Модуль постоянства

Модуль постоянства — это математическая структура для анализа устойчивой гомологии и топологических данных , которая формально фиксирует сохранение топологических характеристик объекта в диапазоне параметров масштаба. Модуль персистентности часто состоит из набора групп гомологий (или векторных пространств , если используются полевые коэффициенты ), соответствующих фильтрации топологических пространств , и набора линейных карт, индуцированных включениями фильтрации . Понятие модуля персистентности было впервые введено в 2005 году как применение градуированных модулей над кольцами полиномов , что позволило импортировать хорошо развитые алгебраические идеи из классической теории коммутативной алгебры в среду персистентных гомологии. С тех пор модули персистентности стали одной из основных алгебраических структур, изучаемых в области прикладной топологии.

Определение

Модули сохранения одного параметра

Позволять $T$ быть полностью упорядоченным множеством и пусть $K$ быть полем . Набор $T$ иногда называют индексным набором . Затем однопараметрический модуль персистентности $M$ является функтором $M:T\to \mathbf {Vec} _{K}$ упорядоченных категории из $T$ к категории векторных пространств над $K$ и линейные карты . Модуль персистентности с одним параметром, индексированный дискретным ЧУМ, таким как целые числа, может быть интуитивно представлен как диаграмма пространств: $$\cdots \to M_{-1}\to M_{0}\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots$$Чтобы подчеркнуть используемый набор индексации, модуль сохраняемости, индексируемый $T$ иногда называют $T$-persistence-модуль или просто $T$-модуль. Распространенный выбор наборов индексации включает в себя $\mathbb {R} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {N}$, и т. д.

В качестве альтернативы можно использовать теоретико-множественное определение модуля персистентности, которое эквивалентно категориальной точке зрения: модуль персистентности — это пара $(V,\pi )$ где $V$ это коллекция $\{V_{z}\}_{z\in T}$ из $K$-векторные пространства и $\pi$ это коллекция $\{\pi _{y,z}\}_{y\leq z\in T}$ линейных карт, где $\pi _{y,z}:V_{y}\to V_{z}$ для каждого $y\leq z\in T$, такой, что $\pi _{y,z}\circ \pi _{x,y}=\pi _{x,z}$ для любого $x\leq y\leq z\in T$ (т.е. все карты коммутируют ).

Модули многопараметрического постоянства

Позволять $P$ быть продуктом $n$ полностью упорядоченные множества , т.е. $P=T_{1}\times \dots \times T_{n}$ для некоторых полностью заказанных наборов $T_{i}$. Затем, наделив $P$ продукта, с частичным заказом заданным $(s_{1},\dots ,s_{n})\leq (t_{1},\dots ,t_{n})$ только если $s_{i}\leq t_{i}$ для всех $i=1,\dots ,n$, мы можем определить многопараметрический модуль персистентности, индексированный $P$ как функтор $M:P\to \mathbf {Vec} _{K}$. Это обобщение однопараметрических модулей персистентности, и, в частности, это согласуется с однопараметрическим определением, когда $n=1$.

В этом случае $P$-persistence-модуль называется $n$-мерный или $n$-модуль сохранения параметров или просто многопараметрический или многомерный модуль, если количество параметров уже понятно из контекста.

Пример двухпараметрического модуля персистентности, индексированного по сетке 5x5, рассматриваемого как конечное частично упорядоченное множество.

Модули многомерного персистентности были впервые представлены в 2009 году Карлссоном и Зомородианом. С тех пор было проведено значительное количество исследований теории и практики работы с многомерными модулями, поскольку они обеспечивают большую структурированность изучения формы данных. А именно, многопараметрические модули могут иметь большую чувствительность к плотности и устойчивость к выбросам, чем однопараметрические модули, что делает их потенциально полезным инструментом для анализа данных.

Одним из недостатков многопараметрического постоянства является присущая ему сложность. Это затрудняет выполнение вычислений, связанных с многопараметрическими модулями постоянства. В худшем случае вычислительная сложность многомерной постоянной гомологии экспоненциальна.

Самый распространенный способ измерения сходства двух многопараметрических модулей персистентности — использование расстояния чередования , которое является расширением расстояния узкого места.

Примеры

Модули гомологии

При использовании гомологии с коэффициентами в поле гомологии группа имеет структуру векторного пространства . Поэтому, учитывая фильтрацию пространств $F:P\to \mathbf {Top}$, применяя функтор гомологии к каждому индексу, мы получаем модуль персистентности $H_{i}(F):P\to \mathbf {Vec} _{K}$ для каждого $i=1,2,\dots$ позвонил ( $i$трехмерный) модуль гомологии $F$. Векторные пространства модуля гомологии можно определить по индексу как $H_{i}(F)_{z}=H_{i}(F_{z})$ для всех $z\in P$, отображения индуцируются а отображениями включения линейные $F$.

Модули гомологии являются наиболее распространенным примером модулей персистентности, поскольку они кодируют информацию о количестве и масштабе топологических признаков объекта (обычно получаемую в результате построения фильтрации по облаку точек ) в чисто алгебраическую структуру, что позволяет понять форму данные, поддающиеся алгебраическим методам, импортированные из хорошо развитых областей математики, таких как коммутативная алгебра и теория представлений .

Интервальные модули

Основная проблема при изучении модулей персистентности заключается в том, можно ли разложить модули на «более простые части», грубо говоря. В частности, алгебраически и вычислительно удобно, если модуль постоянства может быть выражен как прямая сумма меньших модулей, известных как интервальные модули .

Позволять $J$ быть непустым подмножеством частичного множества $P$. Затем $J$ представляет собой интервал в $P$ если

• Для каждого $x,z\in J$ если $x\leq y\leq z\in P$ затем $y\in J$
• Для каждого $x,z\in J$ есть последовательность элементов $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\in J$ такой, что $p_{1}=x$, $p_{n}=z$, и $p_{i},p_{j}$ сопоставимы для всех $i,j\in \{1,\dots ,n\}$.

Теперь учитывая интервал $J\subseteq P$ мы можем определить модуль персистентности $\mathbb {I} ^{J}$по индексу следующим образом:

$\mathbb {I} _{z}^{J}:={\begin{cases}K&{\text{if }}z\in J\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$; $\mathbb {I} _{y,z}^{J}:={\begin{cases}\operatorname {id} _{K}&{\text{if }}y\leq z\in J\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$.

Модуль $\mathbb {I} ^{J}$ называется интервальным модулем .

Бесплатные модули

Позволять $a\in P$. Затем мы можем определить модуль персистентности $Q^{a}$ относительно $a$ где пробелы задаются выражением

$Q_{z}^{a}:={\begin{cases}K&{\text{if }}z\geq a\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$и карты, определенные через $Q_{y,z}^{a}:={\begin{cases}\operatorname {id} _{K}&{\text{if }}z\geq a\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$.

Затем $Q^{a}$ известен как свободный (постоянный) модуль .

Свободный модуль можно также определить с помощью разложения на интервальные модули. Для каждого $a\in P$ определить интервал $a^{\llcorner }:=\{b\in P\mid b\geq a\}$, иногда называемый «свободным интервалом». Затем модуль персистентности $F$ является свободным модулем, если существует мультимножество ${\mathfrak {J}}(F)\subseteq P$ такой, что $F=\bigoplus _{a\in {\mathfrak {J}}(F)}\mathbb {I} ^{a^{\llcorner }}$. Другими словами, модуль является свободным модулем, если его можно разложить в прямую сумму модулей свободных интервалов.

Характеристики

Условия конечного типа

Модуль персистентности $M$ проиндексировано $\mathbb {N}$ называется конечным типом, если для всех выполнены следующие условия: $n\in \mathbb {N}$:

1. Каждое векторное пространство $M_{n}$ является конечномерным.
2. Существует целое число $N$ такое, что карта $M_{N,n}$ является изоморфизмом для всех $n\geq N$.

Если $M$ удовлетворяет первому условию, то $M$ обычно называют поточечно-конечномерным (pfd) . Понятие поточечной конечномерности непосредственно распространяется на произвольные множества индексов.

Определение конечного типа также можно адаптировать к непрерывным наборам индексов. А именно модуль $M$ проиндексировано $\mathbb {R}$ имеет конечный тип, если $M$ это п.п.м., и $M$ содержит конечное число уникальных векторных пространств. Формально говоря, это требует, чтобы для всех точек, кроме конечного, $x\in \mathbb {R}$ есть район $N$ из $x$ такой, что $M_{y}\cong M_{z}$ для всех $y,z\in N$, а также что есть некоторые $w\in \mathbb {R}$ такой, что $M_{v}=0$ для всех $v\leq w$. Модуль, удовлетворяющий только первому свойству, иногда называют существенно дискретным , тогда как модуль, удовлетворяющий обоим свойствам, называют существенно конечным .

Ан $\mathbb {R}$-персистентный модуль называется полунепрерывным, если для любого $x\in \mathbb {R}$ и любой $y\leq x$ достаточно близко к $x$, карта $M_{y,x}:M_{y}\to M_{x}$ является изоморфизмом. Обратите внимание, что это условие является избыточным, если выполняются другие условия конечного типа, приведенные выше, поэтому оно обычно не включается в определение, но актуально в определенных обстоятельствах.

Структурная теорема

Одной из основных целей изучения модулей персистентности является классификация модулей в соответствии с их разложимостью на интервальные модули. Модуль персистентности, допускающий разложение в прямую сумму интервальных модулей, часто называют просто «интервально разложимым». Одним из основных результатов в этом направлении является то, что любой модуль постоянства п.п.м., индексированный по полностью упорядоченному набору, является интервально разлагаемым. Иногда это называют «структурной теоремой для модулей персистентности».

Пример двумерного модуля персистентности на плоскости с его интервальным разложением.

Тот случай, когда $P$ конечен — это прямое применение структурной теоремы для конечно порожденных модулей в области главных идеалов . Для модулей, индексированных более $\mathbb {Z}$, первое известное доказательство структурной теоремы принадлежит Уэббу. Теорема была распространена на случай $\mathbb {R}$ (или любое полностью упорядоченное множество, содержащее счетное подмножество , плотное в $\mathbb {R}$ с порядковой топологией ) Кроули-Бови в 2015 году. Обобщенная версия структурной теоремы, то есть для модулей п.п.м., индексированных по произвольным полностью упорядоченным наборам, была установлена ​​Ботнаном и Кроули-Бови в 2019 году.