Функция Эйри

Эта статья о специальной функции Airy. Информацию о функции напряжения Эйри, используемой в механике твердого тела, см. в разделе « Функции напряжения» . Информацию о функции диска Эйри, которая описывает картину дифракции оптики через круглую апертуру, см. в разделе Диск Эйри . Об общем распределении Эйри, возникающем в результате оптического резонанса между двумя зеркалами, см. Интерферометр Фабри – Перо . Чтобы узнать об уравнении Эйри как примере линейного дисперсионного уравнения в частных производных, см. Дисперсионное уравнение в частных производных .

В физических науках функция Эйри (или функция Эйри первого рода ) Ai( x ) — специальная функция, названная в честь британского астронома Джорджа Бидделла Эйри (1801–1892). Функция Ai( x ) и связанная с ней функция Bi( x ) являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения $${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-xy=0,$$известное как уравнение Эйри или уравнение Стокса .

Поскольку решение линейного дифференциального уравнения $${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-ky=0$$является колебательным при k <0 и экспоненциальным при k >0 , функции Эйри являются колебательными при x <0 и экспоненциальными при x >0 . По сути, уравнение Эйри — это простейшее линейное дифференциальное уравнение второго порядка с точкой поворота (точкой, в которой характер решения меняется от колебательного к экспоненциальному).

График функции Эйри Ai( z ) в комплексной плоскости от -2 - 2 i до 2 + 2 i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

График производной функции Эйри Ai'( z ) в комплексной плоскости от -2 - 2 i до 2 + 2 i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Определения

График Ai( x ) красным цветом и Bi( x ) синим цветом

Для действительных значений x функция Эйри первого рода может быть определена несобственным интегралом Римана : $$\operatorname {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,$$которая сходится по критерию Дирихле . Для любого действительного числа x существует положительное действительное число M такое, что функция ${\textstyle {\tfrac {t^{3}}{3}}+xt}$ является возрастающей, неограниченной и выпуклой с непрерывной и неограниченной производной на интервале $[M,\infty ).$ Сходимость интеграла на этом интервале можно доказать тестом Дирихле после замены ${\textstyle u={\tfrac {t^{3}}{3}}+xt.}$

y = Ai( x ) удовлетворяет уравнению Эйри $$y''-xy=0.$$Это уравнение имеет два линейно независимых решения.С точностью до скалярного умножения Ai( x ) является решением, подчиняющимся условию y → 0 при x → ∞ .Стандартным выбором для другого решения является функция Эйри второго рода, обозначаемая Bi( x ). Оно определяется как решение с той же амплитудой колебаний, что и Ai( x ) при x → −∞, которое отличается по фазе на π /2 :

График функции Эйри Bi( z ) в комплексной плоскости от -2 - 2 i до 2 + 2 i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

$$\operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.$$

График производной функции Эйри Bi'( z ) в комплексной плоскости от -2 - 2 i до 2 + 2 i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Характеристики

Значения Ai( x ) и Bi( x ) и их производные при x = 0 определяются выражением $${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \!\left({\frac {2}{3}}\right)}},&\quad \operatorname {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \!\left({\frac {1}{3}}\right)}},\\\operatorname {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \!\left({\frac {2}{3}}\right)}},&\quad \operatorname {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{1/6}}{\Gamma \!\left({\frac {1}{3}}\right)}}.\end{aligned}}$$Здесь Γ обозначает гамма-функцию . Отсюда следует, что вронскиан Ai ( x ) и Bi( x ) равен 1/ π .

Когда x положительное значение, Ai( x ) является положительным, выпуклым и экспоненциально убывает до нуля, а Bi( x ) является положительным, выпуклым и экспоненциально возрастает. Когда x отрицательное значение, Ai( x ) и Bi( x ) колеблются около нуля с постоянно возрастающей частотой и постоянно уменьшающейся амплитудой. Это подтверждается приведенными ниже асимптотическими формулами для функций Эйри.

Функции Эйри ортогональны в том смысле, что $$\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (t+x)\operatorname {Ai} (t+y)dt=\delta (x-y)$$снова используя несобственный интеграл Римана.

Действительные нули Ai( x ) и ее производной Ai'( x )

Ни Ai( x ) , ни его производная Ai'( x ) не имеют положительных действительных нулей. «Первые» действительные нули (т.е. ближайшие к x=0):

• «Первые» нули Ai( x ) находятся в точках x ≈ -2,33811, -4,08795, -5,52056, -6,78671, ...
• «первые» нули его производной Ai'( x ) находятся в точках x ≈ -1,01879, -3,24820, -4,82010, -6,16331, ...

Асимптотические формулы

Ai (синий) и синусоидальная/экспоненциальная асимптотическая форма Ai (пурпурный)

Bi (синий) и синусоидальная/экспоненциальная асимптотика Bi (пурпурный)

Как поясняется ниже, функции Эйри можно расширить на комплексную плоскость, получив целые функции . Асимптотическое поведение функций Эйри при | г | стремится к бесконечности при постоянном значении arg ( z ) зависит от arg( z ) : это называется феноменом Стокса . Для | арг( z ) | < π мы имеем следующую асимптотическую формулу для Ai( z ) :

$$\operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {1}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$$или $$\operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-\zeta }}{4\pi ^{3/2}\,z^{1/4}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)}{n!(-2\zeta )^{n}}}\right].$$где $\zeta ={\tfrac {2}{3}}z^{3/2}.$ В частности, первые несколько членов $$\operatorname {Ai} (z)={\frac {e^{-\zeta }}{2\pi ^{1/2}z^{1/4}}}\left(1-{\frac {5}{72\zeta }}+{\frac {385}{10368\zeta ^{2}}}+O(\zeta ^{-3})\right)$$Аналогичный вариант существует для Bi( z ) , но применим только при | арг( z ) | < π /3 :

$$\operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$$Более точная формула для Ai( z ) и формула для Bi( z ), когда π /3 < | арг( z ) | < π или, что то же самое, для Ai(− z ) и Bi(− z ), когда | арг( z ) | < 2 π /3 , но не ноль, являются: $${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-z)\sim &{}\ {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} (-z)\sim &{}{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right].\end{aligned}}$$

Когда | арг( z ) | = 0 это хорошие приближения, но они не являются асимптотическими, поскольку отношение между Ai(− z ) или Bi(− z ) и приведенным выше приближением стремится к бесконечности всякий раз, когда синус или косинус стремится к нулю. асимптотические разложения Также доступны для этих пределов. Они перечислены в (Abramowitz and Stegun, 1983) и (Olver, 1974).

Также можно получить асимптотические выражения для производных Ai'(z) и Bi'(z) . Как и раньше, когда | арг( z ) | < π :

$$\operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{1/4}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$$

Когда | арг( z ) | < π /3 имеем:

$$\operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$$

Аналогично, выражение для Ai'(− z ) и Bi'(− z ), когда | арг( z ) | < 2 π /3, но не ноль,

$${\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &{}\ {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\\end{aligned}}$$

Сложные аргументы

Мы можем распространить определение функции Эйри на комплексную плоскость следующим образом: $$\operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,$$где интеграл проводится по пути C, начинающемуся в бесконечной точке с аргументом − π /3 и заканчивающемуся в бесконечной точке с аргументом π/3. В качестве альтернативы мы можем использовать дифференциальное уравнение y " − xy = 0, чтобы расширить Ai( x ) и Bi( x ) до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для Ai( x ) по-прежнему справедлива в комплексной плоскости, если главное значение x ^2/3 берется и x отделен от отрицательной вещественной оси. Формула для Bi( x ) действительна при условии, что x находится в секторе $x\in \mathbb {C} :\left|\arg(x)\right|<{\tfrac {\pi }{3}}-\delta$ для некоторого положительного δ. Наконец, формулы для Ai(− x ) и Bi(− x ) справедливы, если x находится в секторе $x\in \mathbb {C} :\left|\arg(x)\right|<{\tfrac {2\pi }{3}}-\delta .$

Из асимптотического поведения функций Эйри следует, что как Ai( x ) , так и Bi( x ) имеют бесконечность нулей на отрицательной вещественной оси. Функция Ai( x ) не имеет других нулей в комплексной плоскости, а функция Bi( x ) также имеет бесконечное число нулей в секторе $z\in \mathbb {C} :{\tfrac {\pi }{3}}<\left|\arg(z)\right|<{\tfrac {\pi }{2}}.$

Участки

$\Re \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]$	$\Im \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]$	$\left|\operatorname {Ai} (x+iy)\right|\,$	$\operatorname {arg} \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]\,$

$\Re \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]$	$\Im \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]$	$\left|\operatorname {Bi} (x+iy)\right|\,$	$\operatorname {arg} \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]\,$

Связь с другими специальными функциями

Для положительных аргументов функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя : $${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\operatorname {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[I_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}$$Здесь I _±1/3 и K _1/3 — решения уравнения $$x^{2}y''+xy'-\left(x^{2}+{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.$$

Первая производная функции Эйри равна $$\operatorname {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{2/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right).$$

Функции K _1/3 и K _2/3 можно представить в виде быстро сходящихся интегралов (см. также модифицированные функции Бесселя )

Для отрицательных аргументов функция Эйри связана с функциями Бесселя : $${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left[J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right],\\\operatorname {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}$$Здесь J _±1/3 — решения уравнения $$x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-{\frac {1}{9}}\right)y=0.$$

Hi Функции счетчика ( x ) и -Gi( x ) решают уравнение y " − xy = 1/π . Их также можно выразить через функции Эйри: $${\begin{aligned}\operatorname {Gi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\operatorname {Ai} (t)\,dt+\operatorname {Ai} (x)\int _{0}^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt,\\\operatorname {Hi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Ai} (t)\,dt-\operatorname {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}$$

Преобразование Фурье

Используя определение функции Эйри Ai( x ), легко показать, что ее преобразование Фурье имеет вид $${\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.$$Это можно получить, приняв преобразование Фурье уравнения Эйри. Позволять ${\textstyle {\hat {y}}={\frac {1}{2\pi i}}\int ye^{-ikx}dx}$, затем $i{\hat {y}}'+k^{2}{\hat {y}}=0$, которое тогда имеет решения ${\hat {y}}=Ce^{ik^{3}/3}.$ Существует только одно измерение решений, поскольку преобразование Фурье требует, чтобы y достаточно быстро убывало до нуля, а Bi растет до бесконечности экспоненциально быстро, поэтому его нельзя получить с помощью преобразования Фурье.

Приложения

Квантовая механика

Функция Эйри является решением независимого от времени уравнения Шредингера для частицы, заключенной в треугольной потенциальной яме , и для частицы в одномерном постоянном силовом поле. По той же причине он также служит для обеспечения однородных квазиклассических приближений вблизи точки поворота в приближении ВКБ , когда потенциал может быть локально аппроксимирован линейной функцией положения. Решение треугольной потенциальной ямы имеет непосредственное отношение к пониманию электронов, захваченных в полупроводниковых гетеропереходах .

Оптика

Трансверсально-асимметричный оптический луч, в котором профиль электрического поля задается функцией Эйри, обладает интересным свойством: его максимальная интенсивность ускоряется в одну сторону, а не распространяется по прямой линии, как в случае симметричных пучков. Это происходит за счет того, что хвост низкой интенсивности распространяется в противоположном направлении, поэтому общий импульс луча, конечно, сохраняется.

Каустика

Функция Эйри лежит в основе формы интенсивности вблизи оптической направленной каустики , такой как радуга ( называемая нештатной радугой). Исторически сложилось так, что именно эта математическая проблема привела Эйри к разработке этой специальной функции. В 1841 году Уильям Хэллоуз Миллер экспериментально измерил аналог нештатной радуги, пропуская свет через тонкий цилиндр с водой, а затем наблюдая в телескоп. Он наблюдал до 30 полос.

Вероятность

В середине 1980-х годов было обнаружено, что функция Эйри тесно связана с распределением Чернова .

Функция Эйри также появляется в определении распределения Трейси – Уидома , которое описывает закон наибольших собственных значений в случайной матрице . Из-за тесной связи теории случайных матриц с уравнением Кардара-Паризи-Чжана в КПЗ построены центральные процессы, такие как процесс Эйри .

История

Функция Эйри названа в честь британского астронома и физика Джорджа Бидделла Эйри (1801–1892), который столкнулся с ней в своих ранних исследованиях оптики в физике (Эйри, 1838). Обозначение Ai( x ) было введено Гарольдом Джеффрисом . Эйри стал королевским британским астрономом в 1835 году и занимал этот пост до выхода на пенсию в 1881 году.

См. также

• Дзета-функция Эйри

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 10» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 448. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Эйри (1838), «Об интенсивности света вблизи каустики» , Труды Кембриджского философского общества , 6 , University Press: 379–402, Бибкод : 1838TCaPS...6..379A
• Фрэнк Уильям Джон Олвер (1974). Асимптотика и специальные функции, глава 11. Academic Press, Нью-Йорк.
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.6.3. Функции Эйри» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8 , заархивировано из оригинала 11 августа 2011 г. , получено 9 августа 2011 г.
• Валле, Оливье; Соарес, Мануэль (2004), Функции Эйри и приложения к физике , Лондон: Imperial College Press, ISBN  978-1-86094-478-9 , MR   2114198 , заархивировано из оригинала 13 января 2010 г. , получено 14 мая 2010 г.

Внешние ссылки

• «Функции Эйри» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Эйри» . Математический мир .
• Страницы функций Wolfram для Ai и Bi функций . Включает формулы, средство оценки функций и калькулятор для построения графиков.
• Олвер, FWJ (2010), «Эйри и родственные функции» , в Олвере, Фрэнке WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .