h-кобордизм

В геометрической топологии и дифференциальной топологии ( n + 1)-мерный кобордизм W между n -мерными многообразиями M и N является h -кобордизмом ( h обозначает гомотопическую эквивалентность ), если включение отображает

M\hookrightarrow W\quad {\mbox{and}}\quad N\hookrightarrow W

являются гомотопическими эквивалентностями.

Теорема о h -кобордизме дает достаточные условия для того, чтобы h -кобордизм был тривиален, т. е. был C -изоморфен цилиндру M × [0, 1]. Здесь C относится к любой категории гладких , кусочно-линейных или топологических многообразий.

Теорема была впервые доказана Стивеном Смейлом , за что он получил медаль Филдса , и является фундаментальным результатом в теории многообразий большой размерности. Во-первых, это почти сразу доказывает обобщенную гипотезу Пуанкаре .

Фон

До того, как Смейл доказал эту теорему, математики застряли, пытаясь понять многообразия размерности 3 или 4, и предполагали, что случаи с более высокими размерностями еще сложнее. Теорема h -кобордизма показала, что (односвязные) многообразия размерности не менее 5 гораздо проще, чем многообразия размерности 3 или 4. Доказательство теоремы зависит от « трюка Уитни » Хасслера Уитни , который геометрически распутывает гомологически-распутанные многообразия. сферы дополнительной размерности в многообразии размерности >4. Неофициальная причина того, почему многообразия размерности 3 или 4 необычайно сложны, заключается в том, что этот трюк не работает в измерениях меньшего размера, где нет места запутанности.

Точная формулировка теоремы о h -кобордизмах

Пусть n не менее 5 и W — компактный ( n + 1)-мерный h -кобордизм между M и N в категории C = Diff , PL или Top такой, W , M и N односвязны что . Тогда W -изоморфен C × M [0, 1]. Изоморфизм можно выбрать тождественным на M × {0}.

Это означает, что гомотопическая эквивалентность между M и N (или между M × [0, 1], W и N × [0, 1]) гомотопна C -изоморфизму.

Версии меньшего размера

При n = 4 теорема о h -кобордизме неверна. Это можно увидеть, поскольку Уолл доказал ^[1] что замкнутые ориентированные односвязные топологические четырехмногообразия с эквивалентными формами пересечения h -кобордантны. Однако если форма пересечения нечетна, существуют негомеоморфные 4-многообразия с той же формой пересечения (отличающиеся классом Кирби-Зибенмана ). Например, КП ² и ложная проективная плоскость одного и того же гомотопического типа не гомеоморфны, но обе имеют форму пересечения (1).

Для n = 3 теорема h -кобордизма для гладких многообразий не доказана и в силу 3-мерной гипотезы Пуанкаре эквивалентна трудному открытому вопросу о том, имеет ли 4-сфера нестандартные гладкие структуры .

Для n = 2 теорема о h -кобордизме эквивалентна гипотезе Пуанкаре, высказанной Пуанкаре в 1904 году (одна из задач тысячелетия ^[2]) и было доказано Григорием Перельманом в серии из трёх статей в 2002 и 2003 годах, ^[3]^[4]^[5] где он следует Ричарда С. Гамильтона, программе используя поток Риччи .

При n = 1 теорема о h -кобордизме верна, поскольку не существует замкнутого односвязного одномерного многообразия.

При n = 0 теорема о h -кобордизме тривиально верна: интервал является единственным связным кобордизмом между связными 0-многообразиями.

Доказательный эскиз

Морса Функция $f:W\to [a,b]$ индуцирует ручке разложение W по , т. е. если в $f^{-1}([c,c'])$ , то восходящий кобордизм $W_{c'}$ получается из $W_{c}$ прикрепив k -ручку. Цель доказательства - найти разложение ручки вообще без ручек, чтобы интегрирование ненулевого векторного поля градиента f давало желаемый диффеоморфизм тривиальному кобордизму.

Это достигается с помощью ряда методов.

1) Перестановка ручки

Во-первых, мы хотим переупорядочить все дескрипторы по порядку, чтобы дескрипторы более низкого порядка были прикреплены первыми. Таким образом, вопрос в том, когда мы сможем снять i -ручку с j -ручки? Это можно сделать с помощью радиальной изотопии, если сфера крепления i и сфера пояса j не пересекаются. Таким образом, мы хотим $(i-1)+(n-j)\leq \dim \partial W-1=n-1$ что эквивалентно $i\leq j$ .

Затем мы определяем комплекс цепочки дескрипторов $(C_{*},\partial _{*})$ позволяя $C_{k}$ — свободная абелева группа на k -ручках и определяющая $\partial _{k}:C_{k}\to C_{k-1}$ отправив k -дескриптор $h_{\alpha }^{k}$ к $\sum _{\beta }\langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle h_{\beta }^{k-1}$ , где $\langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle$ — номер пересечения k -прикрепляющей сферы и ( k − 1)-поясной сферы.

2) Обработка отмены

Далее мы хотим «отменить» дескрипторы. Идея состоит в том, что присоединение k -дескриптора $h_{\alpha }^{k}$ может создать дыру, которую можно заполнить, прикрепив ( k + 1)-метку $h_{\beta }^{k+1}$ . Это означало бы, что $\partial _{k+1}h_{\beta }^{k+1}=\pm h_{\alpha }^{k}$ и поэтому $(\alpha ,\beta )$ запись в матрице $\partial _{k+1}$ было бы $\pm 1$ . Однако когда это условие является достаточным? То есть, когда мы сможем геометрически отменить ручки, если это условие истинно? Ответ заключается в тщательном анализе того, когда многообразие остается односвязным после удаления рассматриваемых сфер крепления и пояса, и обнаружении встроенного диска с помощью трюка Уитни . Этот анализ приводит к требованию, чтобы n было не менее 5. Более того, при доказательстве требуется, чтобы кобордизм не имел 0-, 1-, n- или ( n + 1)-ручек, что получается следующим приемом .

3) Заниматься торговлей

Идея торговли дескрипторами состоит в том, чтобы создать пару отменяющих дескрипторов ( k + 1)- и ( k + 2) так, чтобы данный k -дескриптор отменялся с ( k + 1)-дескриптором, оставляя после себя ( k + 2) -дескрипторы. )-ручка. Для этого рассмотрим ядро k -дескриптора, которое является элементом в $\pi _{k}(W,M)$ . Эта группа тривиальна, поскольку W является h -кобордизмом. Итак, есть диск $D^{k+1}$ который мы можем по желанию сгущать до сокращающей пары, если мы можем встроить этот диск в границу W . Это вложение существует, если $\dim \partial W-1=n-1\geq 2(k+1)$ . Поскольку мы предполагаем, что n равно не менее 5, это означает, что k равно 0 или 1. Наконец, рассматривая отрицательное значение данной функции Морса, − f , мы можем перевернуть разложение указателя вверх дном, а также удалить n - и ( n +1)-обрабатывает по желанию.

4) Ручка скользящая

Наконец, мы хотим убедиться, что выполнение операций со строками и столбцами на $\partial _{k}$ соответствует геометрической операции. Действительно, нетрудно показать (лучше всего это сделать, нарисовав рисунок), что скольжение k -ручки $h_{\alpha }^{k}$ над другим k -дескриптором $h_{\beta }^{k}$ заменяет $h_{\alpha }^{k}$ к $h_{\alpha }^{k}\pm h_{\beta }^{k}$ в основе для $C_{k}$ .

Доказательство теоремы теперь следует: комплекс цепочек ручек точен, поскольку $H_{*}(W,M;\mathbb {Z} )=0$ . Таким образом $C_{k}\cong \operatorname {coker} \partial _{k+1}\oplus \operatorname {im} \partial _{k+1}$ с тех пор как $C_{k}$ бесплатны. Затем $\partial _{k}$ , которая является целочисленной матрицей, ограничивается обратимым морфизмом, который, таким образом, может быть диагонализирован с помощью элементарных операций над строками (скольжение ручки) и должен иметь только $\pm 1$ на диагонали, потому что она обратима. Таким образом, все дескрипторы соединяются с одним другим дескриптором отмены, что дает разложение без дескрипторов.

Теорема о s -кобордизме

Если отбросить предположение об M и N односвязности , h -кобордизмы не обязательно должны быть цилиндрами; препятствием является в точности кручение Уайтхеда τ ( W , M ) включения $M\hookrightarrow W$ .

Точнее, о s теорема -кобордизме ( s означает простую гомотопическую эквивалентность ), доказанная независимо Барри Мазуром , Джоном Столлингсом и Деннисом Барденом , утверждает (предположения, аналогичные приведенным выше, но где M и N не обязательно должны быть просто связаны):

h кручение -кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда Уайтхеда τ ( W , M ) обращается в нуль.

Кручение исчезает тогда и только тогда, когда выполнено включение $M\hookrightarrow W$ это не просто гомотопическая эквивалентность, а простая гомотопическая эквивалентность .

Заметим, что не обязательно предполагать, что другое включение $N\hookrightarrow W$ также является простой гомотопической эквивалентностью, что следует из теоремы.

Категорически h -кобордизмы образуют группоид .

Тогда более тонкая формулировка теоремы о s -кобордизмах состоит в том, что классы изоморфизма этого группоида (с точностью до C -изоморфизма h -кобордизмов) являются торсорами для соответствующих ^[6] Группы Уайтхеда Wh(π), где $\pi \cong \pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(W)\cong \pi _{1}(N).$

См. также

Полу- s -кобордизм

Примечания

^ Уолл, CTC (1964). «Об односвязных 4-многообразиях». Журнал Лондонского математического общества . 39 : 141–49.
^ «Проблемы тысячелетия | Математический институт Клэя» . www.claymath.org . Проверено 30 марта 2016 г.
^ Перельман, Гриша (11 ноября 2002 г.). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math/0211159 .
^ Перельман, Гриша (10 марта 2003 г.). «Поток Риччи с хирургией на трёх многообразиях». arXiv : math/0303109 .
^ Перельман, Гриша (17 июля 2003 г.). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv : math/0307245 .
^ Обратите внимание, что для идентификации групп Уайтхеда различных многообразий необходимо выбрать базовые точки. $m\in M,n\in N$ и путь в W, соединяющий их.

Ссылки

Фридман, Майкл Х ; Куинн, Фрэнк (1990). Топология 4-многообразий . Принстонская математическая серия. Том. 39. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08577-3 . (Это подтверждает теорему для топологических 4-многообразий.)
Милнор, Джон , Лекции по теореме о h-кобордизме , заметки Л. Зибенмана и Дж. Сондоу, Princeton University Press , Принстон, Нью-Джерси, 1965. v+116 стр. Это дает доказательство для гладких многообразий.
Рурк, Колин Патрик; Сандерсон, Брайан Джозеф, Введение в кусочно-линейную топологию , Springer Study Edition, Springer-Verlag , Берлин-Нью-Йорк, 1982. ISBN 3-540-11102-6 . Это доказывает теорему для PL-многообразий.
Смейл С., «О строении многообразий». Амер. J. Math., 84 (1962), стр. 387–399.
Рудяк, Ю.Б. (2001) [1994], «h-кобордизм» , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Уолл, CTC (1964). «Об односвязных 4-многообразиях». Журнал Лондонского математического общества . 39 : 141–49.

[2] «Проблемы тысячелетия | Математический институт Клэя» . www.claymath.org . Проверено 30 марта 2016 г.

[3] Перельман, Гриша (11 ноября 2002 г.). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math/0211159 .

[4] Перельман, Гриша (10 марта 2003 г.). «Поток Риччи с хирургией на трёх многообразиях». arXiv : math/0303109 .

[5] Перельман, Гриша (17 июля 2003 г.). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv : math/0307245 .

[6] Обратите внимание, что для идентификации групп Уайтхеда различных многообразий необходимо выбрать базовые точки. $m\in M,n\in N$ и путь в W, соединяющий их.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]