Специализированная теория портфеля

Специальная теория портфеля в финансах занимается характеристиками и особенностями портфеля, созданного для создания предсказуемого потока будущих денежных притоков. Это достигается путем покупки облигаций и/или других ценных бумаг с фиксированным доходом (таких как депозитные сертификаты ), которые могут и обычно удерживаются до погашения , чтобы генерировать этот предсказуемый поток из купонного процента и/или погашения номинальной стоимости каждой облигации, когда оно созревает. Цель состоит в том, чтобы поток притоков денежных средств точно соответствовал срокам (и долларам) предсказуемого потока оттоков денежных средств из-за будущих обязательств. По этой причине его иногда называют денежным сопоставлением или инвестированием, основанным на обязательствах . Определение наименее дорогостоящего набора облигаций в нужном количестве с подходящим сроком погашения, соответствующим денежным потокам, является аналитической задачей, требующей некоторой степени математической сложности. Учебники для колледжей обычно охватывают идею «специализированных портфелей» или «специализированных портфелей облигаций» в главах, посвященных использованию ценных бумаг с фиксированным доходом. ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]

История

Самый плодовитый автор теории портфеля Мартин Л. Лейбовиц ^[8] был первым, кто назвал специализированные портфели портфелями «денежного соответствия». Он продемонстрировал, что они являются простейшим примером метода, известного как иммунизация портфеля облигаций . В своем очерке истории он прослеживает происхождение иммунизации до Фредерика Р. Маколея. ^[9] который первым предложил понятие «дюрации» для ценных бумаг с фиксированным доходом в 1938 году. Дюрация представляет собой средний срок купонных выплат и погашения облигации и связывает изменения процентных ставок с волатильностью стоимости облигации. Год спустя Дж. Р. Хикс ^[10] независимо разработали аналогичную формулировку, названную «средним периодом». В 1942 году ТЦ Купманс ^[11] В отчете указано, что, сопоставив продолжительность облигаций, находящихся в портфеле, с длительностью обязательств, которые эти облигации будут финансировать, последствия изменений процентных ставок могут быть смягчены или полностью сведены на нет, то есть иммунизированы. В 1945 году Пол Самуэльсон ^[12] сформулировал, по сути, ту же концепцию, назвав ее «средневзвешенным периодом времени». Ни один из этих первых исследователей не цитировал работы друг друга, предполагая, что каждый разработал концепцию независимо. Кульминацией этой работы стала статья британского актуария Ф.М. Редингтона , опубликованная в 1952 году . ^[13]

Этот объем работ в значительной степени игнорировался до 1971 года, когда Лоуренс Фишер и Роман Вейль ^[14] вновь представил научному сообществу иммунизацию в журнальной статье, последовавшей за отчетом 1969 года, написанным для Центра исследований цен на ценные бумаги . Вскоре после этого, в 1972 году, И.Т. Вандерхоф ^[15] представил концепцию американскому актуарному сообществу. Научные статьи по иммунизации, ее продолжительности и целеустремленности стали появляться во все большем количестве, поскольку процентные ставки начали расти. Поскольку ставки все больше и больше превышали свои долгосрочные средние значения, индустрия финансовых инвестиций начала обращать на них внимание, и их запросы все больше привлекали внимание академических исследователей. Понимая, что высокие ставки позволят им зафиксировать беспрецедентную норму прибыли, менеджеры пенсионных фондов с установленными выплатами приняли эту концепцию. Goldman Sachs и другие фирмы высокого уровня начали производить программное обеспечение, которое поможет менеджерам портфелей облигаций применить эту теорию к своим портфелям институционального размера. В большинстве примеров, использованных в литературе, обычно использовались портфели, состоящие из нескольких сотен миллионов долларов. В 1981 году Лейбовиц и Вайнбергер ^[16] опубликовал отчет об «условной иммунизации», в котором обсуждается сочетание активного управления портфелями облигаций с иммунизацией, чтобы обеспечить нижний предел доходности. Лейбовиц ^[17] также опубликовал статью в двух частях, определяющую специализированные портфели в 1986 году. Одним из побочных преимуществ теоретической работы и практического интереса была разработка новых инструментов с фиксированным доходом, таких как облигации с нулевым купоном.

Пример выделенного портфолио

Хотя большая часть первоначальной работы над специализированными портфелями была выполнена для крупных институциональных инвесторов, таких как пенсионные фонды, самые последние приложения были связаны с личными инвестициями. В этом примере представлена пара, которая хочет выйти на пенсию в этом году (назовем его 20XY, например, 2018) и уже отложила деньги для покрытия своих расходов. Социальное обеспечение обеспечит некоторый доход, но остальная часть должна будет поступать из их портфеля . Помимо расходов этого года, они накопили пенсионный портфель на сумму 2 000 000 долларов. Обычно пенсионные портфели содержат более высокий процент облигаций, чем портфели, принадлежащие молодым людям, которые еще не приближаются к пенсионному возрасту. Вероятно, наиболее распространенным пенсионным портфелем будет соотношение акций и облигаций 60/40 по сравнению с распределением акций и облигаций 80/20 или 90/10 для молодых инвесторов. Следуя общему практическому правилу в отношении скорости вывода средств из пенсионного фонда , чтобы пенсионный портфель прослужил не менее 30 лет, они должны снимать не более 5 процентов. из своего портфеля в следующем году (100 000 долларов). Они могут увеличивать ее каждый год на величину инфляции предыдущего года. Если быть консервативными, они запланируют ежегодную инфляцию на уровне 3 процентов (они, возможно, не потратят эти деньги, но на всякий случай захотят защиты). Таблица 1, ^{[примечание 1]} перечисляет прогнозируемый поток вывода средств. Эти выплаты представляют собой годовой «доход», необходимый паре для покрытия расходов на проживание в течение первых восьми лет выхода на пенсию. Обратите внимание, что общий денежный поток, необходимый за все восемь лет, составляет 889 234 доллара США. ^{[ нужна ссылка ]}

В Таблице 2 показан ряд облигаций и депозитных сертификатов с разнесенными сроками погашения, чьи купонные и основные выплаты будут соответствовать потоку доходов, показанному в столбце «Целевые денежные потоки» в Таблице 1 (в данном примере ставки являются вымышленными). Денежный поток, генерируемый портфелем за первый год, составит 100 380 долларов США. Он состоит из основной суммы облигации со сроком погашения 15 февраля следующего года плюс купонные процентные выплаты по всем остальным облигациям. То же самое будет справедливо и для следующего года, и для каждого последующего года. Общие денежные потоки, созданные за восемь лет, составляют 889 350 долларов США по сравнению с целевой суммой денежных потоков в 889 234 долларов США, разница составляет всего 116 долларов США. Как и в первый год, денежные потоки очень близки к целевым денежным потокам, необходимым для каждого года. Совпадение не может быть идеальным, поскольку обычно необходимо покупать облигации номиналом 1000 долларов США (муниципальные облигации номиналом 5000 долларов США). Однако при использовании довольно сложных методов математической оптимизации обычно можно получить корреляцию 99 процентов или выше. Эти методы также определяют, какие облигации покупать, чтобы минимизировать затраты на удовлетворение денежных потоков, которые в этом примере составляют 747 325 долларов США. Обратите внимание, что в этом примере срок погашения всех облигаций наступает 15 февраля, в середине первого квартала. Конечно, можно использовать и другие даты, например годовщину реализации портфеля.

Это будет первое портфолио пары. Но мы надеемся, что у них есть пожизненный финансовый план, рассчитанный на 30 или 40 лет. Со временем это означает, что портфель необходимо будет обновлять или продлевать каждый год, чтобы поддерживать тот же 8-летний временной горизонт. Временной горизонт может быть продлен путем добавления еще одной облигации со сроком погашения 8 лет или эквивалентной суммы. Таким образом, продление на регулярной основе может обеспечить непрерывную серию 8-летних горизонтов защищенного дохода в течение всей жизни инвестора и стать эквивалентом самоаннуитета . Будет ли пополнение происходить каждый год автоматически или только при соблюдении других критериев, будет зависеть от уровня искушенности инвестора или консультанта.

8-летние облигации можно рассматривать как «портфель доходов», поскольку он предназначен для обеспечения предсказуемого потока доходов в течение следующих 8 лет. Оставшуюся часть портфеля можно рассматривать как «портфель роста», поскольку он будет предназначен для обеспечения роста, необходимого для пополнения портфеля доходов. Портфель роста, предположительно, будет инвестирован в акции для достижения достаточного роста.

Недавние исследования были направлены на оценку инвестиционных стратегий, разработанных на основе специальной теории портфеля. Хаксли, Бернс и Флетчер ^[18] исследовали компромиссы при разработке подходящих стратегий роста портфеля. Пфау ^[19] сравнили эффективность специализированных портфелей с другими распространенными инвестиционными стратегиями выхода на пенсию. Во всех сравнениях подход, основанный на выделенном портфеле, показал превосходные результаты.

Обратите внимание, что ценные бумаги с фиксированным доходом, показанные в примере, представляют собой высококачественные, безопасные ценные бумаги с фиксированным доходом «инвестиционного уровня» , депозитные сертификаты и спонсируемые государством агентские облигации , выбранные во избежание риска дефолта . казначейские облигации США Также можно использовать . Но у них более низкая доходность, а это означает, что портфель казначейских облигаций для удовлетворения тех же потоков будет стоить дороже, чем депозитные сертификаты и агентства. Корпоративные облигации с рейтингом Triple-A являются еще одним вариантом и обычно имеют более высокую доходность, но теоретически более рискованны, чем облигации, спонсируемые государством. Кроме того, после финансового кризиса 2008 года корпоративные облигации с рейтингом три А стали редкими в широком диапазоне сроков погашения, необходимых для специализированных портфелей. Инвесторы, готовые пойти на больший риск, могут использовать облигации любого качества, которые они считают приемлемыми с учетом их более высокой доходности, хотя безопасность, вероятно, будет иметь первостепенное значение для выхода на пенсию.

Напомним, что вторичной целью теории специализированного портфеля является выбор облигаций, которые обеспечат необходимые денежные потоки при минимально возможных затратах с учетом требований к минимальному качеству облигаций, которые необходимо учитывать (отсюда и необходимость расчета). В этом вымышленном примере показанная стоимость покупки этого первоначального набора облигаций составляет 747 325 долларов США, без учета транзакционных издержек и комиссий, но фактическая стоимость будет варьироваться в зависимости от доходности, качества используемых облигаций и продолжительности временного горизонта. Это также будет зависеть от времени начала движения денежных средств. Если бы эта пара планировала выйти на пенсию через пять лет, они могли бы отложить время начала, чтобы оно совпадало с датой выхода на пенсию. Они купили бы специальный портфель, первая облигация которого имеет срок погашения через пять лет, вторая через шесть лет и т. д. Доходность по этим облигациям, вероятно, будет выше, поскольку они находятся дальше на кривой доходности .

Обратите внимание, что любая из облигаций может быть облигацией с нулевым купоном , то есть по ним не выплачиваются купонные проценты. Было бы легко создать специальный портфель, полностью состоящий из облигаций с нулевым купоном, но их доходность часто может быть ниже, чем доходность облигаций с нулевым купоном. Другая проблема с «нулями» заключается в том, что налоги должны платиться каждый год с увеличения стоимости облигации с нулевым купоном (при условии, что она хранится на налогооблагаемом счете), даже если проценты фактически не были получены.

Возвращаясь к нашему примеру, предположим, что этот «портфель доходов» был фактически куплен, а остаток средств был инвестирован в «портфель роста» взаимных фондов акций или аналогичные типы быстрорастущих инвестиций. Первоначальное распределение активов будет состоять из 37% облигаций и 63% акций (см. Таблицу 3).

Преимущества

1. Предсказуемые денежные потоки. Поскольку даты и суммы купонных выплат и выплат по погашению известны заранее, отдельные облигации, удерживаемые до погашения, предлагают то, что могут обеспечить немногие другие финансовые инвестиции: предсказуемость. Большинство фондов облигаций не могут обеспечить такую уверенность, поскольку они держат большие объемы множества различных облигаций и обычно торгуют ими, а не держат их до погашения. Таким образом, с точки зрения волатильности они ведут себя скорее как вялые фонды акций .

2. Избежание или снижение инвестиционных рисков . Ряд рисков, связанных с владением облигациями, можно избежать или смягчить за счет использования специального портфеля:

а. Рыночный риск (или риск капитала) избегается, поскольку облигации удерживаются до погашения. Рыночная цена, по которой облигация может быть продана в любой момент времени, может вырасти или упасть до того, как она достигнет срока погашения, но эти колебания не имеют значения для инвестора, если облигации будут удерживаться до тех пор, пока они не будут выплачены по номинальной стоимости. Конечно, у инвестора есть возможность продать облигации в любое время в случае возникновения чрезвычайной ситуации.

б. Риска реинвестирования можно избежать, поскольку проценты и основная сумма облигаций расходуются на финансирование обязательств (например, расходы на жизнь пенсионера), а не реинвестируются.

в. Инфляционный риск снижается за счет включения ожидаемой инфляции в целевые денежные потоки – вспомните 3-процентную годовую корректировку, использованную в примере. инвестора Если инфляция в среднем превышает 3 процента, то реальный доход упадет; то есть будет недостаточно обеспечить тот же уровень жизни. Этого инфляционного риска можно полностью избежать, если индексированные по инфляции облигации, для создания специального портфеля использовать такие как TIPS. По этим облигациям выплачиваются купонные проценты плюс увеличивается основная сумма на уровень инфляции по сравнению с предыдущим годом, а затем выплачиваются купонные проценты на завышенную сумму в следующем году. При погашении они платят полную номинальную стоимость плюс накопленную инфляцию.

д. Риск дефолта (или кредитный риск) снижается за счет использования только высококачественных облигаций инвестиционного уровня, аналогичных показанным в примере выше. Инвесторы, готовые принять на себя больший риск, могут создавать специальные портфели с облигациями более низкого качества, делая ставку на то, что достаточное их количество в конечном итоге окупится.

е. Риск ликвидности снижается, поскольку отдельные облигации могут быть проданы в случае возникновения необходимости. Это значительное преимущество по сравнению с аннуитетами , которые не являются торгуемыми ценными бумагами .

3. Специфика . Поскольку специализированные портфели предназначены для обеспечения определенного потока средств, соответствующего будущим целевым денежным потокам, эти денежные потоки должны быть весьма конкретными с точки зрения сроков и сумм. Эта потребность в конкретике заставляет любого, кто обдумывает специальную стратегию портфельных инвестиций, тщательно продумать разработку формального, пожизненного финансового плана, а не просто полагаться на расплывчатые или туманные цели и надеяться на лучшее. Результирующее распределение активов основано непосредственно на плане, а не на общей модели портфеля. В этом, конечно, суть серьезного финансового планирования, а результатом является портфель, адаптированный к конкретным потребностям каждого инвестора.

4. Распределение активов. Одним из недостатков современной портфельной теории является то, что она дает лишь общее представление о том, как следует распределять активы между основными классами активов (акции, облигации и денежные средства). Он фокусируется на компромиссе между доходностью и волатильностью – то есть, более высокую прибыль можно получить только за счет инвестиций, которые колеблются быстрее и с большей интенсивностью. Теория специального портфеля уделяет особое внимание денежным потокам и временным горизонтам. Если все сделано правильно, на фиксированный доход выделяется не более минимальных средств, необходимых для создания желаемых денежных потоков, а все остальные средства можно инвестировать в другое место, как показано в примере выше. Большинство инвесторов считают это более интуитивным объяснением того, почему их активы распределяются таким образом.

5. Пассивное управление. Существует два основных подхода к управлению портфелем. Сторонники активного управления полагают, что более высокая доходность достигается за счет попыток рассчитать время на рынке и выбора «горячих» акций (другими словами, пытаясь предсказать будущее). Сторонники пассивного управления полагают, что более высокая прибыль достигается за счет покупки взаимных фондов широкого профиля , таких как индексные фонды , и их владения. Большинство академических исследований показывают, что пассивное управление исторически приносило более высокую прибыль в долгосрочной перспективе. Выделенные портфели попадают в категорию пассивного управления, поскольку после покупки облигаций они удерживаются до погашения. Если все оставшиеся средства инвестируются в индексный фонд, то весь портфель можно рассматривать как 100-процентно пассивный. (Поставщики индексных фондов, такие как Dimensional Fund Advisors и Vanguard, могут предоставить объемные результаты исследований по дебатам об активном/пассивном управлении.) ^{[ нужна ссылка ]}

Недостатки

Выделенные портфолио не лишены недостатков:

Основным недостатком специализированных портфелей является то, что их нелегко создать. Им требуется опыт работы с облигациями и другими ценными бумагами с фиксированным доходом. Не все облигации подходят для специализированных портфелей. Например, они не могут использовать облигации с возможностью отзыва , поскольку отзывная облигация создаст непредсказуемый приток денежных средств, который потребует реинтеграции в поток ненарушенных денежных потоков.
Они требуют высокого уровня знаний в области математики и теории оптимизации . Чтобы определить правильное количество для каждого срока погашения, чтобы соответствовать денежным потокам при минимальных затратах, требуется метод, известный как математическое программирование.
Они требуют формального финансового планирования и конкретики для разработки целевых денежных потоков на каждый год и определения соответствующего временного горизонта, что, в свою очередь, требует времени, размышлений и усилий как со стороны инвестора, так и со стороны финансового консультанта. ^{[ нужна ссылка ]}

Сноски

^ 10-летние казначейские облигации выросли выше своего долгосрочного среднего значения в 1968 году, более чем на одно стандартное отклонение выше в 1975 году, более чем на два стандартных отклонения выше в 1980 году и более чем на три стандартных отклонения в 1981 году.

Ссылки

^ Боди, Цви; Кейн, Алекс; и Маркус, Алан. Инвестиции, 8-е изд. МакГроу-Хилл Ирвин, 2009, с. 538.
^ Боди, Цви; Кейн, Алекс; Маркус, Алан. Основы инвестиций, 8-е изд. МакГроу-Хилл Ирвин, 2010, с. 344.
^ Фабоцци, Фрэнк. Рынки облигаций, анализ и стратегии, 3-е изд. Прентис Холл, 1996, с. 447.
^ Фабоцци, Фрэнк. Справочник по ценным бумагам с фиксированным доходом. МакГроу-Хилл, 2005, с. 1103.
^ Джордан, Брэдфорд и Миллер, Томас. Основы инвестиций. МакГроу-Хилл Ирвин, 2009, с. 334.
^ Лог, Деннис. Управление корпоративными пенсионными планами. Харпер Бизнес, 1991, с. 219.
^ Шарп, Уильям; Александр, Гордон; и Бэйли, Джеффри. Инвестиции, 5-е изд. Прентис Холл, 1995, с. 478.
^ Фабоцци, Фрэнк. Инвестирование: Собрание сочинений Мартина Л. Лейбовица. Пробус, 1992, с. 521.
^ Маколей, Фредерик Р. Некоторые теоретические проблемы, вызванные движением процентных ставок, доходности облигаций и цен на акции в Соединенных Штатах с 1856 года. Национальное бюро экономических исследований, 1938, стр. 44-53.
^ Хикс, JR Value and Capital, Clarendon Press (Оксфорд), 1939.
^ Купманс, Т.К. Риск колебаний процентных ставок в компаниях по страхованию жизни. Компания Penn Mutual Life Insurance, 1942 год.
^ Самуэльсон, Пол. Влияние изменения процентных ставок в банковской системе. American Economic Review, март 1945 г., стр. 16–27.
^ Редингтон, Ф.М. «Обзор принципов оценки Life-Office» Журнал Института актуариев 78, № 3, 1952, стр. 286-340. См. также http://www.soa.org/library/proceedings/record-of-the-society-of-actuaries/1980-89/1982/january/RSA82V8N48.PDF .
^ Фишер, Лоуренс и Вейл, Роман л. «Как справиться с риском колебаний процентных ставок: прибыль держателей облигаций от наивных и оптимальных стратегий». Журнал бизнеса 44, № 4 (октябрь 1971 г.), стр. 408–31.
^ ИТ Вандерхоф. «Влияние допущения процентной ставки и структура сроков погашения активов компании по страхованию жизни». Сделки Общества актуариев, том XXIV, собрания № 69A и 69B, май и июнь 1972 г., стр. 157-92.
^ Лейбовиц, Мартин Л. и Вайнбергер, Альфред. «Условная иммунизация». Salomon Brothers, Inc., январь 1981 г.
^ Лейбовиц, Мартин Л. Специальный портфель облигаций пенсионных фондов - Часть 1: Мотивы и основы и Часть 2: Иммунизация, сопоставление горизонтов и условные процедуры. Журнал финансовых аналитиков, январь/февраль (часть 1) и март/апрель (часть 2) 1986 г.
^ Хаксли, Стивен Дж., Бернс, Брент и Флетчер, Джереми «Кривые доходности акций, временная сегментация и стратегии оптимизации портфеля», Журнал финансового планирования, ноябрь 2016 г., стр. 54-61.
^ Пфау, Уэйд «Является ли временная сегментация лучшей стратегией?» (3 апреля 2017 г.), www.advisorperspectives.com

Дальнейшее чтение

Хаксли, Стивен и Бернс, Дж. Преданность активам: как стать богатым с помощью следующего поколения распределения активов. Макгроу-Хилл Образование; 1-е издание (1 августа 2004 г.). ISBN 0071434828 .

Внешние ссылки

[1] Asset Dediction — проектная фирма, занимающаяся созданием специализированных портфелей.
[2] Веб-сайт Dimensional Fund Advisors; DFA специализируется на индексных фондах и пассивном управлении. Его основатели провели оригинальное исследование, которое привело к созданию рамки стиля, которая теперь используется для классификации фондов по размеру и стоимости/росту.
[3] Журнал финансового планирования – Статья о специальных портфелях для пенсионеров.
[4] Инвестопедия – Определение специализированных портфелей
[5] Авангард — официальный сайт Авангарда; Джон Богл был одним из первых, кто начал индексное инвестирование для широкой публики, а Vanguard был крупнейшим поставщиком взаимных фондов в мире в 2009 году.
[6] Advisor Perspectives — интернет-журнал, в котором публикуются статьи, представленные специалистами по финансовому планированию и исследователями.

[18] 10-летние казначейские облигации выросли выше своего долгосрочного среднего значения в 1968 году, более чем на одно стандартное отклонение выше в 1975 году, более чем на два стандартных отклонения выше в 1980 году и более чем на три стандартных отклонения в 1981 году.

[1] Боди, Цви; Кейн, Алекс; и Маркус, Алан. Инвестиции, 8-е изд. МакГроу-Хилл Ирвин, 2009, с. 538.

[2] Боди, Цви; Кейн, Алекс; Маркус, Алан. Основы инвестиций, 8-е изд. МакГроу-Хилл Ирвин, 2010, с. 344.

[3] Фабоцци, Фрэнк. Рынки облигаций, анализ и стратегии, 3-е изд. Прентис Холл, 1996, с. 447.

[4] Фабоцци, Фрэнк. Справочник по ценным бумагам с фиксированным доходом. МакГроу-Хилл, 2005, с. 1103.

[5] Джордан, Брэдфорд и Миллер, Томас. Основы инвестиций. МакГроу-Хилл Ирвин, 2009, с. 334.

[6] Лог, Деннис. Управление корпоративными пенсионными планами. Харпер Бизнес, 1991, с. 219.

[7] Шарп, Уильям; Александр, Гордон; и Бэйли, Джеффри. Инвестиции, 5-е изд. Прентис Холл, 1995, с. 478.

[8] Фабоцци, Фрэнк. Инвестирование: Собрание сочинений Мартина Л. Лейбовица. Пробус, 1992, с. 521.

[9] Маколей, Фредерик Р. Некоторые теоретические проблемы, вызванные движением процентных ставок, доходности облигаций и цен на акции в Соединенных Штатах с 1856 года. Национальное бюро экономических исследований, 1938, стр. 44-53.

[10] Хикс, JR Value and Capital, Clarendon Press (Оксфорд), 1939.

[11] Купманс, Т.К. Риск колебаний процентных ставок в компаниях по страхованию жизни. Компания Penn Mutual Life Insurance, 1942 год.

[12] Самуэльсон, Пол. Влияние изменения процентных ставок в банковской системе. American Economic Review, март 1945 г., стр. 16–27.

[13] Редингтон, Ф.М. «Обзор принципов оценки Life-Office» Журнал Института актуариев 78, № 3, 1952, стр. 286-340. См. также http://www.soa.org/library/proceedings/record-of-the-society-of-actuaries/1980-89/1982/january/RSA82V8N48.PDF .

[14] Фишер, Лоуренс и Вейл, Роман л. «Как справиться с риском колебаний процентных ставок: прибыль держателей облигаций от наивных и оптимальных стратегий». Журнал бизнеса 44, № 4 (октябрь 1971 г.), стр. 408–31.

[15] ИТ Вандерхоф. «Влияние допущения процентной ставки и структура сроков погашения активов компании по страхованию жизни». Сделки Общества актуариев, том XXIV, собрания № 69A и 69B, май и июнь 1972 г., стр. 157-92.

[16] Лейбовиц, Мартин Л. и Вайнбергер, Альфред. «Условная иммунизация». Salomon Brothers, Inc., январь 1981 г.

[17] Лейбовиц, Мартин Л. Специальный портфель облигаций пенсионных фондов - Часть 1: Мотивы и основы и Часть 2: Иммунизация, сопоставление горизонтов и условные процедуры. Журнал финансовых аналитиков, январь/февраль (часть 1) и март/апрель (часть 2) 1986 г.

[19] Хаксли, Стивен Дж., Бернс, Брент и Флетчер, Джереми «Кривые доходности акций, временная сегментация и стратегии оптимизации портфеля», Журнал финансового планирования, ноябрь 2016 г., стр. 54-61.

[20] Пфау, Уэйд «Является ли временная сегментация лучшей стратегией?» (3 апреля 2017 г.), www.advisorperspectives.com

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[примечание 1]

[18]

[19]