Характеристическая подгруппа

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория групп , характеристическая подгруппа — это подгруппа , которая отображается в себя каждым автоморфизмом родительской группы . ^[1]^[2] Поскольку каждое отображение сопряжения является внутренним автоморфизмом , каждая характеристическая подгруппа нормальна ; хотя обратное не гарантировано. Примеры характеристических подгрупп включают коммутатор и центр группы .

Определение

Подгруппа $H$ группы $G$ называется характеристической подгруппой , если для любого автоморфизма $φ$ группы $G$ выполнено $φ(H) ⩽ H$ ; затем $H char G.$ напишите

Было бы эквивалентно требовать более сильного условия $φ(H)$ = $H$ для каждого автоморфизма $φ$ группы $G$ , поскольку $φ -1 (H) \leq H$ влечет обратное включение $H \leq φ(H)$ .

Основные свойства

Учитывая $H char G$ , каждый автоморфизм $G$ индуцирует автоморфизм факторгруппы G $/H$ , который дает гомоморфизм $Aut(G) \to Aut(G / H)$ .

Если $G$ имеет единственную подгруппу $H$ заданного индекса, то $H$ характеристична в $G$ .

Связанные понятия

Нормальная подгруппа

Подгруппа группы $H$ , инвариантная относительно всех внутренних автоморфизмов, называется нормальной ; также инвариантная подгруппа.

\forallφ \in Inn(G): φ[H] \leq H

Поскольку $Inn(G) \subseteq Aut(G)$ и характеристическая подгруппа инвариантна относительно всех автоморфизмов, каждая характеристическая подгруппа нормальна. Однако не каждая нормальная подгруппа является характерной. Вот несколько примеров:

Пусть $H$ нетривиальная группа, и пусть $—$ прямое произведение H. $H \times G$ — Тогда подгруппы ${1} \times H$ и $H \times {1}$ обе нормальны, но ни одна из них не является характеристической. В частности, ни одна из этих подгрупп не инвариантна относительно автоморфизма $(x, y) \to (y, x)$ , который меняет местами два фактора.
В качестве конкретного примера пусть $V$ — четырехгруппа Клейна (которая изоморфна прямому произведению $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ ). Поскольку эта группа абелева , каждая подгруппа нормальна; но каждая перестановка трех неединичных элементов является автоморфизмом $V$ , поэтому три подгруппы порядка 2 не являются характеристическими. Здесь $V знак равно {е, а, б, ab}$ . Рассмотрим $H = {e, a}$ и рассмотрим автоморфизм: $T(e) = e, T(a) = b, T(b) = a, T(ab) = ab$ ; тогда $T() не$ содержится в $H.$ H
В группе кватернионов 8-го порядка каждая из циклических подгрупп 4-го порядка нормальна, но ни одна из них не является характеристической. Однако подгруппа ${1, -1}$ является характеристической, поскольку это единственная подгруппа порядка 2.
Если $n$ четно, группа диэдра порядка $2 n$ имеет 3 подгруппы индекса 2, все из которых нормальны. Одной из них является циклическая подгруппа, которая является характеристической. Две другие подгруппы двугранные; они переставляются внешним автоморфизмом родительской группы и поэтому не являются характеристическими.

Строго характеристическая подгруппа

А строго характеристическая подгруппа , или выделенная подгруппа , инвариантная относительно сюръективных эндоморфизмов . Для конечных групп сюръективность эндоморфизма влечет инъективность, поэтому сюръективный эндоморфизм является автоморфизмом; таким образом, быть строго характеристикой эквивалентно характеристике . Для бесконечных групп это уже не так.

Полностью характерная подгруппа

При еще более сильном ограничении полностью характеристическая подгруппа (также полностью инвариантная подгруппа ; ср. инвариантная подгруппа) $H$ группы $G$ является группой, остающейся инвариантной относительно любого эндоморфизма $G$ ; то есть,

\forallφ \in End(G): φ[ЧАС] \leq Ч

.

Каждая группа имеет себя (несобственную подгруппу) и тривиальную подгруппу как две свои вполне характеристические подгруппы. Коммутант . группы всегда является вполне характеристической подгруппой ^[3]^[4]

Каждый эндоморфизм $G$ индуцирует эндоморфизм $G/H$ , который дает отображение $End(G) \to End(G / H)$ .

Вербальная подгруппа

Еще более сильное ограничение — вербальная подгруппа , которая является образом вполне инвариантной подгруппы свободной группы относительно гомоморфизма. Вообще говоря, любая глагольная подгруппа всегда полностью характерна. Для любой редуцированной свободной группы и, в частности, для любой свободной группы справедливо и обратное: всякая вполне характеристическая подгруппа вербальна.

Транзитивность

Свойство быть характерным или полностью характерным транзитивно ; если $H$ — (вполне) характеристическая подгруппа группы $K$ , а $K$ (вполне) характеристическая подгруппа группы $G$ , то $H$ — (вполне) характеристическая подгруппа группы $G.$ —

Ч чар K чар G \Rightarrow Ч чар G

.

Более того, хотя нормальность не транзитивна, верно, что каждая характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.

Ч чар К ⊲ Г \Rightarrow Ч ⊲ Г

Точно так же, хотя строго характеристическая (выделенная) не является транзитивной, верно, что каждая вполне характеристическая подгруппа строго характеристической подгруппы строго характеристична.

Однако, в отличие от нормальности, если $H char G$ и $K$ — подгруппа $G$ , содержащая $H$ , то, вообще говоря, $не$ обязательно характеристична в $K.$ H

ЧАС чар G, ЧАС < K < G ⇏ ЧАС чар K

Сдерживание

Всякая вполне характеристическая подгруппа, безусловно, строго характерна и характерна; но характерная или даже строго характерная подгруппа не обязательно должна быть полностью характерной.

Центром группы всегда является строго характеристическая подгруппа, но не всегда она полностью характеристична. Например, конечная группа порядка 12 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , имеет гомоморфизм, переводящий $(π, y)$ в $((1, 2) и, 0)$ , который занимает центр, $1\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , в подгруппу $Sym(3) \times 1$ , которая встречается с центром только в единице.

Отношения между этими свойствами подгруппы могут быть выражены как:

Подгруппа ⇐ Нормальная подгруппа ⇐ Характеристическая подгруппа ⇐ Строго характеристическая подгруппа ⇐ Вполне характеристическая подгруппа ⇐ Вербальная подгруппа

Примеры

Конечный пример

Рассмотрим группу $\mathbb {Z} _{2}$ (группа порядка 12, являющаяся прямым произведением симметрической группы порядка 6 и циклической группы порядка 2). Центр группы $G$ изоморфен ее второму фактору. $\mathbb {Z} _{2}$ . Обратите внимание, что первый фактор $S 3$ содержит подгруппы, изоморфные $\mathbb {Z} _{2}$ , например ${e, (12)}$ ; позволять $f:\mathbb {Z} _{2}<\rightarrow {\text{S}}_{3}$ — отображение морфизма $\mathbb {Z} _{2}$ в указанную подгруппу. Тогда композиция проекции $G$ на ее второй фактор $\mathbb {Z} _{2}$ , за которым следует $f$ , а затем включение $S 3$ в $G$ в качестве его первого фактора, обеспечивает эндоморфизм $G$ , при котором образ центра, $\mathbb {Z} _{2}$ , не содержится в центре, поэтому здесь центр не является вполне характеристической подгруппой группы $G$ .

Циклические группы

Каждая подгруппа циклической группы характеристична.

Функторы подгрупп

( Производная подгруппа или коммутант) группы является вербальной подгруппой. Периодическая подгруппа является абелевой группы вполне инвариантной подгруппой.

Топологические группы

Единичный компонент всегда топологической группы является характеристической подгруппой.

См. также

Характерно простая группа

Ссылки

^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .
^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .
^ Скотт, WR (1987). Теория групп . Дувр. стр. 45–46. ISBN 0-486-65377-3 .
^ Магнус, Вильгельм; Каррасс, Авраам; Солитар, Дональд (2004). Комбинаторная теория групп . Дувр. стр. 74–85. ISBN 0-486-43830-9 .

[1] Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .

[2] Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .

[3] Скотт, WR (1987). Теория групп . Дувр. стр. 45–46. ISBN 0-486-65377-3 .

[4] Магнус, Вильгельм; Каррасс, Авраам; Солитар, Дональд (2004). Комбинаторная теория групп . Дувр. стр. 74–85. ISBN 0-486-43830-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]