Направленная алгебраическая топология

В математике аналогов , направленная алгебраическая топология — это уточнение алгебраической топологии для ориентированных пространств , топологических пространств и их комбинаторных снабженных некоторым понятием направления. Некоторыми распространенными примерами направленных пространств являются пространства-времени и симплициальные множества . Основная цель — найти алгебраические инварианты , которые классифицируют ориентированные пространства с точностью до направленных аналогов гомотопической эквивалентности . Например, гомотопические группы и фундаментальные n -группоиды пространств обобщаются до гомотопических моноидов и фундаментальных n -категорий ориентированных пространств. Направленная алгебраическая топология, как и алгебраическая топология, мотивирована необходимостью описания качественных свойств сложных систем с точки зрения алгебраических свойств пространств состояний, которые часто направляются временем. Таким образом, направленная алгебраическая топология находит приложения в параллелизме (информатике) , управлении сетевым трафиком , общей теории относительности , некоммутативной геометрии , теории переписывания и биологических системах . ^[1]

Направленные пространства

Для формализации понятия направленного пространства было предложено множество математических определений. Э. У. Дейкстра представил простой диалект для работы с семафорами , так называемый «язык PV». ^[2] и предоставить каждой фотоэлектрической программе абстрактную модель: ее «геометрическую семантику». Любая такая модель допускает естественную структуру частично упорядоченного пространства (или поспространства ), т.е. топологию и частичный порядок . ^[3] Точки модели следует рассматривать как состояния программы, а частичный порядок — как отношение «причинности» между состояниями. Следуя этому подходу, направленные пути по модели, т.е. монотонные непрерывные пути, представляют собой следы выполнения программы. Однако с точки зрения информатики полученные pospaces имеют серьезный недостаток. Поскольку частичные порядки по определению антисимметричны, их единственные направленные петли, то есть направленные пути, которые заканчиваются там, где они начинаются, являются постоянными петлями.

Вдохновленные гладкими многообразиями , Л. Файструп, Э. Губо и М. Рауссен используют теоретико - пучковый подход для определения локальных пространств . ^[4] Грубо говоря, локальное поспространство — это топологическое пространство с открытым покрытием , элементы которого наделены частичным порядком. Учитывая два элемента U и V покрытия, требуется, чтобы частичные порядки на U и V совпадали на пересечении . Хотя локальные поспространства допускают направленные циклы, они образуют категорию которой , копределы — когда они существуют — могут вести себя довольно плохо.

Отмечая, что направленные пути (локального) поспространства появляются как побочный продукт (локального) частичного порядка — даже несмотря на то, что они сами содержат большую часть соответствующей информации о направлении — Марко Грандис определяет d-пространства ^[5] как топологические пространства, наделенные набором путей, члены которых называются направленными, так что любой постоянный путь является направленным, конкатенация двух направленных путей по-прежнему является направленным, и любой подпуть направленного пути является направленным. D-пространства допускают непостоянные направленные петли и образуют категорию, обладающую свойствами, аналогичными тем, которыми обладает категория топологических пространств .

Как показал Сандживи Кришнан, недостатков локальных пос-пространств можно избежать, если расширить понятие пос-пространств посредством «ко-пучков». Понятие потока ^[6] определяется так. Точнее, рассматриваются предварительные порядки на открытых подмножествах и требуется, чтобы для любого открытого подмножества U и любого открытого покрытия Ω из U предпорядок, связанный с U , «генерировался» предварительными порядками, связанными с каждым членом Ω. Результирующая категория ведет себя так же хорошо, как и категория d-пространств. Действительно, в обоих случаях можно определить направленную геометрическую реализацию кубического множества (симплициальное множество) так, что лежащее в его основе топологическое пространство является (обычной) геометрической реализацией. На самом деле существует естественное вложение G категории потоков в категорию d-пространств. Это вложение допускает левый сопряженный функтор F . Образы F и G изоморфны F , изоморфизм получается путем ограничения и . G этими изображениями Таким образом, категорию d-пространств можно рассматривать как одну из наиболее общих формализаций интуитивного понятия ориентированного пространства.

Направленные гомотопии между направленными путями

Независимо от типа направленного пространства в рассмотрении (попространства, локальные поспространства, d-пространства или потоки), существует очевидный функтор забывания в категории топологических пространств . Учитывая два направленных пути γ и δ, направленная гомотопия из γ в δ является морфизмом направленных пространств h, основное отображение которого U( h ) является гомотопией – в обычном смысле – между основными путями U(γ) и U(δ). ). В алгебраической топологии существует гомотопия от α до β тогда и только тогда, когда существует гомотопия от β к α. Из-за необратимости это уже не верно для направленных гомотопий. Как следствие, определим сравнение $\sim$ как наименьшее отношение эквивалентности на направленных путях, совместимое с конкатенацией и связывающее γ с δ, как только существует направленная гомотопия из γ в δ. Возвращаясь к мотивации информатики, где направленные пути представляют собой следы выполнения, направленные гомотопии предоставляют способ идентифицировать следы выполнения. Следовательно, учитывая направленное пространство X , которое моделирует некоторую параллельную программу P, топологию X можно рассматривать как «локальные коммутации» действий в программе P. В классических моделях параллелизма, таких как «асинхронные графы» «следов Мазуркевича», локальные коммутации обеспечиваются отношением к стрелкам или действиям.

Основная категория

Фундаментальная категория ориентированного пространства определяется путем имитации конструкции фундаментального группоида. ^[7]^[8] топологического пространства. Точнее, учитывая направленное пространство $X$ мы рассматриваем ( малую ) категорию $DX$ направленных путей над $X$ вплоть до монотонной репараметризации ^[9] и определить фундаментальную категорию $X$ как частное $\pi _{1}(X):=DX/\!\sim$ . Эта конструкция порождает функтор $\pi _{1}$ из категории направленных пространств в категорию малых категорий .

Некоторые свойства

Функтор фундаментальной категории удовлетворяет некоторой теореме Зейферта – Ван Кампена .

Функтор фундаментальной категории сохраняет бинарные произведения .

Как следствие антисимметрии, фундаментальная категория C поспространства не содержит петель, т.е. для всех объектов x и y , если оба гомсета C( x , y ) и C( y , x ) непусты , то x = y и C( x , x ) является одноэлементным.

Два направленных пути γ и δ имеют одно и то же изображение, т.е. {γ( t ) | т ∊dom(γ)} знак равно {δ( т ) | t ∊dom(δ)} дигомотопны, т.е. γ ~ δ. Это свойство, очевидно, не работает в алгебраической топологии, например, рассмотрим пути, вьющиеся вокруг круга .

Учитывая, что является моделью некоторой параллельной программы P, гомомножества фундаментальной категории X счетны X . Кроме того, если в P не встречается ни одна инструкция цикла, то гомомножества X конечны. Это тот случай, когда P является PV-программой в том смысле, который первоначально дал Дейкстра. сравнения, все нетривиальные омсеты категории направленных путей DX несчетны Для .

Категория компонентов

Хотя конструкция фундаментальной категории радикально уменьшает размер homsets DX , она оставляет коллекцию объектов неизменной. И все же, если X — геометрическая модель некоторой параллельной программы P, эта коллекция несчетна. Категория компонентов была введена для поиска полной подкатегории фундаментальной категории с как можно меньшим количеством объектов, хотя она содержит всю необходимую информацию из оригинала. ^[10] Если $C$ — категория без петель , то ее категория компонент $\pi _{0}(C)$ можно описать на языке теории категорий, не предполагая $C$ является фундаментальной категорией некоторого направленного пространства. В этом случае интуитивное понятие несущественных морфизмов формализуется как совокупность $\Sigma$ морфизмов $C$ удовлетворяющий некоторым свойствам стабильности и элементы которого сохраняют как прошлое своего источника, так и будущее своей цели. Затем $\pi _{0}(C)$ определяется как частное ^[11] $C/\Sigma$ что, как доказано, эквивалентно локализации категории $C[\Sigma ^{-1}]$ . ^[12] Категория компонентов фотоэлектрической программы P тогда определяется как $\pi _{0}(\pi _{1}(X))$ где $X$ является геометрической моделью P. Интересное свойство: категория компонентов любой PV-программы конечна .

Темы

Направленная гомотопия высшего порядка

Теория направленной гомотопии более высокого порядка может быть развита с помощью цилиндра функтора и функтора пути , при этом все конструкции и свойства выражаются в рамках категориальной алгебры. $^{[1]}$ . Этот подход подчеркивает комбинаторную роль кубических множеств в направленной алгебраической топологии.

Модельно-категорный подход

Филипп Гоше предложил альтернативную формализацию понятия ориентированного пространства, которая, грубо говоря, основана на категории ориентированных графов, обогащенных топологическими пространствами, т.е. совокупность стрелок от x до y наделена топологией. Этот подход порождает так называемую категорию Потоков , ^[13] которая допускает нетривиальную модельную структуру категорий . Он представил топологическая версия (здесь топологическая категория означает категорию, снабженную топологическим функтором забывания по отношению к категории множеств ) с использованием варианта d-пространств Марко Грандиса, многоточечных d-пространств. ^[14] В недавних работах он построил аналогичные модельные структуры категорий на кубических переходных системах более высокой размерности (чьей отражающей подкатегорией является подкатегория многомерных переходных систем Каттани-Сассона) ^[15] и на помеченных симметричных докубических множествах. ^[16] Общие точки всех этих категорий моделей структуры - это 1) наличие корасслоения {0,1}→{0}, идентифицирующего два состояния, 2) несжимаемость направленного сегмента, 3) сильная связь с компьютерным понятием бисимуляции. Цилиндры категории потоков и категории многоточечных d-пространств заставляют глобусы колебаться, сохраняя набор состояний постоянным. Все объекты модельных категорий потоков и многоточечных d-пространств являются фибрантными. Можно проверить, что цилиндры этих модельных категорий удовлетворяют свойству гомотопического обмена, введенному Лафоном-Метайером-Вориткевичем в их работе о шаровых омега-категориях. Цилиндры категории кубических переходных систем и помеченных симметричных докубических множеств заставляют кубы колебаться, также сохраняя постоянным набор состояний. Эти последние модельные структуры категорий построены с использованием докторской диссертации М. Ольшка, которая обобщает работу Цисинского по гомотопической теории топосы . В этих структурах последней модельной категории все объекты являются кофибрантными.

Томас Каль доказал существование нетривиальной модельной категории поспространств. Однако эта структура мало чем отличается от структуры модели над топологическими пространствами. Во многих отношениях это просто забывается о частичном порядке объектов.

Кшиштоф Вориткевич использует передовые методы теории модельных категорий (а именно локализацию и пополнение) для построения модельной категории из небольших категорий конечномерных направленных гиперкубов.

Фактически любая попытка определить структуру модели в некоторой категории ориентированных пространств должна столкнуться со следующим вопросом: должно ли отображение включения $\{*\}\hookrightarrow [0,1]$ быть корасслоением , слабой эквивалентностью , обоими (тривиальное корасслоение) или ни одной. Например, если мы предположим $\{0\}\hookrightarrow [0,1]$ является тривиальным корасслоением, то $\{0\}\times [0,1]\cup [0,1]\times \{0\}$ (как подпространство направленной плоскости) эквивалентно точке, поскольку набор тривиальных корасслоений устойчив при выталкивании. ^[17] Этот факт является неприемлемым для применения в информатике, хотя это тривиальный факт из теории гомотопий, если мы отбросим признак направления.

Направленные покрытия

...

Программное обеспечение

...

Ссылки

^ Направленная алгебраическая топология: модели необратимых миров , Марко Грандис, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76036-2 Скачать бесплатно с сайта авторов.
^ «Происхождение ПВ» . cs.nyu.edu . Проверено 3 мая 2017 г.
^ Топология и порядок. Леопольдо Накбин, компания Ван Ностранд, 1965 г.
^ Файструп, Лисбет; Рауссен, Мартин; Губо, Эрик (2006). «Алгебраическая топология и параллелизм» . Теоретическая информатика . 357 (1–3): 241–278. дои : 10.1016/j.tcs.2006.03.022 .
^ Грандис, Марко (2003). «Теория направленной гомотопии, I. Фундаментальная категория» (PDF) . Тетради по категориальной топологии и дифференциальной геометрии . 44 (4): 281–316. arXiv : math/0111048 .
^ Кришнан, Сандживи (2009). «Удобная категория локально предупорядоченных пространств» . Прикладные категориальные структуры . 17 (5): 445–466. arXiv : 0709.3646 . дои : 10.1007/s10485-008-9140-9 . S2CID 8654714 .
^ Хиггинс, Филип Дж. (1971). Категории и группоиды . Ван Ностранд Рейнхольд. Архивировано из оригинала 06 октября 2018 г. Проверено 15 декабря 2011 г.
^ Топология и группоиды. Рональд Браун. ООО «Буксердж», 2006 г.
^ Рауссен, Мартин; Фаренберг, Ульрих (2007). «Репараметризация непрерывных путей». Журнал гомотопии и родственных структур . 2 (2): 93–117. arXiv : 0706.3560 .
^ Файструп, Л.; Рауссен, М.; Губо, Э.; Окур, Э. (2004). «Компоненты фундаментальной категории» . Прикладные категориальные структуры . 12 : 81–108. doi : 10.1023/B:APCS.0000013812.75342.de . S2CID 15579667 .
^ «Обобщенные сравнения — эпиморфизмы в $Cat$ . (PDF) 16 Теория и приложения категорий . 5 (11): 266–280. 1999. Архивировано из оригинала (PDF) 03 ноября 2011 г. Проверено декабря 2011 г.
^ Окур, Эммануэль (2006). «Категории компонентов и категории без циклов» (PDF) . Теория и приложения категорий . 16 (27): 736–770. Архивировано из оригинала (PDF) 3 ноября 2011 г. Проверено 16 декабря 2011 г.
^ Гоше, Филипп (2003). «Модельная категория гомотопической теории параллелизма» . Гомология, гомотопия и приложения . 5 : 549–599. arXiv : math/0308054 . дои : 10.4310/HHA.2003.v5.n1.a20 . S2CID 13968745 .
^ Гоше, П. (2009). «Гомотопическая интерпретация шарового комплекса многоточечным d-пространством» (PDF) . Теория и приложения категорий . 22 : 588–621. Архивировано из оригинала (PDF) 16 июня 2013 г. Проверено 18 февраля 2013 г.
^ Гоше, П. (2011). «К гомотопической теории переходных систем более высокой размерности» (PDF) . Теория и приложения категорий . 25 : 295–341. Архивировано из оригинала (PDF) 16 июня 2013 г. Проверено 18 февраля 2013 г.
^ Гоше, Филипп (2012). «Гомотопическая теория меченых симметричных докубических множеств». arXiv : 1208.4494 [ math.AT ].
^ Категории моделей. Марк Хови, AMS, 1999 г.

Дальнейшее чтение

Режиссер алгебраической топологии и параллелизма , Лисбет Файструп, Эрик Губо, Сэмюэль Мимрам, Эммануэль Окур, Мартин Рауссен
Теория направленной гомотопии, II. Гомотопические конструкции , Марко Грандис, Теория и приложения категорий, Vol. 10, № 14, 2002, стр. 369–391.
Несколько моментов о направленной алгебраической топологии , Марко Грандис
Направленные комбинаторные гомологии и некоммутативные торы , Марко Грандис, Math. Учеб. Кембриджская философия. Соц. 138 (2005), 233-262

[1] Направленная алгебраическая топология: модели необратимых миров , Марко Грандис, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76036-2 Скачать бесплатно с сайта авторов.

[2] «Происхождение ПВ» . cs.nyu.edu . Проверено 3 мая 2017 г.

[3] Топология и порядок. Леопольдо Накбин, компания Ван Ностранд, 1965 г.

[4] Файструп, Лисбет; Рауссен, Мартин; Губо, Эрик (2006). «Алгебраическая топология и параллелизм» . Теоретическая информатика . 357 (1–3): 241–278. дои : 10.1016/j.tcs.2006.03.022 .

[5] Грандис, Марко (2003). «Теория направленной гомотопии, I. Фундаментальная категория» (PDF) . Тетради по категориальной топологии и дифференциальной геометрии . 44 (4): 281–316. arXiv : math/0111048 .

[6] Кришнан, Сандживи (2009). «Удобная категория локально предупорядоченных пространств» . Прикладные категориальные структуры . 17 (5): 445–466. arXiv : 0709.3646 . дои : 10.1007/s10485-008-9140-9 . S2CID 8654714 .

[7] Хиггинс, Филип Дж. (1971). Категории и группоиды . Ван Ностранд Рейнхольд. Архивировано из оригинала 06 октября 2018 г. Проверено 15 декабря 2011 г.

[8] Топология и группоиды. Рональд Браун. ООО «Буксердж», 2006 г.

[9] Рауссен, Мартин; Фаренберг, Ульрих (2007). «Репараметризация непрерывных путей». Журнал гомотопии и родственных структур . 2 (2): 93–117. arXiv : 0706.3560 .

[10] Файструп, Л.; Рауссен, М.; Губо, Э.; Окур, Э. (2004). «Компоненты фундаментальной категории» . Прикладные категориальные структуры . 12 : 81–108. doi : 10.1023/B:APCS.0000013812.75342.de . S2CID 15579667 .

[11] «Обобщенные сравнения — эпиморфизмы в $Cat$ . (PDF) 16 Теория и приложения категорий . 5 (11): 266–280. 1999. Архивировано из оригинала (PDF) 03 ноября 2011 г. Проверено декабря 2011 г.

[12] Окур, Эммануэль (2006). «Категории компонентов и категории без циклов» (PDF) . Теория и приложения категорий . 16 (27): 736–770. Архивировано из оригинала (PDF) 3 ноября 2011 г. Проверено 16 декабря 2011 г.

[13] Гоше, Филипп (2003). «Модельная категория гомотопической теории параллелизма» . Гомология, гомотопия и приложения . 5 : 549–599. arXiv : math/0308054 . дои : 10.4310/HHA.2003.v5.n1.a20 . S2CID 13968745 .

[14] Гоше, П. (2009). «Гомотопическая интерпретация шарового комплекса многоточечным d-пространством» (PDF) . Теория и приложения категорий . 22 : 588–621. Архивировано из оригинала (PDF) 16 июня 2013 г. Проверено 18 февраля 2013 г.

[15] Гоше, П. (2011). «К гомотопической теории переходных систем более высокой размерности» (PDF) . Теория и приложения категорий . 25 : 295–341. Архивировано из оригинала (PDF) 16 июня 2013 г. Проверено 18 февраля 2013 г.

[16] Гоше, Филипп (2012). «Гомотопическая теория меченых симметричных докубических множеств». arXiv : 1208.4494 [ math.AT ].

[17] Категории моделей. Марк Хови, AMS, 1999 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]