Событие (теория вероятностей)

В теории вероятностей событие набор — это результатов эксперимента , ( которому подмножество выборочного пространства ) присвоена вероятность. ^[1] Один и тот же результат может быть элементом множества различных событий. ^[2] и разные события в эксперименте обычно не одинаково вероятны, поскольку они могут включать в себя очень разные группы исходов. ^[3] Событие, состоящее только из одного результата, называется элементарным событием или атомарным событием ; то есть это одноэлементный набор . Событие, имеющее более одного возможного исхода, называется составным событием. Событие $S$ говорят, что происходит, если $S$ содержит результат $x$ эксперимента (или испытания ) (то есть, если $x\in S$ ). ^[4] Вероятность (относительно некоторой вероятностной меры ) того, что событие $S$ произойдет, является вероятностью того, что $S$ содержит результат $x$ эксперимента (т.е. это вероятность того, что $x\in S$ ). Событие определяет дополнительное событие , а именно дополнительный набор (событие не происходит), и вместе они определяют испытание Бернулли : произошло событие или нет?

Обычно, когда пространство выборки конечно, любое подмножество пространства выборки является событием (то есть все элементы набора мощности выборочного пространства определяются как события). ^[5] Однако этот подход не очень хорошо работает в случаях, когда пространство выборки несчетно бесконечно . Таким образом, при определении вероятностного пространства можно и часто необходимо исключить определенные подмножества выборочного пространства из числа событий (см. «События в вероятностных пространствах» ниже).

Простой пример

Если мы соберем колоду из 52 игральных карт без джокеров и вытянем из колоды одну карту, то пространство выборки представляет собой набор из 52 элементов, поскольку каждая карта представляет собой возможный результат. Событием, однако, является любое подмножество выборочного пространства, включая любое одноэлементное множество ( элементарное событие ), пустое множество (невозможное событие с нулевой вероятностью) и само выборочное пространство (определенное событие с вероятностью единица). Другие события представляют собой правильные подмножества выборочного пространства, содержащие несколько элементов. Так, например, потенциальные события включают в себя:

«Красный и черный одновременно, не будучи шутником» (0 элементов),
«5 червей» (1 элемент),
«Король» (4 элемента),
«Лицо карты» (12 элементов),
«Лопата» (13 элементов),
«Лицо карты или красная масть» (32 элемента),
«Карточка» (52 элемента).

Поскольку все события являются множествами, их обычно записывают как множества (например, {1, 2, 3}) и представляют графически с помощью диаграмм Венна . В ситуации, когда каждый исход в выборочном пространстве Ω равновероятен, вероятность $P$ события $A$ это следующее формула : $\mathrm {P} (A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\,\ \left({\text{alternatively:}}\ \Pr(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\right)$ Это правило можно легко применить к каждому из приведенных выше примеров событий.

События в вероятностных пространствах

Определение всех подмножеств выборочного пространства как событий хорошо работает, когда имеется лишь конечное число результатов, но порождает проблемы, когда выборочное пространство бесконечно. Для многих стандартных распределений вероятностей , таких как нормальное распределение , выборочное пространство представляет собой набор действительных чисел или некоторое подмножество действительных чисел . Попытки определить вероятности для всех подмножеств действительных чисел сталкиваются с трудностями, когда рассматривают наборы с «плохим поведением» , например те, которые не поддаются измерению . Следовательно, необходимо ограничить внимание более ограниченным семейством подмножеств. Чтобы стандартные инструменты теории вероятностей, такие как совместные и условные вероятности , работали, необходимо использовать σ-алгебру , то есть семейство, замкнутое относительно дополнения и счетных объединений его членов. Наиболее естественным выбором σ-алгебры является измеримое по Борелю множество, полученное из объединений и пересечений интервалов. Однако более широкий класс измеримых по Лебегу множеств оказывается более полезным на практике.

В общем теоретико-мерном описании вероятностных пространств событие может быть определено как элемент выбранной 𝜎-алгебры подмножеств выборочного пространства. Согласно этому определению, любое подмножество выборочного пространства, не являющееся элементом 𝜎-алгебры, не является событием и не имеет вероятности. Однако при разумной спецификации вероятностного пространства все интересующие события являются элементами 𝜎-алгебры.

Примечание об обозначениях

Несмотря на то, что события являются подмножествами некоторого выборочного пространства $\Omega ,$ их часто записывают как предикаты или индикаторы, включающие случайные величины . Например, если $X$ - случайная величина с действительным знаком, определенная в выборочном пространстве $\Omega ,$ событие $\{\omega \in \Omega \mid u<X(\omega )\leq v\}\,$ удобнее записать так: $u<X\leq v\,.$ Это особенно часто встречается в формулах для вероятности , таких как $\Pr(u<X\leq v)=F(v)-F(u)\,.$ Набор $u<X\leq v$ является примером прообраза при отображении $X$ потому что $\omega \in X^{-1}((u,v])$ тогда и только тогда, когда $u<X(\omega )\leq v.$

См. также

Атом (теория меры) - измеримое множество с положительной мерой, которое не содержит подмножества меньшей положительной меры.
Дополнительное событие - противоположность вероятностному событию.
Элементарное событие – событие, содержащее только один результат.
Независимое событие — когда возникновение одного события не влияет на вероятность
Результат (вероятность) – Возможный результат эксперимента или испытания.
Попарно независимые события - набор случайных величин, из которых любые две независимы.

Примечания

^ Леон-Гарсия, Альберто (2008). Вероятность, статистика и случайные процессы в электротехнике . Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Пирсон. ISBN 9780131471221 .
^ Пфайффер, Пол Э. (1978). Понятия теории вероятностей . Дуврские публикации. п. 18. ISBN 978-0-486-63677-1 .
^ Ферстер, Пол А. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения, издание для учителей (под ред. Классики). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл . п. 634 . ISBN 0-13-165711-9 .
^ Деккинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Людольф Эрвин, Мистер (2005). Деккинг, Мишель (ред.). Современное введение в вероятность и статистику: понимание почему и как . Тексты Спрингера в статистике. Лондон [Гейдельберг]: Springer. п. 14. ISBN 978-1-85233-896-1 .
^ Ширяев, Альберт Н. (2016). Вероятность-1 . Дипломные тексты по математике. Перевод Боаса, Ральфа Филипа; Чибисов, Дмитрий (3-е изд.). Нью-Йорк Гейдельберг Дордрехт Лондон: Springer. ISBN 978-0-387-72205-4 .

Внешние ссылки

«Случайное событие» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Формальное определение в системе Мицар .

[1] Леон-Гарсия, Альберто (2008). Вероятность, статистика и случайные процессы в электротехнике . Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Пирсон. ISBN 9780131471221 .

[2] Пфайффер, Пол Э. (1978). Понятия теории вероятностей . Дуврские публикации. п. 18. ISBN 978-0-486-63677-1 .

[3] Ферстер, Пол А. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения, издание для учителей (под ред. Классики). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл . п. 634 . ISBN 0-13-165711-9 .

[4] Деккинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Людольф Эрвин, Мистер (2005). Деккинг, Мишель (ред.). Современное введение в вероятность и статистику: понимание почему и как . Тексты Спрингера в статистике. Лондон [Гейдельберг]: Springer. п. 14. ISBN 978-1-85233-896-1 .

[5] Ширяев, Альберт Н. (2016). Вероятность-1 . Дипломные тексты по математике. Перевод Боаса, Ральфа Филипа; Чибисов, Дмитрий (3-е изд.). Нью-Йорк Гейдельберг Дордрехт Лондон: Springer. ISBN 978-0-387-72205-4 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]