Метод систем квантованного состояния

систем квантованного состояния ( QSS ) Методы представляют собой семейство решателей численного интегрирования, основанных на идее квантования состояния, двойственной традиционной идее дискретизации по времени.В отличие от традиционных методов численного решения , которые подходят к проблеме путем дискретизации времени и поиска следующего (действительного) состояния на каждом последовательном временном шаге, методы QSS сохраняют время как непрерывную сущность и вместо этого квантуют состояние системы, вместо этого решая время . при котором состояние отклоняется от своего квантованного значения на квант .

Они также могут иметь множество преимуществ по сравнению с классическими алгоритмами. Они по своей сути позволяют моделировать разрывы в системе благодаря своей дискретно-событийной и асинхронной природе. Они также позволяют явно находить корень и обнаруживать переходы через нуль с использованием явных алгоритмов, избегая необходимости итераций — факт, который особенно важен в случае жестких систем, где традиционные методы временного шага требуют больших вычислительных затрат. из-за необходимости неявно найти следующее состояние системы. Наконец, методы QSS удовлетворяют замечательным ограничениям глобальной устойчивости и ошибок, описанным ниже, которым не удовлетворяют классические методы решения.

Таким образом, по своей природе методы QSS аккуратно моделируются формализмом DEVS , с дискретными событиями моделью вычислений , в отличие от традиционных методов, которые формируют дискретного времени модели системы с непрерывным временем . Поэтому они были реализованы в [PowerDEVS] — механизме моделирования для таких систем дискретных событий.

Теоретические свойства

В 2001 году Эрнесто Кофман доказал замечательное свойство метода моделирования системы с квантованным состоянием: а именно, что когда этот метод используется для решения стабильной линейной нестационарной (LTI) системы , глобальная ошибка ограничена константой, которая пропорциональна кванту, но ( что особенно важно) независимо от продолжительности моделирования. Точнее, для устойчивой многомерной LTI-системы с матрицей перехода состояний $A$ и входная матрица $B$, в [CK06] было показано, что вектор абсолютной ошибки ${\vec {e}}(t)$ ограничено сверху

$\left|{\vec {e}}(t)\right|\leq \left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}\Lambda \right|\ \left|V^{-1}\right|\ \Delta {\vec {Q}}+\left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}V^{-1}B\right|\ \Delta {\vec {u}}$

где $\Delta {\vec {Q}}$ – вектор квантов состояния, $\Delta {\vec {u}}$ – вектор с квантами, принятыми во входных сигналах, $V\Lambda V^{-1}=A$ является собственным разложением или жордановой канонической формой $A$, и $\left|\,\cdot \,\right|$ обозначает поэлементный оператор абсолютного значения (не путать с определителем или нормой ).

Стоит отметить, что за эту замечательную оценку ошибки приходится платить: глобальная ошибка для стабильной системы LTI также в некотором смысле ограничена снизу самим квантом, по крайней мере, для метода QSS1 первого порядка. Это связано с тем, что, если приближение не совпадает точно с правильным значением (событие, которое почти наверняка не произойдет), оно будет просто продолжать колебаться вокруг равновесия, поскольку состояние всегда (по определению) гарантированно изменится ровно на единицу. квант вне равновесия. Чтобы избежать этого условия, потребуется найти надежный метод динамического снижения кванта способом, аналогичным методам адаптивного размера шага в традиционных алгоритмах моделирования с дискретным временем.

Метод QSS первого порядка – QSS1

Пусть задача начального значения задана следующим образом.

${\dot {x}}(t)=f(x(t),t),\quad x(t_{0})=x_{0}.$

Метод QSS первого порядка, известный как QSS1, аппроксимирует описанную выше систему

${\dot {x}}(t)=f(q(t),t),\quad q(t_{0})=x_{0}.$

где $x$ и $q$ связаны гистерезисной функцией квантования

$q(t)={\begin{cases}x(t)&{\text{if }}\left|x(t)-q(t^{-})\right|\geq \Delta Q\\q(t^{-})&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

где $\Delta Q$ называется квантом . Обратите внимание, что эта функция квантования является гистерезисной, поскольку у нее есть память : ее выходные данные не только являются функцией текущего состояния. $x(t)$, но это также зависит от его старого значения, $q(t^{-})$.

Таким образом, эта формулировка аппроксимирует состояние кусочно-постоянной функцией: $q(t)$, который обновляет свое значение, как только состояние отклоняется от этого приближения на один квант.

Многомерная формулировка этой системы почти такая же , как одномерная формулировка, приведенная выше: $k^{\text{th}}$ квантованное состояние $q_{k}(t)$ является функцией соответствующего состояния, $x_{k}(t)$и вектор состояния ${\vec {x}}(t)$ является функцией всего квантованного вектора состояния, ${\vec {q}}(t)$:

${\vec {x}}(t)=f({\vec {q}}(t),t)$

Методы QSS высокого порядка – QSS2 и QSS3

Метод QSS второго порядка, QSS2, следует тому же принципу, что и QSS1, за исключением того, что он определяет $q(t)$ как кусочно-линейная аппроксимация траектории $x(t)$ который обновляет свою траекторию, как только они отличаются друг от друга на один квант.Картина сохраняется для аппроксимаций более высокого порядка, которые определяют квантованное состояние. $q(t)$ как последовательные полиномиальные аппроксимации состояния системы более высокого порядка.

Важно отметить, что, хотя в принципе метод QSS произвольного порядка может использоваться для моделирования системы с непрерывным временем, редко желательно использовать методы порядка выше четырех, поскольку теорема Абеля-Руффини подразумевает, что время следующего квантования, $t$, не может (вообще) быть явно решено для алгебраически, когда полиномиальная аппроксимация имеет степень больше четырех, и, следовательно, должна быть аппроксимирована итеративно с использованием алгоритма поиска корня . На практике QSS2 или QSS3 оказывается достаточным для решения многих задач, а использование методов более высокого порядка практически не дает дополнительных преимуществ.

Программная реализация

Методы QSS могут быть реализованы как система дискретных событий и смоделированы в любом симуляторе DEVS .

Методы QSS составляют основной численный решатель для программного обеспечения PowerDEVS [BK011] .Они также были реализованы в виде отдельной версии.

Ссылки

• [CK06] Франсуа Э. Селье и Эрнесто Кофман (2006). Непрерывное системное моделирование (первое изд.). Спрингер. ISBN  978-0-387-26102-7 .
• [БК11] Бергеро, Федерико и Кофман, Эрнесто (2011). «PowerDEVS: инструмент для моделирования гибридных систем и моделирования в реальном времени» (первое изд.). Международное общество компьютерного моделирования, Сан-Диего.

Внешние ссылки

• Автономная реализация методов QSS
• PowerDEVS в SourceForge