Кристалл фазового пространства

Кристалл фазового пространства — это состояние физической системы, которое отображает дискретную симметрию в фазовом пространстве вместо реального пространства . Для одночастичной системы кристаллическое состояние фазового пространства относится к собственному состоянию гамильтониана замкнутой квантовой системы. ^[1] или собственный оператор лиувиллиана квантовой открытой системы . ^[2] Для системы многих тел кристалл фазового пространства представляет собой твердое кристаллическое состояние в фазовом пространстве. ^[3]^[4] Общая структура кристаллов фазового пространства призвана расширить изучение физики твердого тела и физики конденсированного состояния на фазовое пространство динамических систем . ^[5] В то время как реальное пространство имеет евклидову геометрию , фазовое пространство включает в себя классическую симплектическую геометрию или квантовую некоммутативную геометрию .

Решетки фазового пространства

В своей знаменитой книге « Математические основы квантовой механики » ^[6] Джон фон Нейман построил решетку фазового пространства с помощью двух коммутативных элементарных операторов смещения по направлениям положения и импульса соответственно, которую в настоящее время также называют решеткой фон Неймана . Если фазовое пространство заменить плоскостью частота-время, решетка фон Неймана называется решеткой Габора. ^[7] и широко используется для обработки сигналов. ^[8]

Решетка фазового пространства фундаментально отличается от решетки реального пространства, поскольку две координаты фазового пространства некоммутативны в квантовой механике . В результате когерентное состояние , движущееся по замкнутому пути в фазовом пространстве, приобретает дополнительный фазовый фактор, аналогичный эффекту Ааронова–Бома для заряженной частицы, движущейся в магнитном поле. ^[9]^[3] Существует глубокая связь между фазовым пространством и магнитным полем. Фактически, каноническое уравнение движения также можно переписать в форме силы Лоренца, отражающей симплектическую геометрию классического фазового пространства. ^[5]

В фазовом пространстве динамических систем устойчивые точки вместе с соседними областями образуют в хаотическом море так называемые острова Пуанкаре-Биркгофа , которые могут образовывать цепочку или некоторые регулярные двумерные решетчатые структуры в фазовом пространстве. Например, эффективный гамильтониан ударного гармонического осциллятора (КНО). ^[10]^[11] может иметь квадратную решетку, треугольную решетку и даже квазикристаллическую структуру в фазовом пространстве в зависимости от соотношения чисел ударов. Фактически, любая произвольная решетка фазового пространства может быть сконструирована путем выбора подходящей последовательности ударов для KHO. ^[4]

Кристаллы фазового пространства (КФП)

Концепция кристалла фазового пространства была предложена Го и др. ^[1] и первоначально относится к собственному состоянию эффективного гамильтониана периодической динамической системы (Флоке). В зависимости от того, учитывается ли эффект взаимодействия, кристаллы фазового пространства можно разделить на одночастичные PSC и многочастичные PSC . ^[12]

Одночастичные кристаллы фазового пространства

В зависимости от симметрии в фазовом пространстве кристалл фазового пространства может представлять собой одномерное (1D) состояние с $n$ -кратная вращательная симметрия в фазовом пространстве или двумерное (2D) состояние решетки, расширенное на все фазовое пространство. Концепция кристалла фазового пространства для закрытой системы была распространена на открытые квантовые системы и названа диссипативными кристаллами фазового пространства . ^[2]

З _н ПСЦ

Фазовое пространство фундаментально отличается от реального пространства, поскольку две координаты фазового пространства не коммутируют, т. е. $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\lambda$ где $\lambda$ – безразмерная постоянная Планка . Лестничный оператор определяется как ${\hat {a}}=({\hat {x}}+i{\hat {p}})/{\sqrt {2\lambda }}$ такой, что $[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1$ . Гамильтониан физической системы ${\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})$ также можно записать в функции лестничных операторов ${\hat {H}}=H({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })$ . Определив оператор вращения в фазовом пространстве ^[1]^[13] к ${\hat {T}}_{\tau }=e^{-i\tau {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$ где $\tau ={2\pi }/{n}$ с $n$ положительное целое число, система имеет $n$ -кратная вращательная симметрия или $Z_{n}$ симметрия, если гамильтониан коммутирует с оператором вращения $[{\hat {H}},{\hat {T}}_{\tau }]=0$ , то есть, ${\hat {H}}={\hat {T}}_{\tau }^{\dagger }{\hat {H}}{\hat {T}}_{\tau }\rightarrow H({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })=H({\hat {T}}_{\tau }^{\dagger }{\hat {a}}{\hat {T}}_{\tau },{\hat {T}}_{\tau }^{\dagger }{\hat {H}}{\hat {a}}_{\tau }^{\dagger })=H({\hat {a}}e^{-i\tau },{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\tau }).$ В этом случае можно применить теорему Блоха к $n$ -кратно симметричный гамильтониан и вычислим зонную структуру . ^[1]^[14] Дискретная вращательно-симметричная структура гамильтониана называется $Z_{n}$ решетка фазового пространства ^[15] и соответствующие собственные состояния называются $Z_{n}$ кристаллы фазового пространства .

Решетка PSC

Дискретная вращательная симметрия может быть расширена до дискретной трансляционной симметрии во всем фазовом пространстве. Для этой цели оператор смещения в фазовом пространстве определяется выражением ${\hat {D}}(\xi )=\exp[(\xi {\hat {a}}^{\dagger }-\xi ^{*}{\hat {a}})/{\sqrt {2\lambda }}]$ который имеет свойство ${\hat {D}}^{\dagger }(\xi ){\hat {a}}{\hat {D}}(\xi )={\hat {a}}+\xi$ , где $\xi$ — комплексное число, соответствующее вектору смещения в фазовом пространстве. Система обладает дискретной трансляционной симметрией, если гамильтониан коммутирует с трансляционным оператором $[{\hat {H}},{\hat {D}}^{\dagger }(\xi )]=0$ , то есть, ${\hat {H}}={\hat {D}}^{\dagger }(\xi ){\hat {H}}{\hat {D}}(\xi )\rightarrow H({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })=H({\hat {D}}^{\dagger }(\xi ){\hat {a}}{\hat {D}}(\xi ),{\hat {D}}^{\dagger }{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {D}}(\xi ))=H({\hat {a}}+\xi ,{\hat {a}}^{\dagger }+\xi ^{*}).$ Если существуют два элементарных перемещения ${\hat {D}}(\xi _{1})$ и ${\hat {D}}(\xi _{2})$ которые одновременно удовлетворяют вышеуказанному условию, гамильтониан фазового пространства обладает двумерной симметрией решетки в фазовом пространстве. Однако два оператора смещения в общем случае не коммутативны. $[{\hat {D}}(\xi _{1}),{\hat {D}}(\xi _{2})]\neq 0$ . В некоммутативном фазовом пространстве понятие «точки» бессмысленно. Вместо этого когерентное государство $|\alpha \rangle$ определяется как собственное состояние понижающего оператора через ${\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle$ . Оператор смещения смещает когерентное состояние с дополнительной фазой, т.е. ${\hat {D}}(\xi )|\alpha \rangle =e^{i\mathrm {Im} (\xi \alpha ^{*})}|\alpha +\xi \rangle$ . Когерентное состояние, которое перемещается по замкнутому пути, например треугольник с тремя ребрами, заданными формулой $(\xi _{1},\xi _{2},-\xi _{1}-\xi _{2})$ в фазовом пространстве приобретает геометрический фазовый коэффициент ^[16]^[3] ${\hat {D}}[-\xi _{1}-\xi _{2}]{\hat {D}}(\xi _{2}){\hat {D}}(\xi _{1})|\alpha \rangle =e^{i{\frac {S}{\lambda }}}|\alpha \rangle ,$ где $S={\frac {1}{2}}\mathrm {Im} (\xi _{2}\xi _{1}^{*})$ это закрытая территория. Эта геометрическая фаза аналогична фазе Ааронова–Бома заряженной частицы в магнитном поле. Если магнитная элементарная ячейка решетки и элементарная ячейка соизмеримы, а именно, существуют два целых числа $r$ и $s$ такой, что $[{\hat {D}}^{r}(\xi _{1}),{\hat {D}}^{s}(\xi _{2})]=0$ , можно рассчитать зонную структуру, определенную в 2D Бриллюэне. Например, спектр гамильтониана решетки квадратного фазового пространства ${\hat {H}}=\cos {\hat {x}}+\cos {\hat {p}}$ отображает бабочек Хофштадтера структуру полос- ^[3]^[17] которое описывает перескок заряженных частиц между узлами решетки с сильной связью в магнитном поле. ^[18] В этом случае собственные состояния называются кристаллами двумерной решетки фазового пространства .

Диссипативный ПСХ

Концепция кристаллов фазового пространства для закрытой квантовой системы была распространена на открытую квантовую систему . ^[2] В схемных системах КЭД микроволновый резонатор в сочетании с джозефсоновскими переходами и напряжением смещения под действием $n$ -фотонный резонанс может быть описан гамильтонианом приближения вращающейся волны (RWA). ${\hat {H}}_{RWA}$ с $Z_{n}$ симметрия фазового пространства, описанная выше. Когда преобладают однофотонные потери, диссипативная динамика резонатора описывается следующим основным уравнением ( уравнением Линдблада ) ${\frac {d\rho }{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}}_{RWA},\rho ]+{\frac {\gamma }{2}}(2{\hat {a}}\rho {\hat {a}}^{\dagger }-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rho -\rho {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})={\mathcal {L}}(\rho ),$ где $\gamma$ это уровень потерь и супероператор ${\mathcal {L}}$ называется лиувиллианом . Можно вычислить собственный спектр и соответствующие собственные операторы лиувиллиана системы. ${\mathcal {L}}{\hat {\rho }}_{m}=\lambda _{m}{\hat {\rho }}_{m}$ .Обратите внимание, что не только гамильтониан, но и лиувиллиан инвариантны относительно $n$ -кратная вращательная операция, т.е. $[{\mathcal {L}},{\mathcal {T}}_{\tau }]=0$ с ${\mathcal {T}}_{\tau }{\hat {O}}={\hat {T}}_{\tau }^{\dagger }{\hat {O}}{\hat {T}}_{\tau }$ и $\tau ={2\pi }/{n}$ . Эта симметрия играет решающую роль в распространении концепции кристаллов фазового пространства на открытую квантовую систему. В результате собственные операторы Лиувилля ${\hat {\rho }}_{m}$ имеют структуру мод Блоха в фазовом пространстве, которая называется диссипативным кристаллом фазового пространства . ^[2]

Многочастичные кристаллы фазового пространства

Понятие кристалла фазового пространства может быть распространено на системы взаимодействующих частиц, где оно относится к состоянию многих тел, имеющему кристаллическую структуру, подобную твердому телу, в фазовом пространстве. ^[3]^[4]^[12] В этом случае важную роль играет взаимодействие частиц. В реальном пространстве гамильтониан многих тел, подвергнутый пертурбативному периодическому воздействию (с периодом $T$ ) определяется ${\mathcal {H}}=\sum _{i}H(x_{i},p_{i},t)+\sum _{i<j}V(x_{i}-x_{j}).$ Обычно потенциал взаимодействия $V(x_{i}-x_{j})$ является функцией расстояния двух частиц в реальном пространстве. Перейдя во вращающуюся систему отсчета с движущей частотой и адаптировав приближение вращающейся волны (RWA), можно получить эффективный гамильтониан. ^[15]^[5] ${\mathcal {H}}_{RWA}=\sum _{i}H_{RWA}(X_{i},P_{i},t)+\sum _{i<j}U(X_{i},P_{i};X_{j},P_{j}).$ Здесь, $X_{i},P_{i}$ - стробоскопическое положение и импульс $i$ -й частицы, а именно принимают значения $x_{i}(t),p_{i}(t)$ в целом кратном периоду вождения $t=nT$ . Чтобы иметь кристаллическую структуру в фазовом пространстве, эффективное взаимодействие в фазовом пространстве должно быть инвариантным относительно дискретных операций вращения или поступательного движения в фазовом пространстве.

Взаимодействия в фазовом пространстве

В классической динамике в главном порядке эффективный потенциал взаимодействия в фазовом пространстве представляет собой усредненное по времени взаимодействие в реальном пространстве за один период движения. $U_{ij}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V[x_{i}(t)-x_{j}(t)].$ Здесь, $x_{i}(t)$ представляет собой траекторию $i$ -я частица в отсутствие движущего поля. Для модельного степенного взаимодействия потенциала $V(x_{i}-x_{j})=\epsilon ^{2n}/|x_{i}-x_{j}|^{2n}$ с целыми и полуцелыми числами $n\geq 1/2$ , прямой интеграл, заданный приведенной выше формулой среднего по времени, расходится, т. е. $U_{ij}=\infty .$ Для устранения расходимости была введена процедура перенормировки ^[19] и правильное взаимодействие в фазовом пространстве является функцией расстояния в фазовом пространстве. $R_{ij}$ в $(X_{i},P_{i})$ самолет. Для кулоновского потенциала $n=1/2$ , результат $U(R_{ij})=2\pi ^{-1}{\tilde {\epsilon }}/R_{ij}$ по-прежнему сохраняет форму закона Кулона с точностью до логарифмического перенормированного «заряда». ${\tilde {\epsilon }}=\epsilon \ln(\epsilon ^{-1}e^{2}R_{ij}^{3}/2)$ , где $e=2.71828\cdots$ это число Эйлера . Для $n=1,3/2,2,5/2,\cdots$ , перенормированный потенциал взаимодействия в фазовом пространстве равен ^[19] $U_{ij}=U(R_{ij})={\frac {2\epsilon \gamma ^{2n-1}4^{{\frac {1}{2n}}-1}}{\pi (2n-1)}}R_{ij}^{1-{\frac {1}{n}}},$ где $\gamma =(4n-1)^{\frac {1}{2n-1}}$ является фактором столкновения. Для частного случая $n=1$ , эффективного взаимодействия в фазовом пространстве нет, поскольку $U(R_{ij})={\sqrt {3}}\epsilon \pi ^{-1}$ является константой относительно фазового расстояния. В целом для случая $n>1$ , взаимодействие в фазовом пространстве ${U}(R_{ij})$ растет с увеличением фазового расстояния $R_{ij}$ . Для взаимодействия твердых сфер ( $n\rightarrow \infty$ ), взаимодействие в фазовом пространстве $U(R_{ij})=\epsilon \pi ^{-1}R_{ij}$ ведет себя как конфайнмент-взаимодействие между кварками в квантовой хромодинамике (КХД). Вышеописанное взаимодействие в фазовом пространстве действительно инвариантно относительно дискретных операций вращения или поступательного движения в фазовом пространстве. В сочетании с потенциалом решетки фазового пространства от движения существует стабильный режим, в котором частицы периодически располагаются в фазовом пространстве, образуя многочастичные кристаллы фазового пространства . ^[3]^[4]^[12]

В квантовой механике точечная частица заменяется квантовым волновым пакетом, и проблема расходимости естественным образом избегается. низшего порядка Для разложения Магнуса для системы Флоке квантовое взаимодействие двух частиц в фазовом пространстве представляет собой усредненное по времени взаимодействие в реальном пространстве над периодическим двухчастичным квантовым состоянием. $\Phi (x_{i},x_{j},t)$ следующее. ^[20]^[3] $U_{ij}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\langle \Phi (x_{i},x_{j},t)|V(x_{i}-x_{j})|\Phi (x_{i},x_{j},t)\rangle .$ В представлении когерентных состояний взаимодействие в квантовом фазовом пространстве приближается к классическому взаимодействию в фазовом пространстве в пределе больших расстояний. ^[3] Для $N$ бозонных ультрахолодных атомов с отталкивающим контактным взаимодействием, отскакивая от колеблющегося зеркала, возможно образование изолятороподобного состояния Мотта в $Z_{n}$ решетка фазового пространства. ^[20]^[15] В этом случае существует четко определенное количество частиц в каждом потенциальном месте, которое можно рассматривать как пример одномерного кристалла фазового пространства многих тел .

Если две неразличимые частицы имеют спины , общее взаимодействие в фазовом пространстве можно записать в виде суммы прямого взаимодействия и обменного взаимодействия . ^[3] Это означает, что эффект обмена при столкновении двух частиц может вызвать эффективное спин-спиновое взаимодействие. ^[5]

Вибрации кристаллов фазового пространства

Твердые кристаллы определяются периодическим расположением атомов в реальном пространстве; атомы, подчиняющиеся периодическому во времени приводу, также могут образовывать кристаллы в фазовом пространстве. ^[3] Взаимодействия между этими атомами порождают коллективные колебательные моды, подобные фононам в твердых кристаллах. Кристалл сотового фазового пространства особенно интересен, поскольку колебательная зонная структура имеет две подрешеточные зоны, которые могут иметь нетривиальную топологическую физику. ^[4] Колебания любых двух атомов связаны парным взаимодействием с внутренне сложными связями. Их сложные фазы имеют простую геометрическую интерпретацию и не могут быть устранены калибровочным преобразованием , что приводит к колебательной зонной структуре с нетривиальными числами Черна и киральными краевыми состояниями в фазовом пространстве. В отличие от всех сценариев топологического переноса в реальном пространстве, киральный перенос фононов фазового пространства может возникнуть без нарушения физической симметрии обращения времени .

Связь с кристаллами времени

Кристаллы времени и кристаллы фазового пространства — тесно связанные, но разные концепции. ^[5] Оба они изучают субгармонические режимы, возникающие в системах с периодическим приводом. Кристаллы времени сосредоточены на процессе спонтанного нарушения симметрии поступательной симметрии дискретного времени (DTTS) и механизме защиты субгармонических режимов в квантовых системах многих тел. Напротив, изучение кристалла фазового пространства фокусируется на дискретной симметрии в фазовом пространстве. Основные моды, составляющие кристалл фазового пространства, не обязательно являются многочастичным состоянием и не обязательно нарушают DTTS, как и для одночастичных кристаллов фазового пространства. Для систем многих тел кристаллы фазового пространства изучают взаимодействие потенциальных субгармонических режимов, которые периодически располагаются в фазовом пространстве. Существует тенденция изучать взаимодействие нескольких кристаллов времени. ^[21] который придумали как физику конденсированного состояния в кристаллах времени . ^[22]^[15]^[23]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Го, Линчжэнь; Марталер, Майкл; Шен, Герд (13 ноября 2013 г.). «Кристаллы фазового пространства: новый способ создания зонной квазиэнергетической структуры» . Письма о физических отзывах . 111 (20): 205303. arXiv : 1305.1800 . Бибкод : 2013PhRvL.111t5303G . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.205303 . ПМИД 24289695 . S2CID 9337383 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ланг, Бен; Армор, Эндрю Д. (1 марта 2021 г.). «Многофотонные резонансы в схемах джозефсоновского перехода-резонатора». Новый журнал физики . 23 (3): 033021. arXiv : 2012.10149 . Бибкод : 2021NJPh...23c3021L . дои : 10.1088/1367-2630/abe483 . S2CID 229332222 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Лян, Пэнфэй; Марталер, Майкл; Го, Линчжэнь (3 апреля 2018 г.). «Инженерия многих тел Флоке: топология и физика многих тел в решетках фазового пространства». Новый журнал физики . 20 (2): 023043. arXiv : 1710.09716 . Бибкод : 2018NJPh...20b3043L . дои : 10.1088/1367-2630/aaa7c3 . S2CID 3275846 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Го, Линчжэнь; Пеано, Витторио; Марквардт, Флориан (3 марта 2022 г.). «Кристаллические колебания фазового пространства: киральные краевые состояния с сохраненной симметрией обращения времени». Физический обзор B . 105 (9): 094301. arXiv : 2105.06989 . Бибкод : 2022PhRvB.105i4301G . дои : 10.1103/PhysRevB.105.094301 . S2CID 234680134 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Го, Линчжэнь (2021). Кристаллы фазового пространства: конденсированное вещество в динамических системах . IOP Publishing Ltd. Бристоль, Великобритания: ISBN 978-0-7503-3563-8 .
^ фон Нейман, Джон (1955). Математические основы квантовой механики . Принстон, штат Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 406.
^ Габор, Д. (1946). «Теория связи». Дж. Инст. Электр. англ . 93 : 429–457.
^ Добеши, И. (1990). «Вейвлет-преобразование, частотно-временная локализация и анализ сигналов». Транзакции IEEE по теории информации . 36 (5): 961–1005. Бибкод : 1990ITIT...36..961D . дои : 10.1109/18.57199 .
^ Зак, Дж (1 февраля 1992 г.). «Тождества для орбиталей уровня Ландау» . Письма по еврофизике (EPL) . 17 (5): 443–448. Бибкод : 1992EL.....17..443Z . дои : 10.1209/0295-5075/17/5/011 . S2CID 250911987 .
^ Заславский, Г.М. (2008). Гамильтонов хаос и дробная динамика (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0199535484 .
^ Заславский, Георгий (11 октября 2007 г.). «Веб-карта Заславского» . Схоларпедия . 2 (10): 3369. Бибкод : 2007SchpJ...2.3369Z . дои : 10.4249/scholarpedia.3369 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ханнафорд, Питер; Саша, Кшиштоф (декабрь 2022 г.). «Физика конденсированного состояния в больших кристаллах дискретного времени». Бюллетень ААППС . 32 (1): 12. arXiv : 2202.05544 . Бибкод : 2022APPSB..32...12H . дои : 10.1007/s43673-022-00041-8 . S2CID 246823338 .
^ Гримсмо, Арне Л.; Комбс, Джошуа; Бараджола, Бен К. (6 марта 2020 г.). «Квантовые вычисления с вращательно-симметричными бозонными кодами». Физический обзор X . 10 (1): 011058.arXiv : 1901.08071 . Бибкод : 2020PhRvX..10a1058G . дои : 10.1103/PhysRevX.10.011058 . S2CID 119383352 .
^ Го, Линчжэнь; Марталер, Майкл (1 февраля 2016 г.). «Синтез решетчатых структур в фазовом пространстве» . Новый журнал физики . 18 (2): 023006. arXiv : 1410.3795 . Бибкод : 2016NJPh...18b3006G . дои : 10.1088/1367-2630/18/2/023006 . S2CID 117684029 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Го, Линчжэнь; Лян, Пэнфэй (1 июля 2020 г.). «Физика конденсированного состояния в кристаллах времени». Новый журнал физики . 22 (7): 075003. arXiv : 2005.03138 . Бибкод : 2020NJPh...22g5003G . дои : 10.1088/1367-2630/ab9d54 . S2CID 218538401 .
^ Печал, М.; Бергер, С.; Абдумаликов А.А.; Финк, Дж. М.; Млынек, Дж. А.; Стеффен, Л.; Вальраф, А.; Филипп, С. (23 апреля 2012 г.). «Геометрическая фаза и неадиабатические эффекты в электронном гармоническом генераторе». Письма о физических отзывах . 108 (17): 170401. arXiv : 1109.1157 . Бибкод : 2012PhRvL.108q0401P . doi : 10.1103/PhysRevLett.108.170401 . ПМИД 22680840 . S2CID 22269801 .
^ Биллам, ТП; Гардинер, SA (20 августа 2009 г.). «Квантовые резонансы в атомно-оптическом гармоническом генераторе с δ-ударом» (PDF) . Физический обзор А. 80 (2): 023414. arXiv : 0809.4373 . Бибкод : 2009PhRvA..80b3414B . дои : 10.1103/PhysRevA.80.023414 . S2CID 118574456 .
^ Хофштадтер, Дуглас Р. (15 сентября 1976 г.). «Уровни энергии и волновые функции блоховских электронов в рациональных и иррациональных магнитных полях». Физический обзор B . 14 (6): 2239–2249. Бибкод : 1976PhRvB..14.2239H . дои : 10.1103/PhysRevB.14.2239 .
^ Jump up to: ^а ^б Го, Линчжэнь; Лю, Модан; Марталер, Майкл (20 мая 2016 г.). «Эффективное взаимодействие на больших расстояниях из взаимодействия на коротких расстояниях в одномерной классической системе с периодическим приводом» . Физический обзор А. 93 (5): 053616. arXiv : 1503.03096 . Бибкод : 2016PhRvA..93e3616G . дои : 10.1103/PhysRevA.93.053616 . S2CID 19442809 .
^ Jump up to: ^а ^б Саша, Кшиштоф (1 сентября 2015 г.). «Локализация Андерсона и изоляторная фаза Мотта во временной области» . Научные отчеты . 5 (1): 10787. arXiv : 1502.02507 . Бибкод : 2015НатСР...510787С . дои : 10.1038/srep10787 . ПМЦ 4466589 . ПМИД 26074169 .
^ Аутти, С.; Хейккинен, П.Дж.; Мякинен, Дж. Т.; Воловик, Г.Э.; Завьялов В.В.; Ельцов, В.Б. (февраль 2021 г.). «Эффект AC Джозефсона между двумя сверхтекучими кристаллами времени» (PDF) . Природные материалы . 20 (2): 171–174. arXiv : 2003.06313 . Бибкод : 2021NatMa..20..171A . дои : 10.1038/s41563-020-0780-y . ПМИД 32807922 . S2CID 212717702 .
^ Саша, Кшиштоф; Закшевский, Якуб (1 января 2018 г.). «Кристаллы времени: обзор». Отчеты о прогрессе в физике . 81 (1): 016401. arXiv : 1704.03735 . Бибкод : 2018РПФ...81а6401С . дои : 10.1088/1361-6633/aa8b38 . ПМИД 28885193 . S2CID 28224975 .
^ Саша, Кшиштоф (2020). «Физика конденсированного состояния во временном измерении». Кристаллы Времени . Серия Springer по атомной, оптической физике и физике плазмы. Том. 114. стр. 173–235. дои : 10.1007/978-3-030-52523-1_5 . ISBN 978-3-030-52522-4 . S2CID 226488734 .

[Guo2013prl-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Го, Линчжэнь; Марталер, Майкл; Шен, Герд (13 ноября 2013 г.). «Кристаллы фазового пространства: новый способ создания зонной квазиэнергетической структуры» . Письма о физических отзывах . 111 (20): 205303. arXiv : 1305.1800 . Бибкод : 2013PhRvL.111t5303G . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.205303 . ПМИД 24289695 . S2CID 9337383 .

[Lang2021NJP-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ланг, Бен; Армор, Эндрю Д. (1 марта 2021 г.). «Многофотонные резонансы в схемах джозефсоновского перехода-резонатора». Новый журнал физики . 23 (3): 033021. arXiv : 2012.10149 . Бибкод : 2021NJPh...23c3021L . дои : 10.1088/1367-2630/abe483 . S2CID 229332222 .

[Liang2018NJP-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Лян, Пэнфэй; Марталер, Майкл; Го, Линчжэнь (3 апреля 2018 г.). «Инженерия многих тел Флоке: топология и физика многих тел в решетках фазового пространства». Новый журнал физики . 20 (2): 023043. arXiv : 1710.09716 . Бибкод : 2018NJPh...20b3043L . дои : 10.1088/1367-2630/aaa7c3 . S2CID 3275846 .

[guo2022prb-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Го, Линчжэнь; Пеано, Витторио; Марквардт, Флориан (3 марта 2022 г.). «Кристаллические колебания фазового пространства: киральные краевые состояния с сохраненной симметрией обращения времени». Физический обзор B . 105 (9): 094301. arXiv : 2105.06989 . Бибкод : 2022PhRvB.105i4301G . дои : 10.1103/PhysRevB.105.094301 . S2CID 234680134 .

[Guo2021book-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Го, Линчжэнь (2021). Кристаллы фазового пространства: конденсированное вещество в динамических системах . IOP Publishing Ltd. Бристоль, Великобритания: ISBN 978-0-7503-3563-8 .

[6] фон Нейман, Джон (1955). Математические основы квантовой механики . Принстон, штат Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 406.

[7] Габор, Д. (1946). «Теория связи». Дж. Инст. Электр. англ . 93 : 429–457.

[8] Добеши, И. (1990). «Вейвлет-преобразование, частотно-временная локализация и анализ сигналов». Транзакции IEEE по теории информации . 36 (5): 961–1005. Бибкод : 1990ITIT...36..961D . дои : 10.1109/18.57199 .

[Zak1992EPL-9] Зак, Дж (1 февраля 1992 г.). «Тождества для орбиталей уровня Ландау» . Письма по еврофизике (EPL) . 17 (5): 443–448. Бибкод : 1992EL.....17..443Z . дои : 10.1209/0295-5075/17/5/011 . S2CID 250911987 .

[10] Заславский, Г.М. (2008). Гамильтонов хаос и дробная динамика (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0199535484 .

[11] Заславский, Георгий (11 октября 2007 г.). «Веб-карта Заславского» . Схоларпедия . 2 (10): 3369. Бибкод : 2007SchpJ...2.3369Z . дои : 10.4249/scholarpedia.3369 .

[Sach2022aapps-12] Jump up to: ^а ^б ^с Ханнафорд, Питер; Саша, Кшиштоф (декабрь 2022 г.). «Физика конденсированного состояния в больших кристаллах дискретного времени». Бюллетень ААППС . 32 (1): 12. arXiv : 2202.05544 . Бибкод : 2022APPSB..32...12H . дои : 10.1007/s43673-022-00041-8 . S2CID 246823338 .

[13] Гримсмо, Арне Л.; Комбс, Джошуа; Бараджола, Бен К. (6 марта 2020 г.). «Квантовые вычисления с вращательно-симметричными бозонными кодами». Физический обзор X . 10 (1): 011058.arXiv : 1901.08071 . Бибкод : 2020PhRvX..10a1058G . дои : 10.1103/PhysRevX.10.011058 . S2CID 119383352 .

[guo2016njp-14] Го, Линчжэнь; Марталер, Майкл (1 февраля 2016 г.). «Синтез решетчатых структур в фазовом пространстве» . Новый журнал физики . 18 (2): 023006. arXiv : 1410.3795 . Бибкод : 2016NJPh...18b3006G . дои : 10.1088/1367-2630/18/2/023006 . S2CID 117684029 .

[Guo2020njp-15] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Го, Линчжэнь; Лян, Пэнфэй (1 июля 2020 г.). «Физика конденсированного состояния в кристаллах времени». Новый журнал физики . 22 (7): 075003. arXiv : 2005.03138 . Бибкод : 2020NJPh...22g5003G . дои : 10.1088/1367-2630/ab9d54 . S2CID 218538401 .

[16] Печал, М.; Бергер, С.; Абдумаликов А.А.; Финк, Дж. М.; Млынек, Дж. А.; Стеффен, Л.; Вальраф, А.; Филипп, С. (23 апреля 2012 г.). «Геометрическая фаза и неадиабатические эффекты в электронном гармоническом генераторе». Письма о физических отзывах . 108 (17): 170401. arXiv : 1109.1157 . Бибкод : 2012PhRvL.108q0401P . doi : 10.1103/PhysRevLett.108.170401 . ПМИД 22680840 . S2CID 22269801 .

[17] Биллам, ТП; Гардинер, SA (20 августа 2009 г.). «Квантовые резонансы в атомно-оптическом гармоническом генераторе с δ-ударом» (PDF) . Физический обзор А. 80 (2): 023414. arXiv : 0809.4373 . Бибкод : 2009PhRvA..80b3414B . дои : 10.1103/PhysRevA.80.023414 . S2CID 118574456 .

[Hofstadter1976prb-18] Хофштадтер, Дуглас Р. (15 сентября 1976 г.). «Уровни энергии и волновые функции блоховских электронов в рациональных и иррациональных магнитных полях». Физический обзор B . 14 (6): 2239–2249. Бибкод : 1976PhRvB..14.2239H . дои : 10.1103/PhysRevB.14.2239 .

[guo2016pra-19] Jump up to: ^а ^б Го, Линчжэнь; Лю, Модан; Марталер, Майкл (20 мая 2016 г.). «Эффективное взаимодействие на больших расстояниях из взаимодействия на коротких расстояниях в одномерной классической системе с периодическим приводом» . Физический обзор А. 93 (5): 053616. arXiv : 1503.03096 . Бибкод : 2016PhRvA..93e3616G . дои : 10.1103/PhysRevA.93.053616 . S2CID 19442809 .

[sacha2015sr-20] Jump up to: ^а ^б Саша, Кшиштоф (1 сентября 2015 г.). «Локализация Андерсона и изоляторная фаза Мотта во временной области» . Научные отчеты . 5 (1): 10787. arXiv : 1502.02507 . Бибкод : 2015НатСР...510787С . дои : 10.1038/srep10787 . ПМЦ 4466589 . ПМИД 26074169 .

[autti2021nm-21] Аутти, С.; Хейккинен, П.Дж.; Мякинен, Дж. Т.; Воловик, Г.Э.; Завьялов В.В.; Ельцов, В.Б. (февраль 2021 г.). «Эффект AC Джозефсона между двумя сверхтекучими кристаллами времени» (PDF) . Природные материалы . 20 (2): 171–174. arXiv : 2003.06313 . Бибкод : 2021NatMa..20..171A . дои : 10.1038/s41563-020-0780-y . ПМИД 32807922 . S2CID 212717702 .

[sacha2018rpp-22] Саша, Кшиштоф; Закшевский, Якуб (1 января 2018 г.). «Кристаллы времени: обзор». Отчеты о прогрессе в физике . 81 (1): 016401. arXiv : 1704.03735 . Бибкод : 2018РПФ...81а6401С . дои : 10.1088/1361-6633/aa8b38 . ПМИД 28885193 . S2CID 28224975 .

[sacha2020tc-23] Саша, Кшиштоф (2020). «Физика конденсированного состояния во временном измерении». Кристаллы Времени . Серия Springer по атомной, оптической физике и физике плазмы. Том. 114. стр. 173–235. дои : 10.1007/978-3-030-52523-1_5 . ISBN 978-3-030-52522-4 . S2CID 226488734 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]