Структурализм (философия математики)
Структурализм — это теория в философии математики , которая утверждает, что математические теории описывают структуры математических объектов . Математические объекты исчерпывающе определяются своим местом в таких структурах. Следовательно, структурализм утверждает, что математические объекты не обладают какими-либо внутренними свойствами , а определяются их внешними отношениями в системе. Например, структурализм считает, что число 1 исчерпывающе определено, будучи преемником 0 в структуре теории натуральных чисел . Обобщая этот пример, любое натуральное число определяется его соответствующим местом в этой теории. Другие примеры математических объектов могут включать линии и плоскости в геометрии или элементы и операции в абстрактной алгебре .
Структурализм является эпистемологически реалистической точкой зрения, согласно которой математические утверждения имеют объективную истинностную ценность . Однако его центральное утверждение относится только к тому, какой сущностью является математический объект, а не к тому, какой тип существования имеют математические объекты или структуры (другими словами, к их онтологии ). Вид существования математических объектов будет зависеть от существования структур, в которые они встроены; разные подвиды структурализма выдвигают в этом отношении разные онтологические претензии. [1]
Структурализм в философии математики особенно связан с Полом Бенацеррафом , Джеффри Хеллманом , Майклом Резником , Стюартом Шапиро и Джеймсом Франклином .
Историческая мотивация
[ редактировать ]Историческая мотивация развития структурализма вытекает из фундаментальной проблемы онтологии . Со времен Средневековья философы спорили о том, содержит ли онтология математики абстрактные объекты . В философии математики абстрактный объект традиционно определяется как сущность, которая:
(1) существует независимо от разума;
(2) существует независимо от эмпирического мира; и
(3) обладает вечными, неизменяемыми свойствами.
Традиционный математический платонизм утверждает, что некоторый набор математических элементов — натуральные числа , вещественные числа , функции , отношения , системы — являются такими абстрактными объектами. Напротив, математический номинализм отрицает существование любых подобных абстрактных объектов в онтологии математики.
В конце 19 — начале 20 века приобрели популярность ряд антиплатонистских программ. К ним относятся интуиционизм , формализм и предикативизм . Однако к середине 20-го века у этих антиплатонистских теорий появился ряд собственных проблем. Впоследствии это привело к возрождению интереса к платонизму. Именно в этом историческом контексте развивались мотивы структурализма. В 1965 году Поль Бенацерраф опубликовал статью под названием «Какие числа не могут быть». [2] Бенасерраф пришел к выводу, основываясь на двух основных аргументах, что теоретико-множественный платонизм не может добиться успеха как философская теория математики.
Во-первых, Бенасерраф утверждал, что платонические подходы не выдерживают онтологической проверки. [2] Он разработал аргумент против онтологии теоретико-множественного платонизма, который теперь исторически называется проблемой идентификации Бенацеррафа . Бенасерраф отметил, что существуют элементарно эквивалентные теоретико-множественные способы соотнесения натуральных чисел с чистыми множествами . Однако если кто-то запрашивает «истинные» утверждения тождества для связи натуральных чисел с чистыми множествами, то различные теоретико-множественные методы дают противоречивые утверждения тождества, когда эти элементарно эквивалентные множества связаны друг с другом. [2] Это порождает теоретико-множественную ложь. Следовательно, Бенацерраф пришел к выводу, что эта теоретико-множественная ложь демонстрирует невозможность существования какого-либо платоновского метода сведения чисел к множествам, который раскрывал бы какие-либо абстрактные объекты.
Во-вторых, Бенасерраф утверждал, что платонические подходы не выдерживают эпистемологической проверки. Бенасерраф утверждал, что не существует эмпирического или рационального метода доступа к абстрактным объектам. Если математические объекты не являются пространственными или временными, то Бенасерраф делает вывод, что такие объекты недоступны через причинную теорию познания . [3] Таким образом, перед платоником возникает фундаментальная эпистемологическая проблема: предложить правдоподобное объяснение того, как математик с ограниченным эмпирическим умом способен точно получить доступ к независимым от разума, независимым от мира, вечным истинам. Именно из этих соображений, онтологического аргумента и эпистемологического аргумента, антиплатоническая критика Бенасеррафа мотивировала развитие структурализма в философии математики.
Разновидности
[ редактировать ]Стюарт Шапиро делит структурализм на три основные школы мысли. [4] Эти школы называются ante rem , in re и post rem .
- ante rem структурализм [5] («до вещи»), или абстрактный структурализм [4] или абстракционизм [6] [7] (особенно связан с Майклом Резником , [4] Стюарт Шапиро , [4] Эдвард Н. Залта , [8] и Ойстейн Линнебо ) [9] имеет сходную онтологию с платонизмом (см. также модальный неологицизм ). Считается, что структуры существуют реально, но абстрактно и нематериально. По существу, она сталкивается со стандартной эпистемологической проблемой, как отметил Бенасерраф, объясняющей взаимодействие между такими абстрактными структурами и математиками из плоти и крови. [3]
- Реструктурализм [5] («в вещи»), [5] или модальный структурализм [4] (особенно связанный с Джеффри Хеллманом ), [4] является эквивалентом аристотелевского реализма [10] (реализм в истинностном значении, но антиреализм в отношении абстрактных объектов в онтологии). Структуры считаются существующими постольку, поскольку их примером является некая конкретная система. Это влечет за собой обычные проблемы, заключающиеся в том, что некоторые совершенно законные структуры могут случайно не существовать, и что конечный физический мир может оказаться недостаточно «большим», чтобы вместить некоторые в других отношениях законные структуры. Аристотелевский реализм Джеймса Франклина также является реструктуризмом , утверждающим, что структурные свойства, такие как симметрия, реализуются в физическом мире и воспринимаемы. [11] Отвечая на проблему неконкретизированных структур, которые слишком велики, чтобы вписаться в физический мир, Франклин отвечает, что другие науки также могут иметь дело с неконкретизированными универсалиями; например, наука о цвете может иметь дело с оттенком синего, который не встречается ни на одном реальном объекте. [12]
- Постремальный структурализм [13] («после вещи»), или элиминативный структурализм [4] (особенно связан с Полем Бенасеррафом ), [4] является антиреалистом в отношении структур, что соответствует номинализму . Как и номинализм, подход post rem отрицает существование абстрактных математических объектов со свойствами, отличными от их места в реляционной структуре. Согласно этой точке зрения, математические системы существуют и имеют общие структурные особенности. Если что-то верно в отношении структуры, то это будет верно и для всех систем, воплощающих эту структуру. Однако говорить о том, что структуры «общие» между системами, просто полезно: на самом деле они не имеют независимого существования.
См. также
[ редактировать ]- Абстрактная теория объектов
- Основы математики
- Одновалентные фундаменты
- Аристотелевская реалистическая философия математики
Прекурсоры
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Браун, Джеймс (2008). Философия математики . Рутледж. п. 62 . ISBN 978-0-415-96047-2 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Бенасерраф, Пол (1965). «Каких чисел не могло быть». Философский обзор . 74 (1): 47–73. дои : 10.2307/2183530 . JSTOR 2183530 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Бенасерраф, Пол (1983). «Математическая истина» . В Патнэме, штат Вашингтон; Бенасерраф, П. (ред.). Философия математики: Избранные материалы (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 403–420. ISBN 978-0-521-29648-9 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г час Шапиро, Стюарт (май 1996 г.). «Математический структурализм». Философия Математика . 4 (2): 81–82. дои : 10.1093/филмат/4.2.81 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Шапиро 1997 , с. 9
- ^ Теннант, Нил (2017), «Логицизм и неологизм» , в Залте, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. зимой 2017 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 10 июля 2022 г.
- ^ Не путать с абстракционистским платонизмом .
- ^ Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (февраль 2011 г.). «Логически последовательный структурализм Ante Rem» (PDF) . Семинар по онтологическим зависимостям . Бристольский университет.
- ^ Линнебо, Эйстейн (2018). Тонкие объекты: рассказ абстракциониста . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-255896-1 .
- ^ да Силва, Хайро Хосе (2017). Математика и ее приложения: трансцендентально-идеалистическая перспектива . Спрингер. п. 265. ИСБН 978-3-319-63073-1 .
- ^ Франклин 2014 , стр. 48–59.
- ^ Франклин, Джеймс (2015). «Неконкретизированные свойства и полуплатонический аристотелизм» . Обзор метафизики . 69 (1): 25–45. JSTOR 24636591 . Проверено 29 июня 2021 г.
- ^ Нефдт, Райан М. (2018). «Инференциализм и структурализм: история двух теорий» . Логика и анализ . 244 : 489–512. дои : 10.2143/LEA.244.0.3285352 .
Библиография
[ редактировать ]- Франклин, Джеймс (2014). Аристотелевская реалистическая философия математики: математика как наука о количестве и структуре . Пэлгрейв Макмиллан. ISBN 978-1-137-40072-7 .
- Резник, Майкл (1982). «Математика как наука о закономерностях: эпистемология». Нус . 16 (1): 95–105. дои : 10.2307/2215419 . JSTOR 2215419 .
- Резник, Майкл (1997). Математика как наука о закономерностях . Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-825014-2 .
- Шапиро, Стюарт (1997). Философия математики: структура и онтология . Издательство Оксфордского университета. дои : 10.1093/0195139305.001.0001 . ISBN 978-0-19-513930-3 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Математический структурализм , Интернет-энциклопедия философии
- Абстракционизм , Интернет-энциклопедия философии
- Исследовательский проект «Основы структурализма» , Бристольский университет, Великобритания