Глоссарий арифметики и диофантовой геометрии

Это глоссарий арифметики и диофантовой геометрии в математике , областей, выросших из традиционного изучения диофантовых уравнений и охватывающих значительную часть теории чисел и алгебраической геометрии . Большая часть теории представлена ​​в форме предложенных гипотез , которые могут быть связаны на различных уровнях общности.

Диофантова геометрия в целом — это изучение алгебраических многообразий V над полями K , которые конечно порождены над своими простыми полями представляющие особый интерес , включая поля чисел, , и конечные поля , а также над локальными полями . Из них только комплексные числа замкнуты алгебраически ; над любым другим K существование точек V с координатами в K необходимо доказать и изучить как дополнительную тему, даже зная геометрию V .

Арифметическую геометрию можно в более общем смысле определить как исследование схем конечного типа над спектром кольца целых чисел . Арифметическая геометрия также определяется как применение методов алгебраической геометрии к задачам теории чисел .

См. также глоссарий терминов теории чисел в Глоссарии теории чисел .

А

гипотеза abc

Гипотеза abc Массера Остерле и пытается как можно больше сказать о повторяющихся простых множителях в уравнении a + b = c . Например, 3 + 125 = 128, но степени простых чисел здесь исключительные.

Arakelov class group

Группа классов Аракелова является аналогом группы идеальных классов или группы классов дивизоров для дивизоров Аракелова .

Arakelov divisor

( Дивизор Аракелова или полный делитель ) на глобальном поле является расширением понятия дивизора или дробного идеала . Это формальная линейная комбинация мест поля с конечными позициями , имеющими целые коэффициенты, и бесконечными позициями, имеющими действительные коэффициенты.

Высота Аракелова

Высота Аракелова в проективном пространстве над полем алгебраических чисел представляет собой глобальную функцию высоты с локальными вкладами, поступающими от метрик Фубини–Студи на архимедовых полях и обычной метрики на неархимедовых полях .

Arakelov theory

Теория Аракелова — это подход к арифметической геометрии, который явно включает «бесконечные простые числа».

Арифметика абелевых многообразий

См. основную статью арифметика абелевых многообразий .

L-функции Артина

L-функции Артина определены для вполне общих представлений Галуа . Введение этальных когомологий в 1960-х годах означало, что L-функции Хассе – Вейля можно было рассматривать как L-функции Артина для представлений Галуа на группах l-адических когомологий .

Б

Плохое сокращение

Смотрите хорошее сокращение .

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера об эллиптических кривых постулирует связь между рангом эллиптической кривой и порядком полюса ее L-функции Хассе–Вейля. Это была важная веха в диофантовой геометрии с середины 1960-х годов, с такими результатами, как теорема Коутса-Уайлса , теорема Гросса-Загира и теорема Колывагина .

С

Каноническая высота

Каноническая высота абелева многообразия — это функция высоты, представляющая собой выделенную квадратичную форму . См. высоту Нерона – Тейта .

Метод Шаботи

Метод Шаботи , основанный на p -адических аналитических функциях, представляет собой специальное приложение, но способный доказать случаи гипотезы Морделла для кривых, ранг якобиана которых меньше его размерности. Он развил идеи метода Торальфа Скулема для алгебраического тора . (К другим старым методам решения диофантовых задач относится метод Рунге .)

Теорема Коутса – Уайлса

Теорема Коутса –Уайлса утверждает, что эллиптическая кривая с комплексным умножением на мнимое квадратичное поле класса . 1 и положительного ранга имеет L-функцию с нулем в точке s = 1. Это частный случай гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера .

Кристаллические когомологии

Кристаллические когомологии - это теория p-адических когомологий в характеристике p , введенная Александром Гротендиком, чтобы заполнить пробел, оставленный этальными когомологиями , которым в этом случае не хватает использования коэффициентов mod p . Это одна из многих теорий, в некотором роде вытекающих из метода Дворка , и имеющая приложения за пределами чисто арифметических вопросов.

Д

Диагональные формы

Диагональные формы — одни из самых простых проективных многообразий для изучения с арифметической точки зрения (включая многообразия Ферма ). Их локальные дзета-функции вычисляются через суммы Якоби . Проблема Уоринга — наиболее классический случай.

Диофантово измерение

Диофантова размерность поля — это наименьшее натуральное число k , если оно существует, такое, что поле принадлежит классу Ck _: то есть такое, что любой однородный многочлен степени d от N переменных имеет нетривиальный нуль всякий раз, когда N > д ^к . Алгебраически замкнутые поля имеют диофантову размерность 0; квазиалгебраически замкнутые поля размерности 1.

Дискриминант точки

Дискриминант точки относится к двум связанным понятиям относительно точки P на алгебраическом многообразии V, определенном над числовым полем K : геометрический (логарифмический) дискриминант d ( P ) и арифметический дискриминант , определенный Войтой. Разницу между ними можно сравнить с разницей между родом сингулярной кривой и геометрическим родом десингуляризации арифметическим . Арифметический род больше геометрического рода, и высота точки может быть ограничена в терминах арифметического рода. Получение аналогичных границ, включающих геометрический род, имело бы значительные последствия.

Метод Дворка

Бернар Дворк использовал отличительные методы p-адического анализа , p-адические алгебраические дифференциальные уравнения , комплексы Кошуля и другие методы, которые не все были включены в общие теории, такие как кристаллические когомологии . Он первым доказал рациональность локальных дзета-функций, что стало первым шагом в направлении гипотез Вейля .

И

Распространение когомологий

Поиск когомологий Вейля (см.) был по крайней мере частично осуществлен в этальных когомологий теории Александра Гротендика и Майкла Артина . Оно обеспечило доказательство функционального уравнения для локальных дзета-функций и послужило основой для формулировки гипотезы Тейта (см.) и многих других теорий.

Ф

Высота фальтинга

эллиптической Высота Фальтингса кривой или абелева многообразия, определенного над числовым полем, является мерой ее сложности, введенной Фальтингсом в его доказательстве гипотезы Морделла .

Последняя теорема Ферма

Великая теорема Ферма , самая знаменитая гипотеза диофантовой геометрии, была доказана Эндрю Уайлсом и Ричардом Тейлором .

Плоские когомологии

Плоские когомологии являются для школы Гротендика одной из конечных точек развития. Его недостаток заключается в том, что его довольно сложно вычислить. Причина, по которой плоская топология считается «правильным» основополагающим топосом для теории схем, восходит к факту точно плоского спуска , открытию Гротендика, что представимые функторы для нее являются пучками (т.е. выполняется очень общая аксиома склейки ) .

Аналогия функционального поля

В девятнадцатом веке стало понятно, что кольцо целых чисел числового поля имеет аналогию с аффинным координатным кольцом алгебраической кривой или компактной римановой поверхности, с удаленной точкой или более, что соответствует «бесконечным местам» числового поля. Эта идея более точно выражена в теории, согласно которой все глобальные поля следует рассматривать на одинаковой основе. Идея идет дальше. Таким образом, эллиптические поверхности над комплексными числами также имеют некоторые весьма строгие аналогии с эллиптическими кривыми над числовыми полями.

Г

Теория поля геометрического класса

Распространение теории полей классов результатов в стиле об абелевых накрытиях на многообразия размерности не менее двух часто называют геометрической теорией полей классов.

Хорошее снижение

Фундаментальным моментом локального анализа арифметических задач является сокращение по модулю всех простых чисел p или, в более общем плане, простых идеалов . В типичной ситуации это не представляет труда почти для всех p ; например, знаменатели дробей сложны, поскольку приведение по модулю простого числа в знаменателе выглядит как деление на ноль , но это исключает только конечное число p на дробь. Немного усложнив однородные координаты , можно очистить знаменатели путем умножения на общий скаляр. Для данной единственной точки можно сделать это и не оставлять общий множитель p . Однако в дело вступает теория особенностей : неособая точка может стать особой точкой при уменьшении по модулю p , потому что касательное пространство Зариского может стать больше, когда линейные члены уменьшаются до 0 (геометрическая формулировка показывает, что это не вина одного набора координат ). Хорошая редукция относится к приведенному многообразию, имеющему те же свойства, что и исходное, например, к алгебраической кривой того же рода. , или гладкая разновидность, остающаяся гладкой. В общем случае существует конечное множество S простых чисел для данного многообразия V такое, что в противном случае существует гладкое приведенное V _p над Z / p Z. , предполагаемого гладким , Для абелевых многообразий хорошая редукция связана с ветвлением в области точек деления по критерию Нерона–Огга–Шафаревича . Теория тонкая, в том смысле, что свобода изменения переменных, чтобы попытаться улучшить ситуацию, довольно неочевидна: см. Модель Нерона , потенциально хорошая редукция , кривая Тейта , полустабильное абелева многообразие , полустабильная эллиптическая кривая , теорема Серра-Тейта .

Гипотеза Гротендика – Каца

Гипотеза Гротендика – Каца о p-кривизне применяет приведение простых чисел к алгебраическим дифференциальным уравнениям для получения информации о алгебраических функций решениях . Первоначальным результатом такого типа была теорема Эйзенштейна .

ЧАС

Принцип Хассе

Принцип Хассе гласит, что растворимость в глобальном поле такая же, как и растворимость во всех соответствующих локальных полях . Одна из основных целей диофантовой геометрии — классифицировать случаи, когда справедлив принцип Хассе. Обычно это касается большого числа переменных, когда степень уравнения остается фиксированной. Принцип Хассе часто связывают с успехом метода круга Харди-Литтлвуда . Когда метод круга работает, он может предоставить дополнительную количественную информацию, например асимптотическое число решений. Уменьшение количества переменных усложняет метод круга; поэтому нарушения принципа Хассе, например, для кубических форм с малым числом переменных (и в частности для эллиптических кривых как кубических кривых ), на общем уровне связаны с ограничениями аналитического подхода.

Хассе – Потому что L-функция

L-функция Хассе -Вейля , иногда называемая глобальной L-функцией, представляет собой произведение Эйлера, образованное из локальных дзета-функций. Свойства таких L-функций остаются в основном в области гипотез, а доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры является прорывом. Философия Ленглендса во многом дополняет теорию глобальных L-функций.

Функция высоты

Функция высоты в диофантовой геометрии количественно определяет размер решений диофантовых уравнений.

Гильбертовы поля

Гильбертово поле K — это поле, для которого проективные пространства над K не являются тонкими множествами в смысле Жана-Пьера Серра . Это геометрический взгляд на теорему о неприводимости Гильберта , который показывает, что рациональные числа гильбертовы. Результаты применены к обратной задаче Галуа . Тонкие множества (французское слово — mince ) в некотором смысле аналогичны скудным множествам (франц. maigre ) из теоремы Бэра о категориях .

я

Дзета-функция Игусы

Дзета -функция Игусы , названная в честь Дзюнъити Игуса , представляет собой производящую функцию, подсчитывающую количество точек на алгебраическом многообразии по модулю высоких степеней p. ^н фиксированного простого числа p . общие теоремы рациональности Сейчас известны , основанные на методах математической логики .

Бесконечный спуск

Бесконечный спуск был Пьера де Ферма классическим методом для решения диофантовых уравнений. Это стало одной половиной стандартного доказательства теоремы Морделла-Вейля, а другая часть представляла собой аргумент с функциями высоты (см.). Спуск — это что-то вроде деления на два в группе главных однородных пространств (часто называемых «спусками», когда они записаны уравнениями); в более современных терминах в группе когомологий Галуа , конечность которой нужно доказать. См. группу Зельмера .

Теория Ивасавы

Теория Ивасавы строится на основе аналитической теории чисел и теоремы Стикельбергера как теории групп идеальных классов как модулей Галуа и p-адических L-функций (с корнями в конгруэнтности Куммера на числах Бернулли ). Вначале, в конце 1960-х годов, его называли Ивасавы аналогом якобиана . Аналогия была с якобианом многообразия J кривой C над конечным полем F ( многообразием Пикара), где конечное поле имеет корни из единицы, добавленные для создания конечных расширений поля F ′. Локальная дзета-функция (см.) C может восстанавливаться по точкам J ( F ′ ) как модуль Галуа. Таким же образом Ивасава добавил р. ^н -степенные корни из единицы при фиксированном p и при n → ∞, для его аналога, к числовому полю K и рассмотрел обратный предел групп классов, найдя p -адическую L-функцию, ранее введенную Куботой и Леопольдтом.

К

К-теория

Алгебраическая К-теория , с одной стороны, является довольно общей теорией с оттенком абстрактной алгебры , а с другой стороны, включает в себя некоторые формулировки арифметических гипотез. См., например, гипотезу Берча – Тейта , гипотезу Лихтенбаума .

л

Гипотеза Ланга

Энрико Бомбьери (размерность 2), Серж Ланг и Пол Войта (случай целых точек) и Петр Бласс выдвинули гипотезу, что алгебраические многообразия общего типа не имеют плотных по Зарисскому подмножествов K -рациональных точек, поскольку K - конечно порожденное поле. В этот круг идей входит понимание аналитической гиперболичности и гипотезы Ланга о ней, а также гипотезы Войты. Аналитически гиперболическое алгебраическое многообразие V над комплексными числами — это такое, в которое не существует голоморфного отображения всей комплексной плоскости , которое не было бы постоянным. Примеры включают компактные римановы поверхности рода g > 1. Ланг предположил, что V аналитически гиперболично тогда и только тогда, когда все подмногообразия имеют общий тип.

Линейный тор

Линейный тор — это геометрически неприводимая по Зарисскому подгруппа аффинного тора (произведение мультипликативных групп).

Локальная дзета-функция

Локальная дзета-функция — это производящая функция для числа точек алгебраического многообразия V над конечным полем F над конечными расширениями полей F . Согласно гипотезам Вейля (см.) эти функции для неособых многообразий проявляют свойства, близко аналогичные дзета-функции Римана , включая гипотезу Римана .

М

Гипотеза Манина – Мамфорда

Гипотеза Манина -Мамфорда , теперь доказанная Мишелем Рейно , утверждает, что кривая C в ее якобиевом многообразии J имеющих конечный порядок в J , если только C = J. может содержать только конечное число точек ,

Гипотеза Морделла

Гипотеза Морделла теперь является теоремой Фалтингса и утверждает, что кривая рода не менее двух имеет только конечное число рациональных точек. Гипотеза о равномерности утверждает, что должна быть равномерная граница количества таких точек, зависящая только от рода и области определения.

Гипотеза Морделла – Ланга

Гипотеза Морделла-Лэнга, теперь доказанная Маккуилланом после работы Лорана, Рейно , Хиндри, Войты и Фалтингса , представляет собой гипотезу Ланга , объединяющую гипотезу Морделла и гипотезу Манина-Мамфорда в абелевом или полуабелевом многообразии .

Теорема Морделла – Вейля

Теорема Морделла-Вейля является основополагающим результатом, утверждающим, что для абелева многообразия A над числовым полем K группа A ( K ) является конечно порожденной абелевой группой . Первоначально это было доказано для числовых полей K , но распространяется на все конечно порожденные поля.

Морделлик сорт

Морделлово многообразие — это алгебраическое многообразие, которое имеет лишь конечное число точек в любом конечно порожденном поле.

Н

Наивная высота

Наивная высота или классическая высота вектора рациональных чисел — это максимальное абсолютное значение вектора взаимно простых целых чисел, полученного умножением на наименьший общий знаменатель . Это можно использовать для определения высоты точки в проективном пространстве над Q или многочлена, рассматриваемого как вектор коэффициентов, или алгебраического числа, исходя из высоты его минимального многочлена.

Символ Нерона

Символ Нерона представляет собой бимультипликативную пару между дивизорами и алгебраическими циклами абелева многообразия , используемую в формулировке Нерона высоты Нерона – Тейта как суммы локальных вкладов. Глобальный символ Нерона, который представляет собой сумму локальных символов, представляет собой всего лишь отрицательный результат пары высот.

Высота Нерона – Тейта

Высота Нерона -Тейта (также часто называемая канонической высотой ) на абелевом многообразии A представляет собой функцию высоты (см.), которая по существу является внутренней и является точной квадратичной формой , а не приблизительно квадратичной относительно сложения на A как обеспечивается общей теорией высот. Его можно определить с общей высоты предельным процессом; есть еще формулы, в том смысле, что это сумма местных вкладов.

Неванлинна инвариант

обильного Инвариант Неванлинны дивизора D на нормальном проективном многообразии X — это действительное число, которое описывает скорость роста числа рациональных точек на многообразии относительно вложения, определяемого дивизором. Он имеет формальные свойства, аналогичные абсциссе сходимости дзета-функции высоты , и предполагается, что они по существу одинаковы.

ТО

Обычное сокращение

Абелево многообразие A размерности d имеет обычную редукцию в простом числе p, если оно имеет хорошую редукцию в точке p и, кроме того, p -кручение имеет ранг d .

вопрос

Квазиалгебраическое замыкание

Тема квазиалгебраического замыкания , т.е. разрешимости, гарантированной полиномиальным по степени уравнения числом переменных, выросла из исследований группы Брауэра и теоремы Шевалле – Уорнинга . Оно застопорилось перед лицом контрпримеров ; но см. теорему Экса-Кохена из математической логики .

Р

Приведение по модулю простого числа или идеала

Смотрите хорошее сокращение .

Полный идеал

Полный идеал в числовом поле K является формальным произведением дробного идеала и K вектора положительных действительных чисел с компонентами, индексированными бесконечными позициями K . Полный дивизор — это дивизор Аракелова .

С

Гипотеза Сато – Тейта

Гипотеза Сато –Тейта описывает распределение элементов Фробениуса в модулях Тейта эллиптических кривых над конечными полями, полученных в результате приведения данной эллиптической кривой к рациональным числам. Микио Сато и независимо Джон Тейт предложил его примерно в 1960 году. Это прототип представлений Галуа в целом.

метод Скулема

См. метод Шаботи .

Специальный набор

Специальное множество в алгебраическом многообразии — это подмножество, в котором можно было бы ожидать найти много рациональных точек. Точное определение варьируется в зависимости от контекста. Одним из определений является замыкание Зарисского объединения образов алгебраических групп при нетривиальных рациональных отображениях; альтернативно можно получить изображения абелевых многообразий; другое определение — это объединение всех подмногообразий, не принадлежащих к общему типу. Для абелевых многообразий определением будет объединение всех транслятов собственных абелевых подмногообразий. Для комплексного многообразия голоморфное специальное множество — это замыкание Зарисского образов всех непостоянных голоморфных отображений из C . Ланг предположил, что аналитические и алгебраические специальные множества равны.

Теорема о подпространстве

Шмидта Теорема о подпространстве показывает, что точки малой высоты в проективном пространстве лежат в конечном числе гиперплоскостей. Количественная форма теоремы, в которой число подпространств, содержащих все решения, также была получена Шмидтом, а теорема была обобщена Шликкевеем (1977), чтобы обеспечить более общие абсолютные значения в числовых полях . Теорему можно использовать для получения результатов по диофантовым уравнениям , таких как теорема Зигеля о целых точках и решение S-единичного уравнения .

Т

Числа Тамагавы

Прямое определение числа Тамагавы хорошо работает только для линейных алгебраических групп . Там в конечном итоге была доказана гипотеза Вейля о числах Тамагавы . Для абелевых многообразий, и в частности гипотезы Берча-Суиннертона-Дайера (см.), подход чисел Тамагавы к локально-глобальному принципу терпит неудачу при прямой попытке, хотя на протяжении многих лет он имел эвристическую ценность. В настоящее время сложная гипотеза об эквивариантном числе Тамагавы является серьезной исследовательской проблемой.

Гипотеза Тейта

Гипотеза Тейта ( Джон Тейт , 1963) представляет собой аналог гипотезы Ходжа , также касающийся алгебраических циклов , но вполне в рамках арифметической геометрии. Это также дало для эллиптических поверхностей аналог гипотезы Берча-Свиннертона-Дайера (см.), что быстро привело к разъяснению последней и признанию ее важности.

Кривая Тейта

Кривая Тейта — это особая эллиптическая кривая над p-адическими числами, введенная Джоном Тейтом для изучения плохой редукции (см. Хорошая редукция ).

Tsen rank

Ранг Цен области , названный в честь К.С. Цена , который представил свое исследование в 1936 году. — наименьшее натуральное число i , если оно существует, такое, что поле принадлежит классу T _i : то есть такое, что любая система полиномов без постоянного члена степени d _j от n переменных имеет нетривиальный нуль всякий раз, когда n > Σ d _j ^я . Алгебраически замкнутые поля имеют нулевой ранг Цен. Ранг Цен больше или равен диофантовой размерности , но неизвестно, равны ли они, за исключением случая нулевого ранга.

В

Гипотеза об однородности

Гипотеза о равномерности утверждает, что для любого числового поля K и g > 2 существует равномерная граница B ( g , K ) количества K -рациональных точек на любой кривой рода g . Гипотеза вытекает из гипотезы Бомбьери-Ланга .

Маловероятное пересечение

Маловероятное пересечение — это алгебраическая подгруппа, пересекающая подмногообразие тора или абелева многообразия в множестве необычно большой размерности, например, которое участвует в гипотезе Морделла-Лэнга .

V

Гипотеза Войты

Гипотеза Войты представляет собой комплекс гипотез Пауля Войты , проводящих аналогии между диофантовым приближением и теорией Неванлинны .

В

Веса

Йога весов — это формулировка Александром Гротендиком аналогий между теорией Ходжа и l-адическими когомологиями .

Когомологии Вейля

Первоначальная идея, позже несколько модифицированная, для доказательства гипотез Вейля (см.) заключалась в построении теории когомологий, применимой к алгебраическим многообразиям над конечными полями , которая была бы так же хороша, как сингулярные гомологии, при обнаружении топологической структуры и имела бы отображения Фробениуса , действующие в таким образом, что теорему Лефшеца о неподвижной точке можно было применить к счету в локальных дзета-функциях . Для более поздней истории см. мотив (алгебраическая геометрия) , мотивные когомологии .

Предположения Вейля

Гипотезы Вейля — три весьма влиятельные гипотезы Андре Вейля , обнародованные около 1949 года, о локальных дзета-функциях. Доказательство было завершено в 1973 году. После доказательства остаются расширения сравнения теоремы Шевалле – Уорнинга , основанные на элементарном методе, и улучшения оценок Вейля , например, лучшие оценки для кривых числа точек, чем полученные из основных принципов Вейля. теорема 1940 года. Последняя оказывается интересной для кодов алгебраической геометрии .

Распределения Вейля на алгебраических многообразиях

Андре Вейль в 1920-х и 1930-х годах предложил теорию разложения алгебраических чисел по простым идеалам в координатах точек алгебраических многообразий. Оно осталось несколько недостаточно развитым.

функция Вейля

Функция Вейля на алгебраическом многообразии — это вещественная функция, определяемая некоторым дивизором Картье , который обобщает понятие функции Грина в теории Аракелова . Они используются при построении локальных компонент высоты Нерона–Тейта .

Машина высоты Weil

Машина высот Вейля — это эффективная процедура присвоения функции высоты любому дивизору на гладком проективном многообразии над числовым полем (или делителям Картье на негладких многообразиях).

См. также

• Глоссарий теории чисел
• Арифметическая топология
• Арифметическая динамика

Ссылки

• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том. 4. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-71229-3 . Збл   1130.11034 .
• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: Введение . Тексты для аспирантов по математике . Том. 201. ИСБН  0-387-98981-1 , Збл   0948.11023 .
• Ланг, Серж (1988). Введение в теорию Аракелова Нью-Йорк: Springer-Publishing . ISBN  0-387-96793-1 . МР   0969124 . Збл   0667.14001 .
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-61223-8 . Збл   0869.11051 .
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук. Том 322. Шпрингер-Верлаг . ISBN  978-3-540-65399-8 . Збл   0956.11021 .

Дальнейшее чтение

• Дино Лоренцини (1996), Приглашение к арифметической геометрии , Книжный магазин AMS, ISBN   978-0-8218-0267-0