Основы арифметики

Основы арифметики
	Титульный лист оригинального издания 1884 года.
Автор	Слава Богу, Фреге
Оригинальное название	Основы арифметики. Логико-математическое исследование понятия числа.
Переводчик	Джей Эл Остин
Язык	немецкий
Предмет	Философия математики
Опубликовано	1884
Место публикации	Германия
Страницы	119 (оригинальный немецкий)
ISBN	0810106051
ОКЛК	650

«Основы арифметики» ( нем . Die Grundlagen der Arithmetik ) — книга Готлоба Фреге , опубликованная в 1884 году, в которой исследуются философские основы арифметики . Фреге опровергает другие идеалистические и материалистические теории числа и развивает собственную платонистскую теорию чисел. Grundlagen области также помог мотивировать более поздние работы Фреге в логицизма .

Книга также сыграла важную роль в философии языка . Майкл Даммит прослеживает лингвистический поворот Фреге в Grundlagen и его контекстном принципе .

Книга не получила одобрения и на момент публикации не была широко прочитана. Однако это привлекло внимание Бертрана Рассела и Людвига Витгенштейна , на которых оба сильно повлияли философия Фреге. Английский перевод был опубликован (Оксфорд, 1950) Дж. Л. Остином , второе издание вышло в 1960 году. ^[1]

Лингвистический поворот

Готтлоб Фреге, Введение в основы арифметики (1884/1980)

В последующем исследовании я придерживался трех фундаментальных принципов:

всегда резко отделять психологическое от логического, субъективное от объективного;

никогда не спрашивать значение слова изолированно, а только в контексте предложения

никогда не упускать из виду различие между понятием и объектом.

Чтобы ответить на кантовский вопрос о числах : «Как нам даны числа, если мы не имеем о них ни идеи, ни интуиции?» Фреге ссылается на свой « принцип контекста », изложенный в начале книги, согласно которому слова имеют значение только в контексте предложения, и, таким образом, находит решение в определении «смысла предложения, в котором встречается числовое слово». ." Таким образом, онтологическая и эпистемологическая проблема, традиционно решаемая в идеалистическом ключе, вместо этого решается в лингвистическом направлении.

Критика предшественников

Психологические аспекты математики

Фреге возражает против любого объяснения математики, основанного на психологизме , то есть точки зрения, согласно которой математика и числа соотносятся с субъективными мыслями людей, которые о них думают. Согласно Фреге, психологические теории апеллируют к тому, что субъективно, в то время как математика чисто объективна : математика полностью независима от человеческого мышления. Математические сущности, по мнению Фреге, обладают объективными свойствами независимо от того, думают ли о них люди: невозможно думать о математических утверждениях как о чем-то, что естественным образом развилось в ходе человеческой истории и эволюции . Он видит фундаментальное различие между логикой (и ее продолжением, по мнению Фреге, математикой) и психологией. Логика объясняет необходимые факты, тогда как психология изучает определенные мыслительные процессы в индивидуальном сознании. ^[2] Идеи являются частными, поэтому идеализм в отношении математики подразумевает, что существуют «мои двойки» и «твои двойки», а не просто число два.

Кант

Фреге высоко ценит творчество Иммануила Канта . Однако он критикует его главным образом на том основании, что числовые утверждения являются не синтетическими — априорными , а скорее аналитическими — априорными. ^[3]Кант утверждает, что 7+5=12 — недоказуемое синтетическое утверждение. ^[4] Сколько бы мы ни анализировали идею 7+5, мы не найдем там идеи 12. К идее 12 мы должны прийти путем применения к объектам в интуиции. Кант указывает, что это становится тем более ясным при увеличении числа. Именно по этому вопросу Фреге рассуждает в противоположном направлении. Кант ошибочно полагает, что в предложениях, содержащих «большие» числа, мы должны подсчитывать точки или что-то в этом роде, чтобы утверждать их истинностное значение . Фреге утверждает, что, даже не имея какого-либо интуитивного представления о числах в следующем уравнении: 654 768 + 436 382 = 1 091 150, мы, тем не менее, можем утверждать, что это правда. Это приводится в качестве доказательства того, что такое предложение является аналитическим. Хотя Фреге согласен с тем, что геометрия действительно является синтетической априори, арифметика должна быть аналитической. ^[5]

Мельница

Фреге резко критикует эмпиризм Джона Стюарта Милля . ^[6]^[7] Он утверждает, что идея Милля о том, что числа соответствуют различным способам разделения коллекций объектов на подколлекции, несовместима с уверенностью в вычислениях, включающих большие числа. ^[8]^[9] Далее он шутит: «Слава богу, все не приколочено!» Фреге также отрицает, что философия Милля адекватно рассматривает концепцию нуля . ^[10]

Далее он утверждает, что операцию сложения нельзя понимать как относящуюся к физическим величинам, и что путаница Милля в этом вопросе является симптомом более широкой проблемы, заключающейся в смешении приложений арифметики с самой арифметикой.

Фреге на примере колоды карт показывает, что числа не присущи объектам. Спрашивать «сколько» — это нонсенс без дальнейшего уточнения карт, мастей или чего-то еще, показывающего, что числа относятся к понятиям, а не к объектам.

Проблема Юлия Цезаря

Книга содержит знаменитую антиструктуралистскую проблему Юлия Цезаря Фреге . Фреге утверждает, что правильная математическая теория могла бы объяснить, почему Юлий Цезарь не является числом. ^[11]^[12]

Развитие собственного взгляда Фреге на число

Фреге проводит различие между конкретными числовыми утверждениями, такими как 1+1=2, и общими утверждениями, такими как a+b=b+a. Последние утверждения так же справедливы для чисел, как и первые. Поэтому необходимо задаться вопросом об определении самого понятия числа. Фреге исследует возможность того, что число определяется внешними вещами. Он демонстрирует, как числа функционируют в естественном языке так же, как прилагательные. «В этом столе 5 ящиков» по форме похоже на «В этом столе зеленые ящики». То, что ящики зеленые, — это объективный факт, укорененный во внешнем мире. Но в случае с числом 5 дело обстоит иначе. Фреге утверждает, что каждый ящик имеет свой зеленый цвет, но не каждый ящик имеет число 5. ^[13]Фреге призывает нас помнить, что из этого не следует, что числа могут быть субъективными. Действительно, числа похожи на цвета, по крайней мере, в том, что оба они полностью объективны. Фреге говорит нам, что мы можем преобразовать числовые утверждения, в которых числовые слова встречаются в форме прилагательных (например, «есть четыре лошади»), в утверждения, в которых числовые термины появляются в единственном числе («количество лошадей равно четырем»). ^[14] Фреге рекомендует такие переводы, поскольку он считает числа объектами. Бессмысленно спрашивать, подпадают ли какие-либо объекты под число 4. После того как Фреге приводит некоторые основания полагать, что числа являются объектами, он заключает, что высказывания о числах являются утверждениями о понятиях.

Фреге считает это наблюдение фундаментальной мыслью Грундлагена . Например, предложение «количество лошадей в сарае четыре» означает, что под понятие « лошадь в сарае» попадают четыре объекта . Фреге пытается объяснить наше понимание чисел посредством контекстуального определения операции мощности («число...» или $Nx:Fx$ ). Он пытается сконструировать содержание суждения, включающего числовое тождество, опираясь на принцип Юма (который гласит, что количество F равно количеству G тогда и только тогда, когда F и G равночисленны , т.е. находятся в соответствии один-один). ^[15] Он отвергает это определение, поскольку оно не фиксирует истинностное значение утверждений тождества, когда единичный термин, не имеющий формы «число F», окружает знак тождества. Фреге далее дает четкое определение числа в терминах расширения понятий, но выражает некоторые колебания.

Определение числа по Фреге

Фреге утверждает, что числа являются объектами и что-то утверждают о концепции. Фреге определяет числа как расширения понятий. «Число F» определяется как расширение понятия G — это понятие, равнозначное F. Рассматриваемое понятие приводит к классу эквивалентности всех понятий, имеющих число F (включая F). Фреге определяет 0 как расширение несамоидентичного понятия . Итак, число этого понятия есть расширение понятия всех понятий, под которые не подпадают никакие предметы. Число 1 — это продолжение идентичности с 0. ^[16]

Наследие

Книга сыграла фундаментальную роль в развитии двух основных дисциплин: основ математики и философии. Хотя позже Бертран Рассел обнаружил серьезный недостаток в Основном законе V Фреге (этот недостаток известен как парадокс Рассела , который разрешается аксиоматической теорией множеств ), книга оказала влияние на последующие разработки, такие как Principia Mathematica . Книгу также можно считать отправной точкой аналитической философии , поскольку она вращается в основном вокруг анализа языка с целью прояснения понятия числа. Взгляды Фреге на математику также являются отправной точкой для философии математики , поскольку они вводят новаторский подход к эпистемологии чисел и математики в целом, известный как логицизм.

Издания

Фреге, «Хвала Богу» (1884). Основы арифметики. Логико-математическое исследование понятия числа . Бреслау: Издательство Вильгельма Кебнера.
Фреге, Готтлоб (1960). Основы арифметики: логико-математическое исследование понятия числа . Перевод Остина Дж.Л. (2-е изд.). Эванстон, Иллинойс : Издательство Северо-Западного университета. ISBN 0810106051 . ОСЛК 650 .

См. также

Ссылки

^ Вопрос 1960 года .
^ Вопрос 1884 г. , §27.
^ Фреге 1884 , §12: «Но интуиция в этом [кантовском] смысле не может служить основой нашего знания законов арифметики».
^ Фреге 1884 , §5: «Кант объявляет [такие утверждения, как 2 + 3 = 5] недоказуемыми и синтетическими, но не решается называть их аксиомами, потому что они не являются общими и потому что число их бесконечно. Ганкель справедливо называет это представление о бесконечно многочисленных недоказуемых примитивных истинах, нелепых и парадоксальных».
^ Фреге 1884 , §14: «Тот факт, что [отрицание постулата параллельности ] возможно, показывает, что аксиомы геометрии независимы друг от друга и от примитивных законов логики и, следовательно, являются синтетическими. Можно ли сказать то же самое о фундаментальные положения науки о числах. Здесь стоит только попытаться отрицать какое-либо из них, и наступает полная путаница».
^ Вопрос 1960 , с. 9-12.
^ Шапиро 2000 , с. Фреге 96: « Основы арифметики содержат постоянные и резкие нападки на понимание арифметики Милля»
^ Фреге 1960 , с. 10: «Если бы определение каждого отдельного числа действительно утверждало особый физический факт, то мы никогда не смогли бы в достаточной степени восхищаться его знанием природы человеком, который считает девятизначные числа».
^ Шапиро 2000 , с. 98: «Фреге также обвиняет Милля в том, что касается больших чисел».
^ Фреге 1960 , с. 11: «[...] число 0 было бы загадкой; поскольку до сих пор никто, насколько я понимаю, никогда не видел и не прикасался к 0 камушкам».
^ с. 68
^ Грейманн, Дирк. «Что такое проблема Юлия Цезаря Фреге?» Диалектика , т. 57, нет. 3, 2003, стр. 261–78. JSTOR , http://www.jstor.org/stable/42971497. По состоянию на 25 апреля 2024 г.
^ Фреге 1884 , §22: «Разве мы не говорим в совершенно разных смыслах о дереве, имеющем 1000 листьев, а затем о дереве, имеющем зеленые листья? Зеленый цвет мы приписываем каждому отдельному листу, но не числу 1000».
^ Фреге 1884 , §57: «Например, предложение «У Юпитера четыре спутника» можно преобразовать в «число спутников Юпитера равно четырем»»
^ Фреге 1884 , §63: «Юм давно выразил такое средство:« Когда два числа объединены таким образом, что одно всегда имеет единицу, соответствующую каждой единице другого, мы объявляем их равными »»
^ Булос 1998 , с. 154: «Фреге определяет 0 как номер понятия: быть несамоидентичным . Поскольку все самотождественно, ни один объект не подпадает под это понятие. Фреге определяет 1 как номер понятия, тождественного числу ноль . Только 0 и 0 подпадают под эту последнюю концепцию».

Источники

Булос, Джордж (1998). «Глава 9: Готтлоб Фреге и основы арифметики». Логика, логика и логика . Под редакцией Ричарда К. Джеффри, введение Джона П. Берджесса. Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 9780674537675 . ОСЛК 37509971 .
Шапиро, Стюарт (2000). Размышление о математике: философия математики . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 95–98 . ISBN 9780192893062 . OCLC 43864339 .

Внешние ссылки

Фреге, Готтлоб (1960). Основы арифметики
Основы арифметики в Project Gutenberg - бесплатное полнотекстовое издание на немецком языке.
Основы арифметики на archive.org - бесплатное полнотекстовое издание на немецком языке (книга из коллекции Гарвардского университета)
Основы арифметики на archive.org - бесплатное полнотекстовое издание на немецком языке (книга из коллекции Оксфордского университета)
Залта, Эдвард . «Теорема Фреге и основы арифметики» . Стэнфордская энциклопедия философии .
Нечаев, В.И. (2001) [1994], «Число» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Субер, Питер (2002). «Геометрия и арифметика синтетические» .

[FOOTNOTEFrege1960-1] Вопрос 1960 года .

[FOOTNOTEFrege1884§27-2] Вопрос 1884 г. , §27.

[FOOTNOTEFrege1884§12-3] Фреге 1884 , §12: «Но интуиция в этом [кантовском] смысле не может служить основой нашего знания законов арифметики».

[FOOTNOTEFrege1884§5-4] Фреге 1884 , §5: «Кант объявляет [такие утверждения, как 2 + 3 = 5] недоказуемыми и синтетическими, но не решается называть их аксиомами, потому что они не являются общими и потому что число их бесконечно. Ганкель справедливо называет это представление о бесконечно многочисленных недоказуемых примитивных истинах, нелепых и парадоксальных».

[FOOTNOTEFrege1884§14-5] Фреге 1884 , §14: «Тот факт, что [отрицание постулата параллельности ] возможно, показывает, что аксиомы геометрии независимы друг от друга и от примитивных законов логики и, следовательно, являются синтетическими. Можно ли сказать то же самое о фундаментальные положения науки о числах. Здесь стоит только попытаться отрицать какое-либо из них, и наступает полная путаница».

[FOOTNOTEFrege19609-12-6] Вопрос 1960 , с. 9-12.

[FOOTNOTEShapiro200096-7] Шапиро 2000 , с. Фреге 96: « Основы арифметики содержат постоянные и резкие нападки на понимание арифметики Милля»

[FOOTNOTEFrege196010-8] Фреге 1960 , с. 10: «Если бы определение каждого отдельного числа действительно утверждало особый физический факт, то мы никогда не смогли бы в достаточной степени восхищаться его знанием природы человеком, который считает девятизначные числа».

[FOOTNOTEShapiro200098-9] Шапиро 2000 , с. 98: «Фреге также обвиняет Милля в том, что касается больших чисел».

[FOOTNOTEFrege196011-10] Фреге 1960 , с. 11: «[...] число 0 было бы загадкой; поскольку до сих пор никто, насколько я понимаю, никогда не видел и не прикасался к 0 камушкам».

[11] с. 68

[12] Грейманн, Дирк. «Что такое проблема Юлия Цезаря Фреге?» Диалектика , т. 57, нет. 3, 2003, стр. 261–78. JSTOR , http://www.jstor.org/stable/42971497. По состоянию на 25 апреля 2024 г.

[FOOTNOTEFrege1884§22-13] Фреге 1884 , §22: «Разве мы не говорим в совершенно разных смыслах о дереве, имеющем 1000 листьев, а затем о дереве, имеющем зеленые листья? Зеленый цвет мы приписываем каждому отдельному листу, но не числу 1000».

[FOOTNOTEFrege1884§57-14] Фреге 1884 , §57: «Например, предложение «У Юпитера четыре спутника» можно преобразовать в «число спутников Юпитера равно четырем»»

[FOOTNOTEFrege1884§63-15] Фреге 1884 , §63: «Юм давно выразил такое средство:« Когда два числа объединены таким образом, что одно всегда имеет единицу, соответствующую каждой единице другого, мы объявляем их равными »»

[FOOTNOTEBoolos1998154-16] Булос 1998 , с. 154: «Фреге определяет 0 как номер понятия: быть несамоидентичным . Поскольку все самотождественно, ни один объект не подпадает под это понятие. Фреге определяет 1 как номер понятия, тождественного числу ноль . Только 0 и 0 подпадают под эту последнюю концепцию».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]