Гипотеза Сато – Тейта

Гипотеза Сато – Тейта
Поле	Арифметическая геометрия
Предполагается	Микио Сато ; Джон Тейт
Предполагается в	в. 1960 год
Первое доказательство	Лоран Клозель ; Томас Барнет-Лэмб ; Дэвид Джерати ; Майкл Харрис ; Николас Шеперд-Бэррон ; Ричард Тейлор
Первое доказательство в	2011

В математике гипотеза Сато-Тейта представляет собой статистическое утверждение о семействе эллиптических кривых E _p, полученных из эллиптической кривой E над рациональными числами путем сокращения по модулю почти всех простых чисел p . Микио Сато и Джон Тейт независимо выдвинули эту гипотезу примерно в 1960 году.

Если N _p обозначает количество точек на эллиптической кривой E _p, определенной над конечным полем с p элементами, гипотеза дает ответ на вопрос о распределении члена второго порядка для N _p . По теореме Хассе об эллиптических кривых

N_{p}/p=1+\mathrm {O} (1/\!{\sqrt {p}})\

как $p\to \infty$ , и цель гипотезы состоит в том, чтобы предсказать, как изменится О-член .

Исходная гипотеза и ее обобщение на все полностью реальные поля были доказаны Лораном Клозелем , Майклом Харрисом , Николасом Шеперд-Бэрроном и Ричардом Тейлором при мягких предположениях в 2008 году и завершены Томасом Барнет-Лэмбом , Дэвидом Джерати , Харрисом и Тейлором в 2011. Открыто несколько обобщений на другие алгебраические многообразия и поля.

Заявление [ править ]

Пусть E — эллиптическая кривая, определенная над рациональными числами без комплексного умножения . Для простого числа p определите θ _p как решение уравнения

p+1-N_{p}=2{\sqrt {p}}\cos \theta _{p}~~(0\leq \theta _{p}\leq \pi ).

Тогда для каждых двух действительных чисел $\alpha$ и $\beta$ для чего $0\leq \alpha <\beta \leq \pi ,$

\lim _{N\to \infty }{\frac {\#\{p\leq N:\alpha \leq \theta _{p}\leq \beta \}}{\#\{p\leq N\}}}={\frac {2}{\pi }}\int _{\alpha }^{\beta }\sin ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {1}{\pi }}\left(\beta -\alpha +\sin(\alpha )\cos(\alpha )-\sin(\beta )\cos(\beta )\right)

Подробности [ править ]

По теореме Хассе об эллиптических кривых отношение

{\frac {(p+1)-N_{p}}{2{\sqrt {p}}}}={\frac {a_{p}}{2{\sqrt {p}}}}

находится между -1 и 1. Таким образом, его можно выразить как cos θ для угла θ ; в геометрических терминах есть два собственных значения, отвечающих за остаток, и с заданным знаменателем они являются комплексно-сопряженными и имеют абсолютное значение 1. Гипотеза Сато-Тейта , когда E не имеет комплексного умножения, ^[1] утверждает, что мера θ вероятностная пропорциональна

\sin ^{2}\theta \,d\theta .

^[2]

Это заслуга Микио Сато и Джона Тейта (независимо, около 1960 года, опубликовано несколько позже). ^[3]

Доказательство [ править ]

В 2008 году Клозель, Харрис, Шеперд-Бэррон и Тейлор опубликовали доказательство гипотезы Сато-Тейта для эллиптических кривых над полностью вещественными полями, удовлетворяющих определенному условию: наличия мультипликативной редукции в некотором простом числе, ^[4] в серии из трех совместных статей. ^[5]^[6]^[7]

Дальнейшие результаты зависят от улучшенных форм формулы следов Артура – Сельберга . У Харриса есть условное доказательство результата для произведения двух эллиптических кривых (не изогенных ), следующих из такой гипотетической формулы следов. ^[8] В 2011 году Барнет-Лэмб, Джерати, Харрис и Тейлор доказали обобщенную версию гипотезы Сато-Тейта для произвольной голоморфной модульной формы, не являющейся CM, с весом, большим или равным двум: ^[9] путем улучшения потенциальных результатов модульности предыдущих статей. ^[10] Предыдущие проблемы, связанные с формулой следа, были решены Майклом Харрисом . ^[11] и Суг У Шин . ^[12]^[13]

В 2015 году Ричард Тейлор был удостоен Премии за прорыв в математике «за многочисленные прорывные результаты в (...) гипотезе Сато-Тейта». ^[14]

Обобщения [ править ]

Существуют обобщения, включающие распределение элементов Фробениуса в группах Галуа, участвующих в представлениях Галуа об этальных когомологиях . В частности, существует гипотетическая теория кривых рода n > 1.

Согласно модели случайной матрицы, разработанной Ником Кацем и Питером Сарнаком , ^[15] существует предположительное соответствие между (унитаризированными) характеристическими полиномами элементов Фробениуса и классами сопряженных элементов в компактной группе Ли USp(2 n ) = Sp( n ) . Тогда мера Хаара на USp(2 n ) дает предполагаемое распределение, и классическим случаем является USp(2) = SU(2) .

Уточнения [ править ]

Есть и более изысканные высказывания. Гипотеза Ланга-Троттера (1976) Сержа Ланга и Хейла Троттера утверждает асимптотическое число простых чисел p с заданным значением a _p , ^[16] след Фробениуса, фигурирующий в формуле. Для типичного случая (без комплексного умножения , след ≠ 0) их формула утверждает, что число от p до X асимптотически равно

c{\sqrt {X}}/\log X\

с указанной константой c . Нил Коблиц гипотезы для случая простого числа q точек на Ep _{(1988) представил подробные} , основанные на криптографии эллиптических кривых . ^[17]В 1999 году Шанталь Давид и Франческо Паппаларди доказали усредненную версию гипотезы Ланга – Троттера. ^[18]^[19]

См. также [ править ]

Распределение полукруга Вигнера

Ссылки [ править ]

^ В случае эллиптической кривой с комплексным умножением L-функция Хассе – Вейля выражается через L-функцию Хекке (результат Макса Дойринга ). Известные аналитические результаты по этим вопросам отвечают еще на более точные вопросы.
^ Для нормализации поставьте 2/ π . впереди
^ Это упоминается в Дж. Тейта «Алгебраические циклы и полюса дзета-функций» книге (О.Ф. Шиллинг, редактор), «Арифметическая алгебраическая геометрия» , страницы 93–110 (1965).
^ То есть для некоторого p , где E имеет плохую редукцию (и, по крайней мере, для эллиптических кривых над рациональными числами такие p есть ), тип в сингулярном слое модели Нерона является мультипликативным, а не аддитивным. На практике это типичный случай, поэтому состояние можно считать легким. Говоря более классически, этот результат применим там, где j-инвариант не является целым.
^ Тейлор, Ричард (2008). «Автоморфия некоторых l -адических лифтов автоморфных мод l представлений Галуа. II». Опубл. Математика. Инст. Высокие научные исследования . 108 : 183–239. CiteSeerX 10.1.1.116.9791 . дои : 10.1007/s10240-008-0015-2 . МР 2470688 .
^ Клозель, Лоран; Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2008). «Автоморфия некоторых l -адических лифтов автоморфных мод l представлений Галуа». Опубл. Математика. Инст. Высокие научные исследования . 108 : 1–181. CiteSeerX 10.1.1.143.9755 . дои : 10.1007/s10240-008-0016-1 . МР 2470687 .
^ Харрис, Майкл; Шеперд-Бэррон, Николас; Тейлор, Ричард (2010), «Семейство разновидностей Калаби-Яу и потенциальная автоморфия», Annals of Mathematics , 171 (2): 779–813, doi : 10.4007/annals.2010.171.779 , MR 2630056
^ Подробности см. на семинаре Карайоля Бурбаки от 17 июня 2007 г.
^ Барнет-Лэмб, Томас; Джерати, Дэвид; Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2011). «Семейство разновидностей Калаби – Яу и потенциальная автоморфия. II» . Опубл. Рез. Инст. Математика. Наука . 47 (1): 29–98. дои : 10.2977/PRIMS/31 . МР 2827723 .
^ Теорема B Барнета-Лэмба и др. 2011 год
^ Харрис, М. (2011). «Введение в формулу стабильного следа». В Клозеле, Л.; Харрис, М.; Лабесс, Ж.-П.; Нго, Британская Колумбия (ред.). Устойчивая формула следа, многообразия Шимуры и арифметические приложения . Том. I: Стабилизация формулы следа. Бостон: Международная пресса. стр. 3–47. ISBN 978-1-57146-227-5 .
^ Шин, Суг У (2011). «Представления Галуа, возникающие из некоторых компактных многообразий Шимуры» . Анналы математики . 173 (3): 1645–1741. дои : 10.4007/анналы.2011.173.3.9 .
^ См. стр. 71 и следствие 8.9 из Barnet-Lamb et al. 2011 год
^ «Ричард Тейлор, Институт перспективных исследований: премия за прорыв в математике 2015 г.» .
^ Кац, Николас М. и Сарнак, Питер (1999), Случайные матрицы, собственные значения Фробениуса и монодромия , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1017-0
^ Ланг, Серж; Троттер, Хейл Ф. (1976), Распределения Фробениуса в _{GL 2} расширениях , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-07550-1
^ Коблиц, Нил (1988), «Простота числа точек на эллиптической кривой над конечным полем», Pacific Journal of Mathematics , 131 (1): 157–165, doi : 10.2140/pjm.1988.131.157 , MR 0917870 .
^ «Математик Конкордии, отмеченный за выдающиеся достижения в области исследований» . Канадское математическое общество . 15 апреля 2013 г. Архивировано из оригинала 01 февраля 2017 г. Проверено 15 января 2018 г.
^ Дэвид, Шанталь; Паппаларди, Франческо (1 января 1999 г.). «Средние распределения Фробениуса эллиптических кривых». Уведомления о международных математических исследованиях . 199 (4): 165–183.

Внешние ссылки [ править ]

[1] В случае эллиптической кривой с комплексным умножением L-функция Хассе – Вейля выражается через L-функцию Хекке (результат Макса Дойринга ). Известные аналитические результаты по этим вопросам отвечают еще на более точные вопросы.

[2] Для нормализации поставьте 2/ π . впереди

[3] Это упоминается в Дж. Тейта «Алгебраические циклы и полюса дзета-функций» книге (О.Ф. Шиллинг, редактор), «Арифметическая алгебраическая геометрия» , страницы 93–110 (1965).

[4] То есть для некоторого p , где E имеет плохую редукцию (и, по крайней мере, для эллиптических кривых над рациональными числами такие p есть ), тип в сингулярном слое модели Нерона является мультипликативным, а не аддитивным. На практике это типичный случай, поэтому состояние можно считать легким. Говоря более классически, этот результат применим там, где j-инвариант не является целым.

[5] Тейлор, Ричард (2008). «Автоморфия некоторых l -адических лифтов автоморфных мод l представлений Галуа. II». Опубл. Математика. Инст. Высокие научные исследования . 108 : 183–239. CiteSeerX 10.1.1.116.9791 . дои : 10.1007/s10240-008-0015-2 . МР 2470688 .

[6] Клозель, Лоран; Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2008). «Автоморфия некоторых l -адических лифтов автоморфных мод l представлений Галуа». Опубл. Математика. Инст. Высокие научные исследования . 108 : 1–181. CiteSeerX 10.1.1.143.9755 . дои : 10.1007/s10240-008-0016-1 . МР 2470687 .

[7] Харрис, Майкл; Шеперд-Бэррон, Николас; Тейлор, Ричард (2010), «Семейство разновидностей Калаби-Яу и потенциальная автоморфия», Annals of Mathematics , 171 (2): 779–813, doi : 10.4007/annals.2010.171.779 , MR 2630056

[8] Подробности см. на семинаре Карайоля Бурбаки от 17 июня 2007 г.

[9] Барнет-Лэмб, Томас; Джерати, Дэвид; Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2011). «Семейство разновидностей Калаби – Яу и потенциальная автоморфия. II» . Опубл. Рез. Инст. Математика. Наука . 47 (1): 29–98. дои : 10.2977/PRIMS/31 . МР 2827723 .

[10] Теорема B Барнета-Лэмба и др. 2011 год

[11] Харрис, М. (2011). «Введение в формулу стабильного следа». В Клозеле, Л.; Харрис, М.; Лабесс, Ж.-П.; Нго, Британская Колумбия (ред.). Устойчивая формула следа, многообразия Шимуры и арифметические приложения . Том. I: Стабилизация формулы следа. Бостон: Международная пресса. стр. 3–47. ISBN 978-1-57146-227-5 .

[12] Шин, Суг У (2011). «Представления Галуа, возникающие из некоторых компактных многообразий Шимуры» . Анналы математики . 173 (3): 1645–1741. дои : 10.4007/анналы.2011.173.3.9 .

[13] См. стр. 71 и следствие 8.9 из Barnet-Lamb et al. 2011 год

[14] «Ричард Тейлор, Институт перспективных исследований: премия за прорыв в математике 2015 г.» .

[15] Кац, Николас М. и Сарнак, Питер (1999), Случайные матрицы, собственные значения Фробениуса и монодромия , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1017-0

[16] Ланг, Серж; Троттер, Хейл Ф. (1976), Распределения Фробениуса в _{GL 2} расширениях , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-07550-1

[17] Коблиц, Нил (1988), «Простота числа точек на эллиптической кривой над конечным полем», Pacific Journal of Mathematics , 131 (1): 157–165, doi : 10.2140/pjm.1988.131.157 , MR 0917870 .

[david-pappalardi-18] «Математик Конкордии, отмеченный за выдающиеся достижения в области исследований» . Канадское математическое общество . 15 апреля 2013 г. Архивировано из оригинала 01 февраля 2017 г. Проверено 15 января 2018 г.

[David_Pappalardi_distributions_of_elliptic_curves-19] Дэвид, Шанталь; Паппаларди, Франческо (1 января 1999 г.). «Средние распределения Фробениуса эллиптических кривых». Уведомления о международных математических исследованиях . 199 (4): 165–183.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]