Преобразования Лагерра

Преобразования Лагерра или аксиальные гомографии являются аналогом преобразований Мёбиуса над дуальными числами . ^[1]^[2]^[3]^[4] При изучении этих преобразований двойственные числа часто интерпретируются как представляющие ориентированные линии на плоскости. ^[1] Преобразования Лагерра отображают линии в линии и включают, в частности, все изометрии плоскости .

Строго говоря, эти преобразования действуют на Проективная линия двойственного числа , которая примыкает к двойственному числу множество точек, удаленных на бесконечность. Топологически эта проективная линия эквивалентна цилиндру. Точки на этом цилиндре находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с ориентированными линиями на плоскости.

Определение

Преобразование Лагерра — это дробно-линейное преобразование. $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$ где $a,b,c,d$ все двойные числа, $z$ лежит на проективной прямой двойного числа, а $ad-bc$ не является делителем нуля .

Двойственное число – это гиперкомплексное число вида $x+y\varepsilon$ где $\varepsilon ^{2}=0$ но $\varepsilon \neq 0$ . Это можно сравнить с комплексными числами , имеющими вид $x+yi$ где $i^{2}=-1$ .

Точки проективной линии двойного числа можно определить эквивалентно двумя способами:

Обычный набор двойственных чисел, но с некоторыми дополнительными «точками в бесконечности». Формально набор $\{x+y\varepsilon \mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}\cup \left\{{\frac {1}{x\varepsilon }}\mid x\in \mathbb {R} \right\}$ . Точки, находящиеся на бесконечности, можно выразить как ${\frac {1}{x\varepsilon }}$ где $x$ — произвольное действительное число. Различные значения $x$ соответствуют различным точкам на бесконечности. Эти точки бесконечны, потому что $\varepsilon$ часто понимается как бесконечно малое число, и поэтому $1/\varepsilon$ поэтому бесконечно.
Однородные координаты [ x : y ] с x и y двойственными числами , такие, что идеал , который они порождают, представляет собой целое кольцо двойственных чисел. Кольцо рассматривается через инъекцию x ↦ [ x : 1]. Проективная прямая включает точки [1: yε ].

Координаты линии

Линия, образующая угол $\theta$ с осью x, точка пересечения которой обозначена $s$ , представлено двойным числом

z=\tan(\theta /2)(1+\varepsilon s).

Вышеупомянутое не имеет смысла, когда линия параллельна оси X. В том случае, если $\theta =\pi$ затем установите $z={\frac {-2}{\varepsilon R}}$ где $R$ - это Y. точка пересечения линии по оси Это может показаться неверным, поскольку происходит деление на делитель нуля, но это допустимая точка на проективной двойственной прямой. Если $\theta =2\pi$ затем установите $z={\frac {1}{2}}\varepsilon R$ .

Наконец, обратите внимание, что эти координаты представляют собой ориентированные линии. Ориентированная линия — это обычная линия, к которой прикреплена одна из двух возможных ориентаций. Это видно из того, что если $\theta$ увеличивается на $\pi$ тогда полученный представитель двойного числа не будет тем же самым.

Матричные представления

Вышеупомянутые координаты линии можно выразить как однородные координаты. $z=\left[\sin \left({\frac {\theta +\varepsilon R}{2}}\right):\cos \left({\frac {\theta +\varepsilon R}{2}}\right)\right]$ где $R$ - это перпендикулярное расстояние линии от начала координат. Такое представление имеет множество преимуществ. Одно из преимуществ состоит в том, что нет необходимости разбирать различные случаи, например, параллельное представление. $x$ -оси и непараллельны. Другое преимущество состоит в том, что эти однородные координаты можно интерпретировать как векторы , что позволяет нам умножать их на матрицы.

Каждое преобразование Лагерра можно представить в виде матрицы 2×2 , элементы которой являются двойственными числами. Матричное представление $z\mapsto {\frac {pz+q}{rz+s}}$ является ${\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}$ (но обратите внимание, что любое ненильпотентное скалярное кратное этой матрицы представляет собой одно и то же преобразование Лагерра). Кроме того, пока определитель матрицы 2×2 с элементами двойного числа не является нильпотентным , он представляет собой преобразование Лагерра.

(Обратите внимание, что выше мы представляем однородный вектор $[z:w]$ как вектор-столбец очевидным образом, а не как вектор-строка.)

Точки, ориентированные линии и ориентированные окружности

Преобразования Лагерра не действуют на точки. Это связано с тем, что если три ориентированные прямые проходят через одну и ту же точку, их изображения при преобразовании Лагерра не обязательно должны встречаться в одной точке.

Преобразования Лагерра можно рассматривать как действующие как на ориентированные окружности, так и на ориентированные прямые. Ориентированный круг — это обычный круг с прикрепленным к нему двоичным значением, которое либо $1$ или $-1$ . Единственным исключением является окружность нулевого радиуса, имеющая ориентацию, равную $0$ . Точка определяется как ориентированная окружность нулевого радиуса. Если ориентированная окружность имеет ориентацию, равную $1$ , то говорят, что круг ориентирован « против часовой стрелки »; если он имеет ориентацию, равную $-1$ тогда он ориентирован « по часовой стрелке ». Радиус ориентированной окружности определяется как радиус $r$ лежащего в основе неориентированного круга, умноженного на ориентацию.

Образ ориентированной окружности при преобразовании Лагерра — это еще одна ориентированная окружность. Если две ориентированные фигуры – круги или линии – касаются друг друга, то их изображения при преобразовании Лагерра также касаются друг друга. Две ориентированные окружности считаются касающимися, если лежащие в их основе окружности касаются и их ориентации равны в точке контакта. Касание линий и окружностей определяется аналогично. Преобразование Лагерра может сопоставить точку с ориентированной окружностью, которая больше не является точкой.

Ориентированную окружность никогда нельзя отобразить в ориентированную линию. Точно так же ориентированная линия никогда не может быть отображена в ориентированную окружность. Это противоположно геометрии Мёбиуса , где линии и окружности могут быть сопоставлены друг с другом, но ни одна из них не может быть сопоставлена с точками. И геометрия Мёбиуса , и геометрия Лагерра являются подгеометриями геометрии сферы Ли , где точки и ориентированные линии могут быть сопоставлены друг с другом, но касание остается сохраненным.

Матричные представления ориентированных окружностей (которые включают точки, но не прямые) представляют собой в точности обратимые представления. $2\times 2$ косоэрмитовые двойственные числовые матрицы. Это все формы $H={\begin{pmatrix}\varepsilon a&b+c\varepsilon \\-b+c\varepsilon &\varepsilon d\end{pmatrix}}$ (где все переменные действительны, и $b\neq 0$ ). Набор ориентированных прямых, касающихся ориентированной окружности, определяется выражением $\{v\in \mathbb {DP} ^{1}\mid v^{*}Hv=0\}$ где $\mathbb {DP} ^{1}$ обозначает проективную прямую над двойственными числами $\mathbb {D}$ . Применение преобразования Лагерра, представленного формулой $M$ к ориентированному кругу, представленному $H$ дает ориентированный круг, представленный $(M^{-1})^{*}HM^{-1}$ . Радиус ориентированной окружности равен половине трассы . Тогда ориентация является знаком следа.

Профиль

Два круга с противоположной ориентацией подвергаются осевому расширению. — Рисунок 1: Два круга изначально с противоположной ориентацией, подвергающиеся осевому расширению.

Обратите внимание, что на анимированных рисунках ниже показаны некоторые ориентированные линии, но без какого-либо визуального указания ориентации линии (поэтому две линии, которые различаются только ориентацией, отображаются одинаково); ориентированные окружности изображаются как набор ориентированных касательных линий, что приводит к определенному визуальному эффекту.

Следующее можно найти в книге Исаака Яглома « Комплексные числа в геометрии» и в статье Гутина, озаглавленной «Обобщения сингулярного разложения на двунумерованные матрицы» . ^[1]^[5]

Унитарные матрицы

Отображения формы $z\mapsto {\frac {pz-q}{{\bar {q}}z+{\bar {p}}}}$ выражают движения твердого тела (иногда называемые прямыми евклидовыми изометриями ). Матричные представления этих преобразований охватывают подалгебру, изоморфную плоским кватернионам .

Отображение $z\mapsto -z$ представляет собой отражение относительно оси X.

Преобразование $z\mapsto 1/z$ выражает отражение относительно оси Y.

Заметьте, что если $U$ является матричным представлением любой комбинации трех вышеупомянутых преобразований, но нормализованным так, чтобы иметь определитель $1$ , затем $U$ удовлетворяет $UU^{*}=U^{*}U=I$ где $U^{*}$ означает ${\overline {U}}^{\mathrm {T} }$ . Мы будем называть эти унитарные матрицы. Однако обратите внимание, что они унитарные в смысле двойственных, а не комплексных чисел. Унитарные матрицы точно выражают евклидовы изометрии .

Матрицы осевого расширения

Осевое расширение за счет $t$ единицы – это преобразование формы ${\frac {z+(\varepsilon t/2)}{(-\varepsilon t/2)z+1}}$ . Осевое расширение за счет $t$ единиц увеличивает радиус всех ориентированных кругов на $t$ подразделений при сохранении их центров. Если окружность имеет отрицательную ориентацию, то ее радиус считается отрицательным, и поэтому при некоторых положительных значениях $t$ круг фактически сужается. Осевое расширение изображено на рисунке 1, на котором два круга противоположной ориентации подвергаются одинаковому осевому расширению.

На линиях осевое расширение на $t$ единицы отображают любую линию $z$ к линии $z'$ такой, что $z$ и $z'$ параллельны, а перпендикулярное расстояние между $z$ и $z'$ является $t$ . Линии, параллельные, но имеющие противоположные ориентации, движутся в противоположных направлениях.

Действительные диагональные матрицы

Рисунок 2: Сетка линий, подвергающихся $z\mapsto kz$ для $k$ варьируется между $1$ и $10$ .

Рисунок 3: Два круга, которые изначально различаются *только* ориентацией, подвергающейся трансформации. $z\mapsto kz$ для $k$ варьируется от $1$ и $10$ .

Преобразование $z\mapsto kz$ на сумму $k$ это реально сохраняет точку пересечения линии по оси X, изменяя при этом ее угол по отношению к оси x. См. рисунок 2, чтобы наблюдать эффект на сетке линий (включая ось X посередине), и рисунок 3, чтобы наблюдать эффект на двух кругах, которые изначально отличаются только ориентацией (чтобы увидеть, что результат чувствителен к ориентации).

Общее разложение

Объединив все это вместе, общее преобразование Лагерра в матричной форме можно выразить как $USV^{*}$ где $U$ и $V$ являются унитарными и $S$ является матрицей любого из видов ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}$ или ${\begin{pmatrix}a&-b\varepsilon \\b\varepsilon &a\end{pmatrix}}$ где $a$ и $b$ являются действительными числами. Матрицы $U$ и $V$ выразить евклидовы изометрии . Матрица $S$ либо представляет собой преобразование формы $z\mapsto kz$ или осевое расширение. Сходство с разложением по сингулярным значениям должно быть очевидным. ^[5]

Примечание. В случае, если $S$ – осевое расширение, коэффициент $V$ может быть установлен в единичную матрицу. Это следует из того, что если $V$ является унитарным и $S$ является осевым расширением, то можно видеть, что $SV={\begin{cases}VS,&\det(V)=+1\\VS^{\mathrm {T} },&\det(V)=-1\end{cases}}$ , где $S^{\mathrm {T} }$ обозначает транспонирование $S$ . Так $USV^{*}={\begin{cases}(UV^{*})S,&\det(V)=+1\\(UV^{*})S^{\mathrm {T} },&\det(V)=-1\end{cases}}$ .

Другие системы счисления и постулат параллельности

Комплексные числа и эллиптическая геометрия

Возникает вопрос: что произойдет, если роль двойственных чисел, указанных выше, изменить на комплексные числа? В этом случае комплексные числа представляют собой ориентированные линии в эллиптической плоскости (плоскости, над которой действует эллиптическая геометрия). В этом отличие от двойственных чисел, которые представляют собой ориентированные линии в евклидовой плоскости. Эллиптическая плоскость по сути представляет собой сферу (но в которой идентифицированы противоположные точки ), а линии, таким образом, представляют собой большие круги . Мы можем выбрать произвольный большой круг в качестве экватора . Ориентированный большой круг, пересекающий экватор по долготе. $s$ , и образует угол $\theta$ с экватором в точке пересечения, можно представить комплексным числом $\tan(\theta /2)(\cos(s)+i\sin(s))$ . В случае, когда $\theta =\pi$ (где линия буквально такая же, как экватор, но ориентирована в противоположном направлении, как тогда $\theta =0$ ) ориентированная линия представляется как $\infty$ . Подобно случаю двойственных чисел , унитарные матрицы действуют как изометрии эллиптической плоскости . Набор «эллиптических преобразований Лагерра» (которые являются аналогами преобразований Лагерра в этом случае) можно разложить с помощью разложения по сингулярным значениям комплексных матриц аналогично тому, как мы разлагали евклидовы преобразования Лагерра, используя аналог разложения по сингулярным значениям. для двучисловых матриц .

Сплит-комплексные числа и гиперболическая геометрия

Если роль двойственных чисел или комплексных чисел изменить на расщепленные комплексные числа , то аналогичный формализм можно разработать для представления ориентированных прямых на гиперболической плоскости вместо евклидовых или эллиптических плоскостей: можно записать расщепленное комплексное число. в форме $(a,-b^{-1})$ поскольку рассматриваемая алгебра изоморфна $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ . (Обратите внимание, что в *-алгебре , в отличие от простой алгебры , расщепляемые комплексные числа не разлагаются таким образом). Условия $a$ и $b$ в $(a,-b^{-1})$ представляют точки на границе гиперболической плоскости; они соответственно являются начальной и конечной точками ориентированной линии. Поскольку граница гиперболической плоскости гомеоморфна проективной прямой $\mathbb {RP} ^{1}$ , нам нужно $a$ и $b$ принадлежать проективной линии $\mathbb {RP} ^{1}$ вместо аффинной линии $\mathbb {R} ^{1}$ . Действительно, это намекает на то, что $(\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} )\mathbb {P} ^{1}\cong \mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}\oplus \mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}$ .

Аналогом унитарных матриц над расщепленными комплексными числами являются изометрии гиперболической плоскости . Это показывает Яглом. ^[1] Более того, набор дробно-линейных преобразований можно разложить способом, напоминающим разложение по сингулярным значениям, но который также объединяет его с разложением Жордана . ^[6]^[1]

Краткое содержание

Таким образом, у нас есть соответствие между тремя плоскими системами счисления (комплексными, двойственными и расщепленно-комплексными числами) и тремя неевклидовыми геометриями . Система счисления, соответствующая евклидовой геометрии, — это двойственные числа .

В высших измерениях

евклидов

n-мерное пространство Лагерра изоморфно n + 1 пространству Минковского . Чтобы связать точку $P=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},r)$ в пространстве Минковского с ориентированной гиперсферой пересекают световой конус с центром в $P$ с $t=0$ гиперплоскость. Группа преобразований Лагерра изоморфна тогда группе Пуанкаре $\mathbb {R} ^{n,1}\rtimes \operatorname {O} (n,1)$ . Эти преобразования — это именно те преобразования, которые сохраняют своего рода квадрат расстояния между ориентированными кругами, называемый их произведением Дарбу . Прямые преобразования Лагерра определяются как подгруппа $\mathbb {R} ^{n,1}\rtimes \operatorname {O} ^{+}(n,1)$ . В двумерном пространстве прямые преобразования Лагерра могут быть представлены двойственными числовыми матрицами размером 2×2. Если двойственные числовые матрицы 2 × 2 понимать как составляющие алгебру Клиффорда $\operatorname {Cl} _{2,0,1}(\mathbb {R} )$ , то аналогичные алгебраические представления Клиффорда возможны в более высоких измерениях.

Если мы встроим пространство Минковского $\mathbb {R} ^{n,1}$ в проективном пространстве $\mathbb {RP} ^{n+1}$ сохраняя при этом группу преобразований той же, тогда точки на бесконечности будут ориентированными плоскостями. Мы называем их «плоскими», потому что их форма плоская. В двух измерениях это ориентированные линии.

Кроме того, существует два неэквивалентных определения преобразования Лагерра: либо как преобразование сферы Ли , сохраняющее ориентированные плоскости, либо как преобразование сферы Ли, сохраняющее произведение Дарбу. В этой статье мы используем последнее соглашение. Обратите внимание, что даже в двумерном пространстве первая группа преобразований является более общей, чем вторая: гомотетия , например, отображает ориентированные прямые в ориентированные прямые, но, как правило, не сохраняет произведение Дарбу. Это можно продемонстрировать, используя гомотетию с центром в $(0,0)$ к $t$ единицы. Теперь рассмотрим действие этого преобразования на две окружности: одна из них просто является точкой $(0,0)$ , а другой — круг рейдусов $1$ сосредоточено в $(0,0)$ . Произведение Дарбу этих двух кругов равно $-1$ . Их изображения при гомотетии имеют произведение Дарбу, равное $-t^{2}$ . Следовательно, это дает преобразование Лагерра только тогда, когда $t^{2}=1$ .

Конформная интерпретация

В этом разделе мы интерпретируем преобразования Лагерра иначе, чем в остальной части статьи. При воздействии на линейные координаты преобразования Лагерра не считаются конформными в описанном здесь смысле. Это наглядно продемонстрировано на рисунке 2.

Преобразования Лагерра сохраняют углы, когда определен правильный угол для двойственной числовой плоскости. Когда луч y = mx , x ≥ 0 и положительная ось x принимаются за стороны угла, наклон m является величиной этого угла.

Это число m соответствует площади со знаком прямоугольного треугольника с основанием на отрезке [(√2,0), (√2, m √2)] . Линия {1 + aε : a ∈ ℝ} с умножением двойственных чисел образует подгруппу единичных двойственных чисел, причем каждый элемент представляет собой сдвиговое отображение при действии на двойственной числовой плоскости. В результате такого действия создаются другие углы в плоскости, и, поскольку отображение сдвига сохраняет площадь, размер этих углов такой же, как и исходный.

Обратите внимание, что инверсия z в 1/ z оставляет размер угла неизменным. Поскольку общее преобразование Лагерра генерируется трансляциями, расширениями, сдвигами и инверсиями, и все они оставляют угол инвариантным, общее преобразование Лагерра конформно в смысле этих углов. ^[2]^: 81

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Yaglom, Isaak Moiseevitch (1968). Complex Numbers in Geometry . Academic Press. Originally published as Kompleksnye Chisla i Ikh Primenenie v Geometrii (in Russian). Moscow: Fizmatgiz. 1963
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Болт, Майкл; Фердинандс, Тимоти; Кавли, Лэндон (2009). «Наиболее общие плоские преобразования, отображающие параболы в параболы» . Включите: Математический журнал . 2 (1): 79–88. дои : 10.2140/involve.2009.2.79 . ISSN 1944-4176 .
^ Филлмор, Джей П.; Спрингер, Артур (1 марта 1995 г.). «Новые евклидовы теоремы с использованием преобразований Лагерра — Некоторые геометрии (2+1)-пространства Минковского». Журнал геометрии . 52 (1): 74–90. дои : 10.1007/BF01406828 . ISSN 1420-8997 . S2CID 122511184 .
^ Барретт, Дэвид Э.; Болт, Майкл (июнь 2010 г.). «Длина дуги Лагерра по функциям расстояния» . Азиатский математический журнал . 14 (2): 213–234. дои : 10.4310/AJM.2010.v14.n2.a3 . ISSN 1093-6106 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Гутин, Ран (23 марта 2021 г.). «Обобщения разложения по сингулярным числам на двунумерованные матрицы» . Линейная и полилинейная алгебра : 1–8. дои : 10.1080/03081087.2021.1903830 . ISSN 0308-1087 .
^ Гутин, Ран (17 мая 2021 г.). «Матричное разложение по расщепленным комплексным числам». arXiv : 2105.08047 [ math.RA ].

Внешние ссылки

«Ориентированные круги и трехмерная релятивистская геометрия» Элементарное видео, знакомящее с концепциями геометрии Лагерра. Видео представлено с рациональной тригонометрии. точки зрения

[yaglom-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Yaglom, Isaak Moiseevitch (1968). Complex Numbers in Geometry . Academic Press. Originally published as Kompleksnye Chisla i Ikh Primenenie v Geometrii (in Russian). Moscow: Fizmatgiz. 1963

[BFK-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Болт, Майкл; Фердинандс, Тимоти; Кавли, Лэндон (2009). «Наиболее общие плоские преобразования, отображающие параболы в параболы» . Включите: Математический журнал . 2 (1): 79–88. дои : 10.2140/involve.2009.2.79 . ISSN 1944-4176 .

[3] Филлмор, Джей П.; Спрингер, Артур (1 марта 1995 г.). «Новые евклидовы теоремы с использованием преобразований Лагерра — Некоторые геометрии (2+1)-пространства Минковского». Журнал геометрии . 52 (1): 74–90. дои : 10.1007/BF01406828 . ISSN 1420-8997 . S2CID 122511184 .

[4] Барретт, Дэвид Э.; Болт, Майкл (июнь 2010 г.). «Длина дуги Лагерра по функциям расстояния» . Азиатский математический журнал . 14 (2): 213–234. дои : 10.4310/AJM.2010.v14.n2.a3 . ISSN 1093-6106 .

[:1-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Гутин, Ран (23 марта 2021 г.). «Обобщения разложения по сингулярным числам на двунумерованные матрицы» . Линейная и полилинейная алгебра : 1–8. дои : 10.1080/03081087.2021.1903830 . ISSN 0308-1087 .

[6] Гутин, Ран (17 мая 2021 г.). «Матричное разложение по расщепленным комплексным числам». arXiv : 2105.08047 [ math.RA ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]