -1, т.е. g ( z ) = – z ⁻¹ + а ₀ + а ₁ z + а ₂ z ² + ⋯ вблизи z = 0. Таким образом, u = - Re g дает решение с заявленными свойствами, поскольку δ = - du и, следовательно, ( du , dh ) = −(δ, dh ) = 0.

Этот результат можно интерпретировать с точки зрения принципа Дирихле . Пусть D _R — параметрический диск | г | < R относительно P (точка z = 0) с R > 1. Пусть α = − d ( ψz ⁻¹ ), где 0 ⩽ ψ ⩽ 1 — рельефная функция, поддерживаемая в D = D ₁ , тождественно 1 вблизи z = 0. Пусть α ₁ = −χ _D ( z ) Re d ( z ⁻¹ χ _D — характеристическая функция D . ), где Пусть γ= Re α и γ ₁ = Re α ₁ . Поскольку χ _D можно аппроксимировать выпуклыми функциями в L ² , γ ₁ − γ лежит в вещественном гильбертовом пространстве 1-форм Re H ; аналогично α ₁ − α лежит в H . Принцип Дирихле гласит, что функция расстояния

F ( ξ ) знак равно || γ ₁ − γ – ξ ||

на Re H ₁ минимизируется гладкой 1-формой ξ ₀ в Re H ₁ . В действительности − du совпадает с минимизирующей 1-формой: γ + ξ ₀ = − du .

Эту версию принципа Дирихле легко вывести из предыдущей конструкции du . По определению ξ ₀ является ортогональной проекцией γ ₁ – γ на Re H ₁ для вещественного скалярного произведения Re ( η ₁ , η ₂ ) на H , рассматриваемого как пространство вещественного скалярного произведения. Оно совпадает с действительной частью ортогональной проекции ω ₁ α ₁ – α на H ₁ для комплексного скалярного произведения на H . Поскольку оператор звезды Ходжа является унитарным отображением на H, меняющим местами H ₁ и H ₂ , ω ₂ = ∗ ω ₁ является ортогональной проекцией ∗( α ₁ – α ) на H ₂ . С другой стороны, ∗ α ₁ = − i α ₁ , поскольку α является (1,0)-формой. Следовательно

( α ₁ – α ) - я * ( α ₁ – α ) знак равно ω ₀ + ω ₁ + ω ₂ ,

с ωk _​ в Hk _​ . Но левая часть равна – α + i ∗ α = – β , где β определено точно так же, как в предыдущем разделе, так что это совпадает с предыдущей конструкцией.

Дальнейшее обсуждение принципа Дирихле на римановой поверхности можно найти в работах Гурвица и Куранта (1929) , Альфорса (1947) , Куранта (1950) , Шиффера и Спенсера (1954) , Пфлюгера (1957) и Альфорса и Сарио (1960) .

Историческая справка. Вейль (1913) доказал существование гармонической функции и, дав прямое доказательство принципа Дирихле. В Вейле (1940) он представил свой метод ортогонального проектирования, который был принят в изложении выше, следуя Спрингеру (1957) , но с теорией пространств Соболева на T ² используется для доказательства эллиптической регулярности без использования теории меры. В пояснительных текстах Вейль (1955) и Кодайра (2007) оба автора избегают ссылки на результаты теории меры: они следуют оригинальному подходу Вейля к построению гармонических функций с особенностями с помощью принципа Дирихле. В методе ортогонального проектирования Вейля теория интегрирования Лебега использовалась для реализации гильбертовых пространств 1-форм в терминах измеримых 1-форм, хотя 1-формы, которые нужно было построить, были гладкими или даже аналитическими вдали от их сингулярности. В предисловии к Вейлю (1955) , ссылаясь на распространение Кодайрой (1949) своего метода ортогональной проекции на высшие измерения , Вейль пишет:

«Под влиянием работы Кодаиры я на мгновение колебался, не следует ли мне заменить принцип Дирихле по существу эквивалентным «методом ортогональной проекции», который рассматривается в моей статье. Но по причинам, объяснение которых привело бы к далеко здесь, я придерживаюсь старого подхода».

В Кодайре (2007) , после краткого изложения метода ортогональной проекции и ссылки на работы Вейля, Кодайра объясняет:

«Сначала в этой книге я планировал доказать принцип Дирихле методом ортогональной проекции. Однако мне не хотелось использовать понятие измеримости по Лебегу только для доказательства принципа Дирихле, и поэтому я переписал его таким образом, что Мне не пришлось».

Методы гильбертовых пространств, L ^п пространства и теория меры появляются в неклассической теории римановых поверхностей (изучение пространств модулей римановых поверхностей) через уравнение Бельтрами и теорию Тейхмюллера .

Голоморфные 1-формы с двумя одиночными полюсами

Теорема. Для римановой поверхности X и двух различных точек A и B на X существует голоморфная 1-форма на X с простыми полюсами в двух точках с ненулевыми вычетами, имеющими нулевую сумму, такая, что 1-форма интегрируема с квадратом на дополнение любых открытых окрестностей двух точек.

Доказательство аналогично доказательству результата о голоморфных 1-формах с одним двойным полюсом. Результат впервые доказывается, когда A и B близки и лежат в параметрическом круге. Действительно, как только это будет доказано, сумма 1-форм для цепочки достаточно близких точек между A и B обеспечит требуемую 1-форму, поскольку промежуточные сингулярные члены сокращаются. Для построения 1-формы для точек, соответствующих a и b в параметрическом круге, можно использовать предыдущую конструкцию, начиная с 1-формы

$\alpha =d\left(\psi (z)\log {z-a \over z-b}\right),$

который локально имеет вид

${dz \over z-a}-{dz \over z-b}.$

Уравнение Пуассона

Смотрите также: уравнение Пуассона

Теорема (уравнение Пуассона). Если Ω — гладкая 2-форма с компактным носителем на римановой поверхности X , то Ω можно записать как Ω = ∆ f , где f — гладкая функция с интегрируемой в квадрате функцией df тогда и только тогда, когда ∫ _X Ω = 0.

Фактически, Ω можно записать как Ω = d α, где α — гладкая 1-форма компактного носителя: действительно, с использованием разбиений единицы это сводится к случаю гладкой 2-формы компактного носителя на прямоугольнике. Действительно, Ω можно записать как конечную сумму 2-форм, каждая из которых находится в параметрическом прямоугольнике и имеет целый ноль. Для каждой из этих 2-форм результат следует из леммы Пуанкаре с компактным носителем. Записывая α = ω + da + * db , отсюда следует, что Ω = d * db = ∆ b .

В случае односвязных римановых поверхностей C , D и S = ​​C ∪ ∞ римановы поверхности являются симметрическими пространствами G / K для групп G = R ² , SL(2, R ) и SU(2). Методы теории представлений групп предполагают, что оператор ∆ является G -инвариантным, так что его фундаментальное решение дается правой сверткой с функцией на K \ G / K . Таким образом, в этих случаях уравнение Пуассона можно решить по явной интегральной формуле. Легко проверить, что это явное решение стремится к 0 в точке ∞, так что в случае этих поверхностей существует решение f, стремящееся к 0 в точке ∞. Дональдсон (2011) доказывает это непосредственно для односвязных поверхностей и использует это для вывода теоремы об униформизации .

См. также

• Дифференциалы первого рода
• Абелев дифференциал
• Комплекс Дольбо

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1947), «Принцип Дирихле», Math. , 120 : 36–42, doi : 10.1007/bf01447824 , S2CID   121359039
• Альфорс, Ларс В.; Сарио, Лео (1960), «Дифференциалы на римановых поверхностях», Римановы поверхности , Princeton Mathematical Series, vol. 26, Princeton University Press, стр. 265–299.
• Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения в частных производных (перепечатка оригинала 1964 года) , Лекции по прикладной математике, том. 3А, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0049-3
• ду Карму, Манфредо Пердигао (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  9780132125895 . переиздание 2016 г.
• Курант, Ришар (1950), принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности (переиздание), Springer, ISBN  0-387-90246-5
• Дональдсон, Саймон (2011), Римановы поверхности , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, том. 22, Издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0-19-960674-0
• Фаркас, HM; Кра, И. (1992), Римановы поверхности , Тексты для аспирантов по математике, вып. 71 (второе изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-97703-1
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Введение в уравнения в частных производных (2-е изд.), Princeton University Press, ISBN  0-691-04361-2
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley, ISBN  0-471-05059-8
• Гиймен, Виктор; Поллак, Алан (1974), Дифференциальная топология , Прентис-Холл
• Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия и симметрические пространства (перепечатка издания 1962 года) , Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2735-9
• Гильберт, Дэвид (1909), «К теории конформного отображения» (PDF) , Göttinger Nachrichten : 314–323
• Хирш, Моррис (1997), Дифференциальная топология , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90148-5
• Ходж, WVD (1941), Теория и приложения гармонических интегралов , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-35881-1 , MR   0003947 , перепечатка издания 1941 года 1989 года с предисловием Майкла Атьи.
• Ходж, WVD (1952), Теория и приложения гармонических интегралов (2-е изд.), Cambridge University Press , перепечатка издания 1941 года с исправлениями, внесенными Германом Вейлем.
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных, I. Теория распределения и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-52343-Х
• Гурвиц, Адольф; Курант Р. (1929), Лекции по общей теории функций и эллиптическим функциям (3-е изд.), Springer, стр. 445–479 , Часть III, Глава 8: «Обобщение теоремы об отображении Римана. Принцип Дирихле», автор: Ричард Курант
• Йост, Юрген (2006), Компактные римановы поверхности: введение в современную математику (3-е изд.), Springer, ISBN  978-3-540-33065-3
• Кодайра, Кунихико (1949), "Гармонические поля в римановых многообразиях (обобщенная теория потенциала)", Ann. математики. , 50 (3): 587–665. doi : 10.2307/1969552 , JSTOR   1969552
• Кодайра, Кунихико (2007), Комплексный анализ , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 107, Издательство Кембриджского университета, ISBN  9780521809375
• Нэпьер, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности , Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4693-6
• Неванлинна, Рольф (1953), Униформизация , Основные положения математических наук в отдельных изложениях с особым рассмотрением областей применения (на немецком языке), vol. 64, Шпрингер Верлаг
• Пфлюгер, Альберт (1957), Теория римановых поверхностей (на немецком языке), Springer-Verlag
• Рудин, Уолтер (1973), Функциональный анализ , McGraw-Hill
• Сарио, Л.; Накаи, М. (1970), Теория классификации римановых поверхностей , Основы математических наук, том. 164, джемпер
• Шиффер, М.; Спенсер, округ Колумбия (1954), Функционалы конечных римановых поверхностей (переиздание), Дувр, ISBN  9780691627045
• Шастри, Анант Р. (2011), Элементы дифференциальной топологии , CRC Press, ISBN  978-1-4398-3160-1
• Сигел, CL (1988), Темы теории комплексных функций. Том. I. Эллиптические функции и теория униформизации в переводе А. Шенитцера; Д. Солитар, Уайли, ISBN  0471608440
• Спрингер, Джордж (1957), Введение в римановы поверхности , Аддисон-Уэсли, MR   0092855
• Тейлор, Майкл Э. (1996), Уравнения в частных производных I: Основная теория , Springer, ISBN  0-387-94654-3
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для аспирантов по математике, том. 94, Спрингер, ISBN  0-387-90894-3
• Вейль, Герман (1913), Идея римановой поверхности (перепечатка немецкого оригинала 1913 года в 1997 году) , Тойбнер, ISBN  3-8154-2096-2
• Вейль, Герман (1940), «Метод ортогональных проекций в теории потенциала», Duke Math. Дж. , 7 : 411–444, doi : 10.1215/s0012-7094-40-00725-6
• Вейль, Герман (1943), «О теории гармонических интегралов Ходжа», Ann. математики. , 44 (1): 1–6, номер документа : 10.2307/1969060 , JSTOR   1969060.
• Вейль, Герман (1955), Концепция римановой поверхности , перевод Джеральда Р. Маклейна, Аддисон-Уэсли, MR   0069903