Физические теории, модифицированные общей теорией относительности

В этой статье будет использоваться соглашение Эйнштейна о суммировании .

Теория общей относительности потребовала адаптации существующих теорий физических, электромагнитных и квантовых эффектов для объяснения неевклидовой геометрии. Эти физические теории, модифицированные общей теорией относительности, описаны ниже.

Классическая механика и специальная теория относительности

Классическая механика и специальная теория относительности объединены здесь, потому что специальная теория относительности во многих отношениях является промежуточным звеном между общей теорией относительности и классической механикой и имеет много общих черт с классической механикой.

В последующем обсуждении математика общей теории относительности широко используется . Кроме того, в соответствии с принципом минимальной связи физические уравнения специальной теории относительности можно превратить в их аналоги из общей теории относительности, заменив метрику Минковского ( η _ab ) соответствующей метрикой пространства-времени ( g _ab ) и заменив любые частные производные ковариантными. производные. В последующих обсуждениях подразумевается изменение метрик.

Инерция

Движение по инерции — это движение, свободное от всех сил . В механике Ньютона сила F, действующая на частицу массы m, определяется вторым законом Ньютона : $F=m{\ddot {r}}$, где ускорение определяется второй производной положения r по времени t . Нулевая сила означает, что движение по инерции — это просто движение с нулевым ускорением:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}=0$

Идея та же самая, что и в специальной теории относительности. Используя декартовы координаты , инерционное движение математически описывается как:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{a}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=0$

где $x^{a}$ — координата положения, а τ — собственное время . (В механике Ньютона τ ≡ t — координатное время).

И в механике Ньютона, и в специальной теории относительности пространство, а затем и пространство-время предполагаются плоскими, и мы можем построить глобальную декартову систему координат. В общей теории относительности эти ограничения на форму пространства-времени и на используемую систему координат теряются. Поэтому требуется другое определение движения по инерции. В теории относительности инерционное движение происходит вдоль времениподобных или нулевых геодезических , параметризованных собственным временем. Математически это выражается уравнением геодезических :

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{a}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+\Gamma _{bc}^{a}\,{\frac {\mathrm {d} x^{b}}{\mathrm {d} \tau }}\,{\frac {\mathrm {d} x^{c}}{\mathrm {d} \tau }}=0$

где $\Gamma _{bc}^{a}$ является символом Кристоффеля . Поскольку общая теория относительности описывает четырехмерное пространство-время, она представляет собой четыре уравнения, каждое из которых описывает вторую производную координаты по собственному времени. В случае плоского пространства в декартовых координатах имеем $\Gamma _{bc}^{a}=0$, поэтому это уравнение сводится к форме специальной теории относительности.

Гравитация

Ньютона Что касается гравитации, связь между теорией гравитации и общей теорией относительности регулируется принципом соответствия : общая теория относительности должна давать те же результаты, что и гравитация, в тех случаях, когда ньютоновская физика доказала свою точность.

Ньютоновская теория гравитации предсказывает, что вокруг сферически симметричного объекта объекты будут физически ускоряться к центру объекта по правилу

$\mathbf {\ddot {r}} =GM\mathbf {\hat {r}} /r^{2}$

где G Ньютона — гравитационная постоянная , M — масса гравитирующего объекта, r — расстояние до гравитационного объекта, а $\mathbf {\hat {r}}$ — единичный вектор, определяющий направление на массивный объект.

В приближении слабого поля общей теории относительности должно существовать одинаковое координатное ускорение. Для решения Шварцшильда (которое представляет собой простейшее возможное пространство-время, окружающее массивный объект) то же ускорение, что и то, которое (в ньютоновской физике) создается гравитацией, получается, когда константа интегрирования устанавливается равной 2MG/c. ² ). Дополнительные сведения см. в разделе «Вывод решения Шварцшильда» .

Переход от механики Ньютона к общей теории относительности

Основная статья: Ньютоновские основы общей теории относительности

Некоторые из основных концепций общей теории относительности можно выделить за пределами релятивистской области. В частности, идея о том, что масса/энергия порождает кривизну пространства ньютоновской и что кривизна влияет на движение масс, может быть проиллюстрирована в теории .

Общая теория относительности обобщает уравнение геодезических и уравнение поля на релятивистскую область, в которой траектории в пространстве заменяются транспортом Ферми-Уокера вдоль мировых линий в пространстве-времени . Уравнения также обобщаются на более сложные кривизны.

Переход от специальной теории относительности к общей теории относительности

Основная статья: Теоретическая мотивация общей теории относительности

Базовую структуру общей теории относительности, включая уравнение геодезических и уравнение поля Эйнштейна , можно получить из специальной теории относительности , исследуя кинетику и динамику частицы на круговой орбите вокруг Земли. С точки зрения симметрии , переход предполагает замену глобальной лоренц-ковариации ковариацией локальной лоренц- .

Сохранение энергии-импульса

В классической механике законы сохранения энергии и импульса рассматриваются отдельно в двух принципах сохранения энергии и сохранения импульса . С появлением специальной теории относительности эти два принципа сохранения были объединены концепцией эквивалентности массы и энергии .

Математически утверждение общей теории относительности о сохранении энергии-импульса выглядит следующим образом:

${T_{a}}^{b}{}_{;b}={T_{a}}^{b}{}_{,b}+{\Gamma ^{b}}_{cb}\,{T_{a}}^{c}-{\Gamma ^{c}}_{ab}\,{T_{c}}^{b}=0$

где ${T_{a}}^{b}$ – тензор энергии-напряжения , запятая указывает на частную производную, а точка с запятой указывает на ковариантную производную . Члены, включающие символы Кристоффеля, отсутствуют в утверждении специальной теории относительности о сохранении энергии-импульса.

В отличие от классической механики и специальной теории относительности, в общей теории относительности обычно невозможно однозначно определить полную энергию и импульс, поэтому тензорные законы сохранения являются лишь локальными утверждениями (см. , однако, энергию ADM ). Это часто вызывает путаницу в зависящих от времени пространствах-временях, которые, очевидно, не сохраняют энергию, хотя локальный закон всегда соблюдается. Точная формулировка закона сохранения энергии-импульса в произвольной геометрии требует использования неединственного псевдотензора напряжения-энергии-импульса .

Электромагнетизм

Основная статья: Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени

Общая теория относительности модифицирует описание электромагнитных явлений , используя новую версию уравнений Максвелла . Они отличаются от специальной формы относительности тем, что символы Кристоффеля присутствуют в уравнениях через ковариантную производную.

Исходные уравнения электродинамики в искривленном пространстве-времени имеют вид (в единицах СГС )

$F^{\,ab}{}_{;b}={4\pi \over c}\,J^{\,a}$

где F ^аб - тензор электромагнитного поля, представляющий электромагнитное поле, а J ^а представляет собой четырехток, представляющий источники электромагнитного поля.

Уравнения без источников такие же, как и их аналоги из специальной теории относительности.

Затем воздействие электромагнитного поля на заряженный объект модифицируется до

$P^{\,a}{}_{\,;\tau }=(q/m)\,F^{\,ab}P_{b}$,

где q — заряд объекта, m — масса покоя объекта и P ^а — четырехимпульс заряженного объекта. Уравнения Максвелла в плоском пространстве-времени восстанавливаются в прямоугольных координатах путем обращения ковариантных производных к частным производным. Об уравнениях Максвелла в плоском пространстве-времени в криволинейных координатах см. [1] или [2]