парадокс Даламбера

Жан ле Рон д’Аламбер (1717–1783)

Из экспериментов известно, что всегда, за исключением случая сверхтекучести , существует сила сопротивления тела, находящегося в стационарном потоке жидкости. На рисунке показан коэффициент сопротивления C _d сферы в зависимости от числа Рейнольдса Re , полученный в результате лабораторных экспериментов. Темная линия соответствует сфере с гладкой поверхностью, а более светлая — с шероховатой поверхностью. Цифры вдоль линии указывают на несколько режимов течения и связанные с ними изменения коэффициента сопротивления:
•2: присоединенный поток ( стоксовский поток ) и устойчивый отрывной поток ,
•3: отрывной нестационарный поток, имеющий ламинарный пограничный слой перед отрывом и образующий вихревую дорожку ,
за сферой •4: отрывной нестационарный поток с ламинарным пограничным слоем на входной стороне, до отрыва потока, с хаотичным турбулентным следом ,
•5: послекритическое отрывное течение с турбулентным пограничным слоем.

В гидродинамике ) — парадокс , парадокс Даламбера (или гидродинамический парадокс открытый в 1752 году французским математиком Жаном ле Рондом Даламбером . Даламбер доказал, что для несжимаемого и невязкого потенциального потока сила сопротивления равна нулю для тела, движущегося с постоянной скоростью относительно жидкости . Нулевое сопротивление прямо противоречит наблюдению значительного сопротивления тел, движущихся относительно жидкостей, таких как воздух и вода; особенно при высоких скоростях, соответствующих высоким числам Рейнольдса . Это частный пример парадокса обратимости .

Даламбер, работая над премиальной задачей Берлинской академии 1749 года о сопротивлении потока, пришел к выводу: «Мне кажется, что теория (потенциального течения), развитая со всей возможной строгостью, дает, по крайней мере в нескольких случаях, строго исчезающую сопротивление, исключительный парадокс, который я оставляю будущим геометрам [т.е. математикам - в то время эти два термина использовались как синонимы] для объяснения» . Физический парадокс указывает на недостатки теории.

Таким образом, механика жидкости была дискредитирована инженерами с самого начала, что привело к неудачному расколу – между областью гидравлики , наблюдающей явления, которые не могли быть объяснены, и теоретической механикой жидкости, объясняющей явления, которые невозможно было наблюдать – по словам химии. Нобелевский лауреат сэр Сирил Хиншелвуд .

По мнению ученых , возникновение парадокса связано с пренебрежением эффектом вязкости . В сочетании с научными экспериментами в XIX веке были достигнуты огромные успехи в теории трения вязкой жидкости. Что касается парадокса, то это привело к открытию и описанию тонких пограничных слоев Людвигом Прандтлем в 1904 году. Даже при очень высоких числах Рейнольдса тонкие пограничные слои остаются в результате действия вязких сил. Эти силы вязкости вызывают сопротивление трения обтекаемых объектов, а для необтекаемых тел дополнительным результатом является отрыв потока низкого давления и след за объектом, что приводит к образованию сопротивления .

Общее мнение в сообществе механиков жидкости таково, что с практической точки зрения парадокс решается в соответствии с принципами, предложенными Прандтлем. Формальное математическое доказательство отсутствует, и его трудно предоставить, как и во многих других задачах о движении жидкости, включающих уравнения Навье – Стокса (которые используются для описания вязкого течения).

Вязкое трение: Сен-Венан, Навье и Стокса.

Первые шаги к решению парадокса сделал Сен-Венан , моделировавший трение вязкой жидкости. Сен-Венан утверждает в 1847 году:

«Но другой результат будет, если вместо идеальной жидкости — предмета расчетов геометров прошлого века — использовать реальную жидкость, состоящую из конечного числа молекул и оказывающую в своем состоянии движения неравные силы давления или силы, имеющие компоненты, касательные к поверхностным элементам, через которые они действуют; компоненты, которые мы называем трением жидкости, имя, которое им давали со времен Декарта и Ньютона до Вентури».

Вскоре после этого, в 1851 году, Стоукс рассчитал сопротивление сферы в потоке Стокса , известном как закон Стокса . Поток Стокса представляет собой нижний предел числа Рейнольдса уравнений Навье – Стокса, описывающих движение вязкой жидкости.

Однако, когда задача потока приводится в безразмерную форму , вязкие уравнения Навье-Стокса сходятся при увеличении числа Рейнольдса к невязким уравнениям Эйлера , предполагая, что поток должен сходиться к невязким решениям потенциальной теории потока - имеющим нулевое значение. сопротивление парадокса Даламбера. Об этом не свидетельствуют экспериментальные измерения сопротивления и визуализация потока. Во второй половине XIX века это снова подняло вопросы о применимости механики жидкости.

Невязкое отрывное течение: Кирхгоф и Рэлей

Устойчивое и разделенное потенциальное обтекание пластины несжимаемой жидкостью в двух измерениях. с постоянным давлением вдоль двух свободных линий тока, отделяющихся от краев пластины.

Во второй половине XIX века акцент снова сместился в сторону использования теории невязкого течения для описания сопротивления жидкости, предполагая, что вязкость становится менее важной при высоких числах Рейнольдса. Модель, предложенная Кирхгофом и Рэлей был основан на теории свободного потока Гельмгольца. и состоит из устойчивого следа за телом. Допущения, применяемые к области следа, включают: скорость потока, равную скорости тела, и постоянное давление. Эта область следа отделена от потенциального течения вне тела и следа вихревыми полосами с прерывистыми скачками тангенциальной скорости на границе раздела. Чтобы сопротивление тела было ненулевым, область следа должна простираться до бесконечности. Это условие действительно выполняется для течения Кирхгофа, перпендикулярного пластине. Теория правильно утверждает, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости . В первом случае теорию можно было применить только к потокам, разделяющимся на острых краях. расширил его Позднее, в 1907 г., Леви-Чивита на потоки, отделяющиеся от гладкой изогнутой границы.

Было легко известно, что такие стационарные течения неустойчивы, поскольку вихревые листы развивают так называемые неустойчивости Кельвина-Гельмгольца . Но эта модель установившегося потока изучалась дальше в надежде, что она все же сможет дать разумную оценку сопротивления. Рэлей спрашивает : «... влияет ли это обстоятельство существенно на расчеты сопротивления, поскольку испытываемое давление должно быть почти независимым от того, что происходит на некотором расстоянии позади препятствия, где нестабильность впервые начнет проявляться».

Однако против этого подхода возникли принципиальные возражения: Кельвин заметил, что если пластина движется с постоянной скоростью через жидкость (находясь в состоянии покоя вдали от пластины, за исключением следа), скорость в следе равна скорости пластины. Бесконечная протяженность следа, расширяющаяся по мере удаления от пластины, как это следует из теории, приводит к бесконечной кинетической энергии следа, которую необходимо отвергнуть по физическим соображениям. Более того, наблюдаемая разница давлений между передней и задней частью пластины и возникающие в результате силы сопротивления намного больше, чем прогнозировалось: для плоской пластины, перпендикулярной потоку, прогнозируемый коэффициент сопротивления составляет C _D =0,88, тогда как в экспериментах C _D =2,0 найден. В основном это происходит из-за разсасывания со стороны следа пластины, вызванного нестационарным потоком в реальном следе (в отличие от теории, которая предполагает постоянную скорость потока, равную скорости пластины).

Таким образом, эта теория признана неудовлетворительной для объяснения сопротивления тела, движущегося в жидкости. Хотя его можно применить и к так называемым полостным течениям , где вместо следа, заполненного жидкостью, предполагается, что за телом существует вакуумная полость.

Тонкие пограничные слои: Прандтль

Распределение давления при обтекании круглого цилиндра. Пунктирная синяя линия — это распределение давления согласно теории потенциального потока , что приводит к парадоксу Даламбера. Сплошная синяя линия — это распределение среднего давления, полученное в экспериментах при высоких числах Рейнольдса . Давление — это радиальное расстояние от поверхности цилиндра; положительное давление (избыточное давление) находится внутри цилиндра, ближе к центру, а отрицательное давление (пониженное давление) создается снаружи цилиндра.

Немецкий физик Людвиг Прандтль в 1904 году предположил, что воздействие тонкого вязкого пограничного слоя , возможно, может быть источником значительного сопротивления. Прандтль выдвинул идею, что при больших скоростях и больших числах Рейнольдса граничное условие прилипания вызывает сильное изменение скоростей потока в тонком слое у стенки тела. Это приводит к генерации завихренности и вязкой диссипации кинетической энергии в пограничном слое. Диссипация энергии, отсутствующая в невязких теориях, приводит для необтекаемых тел к отрыву потока. Низкое давление в области следа вызывает сопротивление формы , которое может быть больше, чем сопротивление трения из-за вязкого напряжения сдвига на стенке.

Доказательства того, что сценарий Прандтля реализуется для обтекаемых тел в потоках с большими числами Рейнольдса, можно увидеть в импульсивно начавшихся обтеканиях цилиндра. Первоначально течение напоминает потенциальное течение, после чего вблизи задней критической точки течение разделяется . После этого точки отрыва перемещаются вверх по потоку, в результате чего образуется область низкого давления отрывного потока.

Прандтль выдвинул гипотезу о том, что вязкие эффекты важны в тонких слоях, называемых пограничными слоями, прилегающих к твердым границам, и что вязкость не имеет значения снаружи. Толщина пограничного слоя уменьшается с уменьшением вязкости. Полная задача вязкого течения, описываемая нелинейными уравнениями Навье – Стокса , вообще не разрешима математически. Однако, используя свою гипотезу (и подкрепленную экспериментами), Прандтль смог вывести приближенную модель течения внутри пограничного слоя, названную теорией пограничного слоя ; в то время как течение вне пограничного слоя можно рассматривать с помощью теории невязкого течения . Теория пограничного слоя допускает использование метода согласованных асимптотических разложений для получения приближенных решений. В простейшем случае плоской пластины, параллельной набегающему потоку, теория пограничного слоя приводит к сопротивлению (трению), тогда как все теории невязкого потока предсказывают нулевое сопротивление. Что важно для аэронавтики , теория Прандтля может быть применена непосредственно к обтекаемым телам, таким как Профили , где помимо сопротивления трения о поверхность имеется еще и сопротивление формы. Сопротивление формы обусловлено влиянием пограничного слоя и тонкого следа на распределение давления вокруг профиля.

Открытые вопросы

Чтобы проверить, как предположил Прандтль, что исчезающе малая причина (исчезающе малая вязкость при увеличении числа Рейнольдса) приводит к большому эффекту – существенному сопротивлению – может быть очень сложно.

Математик Гаррет Биркгоф в первой главе своей книги «Гидродинамика» 1950 года: обращается к ряду парадоксов механики жидкости (включая парадокс Даламбера) и выражает явное сомнение в их официальных резолюциях:

« Более того, я думаю, что приписывать их все пренебрежению вязкостью — это неоправданное упрощение. Корень лежит глубже, в отсутствии именно той строгости дедукции, важность которой так часто преуменьшают физики и инженеры » .

В частности, о парадоксе Даламбера он рассматривает еще один возможный путь к созданию сопротивления: неустойчивость потенциальных решений потоков уравнений Эйлера . Биркгоф утверждает:

В любом случае из предыдущих параграфов становится ясно, что теория невязких течений неполна. Действительно, рассуждения, ведущие к понятию «стационарного течения», неубедительны; нет строгого обоснования исключения времени как Таким образом, хотя потоки Дирихле (потенциальные решения) и другие устойчивые потоки математически возможны, нет оснований предполагать, что любой установившийся поток является устойчивым » .

В своем обзоре 1951 г. В книге Биркгофа математик Джеймс Дж. Стокер резко критикует первую главу книги:

Рецензенту было трудно понять, для какого класса читателей написана первая глава. Для читателей, знакомых с гидродинамикой, большинство случаев, приводимых как парадоксы, относятся либо к разряду давно исправленных ошибок, либо к разряду давно исправленных ошибок. расхождения между теорией и экспериментами, причины которых также хорошо понятны, с другой стороны, непосвященный, скорее всего, получит от чтения этой главы неверные представления о некоторых важных и полезных достижениях гидродинамики » .

Биркгофа Во втором и исправленном издании «Гидродинамики» 1960 года два приведенных выше утверждения больше не появляются.

Важность и полезность достижений, достигнутых в области парадокса Даламбера, рассмотрены Китом Стюартсоном тридцать лет спустя. Его длинная обзорная статья 1981 года начинается так:

« Поскольку классическая теория невязкой жидкости приводит к явно абсурдному выводу, что сопротивление, испытываемое твердым телом, движущимся в жидкости с равномерной скоростью, равно нулю, в течение последних ста лет были предприняты большие усилия, чтобы предложить альтернативные теории и объяснить, как Тем не менее, исчезающе малая сила трения в жидкости может оказывать существенное влияние на свойства потока. Используемые методы представляют собой сочетание экспериментального наблюдения, вычислений, часто в очень больших масштабах, и анализа структуры асимптотической формы решения. трение стремится к нулю. Эта трехсторонняя атака достигла значительных успехов, особенно за последние десять лет, так что теперь парадокс можно считать в значительной степени решенным » .

Разрешение многих парадоксов в физике часто заключается в выходе за рамки существующей теории. В случае парадокса Даламбера основной механизм его разрешения был предложен Прандтлем посредством открытия и моделирования тонких вязких пограничных слоев , которые не исчезают при высоких числах Рейнольдса .

Доказательство нулевого сопротивления в устойчивом потенциальном потоке

Линии тока для потенциального обтекания круглого цилиндра равномерным натеканием.

Потенциальный поток

Три основных предположения при выводе парадокса Даламбера заключаются в том, что поток несжимаем установившийся , невязок и безвихрен . Невязкая жидкость описывается уравнениями Эйлера , которые вместе с двумя другими условиями читают

${\begin{aligned}&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(incompressibility)}}\\&{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(irrotational)}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {u}}+\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p&&{\text{(Euler equation)}}\end{aligned}}$

где u обозначает скорость потока жидкости, p , — давление ρ — , плотность а ∇ — оператор градиента .

У нас есть второй член в уравнении Эйлера как:

$\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)-{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)\qquad (1)$

где первое равенство представляет собой тождество векторного исчисления , а второе равенство использует безвихревой поток. Более того, для любого безвихревого потока существует потенциал скорости φ такой, что u = ∇ φ . Подставляя все это в уравнение сохранения импульса, получаем

${\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac {p}{\rho }}\right)={\boldsymbol {0}}.$

Таким образом, величина в скобках должна быть постоянной (любую t -зависимость можно устранить, переопределив φ ). Если предположить, что жидкость покоится на бесконечности и что давление там равно нулю, эта константа равна нулю, и, следовательно,

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac {p}{\rho }}=0,\qquad (2)$

которое представляет собой уравнение Бернулли для нестационарного потенциального потока.

Нулевое сопротивление

Предположим теперь, что тело движется с постоянной скоростью v через жидкость, покоящуюся на бесконечно большом расстоянии. Тогда поле скорости жидкости должно следовать за телом, поэтому оно имеет форму u ( x , t ) = u ( x − v t , 0) , где x — вектор пространственных координат, и таким образом: $${\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\left({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.$$ Поскольку u = ∇ φ , это можно проинтегрировать по x : $${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\varphi +R(t)=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}+R(t).$$

Сила F , которую жидкость оказывает на тело, определяется поверхностным интегралом $${\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S$$ где A обозначает поверхность тела, а n - вектор нормали к поверхности тела. Но из (2) следует, что $$p=-\rho \left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)=\rho \left({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-R(t)\right),$$ таким образом $${\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S=\rho \int _{A}\left({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right){\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S,$$ при этом вклад R ( t ) в интеграл равен нулю.

На этом этапе становится удобнее работать с компонентами вектора . k - я компонента этого уравнения имеет вид $$F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}({\tfrac {1}{2}}u_{i}^{2}-u_{i}v_{i})n_{k}\,\mathrm {d} S.\qquad (3)$$

Пусть V — объем, занимаемый жидкостью. Теорема о дивергенции утверждает, что $${\frac {1}{2}}\int _{A}\sum _{i}u_{i}^{2}n_{k}\,\mathrm {d} S=-{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V.$$ Правая часть представляет собой интеграл по бесконечному объему, поэтому это требует некоторого обоснования, которое можно дать, обратившись к теории потенциала и показав, что скорость u должна падать как r ⁻³ – соответствующее дипольному потенциальному полю в случае трехмерного тела конечной протяженности – где r – расстояние до центра тела. Подынтегральное выражение в объемном интеграле можно переписать следующим образом: $${\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)=\sum _{i}u_{i}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}$$ где сначала используется равенство (1), а затем несжимаемость потока. Подставим это обратно в объемный интеграл и еще раз применим теорему о дивергенции. Это дает $$-{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V=-\int _{V}\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=\int _{A}u_{k}\sum _{i}u_{i}n_{i}\,\mathrm {d} S.$$ Подставив это в (3), находим, что $$F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}u_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.$$ Жидкость не может проникнуть в тело и, следовательно, n · u = n · v на поверхности тела. Так ${\textstyle \sum _{i}n_{i}\,v_{i}=\sum _{i}n_{i}\,u_{i}}$ и $$F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}v_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.$$ Наконец, сопротивление — это сила, действующая в направлении движения тела, поэтому ${\textstyle v\cdot F=\sum _{k}v_{k}F_{k}=0.}$ Следовательно, сопротивление исчезает. Это парадокс Даламбера.

Ссылки

Исторический

• Даламбер, Жан ле Рон (1752), Проверка новой теории сопротивления жидкостей
• д'Аламбер, Жан ле Рон (1768), «Мемуары XXXIV», Opuscules Mathématiques , vol. 5 (§I изд.), стр. 132–138
• Прандтль, Людвиг (1904), Движение жидкостей с очень малой вязкостью (PDF) , том. 452, Технический меморандум NACA

Дальнейшее чтение

• Бэтчелор, Г. (2000), Введение в гидродинамику , Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-66396-0 , МР   1744638
• Фалькович, Г. (2011), Механика жидкости, краткий курс для физиков , Cambridge University Press, ISBN  978-1-107-00575-4
• Гримберг, Г.; Паулс, В.; Фриш, У. (2008), «Происхождение парадокса Даламбера и аналитическая разработка проблемы сопротивления», Physica D , 237 (14–17): 1878–1886, arXiv : 0801.3014 , Bibcode : 2008PhyD..237.1878G , doi : 10.1016/j.physd.2008.01.015 , S2CID   15979390
• Ландау, LD ; Лифшиц Э.М. (1987), Механика жидкости , Курс теоретической физики , вып. 6 (2-е изд.), Pergamon Press , ISBN  978-0-08-009104-4
• Стюартсон, К. (1981), «Парадокс Даламбера», SIAM Review , 23 (3): 308–343, doi : 10.1137/1023063

Внешние ссылки

• Потенциальный поток и парадокс Даламбера на MathPages