Модель Бозе – Хаббарда

Модель Бозе-Хаббарда дает описание физики взаимодействующих бесспиновых бозонов на решетке . Она тесно связана с моделью Хаббарда , возникшей в физике твердого тела как приближенное описание сверхпроводящих систем и движения электронов между атомами кристаллического твердого тела . Модель была представлена Гершем и Ноллманом. ^[1] в 1963 году в контексте гранулированных сверхпроводников. (Термин « Бозе » в названии указывает на то, что частицы в системе являются бозонными .) Модель приобрела известность в 1980-х годах после того, как было обнаружено, что она отражает суть перехода сверхтекучий изолятор таким способом, который был гораздо более математически понятны, чем модели фермионного металла-изолятора. ^[2]^[3]^[4]

Модель Бозе-Хаббарда можно использовать для описания физических систем, таких как бозонные атомы в оптической решетке . ^[5] а также некоторые магнитные изоляторы. ^[6]^[7] Более того, его можно обобщить и применить к смесям Бозе-Ферми, и в этом случае соответствующий гамильтониан называется гамильтонианом Бозе-Ферми-Хаббарда.

гамильтониан

Физика этой модели определяется гамильтонианом Бозе – Хаббарда:

H=-t\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\left({\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{j}+{\hat {b}}_{j}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}\right)+{\frac {U}{2}}\sum _{i}{\hat {n}}_{i}\left({\hat {n}}_{i}-1\right)-\mu \sum _{i}{\hat {n}}_{i}.

Здесь, $\left\langle i,j\right\rangle$ обозначает суммирование по всем соседним узлам решетки $i$ и $j$ , пока ${\hat {b}}_{i}^{\dagger }$ и ${\hat {b}}_{i}^{}$ являются бозонными операторами рождения и уничтожения, такими что ${\hat {n}}_{i}={\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}$ дает количество частиц на месте $i$ . Модель параметризуется амплитудой прыжка $t$ описывающее подвижность бозонов в решетке, внутриузловое взаимодействие $U$ что может быть привлекательным( $U<0$ ) или отталкивающий ( $U>0$ ), а химический потенциал $\mu$ , который по сути устанавливает количество частиц. Если не указано иное, обычно фраза «модель Бозе-Хаббарда» относится к случаю, когда взаимодействие на месте является отталкивающим.

Этот гамильтониан имеет глобальную $U(1)$ симметрия, что означает, что он инвариантен (его физические свойства не изменяются) при преобразовании ${\hat {b}}_{i}\rightarrow e^{i\theta }{\hat {b}}_{i}$ . В сверхтекучей фазе эта симметрия спонтанно нарушается .

Гильбертово пространство

Размерность гильбертова пространства модели Бозе – Хаббарда определяется выражением $D_{b}=(N_{b}+L-1)!/N_{b}!(L-1)!$ , где $N_{b}$ - общее число частиц, а $L$ обозначает общее количество узлов решетки. При фиксированном $N_{b}$ или $L$ , размерность гильбертова пространства $D_{b}$ растет полиномиально, но при фиксированной плотности $n_{b}$ бозонов на узел, оно растет экспоненциально по мере ${\textstyle D_{b}\sim \left[(1+n_{b})\left(1+{\frac {1}{n_{b}}}\right)^{n_{b}}\right]^{L}}$ . Аналогичные гамильтонианы могут быть сформулированы для описания бесспиновых фермионов (модель Ферми-Хаббарда) или смесей атомов разных типов (например, смеси Бозе-Ферми). В случае смеси гильбертово пространство представляет собой просто тензорное произведение гильбертовых пространств отдельных видов. Обычно для моделирования взаимодействия между видами включаются дополнительные термины.

Фазовая диаграмма

При нулевой температуре модель Бозе–Хаббарда (при отсутствии беспорядка) находится либо в изолирующем состоянии Мотта при малых $t/U$ , или в сверхтекучем состоянии вообще $t/U$ . ^[8] Изолирующие фазы Мотта характеризуются целочисленными плотностями бозонов, наличием энергетической щели для частично-дырочных возбуждений и нулевой сжимаемостью . Сверхтекучая жидкость характеризуется дальнодействующей фазовой когерентностью, спонтанным нарушением непрерывного гамильтониана. $U(1)$ симметрия, ненулевая сжимаемость и сверхтекучая восприимчивость. При ненулевой температуре в определенных режимах параметров появляется регулярная жидкая фаза, не нарушающая $U(1)$ симметрии и не проявляет фазовой когерентности. Обе эти фазы экспериментально наблюдались в ультрахолодных атомарных газах. ^[9]

При наличии беспорядка существует третья фаза «бозе-стекла». ^[4] Бозе-стекло представляет собой фазу Гриффитса, и его можно рассматривать как изолятор Мотта, содержащий редкие «лужицы» сверхтекучей жидкости. Эти сверхтекучие бассейны не связаны между собой, поэтому система остается изолирующей, но их присутствие существенно меняет термодинамику модели. Фаза бозе-стекла характеризуется конечной сжимаемостью, отсутствием щели и бесконечной сверхтекучей восприимчивостью . ^[4] Он является изолирующим, несмотря на отсутствие щели, поскольку низкая туннельность препятствует генерации возбуждений, хотя и близких по энергии, но пространственно разделенных. Бозе-стекло имеет ненулевой параметр порядка Эдвардса-Андерсона. ^[10]^[11] и было предложено (но не доказано) отображать нарушение симметрии реплик . ^[12]

Теория среднего поля

Фазы чистой модели Бозе – Хаббарда можно описать с помощью гамильтониана среднего поля : ^[13] ${\begin{aligned}H_{\textrm {MF}}&=\sum _{i}\left[-\mu {\hat {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\hat {n}}_{i}({\hat {n}}_{i}-1)-zt(\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}+\psi {\hat {b}}_{i}^{\dagger })+zt\psi ^{*}\psi \right]\end{aligned}}$ где $z$ решетки – координационное число . Это можно получить из полного гамильтониана Бозе – Хаббарда, полагая ${\hat {b}}_{i}\rightarrow \psi +\delta {\hat {b}}$ где $\psi =\langle {\hat {b}}_{i}\rangle$ , пренебрегая членами, квадратичными по $\delta {\hat {b}}_{i}$ (предположительно бесконечно малые) и перемаркировка $\delta {\hat {b}}_{i}\rightarrow {\hat {b}}_{i}$ . Поскольку такое разделение нарушает $U(1)$ симметрия исходного гамильтониана для всех ненулевых значений $\psi$ , этот параметр действует как сверхтекучий параметр порядка . Для простоты это разделение предполагает $\psi$ быть одинаковым на каждом участке, что исключает появление экзотических фаз, таких как супертвердые вещества или другие неоднородные фазы. (Возможны и другие развязки.) Фазовую диаграмму можно определить, вычислив энергию этого гамильтониана среднего поля с использованием теории возмущений второго порядка и найдя условие, при котором $\psi \neq 0$ . Для этого гамильтониан записывается как локальный по сайту фрагмент плюс возмущение: $H_{\textrm {MF}}=\sum _{i}\left[h_{i}^{(0)}-zt(\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}+\psi {\hat {b}}_{i}^{\dagger })\right]\quad {\textrm {with}}\quad h_{i}^{(0)}=-\mu {\hat {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\hat {n}}_{i}({\hat {n}}_{i}-1)+zt\psi ^{*}\psi$ где билинейные члены $\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}$ и его сопряженная функция рассматриваются как возмущение. Параметр заказа $\psi$ предполагается малым вблизи фазового перехода . Локальный член диагональен в базисе Фока , что дает энергетический вклад нулевого порядка: $E_{m}^{(0)}=-\mu m+{\frac {U}{2}}m(m-1)+zt|\psi |^{2}$ где $m$ — целое число, обозначающее заполнение состояния Фока. Пертурбативную часть можно рассматривать с помощью теории возмущений второго порядка, что приводит к: $E_{m}^{(2)}=zt|\psi |^{2}\sum _{n\neq m}{\frac {|\langle m|({\hat {b}}_{i}^{\dagger }+{\hat {b}}_{i})|n\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}=-(zt)^{2}|\psi |^{2}\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right).$ Энергию можно выразить в виде разложения в ряд по четным степеням параметра порядка (также известного как формализм Ландау ): $E={\text{constant}}+R|\psi |^{2}+W|\psi |^{4}+...$ После этого условие фазового перехода второго рода среднего поля между изолятором Мотта и сверхтекучей фазой определяется выражением: $r={\frac {R}{zt}}=1+zt\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right)=0$ где целое число $m$ описывает наполнение $m^{th}$ Изолирующий выступ Мотта. Построение линии $r=0$ для разных целочисленных значений $m$ генерирует границу различных лепестков Мотта, как показано на фазовой диаграмме. ^[4]

Реализация в оптических решетках

Ультрахолодные атомы в оптических решетках считаются стандартной реализацией модели Бозе – Хаббарда. Возможность настройки параметров модели с помощью простых экспериментальных методов и отсутствие динамики решетки, которая присутствует в твердотельных электронных системах, означают, что ультрахолодные атомы предлагают чистую, контролируемую реализацию модели Бозе-Хаббарда. ^[14]^[5] Самым большим недостатком технологии оптических решеток является время жизни ловушки: атомы обычно задерживаются всего на несколько десятков секунд.

Чтобы понять, почему ультрахолодные атомы предлагают такую удобную реализацию физики Бозе-Хаббарда, можно вывести гамильтониан Бозе-Хаббарда, исходя из второго квантованного гамильтониана, который описывает газ ультрахолодных атомов в потенциале оптической решетки. Этот гамильтониан определяется выражением:

H=\int {\rm {d}}^{3}r\!\left[{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}})\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{\rm {latt.}}({\vec {r}})\right){\hat {\psi }}({\vec {r}})+{\frac {g}{2}}{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})-\mu {\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})\right]

,

где $V_{latt}$ – оптический потенциал решетки, $g$ – амплитуда (контактного) взаимодействия, $\mu$ – химический потенциал. Приближение сильной связи приводит к замене ${\textstyle {\hat {\psi }}({\vec {r}})=\sum \limits _{i}w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})b_{i}^{\alpha }}$ , что приводит к гамильтониану Бозе-Хаббарда, физика ограничена самой нижней зоной ( $\alpha =0$ ) и взаимодействия локальны на уровне дискретной моды. Математически это можно сформулировать как требование, чтобы ${\textstyle \int w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})w_{j}^{\beta }({\vec {r}})w_{k}^{\gamma }(r)w_{l}^{\delta }({\vec {r}})\,{\rm {d}}^{3}r=0}$ за исключением случая $i=j=k=l\wedge \alpha =\beta =\gamma =\delta =0$ . Здесь, $w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})$ - функция Ванье для частицы в потенциале оптической решетки, локализованном вокруг узла $i$ решетки и для $\alpha$ полоса Блоха . ^[15]

Тонкости и приближения

Приближение сильной связи значительно упрощает второй квантованный гамильтониан, хотя в то же время вводит несколько ограничений:

Для одноузловых состояний с несколькими частицами в одном состоянии взаимодействия могут связываться с более высокими полосами Блоха, что противоречит базовым предположениям. Тем не менее, однозонная модель способна учитывать физику низких энергий в такой ситуации, но с параметрами U и J, которые становятся зависимыми от плотности. Вместо одного параметра U энергия взаимодействия n частиц может быть описана выражением $U_{n}$ близко, но не равно U. ^[15]
При рассмотрении (быстрой) динамики решетки к гамильтониану добавляются дополнительные члены, так что зависящее от времени уравнение Шредингера подчиняется (зависящему от времени) базису функции Ванье. Эти термины взяты из зависимости функций Ванье от времени. ^[16]^[17] В противном случае динамику решетки можно учесть, сделав ключевые параметры модели зависящими от времени и изменяющимися в зависимости от мгновенного значения оптического потенциала.

Результаты эксперимента

Квантовые фазовые переходы в модели Бозе-Хаббарда экспериментально наблюдались Грейнером и др., ^[9] и параметры взаимодействия, зависящие от плотности $U_{n}$ наблюдались группой Иммануила Блоха . ^[18] Получение изображения модели Бозе-Хаббарда с одноатомным разрешением стало возможным с 2009 года с использованием квантовых газовых микроскопов. ^[19]^[20]^[21]

Дальнейшие применения

Модель Бозе-Хаббарда представляет интерес в области квантовых вычислений и квантовой информации. С помощью этой модели можно изучить запутанность ультрахолодных атомов. ^[22]

Численное моделирование

При расчете состояний низкой энергии используется член, пропорциональный $n^{2}U$ означает, что большое заселение одного узла маловероятно, что позволяет сократить локальное гильбертово пространство до состояний, содержащих не более $d<\infty$ частицы. Тогда размерность локального гильбертова пространства равна $d+1.$ Размерность полного гильбертова пространства растет экспоненциально с увеличением количества узлов решетки, ограничивая точное компьютерное моделирование всего гильбертова пространства системами из 15-20 частиц в 15-20 узлах решетки. ^{[ нужна ссылка ]} Экспериментальные системы содержат несколько миллионов сайтов со средней заполненностью выше единицы. ^{[ нужна ссылка ]}

Одномерные решетки можно изучать с использованием ренормгруппы матрицы плотности (DMRG) и связанных с ней методов, таких как прореживание блоков с развитием во времени (TEBD). Это включает в себя расчет основного состояния гамильтониана для систем из тысяч частиц на тысячах узлов решетки и моделирование его динамики, определяемой зависящим от времени уравнением Шредингера . Недавно, ^{[ когда? ]} двумерные решетки изучались с использованием проецируемых состояний запутанных пар , обобщения состояний матричного продукта в более высоких измерениях, как для основного состояния, так и для основного состояния. ^[23] и конечная температура. ^[24]

Высшие размерности существенно сложнее из-за быстрого роста запутанности . ^[25]

Все измерения можно обрабатывать с помощью Монте-Карло . квантовых алгоритмов ^{[ нужна ссылка ]} которые дают возможность изучать свойства тепловых состояний гамильтониана, в частности основного состояния.

Обобщения

Гамильтонианы типа Бозе-Хаббарда могут быть получены для различных физических систем, содержащих ультрахолодный атомный газ в периодическом потенциале. Они включают в себя:

системы с более дальнодействующими взаимодействиями плотность-плотность вида $Vn_{i}n_{j}$ , что может стабилизировать сверхтвердую фазу при определенных значениях параметров
димеризованные магниты, в которых электроны со спином 1/2 связаны в пары, называемые димерами, которые имеют бозонную статистику возбуждения и описываются моделью Бозе-Хаббарда.
дальнодействующее диполярное взаимодействие ^[26]
системы с туннельными членами, индуцированными взаимодействием $a_{i}^{\dagger }(n_{i}+n_{j})a_{j}$ ^[27]
внутренняя спиновая структура атомов, например, из-за захвата всего вырожденного многообразия сверхтонких спиновых состояний (для F = 1 это приводит к модели Бозе – Хаббарда со спином 1) ^[28]^{[ нужны разъяснения ]}
ситуации, когда газ испытывает дополнительный потенциал, например, в неупорядоченных системах. ^[29] Беспорядок может быть реализован с помощью спекл-паттерна или с использованием второй, несоизмеримой, более слабой оптической решетки. В последнем случае включение расстройства сводится к включению дополнительного термина вида: $H_{I}=V_{d}\sum \limits _{i}\cos(ki+\varphi ){\hat {n}}_{i}$ .

См. также

Модель Джейнса – Каммингса – Хаббарда

Ссылки

^ Герш, Х.; Ноллман, Г. (1963). «Модель квантовой ячейки для бозонов». Физический обзор . 129 (2): 959. Бибкод : 1963PhRv..129..959G . дои : 10.1103/PhysRev.129.959 .
^ Ма, М.; Гальперин, Б.И.; Ли, Пенсильвания (1 сентября 1986 г.). «Сильно неупорядоченные сверхтекучие жидкости: квантовые флуктуации и критическое поведение». Физический обзор B . 34 (5): 3136–3143. Бибкод : 1986PhRvB..34.3136M . дои : 10.1103/PhysRevB.34.3136 . ПМИД 9940047 .
^ Джамарчи, Т.; Шульц, HJ (1 января 1988 г.). «Андерсоновская локализация и взаимодействия в одномерных металлах». Физический обзор B . 37 (1): 325–340. Бибкод : 1988PhRvB..37..325G . дои : 10.1103/PhysRevB.37.325 . ПМИД 9943580 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Фишер, Мэтью Пенсильвания; Гринштейн, Г.; Фишер, Дэниел С. (1989). «Локализация бозона и переход сверхтекучий изолятор» (PDF) . Физический обзор B . 40 (1): 546–70. Бибкод : 1989PhRvB..40..546F . дои : 10.1103/PhysRevB.40.546 . ПМИД 9990946 . ,
^ Перейти обратно: ^а ^б Якш, Д.; Золлер, П. (2005). «Набор инструментов Хаббарда для холодного атома». Анналы физики . 315 (1): 52. arXiv : cond-mat/0410614 . Бибкод : 2005АнФиз.315...52J . CiteSeerX 10.1.1.305.9031 . дои : 10.1016/j.aop.2004.09.010 . S2CID 12352119 .
^ Джамарки, Тьерри; Рюгг, Кристиан; Чернышев, Олег (2008). «Конденсация Бозе – Эйнштейна в магнитных изоляторах». Физика природы . 4 (3): 198–204. arXiv : 0712.2250 . Бибкод : 2008NatPh...4..198G . дои : 10.1038/nphys893 . S2CID 118661914 .
^ Цапф, Вивьен; Хайме, Марсело; Батиста, компакт-диск (15 мая 2014 г.). «Бозе-Эйнштейновская конденсация в квантовых магнитах» . Обзоры современной физики . 86 (2): 563–614. Бибкод : 2014РвМП...86..563Z . дои : 10.1103/RevModPhys.86.563 .
^ Кюнер, Т.; Моньен, Х. (1998). «Фазы одномерной модели Бозе-Хаббарда». Физический обзор B . 58 (22): 14741 рэнд. arXiv : cond-mat/9712307 . Бибкод : 1998PhRvB..5814741K . дои : 10.1103/PhysRevB.58.R14741 . S2CID 118911555 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Грейнер, Маркус; Мандель, Олаф; Эсслингер, Тилман; Хэнш, Теодор В.; Блох, Иммануэль (2002). «Квантовый фазовый переход от сверхтекучего изолятора к изолятору Мотта в газе ультрахолодных атомов». Природа . 415 (6867): 39–44. Бибкод : 2002Natur.415...39G . дои : 10.1038/415039а . ПМИД 11780110 . S2CID 4411344 .
^ Моррисон, С.; Кантиан, А.; Дейли, Эй Джей; Кацграбер, Х.Г.; Левенштейн, М.; Бюхлер, HP; Золлер, П. (2008). «Физические копии и бозе-стекло в холодных атомных газах» . Новый журнал физики . 10 (7): 073032. arXiv : 0805.0488 . Бибкод : 2008NJPh...10g3032M . дои : 10.1088/1367-2630/10/7/073032 . ISSN 1367-2630 . S2CID 2822103 .
^ Томсон, С.Дж.; Уокер, Л.С.; Харт, ТЛ; Брюс, Грузия (3 ноября 2016 г.). «Измерение параметра порядка Эдвардса-Андерсона бозе-стекла: подход квантового газового микроскопа». Физический обзор А. 94 (5): 051601. arXiv : 1607.05254 . Бибкод : 2016PhRvA..94e1601T . дои : 10.1103/PhysRevA.94.051601 . S2CID 56027819 .
^ Томсон, С.Дж.; Крюгер, Ф. (2014). «Реплика нарушения симметрии в бозе-стекле». ЭПЛ . 108 (3): 30002. arXiv : 1312.0515 . Бибкод : 2014EL....10830002T . дои : 10.1209/0295-5075/108/30002 . S2CID 56307253 .
^ Сачдев, Субир (2011). Квантовые фазовые переходы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521514682 . ОСЛК 693207153 .
^ Якш, Д.; Брюдер, К.; Сирак, Дж.; Гардинер, К.; Золлер, П. (1998). «Холодные бозонные атомы в оптических решетках». Письма о физических отзывах . 81 (15): 3108. arXiv : cond-mat/9805329 . Бибкод : 1998PhRvL..81.3108J . doi : 10.1103/PhysRevLett.81.3108 . S2CID 55578669 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Люманн, DSR; Юргенсен, О.; Сенгсток, К. (2012). «Мультиорбитальное и индуцированное плотностью туннелирование бозонов в оптических решетках». Новый журнал физики . 14 (3): 033021. arXiv : 1108.3013 . Бибкод : 2012NJPh...14c3021L . дои : 10.1088/1367-2630/14/3/033021 . S2CID 119216031 .
^ Сакманн, К.; Стрельцов А.И.; Алон, О.Э.; Седербаум, Л.С. (2011). «Оптимальные нестационарные решеточные модели неравновесной динамики». Новый журнал физики . 13 (4): 043003. arXiv : 1006.3530 . Бибкод : 2011NJPh...13d3003S . дои : 10.1088/1367-2630/13/4/043003 . S2CID 118591567 .
^ Лонцки, М.; Закшевский, Дж. (2013). «Быстрая динамика атомов в оптических решетках». Письма о физических отзывах . 110 (6): 065301. arXiv : 1210.7957 . Бибкод : 2013PhRvL.110f5301L . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.065301 . ПМИД 23432268 . S2CID 29095052 .
^ Уилл, С.; Бест, Т.; Шнайдер, У.; Хакермюллер, Л.; Люманн, DSR; Блох, И. (2010). «Наблюдение с разрешением во времени когерентных взаимодействий многих тел при возрождении квантовой фазы». Природа . 465 (7295): 197–201. Бибкод : 2010Natur.465..197W . дои : 10.1038/nature09036 . ПМИД 20463733 . S2CID 4382706 .
^ Бакр, Васим С.; Гиллен, Джонатон И.; Пэн, Эми; Фёллинг, Саймон; Грейнер, Маркус (2009). «Квантовый газовый микроскоп для обнаружения одиночных атомов в оптической решетке режима Хаббарда». Природа . 462 (7269): 74–77. arXiv : 0908.0174 . Бибкод : 2009Natur.462...74B . дои : 10.1038/nature08482 . ПМИД 19890326 . S2CID 4419426 .
^ Бакр, WS; Пэн, А.; Тай, МЭ; Ма, Р.; Саймон, Дж.; Гиллен, Дж.И.; Фёллинг, С.; Поллет, Л.; Грейнер, М. (30 июля 2010 г.). «Исследование перехода из сверхтекучего изолятора в изолятор Мотта на одноатомном уровне». Наука . 329 (5991): 547–550. arXiv : 1006.0754 . Бибкод : 2010Sci...329..547B . дои : 10.1126/science.1192368 . ISSN 0036-8075 . ПМИД 20558666 . S2CID 3778258 .
^ Вайтенберг, Кристоф; Эндрес, Мануэль; Шерсон, Джейкоб Ф.; Шено, Марк; Шаусс, Питер; Фукухара, Такеши; Блох, Иммануэль; Кур, Стефан (2011). «Односпиновая адресация в атомном изоляторе Мотта». Природа . 471 (7338): 319–324. arXiv : 1101.2076 . Бибкод : 2011Nature.471..319W . дои : 10.1038/nature09827 . ПМИД 21412333 . S2CID 4352129 .
^ Ромеро-Исарт, О; Эккерт, К; Родо, К; Санпера, А (2007). «Генерация транспорта и запутанности в модели Бозе – Хаббарда». Физический журнал A: Математический и теоретический . 40 (28): 8019–31. arXiv : Quant-ph/0703177 . Бибкод : 2007JPhA...40.8019R . дои : 10.1088/1751-8113/40/28/S11 . S2CID 11673450 .
^ Джордан, Дж; Орус, Р; Видаль, Г. (2009). «Численное исследование жесткой модели Бозе-Хаббарда на бесконечной квадратной решетке». Физ. Преподобный Б. 79 (17): 174515. arXiv : 0901.0420 . Бибкод : 2009PhRvB..79q4515J . дои : 10.1103/PhysRevB.79.174515 . S2CID 119073171 .
^ Кшетримаюм, А.; Рицци, М.; Эйсерт, Дж.; Орус, Р. (2019). «Алгоритм отжига тензорной сети для двумерных тепловых состояний». Физ. Преподобный Летт . 122 (7): 070502. arXiv : 1809.08258 . Бибкод : 2019PhRvL.122g0502K . doi : 10.1103/PhysRevLett.122.070502 . ПМИД 30848636 . S2CID 53125536 .
^ Эйсерт, Дж.; Крамер, М.; Пленио, МБ (2010). «Коллоквиум: Законы площади для энтропии запутанности». Обзоры современной физики . 82 (1): 277. arXiv : 0808.3773 . Бибкод : 2010РвМП...82..277Е . дои : 10.1103/RevModPhys.82.277 .
^ Гураль, К.; Сантос, Л.; Левенштейн, М. (2002). «Квантовые фазы диполярных бозонов в оптических решетках». Письма о физических отзывах . 88 (17): 170406. arXiv : cond-mat/0112363 . Бибкод : 2002PhRvL..88q0406G . doi : 10.1103/PhysRevLett.88.170406 . ПМИД 12005738 . S2CID 41827359 .
^ Совинский, Т.; Дутта, О.; Хауке, П.; Тальякоццо, Л.; Левенштейн, М. (2012). «Диполярные молекулы в оптических решетках». Письма о физических отзывах . 108 (11): 115301. arXiv : 1109.4782 . Бибкод : 2012PhRvL.108k5301S . doi : 10.1103/PhysRevLett.108.115301 . ПМИД 22540482 . S2CID 5438190 .
^ Цучия, С.; Курихара, С.; Кимура, Т. (2004). «Переход сверхтекучесть – изолятор Мотта бозонов со спином 1 в оптической решетке». Физический обзор А. 70 (4): 043628. arXiv : cond-mat/0209676 . Бибкод : 2004PhRvA..70d3628T . дои : 10.1103/PhysRevA.70.043628 . S2CID 118566913 .
^ Гурари, В.; Поллет, Л.; Прокофьев, Н.В.; Свистунов Б.В.; Тройер, М. (2009). «Фазовая диаграмма неупорядоченной модели Бозе-Хаббарда» . Физический обзор B . 80 (21): 214519. arXiv : 0909.4593 . Бибкод : 2009PhRvB..80u4519G . дои : 10.1103/PhysRevB.80.214519 . S2CID 54075502 .

[1] Герш, Х.; Ноллман, Г. (1963). «Модель квантовой ячейки для бозонов». Физический обзор . 129 (2): 959. Бибкод : 1963PhRv..129..959G . дои : 10.1103/PhysRev.129.959 .

[2] Ма, М.; Гальперин, Б.И.; Ли, Пенсильвания (1 сентября 1986 г.). «Сильно неупорядоченные сверхтекучие жидкости: квантовые флуктуации и критическое поведение». Физический обзор B . 34 (5): 3136–3143. Бибкод : 1986PhRvB..34.3136M . дои : 10.1103/PhysRevB.34.3136 . ПМИД 9940047 .

[3] Джамарчи, Т.; Шульц, HJ (1 января 1988 г.). «Андерсоновская локализация и взаимодействия в одномерных металлах». Физический обзор B . 37 (1): 325–340. Бибкод : 1988PhRvB..37..325G . дои : 10.1103/PhysRevB.37.325 . ПМИД 9943580 .

[:0-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Фишер, Мэтью Пенсильвания; Гринштейн, Г.; Фишер, Дэниел С. (1989). «Локализация бозона и переход сверхтекучий изолятор» (PDF) . Физический обзор B . 40 (1): 546–70. Бибкод : 1989PhRvB..40..546F . дои : 10.1103/PhysRevB.40.546 . ПМИД 9990946 . ,

[:1-5] Перейти обратно: ^а ^б Якш, Д.; Золлер, П. (2005). «Набор инструментов Хаббарда для холодного атома». Анналы физики . 315 (1): 52. arXiv : cond-mat/0410614 . Бибкод : 2005АнФиз.315...52J . CiteSeerX 10.1.1.305.9031 . дои : 10.1016/j.aop.2004.09.010 . S2CID 12352119 .

[6] Джамарки, Тьерри; Рюгг, Кристиан; Чернышев, Олег (2008). «Конденсация Бозе – Эйнштейна в магнитных изоляторах». Физика природы . 4 (3): 198–204. arXiv : 0712.2250 . Бибкод : 2008NatPh...4..198G . дои : 10.1038/nphys893 . S2CID 118661914 .

[7] Цапф, Вивьен; Хайме, Марсело; Батиста, компакт-диск (15 мая 2014 г.). «Бозе-Эйнштейновская конденсация в квантовых магнитах» . Обзоры современной физики . 86 (2): 563–614. Бибкод : 2014РвМП...86..563Z . дои : 10.1103/RevModPhys.86.563 .

[8] Кюнер, Т.; Моньен, Х. (1998). «Фазы одномерной модели Бозе-Хаббарда». Физический обзор B . 58 (22): 14741 рэнд. arXiv : cond-mat/9712307 . Бибкод : 1998PhRvB..5814741K . дои : 10.1103/PhysRevB.58.R14741 . S2CID 118911555 .

[:2-9] Перейти обратно: ^а ^б Грейнер, Маркус; Мандель, Олаф; Эсслингер, Тилман; Хэнш, Теодор В.; Блох, Иммануэль (2002). «Квантовый фазовый переход от сверхтекучего изолятора к изолятору Мотта в газе ультрахолодных атомов». Природа . 415 (6867): 39–44. Бибкод : 2002Natur.415...39G . дои : 10.1038/415039а . ПМИД 11780110 . S2CID 4411344 .

[10] Моррисон, С.; Кантиан, А.; Дейли, Эй Джей; Кацграбер, Х.Г.; Левенштейн, М.; Бюхлер, HP; Золлер, П. (2008). «Физические копии и бозе-стекло в холодных атомных газах» . Новый журнал физики . 10 (7): 073032. arXiv : 0805.0488 . Бибкод : 2008NJPh...10g3032M . дои : 10.1088/1367-2630/10/7/073032 . ISSN 1367-2630 . S2CID 2822103 .

[11] Томсон, С.Дж.; Уокер, Л.С.; Харт, ТЛ; Брюс, Грузия (3 ноября 2016 г.). «Измерение параметра порядка Эдвардса-Андерсона бозе-стекла: подход квантового газового микроскопа». Физический обзор А. 94 (5): 051601. arXiv : 1607.05254 . Бибкод : 2016PhRvA..94e1601T . дои : 10.1103/PhysRevA.94.051601 . S2CID 56027819 .

[12] Томсон, С.Дж.; Крюгер, Ф. (2014). «Реплика нарушения симметрии в бозе-стекле». ЭПЛ . 108 (3): 30002. arXiv : 1312.0515 . Бибкод : 2014EL....10830002T . дои : 10.1209/0295-5075/108/30002 . S2CID 56307253 .

[13] Сачдев, Субир (2011). Квантовые фазовые переходы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521514682 . ОСЛК 693207153 .

[14] Якш, Д.; Брюдер, К.; Сирак, Дж.; Гардинер, К.; Золлер, П. (1998). «Холодные бозонные атомы в оптических решетках». Письма о физических отзывах . 81 (15): 3108. arXiv : cond-mat/9805329 . Бибкод : 1998PhRvL..81.3108J . doi : 10.1103/PhysRevLett.81.3108 . S2CID 55578669 .

[Luhmann-15] Перейти обратно: ^а ^б Люманн, DSR; Юргенсен, О.; Сенгсток, К. (2012). «Мультиорбитальное и индуцированное плотностью туннелирование бозонов в оптических решетках». Новый журнал физики . 14 (3): 033021. arXiv : 1108.3013 . Бибкод : 2012NJPh...14c3021L . дои : 10.1088/1367-2630/14/3/033021 . S2CID 119216031 .

[Sakmann2011-16] Сакманн, К.; Стрельцов А.И.; Алон, О.Э.; Седербаум, Л.С. (2011). «Оптимальные нестационарные решеточные модели неравновесной динамики». Новый журнал физики . 13 (4): 043003. arXiv : 1006.3530 . Бибкод : 2011NJPh...13d3003S . дои : 10.1088/1367-2630/13/4/043003 . S2CID 118591567 .

[17] Лонцки, М.; Закшевский, Дж. (2013). «Быстрая динамика атомов в оптических решетках». Письма о физических отзывах . 110 (6): 065301. arXiv : 1210.7957 . Бибкод : 2013PhRvL.110f5301L . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.065301 . ПМИД 23432268 . S2CID 29095052 .

[18] Уилл, С.; Бест, Т.; Шнайдер, У.; Хакермюллер, Л.; Люманн, DSR; Блох, И. (2010). «Наблюдение с разрешением во времени когерентных взаимодействий многих тел при возрождении квантовой фазы». Природа . 465 (7295): 197–201. Бибкод : 2010Natur.465..197W . дои : 10.1038/nature09036 . ПМИД 20463733 . S2CID 4382706 .

[19] Бакр, Васим С.; Гиллен, Джонатон И.; Пэн, Эми; Фёллинг, Саймон; Грейнер, Маркус (2009). «Квантовый газовый микроскоп для обнаружения одиночных атомов в оптической решетке режима Хаббарда». Природа . 462 (7269): 74–77. arXiv : 0908.0174 . Бибкод : 2009Natur.462...74B . дои : 10.1038/nature08482 . ПМИД 19890326 . S2CID 4419426 .

[20] Бакр, WS; Пэн, А.; Тай, МЭ; Ма, Р.; Саймон, Дж.; Гиллен, Дж.И.; Фёллинг, С.; Поллет, Л.; Грейнер, М. (30 июля 2010 г.). «Исследование перехода из сверхтекучего изолятора в изолятор Мотта на одноатомном уровне». Наука . 329 (5991): 547–550. arXiv : 1006.0754 . Бибкод : 2010Sci...329..547B . дои : 10.1126/science.1192368 . ISSN 0036-8075 . ПМИД 20558666 . S2CID 3778258 .

[21] Вайтенберг, Кристоф; Эндрес, Мануэль; Шерсон, Джейкоб Ф.; Шено, Марк; Шаусс, Питер; Фукухара, Такеши; Блох, Иммануэль; Кур, Стефан (2011). «Односпиновая адресация в атомном изоляторе Мотта». Природа . 471 (7338): 319–324. arXiv : 1101.2076 . Бибкод : 2011Nature.471..319W . дои : 10.1038/nature09827 . ПМИД 21412333 . S2CID 4352129 .

[22] Ромеро-Исарт, О; Эккерт, К; Родо, К; Санпера, А (2007). «Генерация транспорта и запутанности в модели Бозе – Хаббарда». Физический журнал A: Математический и теоретический . 40 (28): 8019–31. arXiv : Quant-ph/0703177 . Бибкод : 2007JPhA...40.8019R . дои : 10.1088/1751-8113/40/28/S11 . S2CID 11673450 .

[23] Джордан, Дж; Орус, Р; Видаль, Г. (2009). «Численное исследование жесткой модели Бозе-Хаббарда на бесконечной квадратной решетке». Физ. Преподобный Б. 79 (17): 174515. arXiv : 0901.0420 . Бибкод : 2009PhRvB..79q4515J . дои : 10.1103/PhysRevB.79.174515 . S2CID 119073171 .

[24] Кшетримаюм, А.; Рицци, М.; Эйсерт, Дж.; Орус, Р. (2019). «Алгоритм отжига тензорной сети для двумерных тепловых состояний». Физ. Преподобный Летт . 122 (7): 070502. arXiv : 1809.08258 . Бибкод : 2019PhRvL.122g0502K . doi : 10.1103/PhysRevLett.122.070502 . ПМИД 30848636 . S2CID 53125536 .

[25] Эйсерт, Дж.; Крамер, М.; Пленио, МБ (2010). «Коллоквиум: Законы площади для энтропии запутанности». Обзоры современной физики . 82 (1): 277. arXiv : 0808.3773 . Бибкод : 2010РвМП...82..277Е . дои : 10.1103/RevModPhys.82.277 .

[26] Гураль, К.; Сантос, Л.; Левенштейн, М. (2002). «Квантовые фазы диполярных бозонов в оптических решетках». Письма о физических отзывах . 88 (17): 170406. arXiv : cond-mat/0112363 . Бибкод : 2002PhRvL..88q0406G . doi : 10.1103/PhysRevLett.88.170406 . ПМИД 12005738 . S2CID 41827359 .

[27] Совинский, Т.; Дутта, О.; Хауке, П.; Тальякоццо, Л.; Левенштейн, М. (2012). «Диполярные молекулы в оптических решетках». Письма о физических отзывах . 108 (11): 115301. arXiv : 1109.4782 . Бибкод : 2012PhRvL.108k5301S . doi : 10.1103/PhysRevLett.108.115301 . ПМИД 22540482 . S2CID 5438190 .

[28] Цучия, С.; Курихара, С.; Кимура, Т. (2004). «Переход сверхтекучесть – изолятор Мотта бозонов со спином 1 в оптической решетке». Физический обзор А. 70 (4): 043628. arXiv : cond-mat/0209676 . Бибкод : 2004PhRvA..70d3628T . дои : 10.1103/PhysRevA.70.043628 . S2CID 118566913 .

[29] Гурари, В.; Поллет, Л.; Прокофьев, Н.В.; Свистунов Б.В.; Тройер, М. (2009). «Фазовая диаграмма неупорядоченной модели Бозе-Хаббарда» . Физический обзор B . 80 (21): 214519. arXiv : 0909.4593 . Бибкод : 2009PhRvB..80u4519G . дои : 10.1103/PhysRevB.80.214519 . S2CID 54075502 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]