Число Эпсилон

Эта статья о типе ординала в математике. Чтобы узнать о физической константе ε ₀ , см. Диэлектрическая проницаемость вакуума .

В математике представляют числа эпсилон собой набор трансфинитных чисел , определяющим свойством которых является то, что они являются фиксированными точками экспоненциального отображения . Следовательно, их невозможно достичь из 0 с помощью конечной серии применений выбранного экспоненциального отображения и «более слабых» операций, таких как сложение и умножение. Исходные числа эпсилон были введены Георгом Кантором в контексте порядковой арифметики ; это порядковые числа ε, удовлетворяющие уравнению

$\varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,$

в котором ω — наименьший бесконечный ординал.

Наименьшим таким порядковым номером является ε ₀ (произносится как эпсилон-ноль (в основном британцы), эпсилон-ноль (в основном американцы) или эпсилон-ноль ), который можно рассматривать как «предел», полученный с помощью трансфинитной рекурсии из последовательности меньших предельных порядковых номеров:

$\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup \left\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \right\}\,,$

где sup — верхняя грань , что эквивалентно объединению множеств в случае представления ординалов фон Неймана.

Большие порядковые фиксированные точки экспоненциального отображения индексируются порядковыми индексами, в результате чего $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots$. Порядковый номер ε ₀ по-прежнему счетен , как и любое эпсилонное число, индекс которого счетен. Также существуют неисчисляемые порядковые номера, а также неисчисляемые числа эпсилон, индекс которых является неисчисляемым порядковым номером.

Наименьшее число эпсилон ε ₀ появляется во многих доказательствах индукции , потому что для многих целей трансфинитная индукция требуется только до ε ₀ (как в доказательстве непротиворечивости Генцена и доказательстве теоремы Гудштейна ). Ее использование Генценом для доказательства непротиворечивости арифметики Пеано , наряду со второй теоремой Гёделя о неполноте , показывает, что арифметика Пеано не может доказать обоснованность этого порядка (на самом деле это наименее порядковый номер с этим свойством, и, как таковой, в доказательстве -теоретический порядковый анализ , используется как мера силы теории арифметики Пеано).

Многие большие числа эпсилон можно определить с помощью функции Веблена .

Более общий класс чисел эпсилон был идентифицирован Джоном Хортоном Конвеем и Дональдом Кнутом в сюрреалистической системе счисления , состоящий из всех сюрреалистических чисел, которые являются фиксированными точками базового экспоненциального отображения ω x → ω. ^х .

Хессенберг (1906) определил гамма-числа (см. аддитивно неразложимый порядковый номер ) как числа γ > 0 такие, что α + γ = γ всякий раз, когда α < γ , а дельта-числа (см. мультипликативно неразложимый порядковый номер ) как числа δ > 1 такие, что αδ = δ, если 0 < α < δ , а числа эпсилон — это числа ε > 2 такие, что α ^е = ε всякий раз, когда 1 < α < ε . Его гамма-числа имеют вид ω ^б , а его дельта-числа имеют вид ω ^{ой б} .

Порядковые числа ε

Стандартное определение порядкового возведения в степень с основанием α:

• $\alpha ^{0}=1\,,$
• $\alpha ^{\beta }=\alpha ^{\beta -1}\cdot \alpha \,,$ когда $\beta$ имеет непосредственного предшественника $\beta -1$.
• $\alpha ^{\beta }=\sup \lbrace \alpha ^{\delta }\mid 0<\delta <\beta \rbrace$, в любое время $\beta$ является предельным ординалом .

Из этого определения следует, что для любого фиксированного ординала > 1 отображение α $\beta \mapsto \alpha ^{\beta }$ является нормальной функцией , поэтому она имеет сколь угодно большие неподвижные точки согласно лемме о неподвижной точке для нормальных функций . Когда $\alpha =\omega$, эти неподвижные точки представляют собой в точности порядковые числа эпсилон.

• $\varepsilon _{0}=\sup \left\lbrace 1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\ldots \right\rbrace \,,$
• $\varepsilon _{\beta }=\sup \left\lbrace {\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}}},\ldots \right\rbrace \,,$ когда $\beta$ имеет непосредственного предшественника $\beta -1$.
• $\varepsilon _{\beta }=\sup \lbrace \varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \rbrace$, в любое время $\beta$ является предельным ординалом.

Потому что

$\omega ^{\varepsilon _{0}+1}=\omega ^{\varepsilon _{0}}\cdot \omega ^{1}=\varepsilon _{0}\cdot \omega \,,$

$\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot \omega )}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{\omega }=\varepsilon _{0}^{\omega }\,,$

$\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{1+\omega }}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot {\varepsilon _{0}}^{\omega })}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}={\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}\,,$

другая последовательность с той же супремумом, $\varepsilon _{1}$, получается, начиная с 0 и возводя в степень по основанию ε ₀ вместо этого:

$\varepsilon _{1}=\sup \left\{1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\ldots \right\}.$

Обычно число эпсилон $\varepsilon _{\beta }$ индексируется любым порядковым номером, имеющим непосредственный предшественник $\beta -1$ можно построить аналогично.

$\varepsilon _{\beta }=\sup \left\{1,\varepsilon _{\beta -1},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}}},\dots \right\}.$

В частности, является ли индекс β предельным ординалом, $\varepsilon _{\beta }$ является фиксированной точкой не только возведения в степень по базе ω, но и возведения в степень по базе δ для всех ординалов $1<\delta <\varepsilon _{\beta }$.

Поскольку числа эпсилон представляют собой неограниченный подкласс порядковых чисел, они нумеруются с использованием самих порядковых чисел. Для любого порядкового номера $\beta$, $\varepsilon _{\beta }$ - наименьшее число эпсилон (фиксированная точка экспоненциальной карты), которого еще нет в наборе $\{\varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \}$. Может показаться, что это неконструктивный эквивалент конструктивного определения с использованием повторного возведения в степень; но эти два определения одинаково неконструктивны на шагах, индексированных предельными порядковыми номерами, которые представляют собой трансфинитную рекурсию более высокого порядка, чем взятие супремума экспоненциального ряда.

Следующие факты об эпсилон-числах легко доказать:

• Хотя это довольно большое количество, $\varepsilon _{0}$ по-прежнему счетен , являясь счетным объединением счетных ординалов; фактически, $\varepsilon _{\beta }$ счетно тогда и только тогда, когда $\beta$ является счетным.
• Объединение (или супремум) любого непустого набора чисел эпсилон является числом эпсилон; так, например $$\varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots \}$$ является числом эпсилон. Таким образом, отображение $\beta \mapsto \varepsilon _{\beta }$ это нормальная функция.
• Начальный порядковый номер любого неисчисляемого кардинала — это число эпсилон. $$\alpha \geq 1\Rightarrow \varepsilon _{\omega _{\alpha }}=\omega _{\alpha }\,.$$

Представление ε ₀ корневыми деревьями

Любое эпсилон-число ε имеет канторову нормальную форму. $\varepsilon =\omega ^{\varepsilon }$, что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для чисел эпсилон. Однако ординалы меньше ε ₀ могут быть с пользой описаны с помощью их нормальных форм Кантора, что приводит к представлению ε ₀ как упорядоченного набора всех конечных корневых деревьев следующим образом. Любой порядковый номер $\alpha <\varepsilon _{0}$ имеет нормальную канторову форму $\alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}$ где k — натуральное число и $\beta _{1},\ldots ,\beta _{k}$ являются ординалами с $\alpha >\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{k}$, однозначно определяемый $\alpha$. Каждый из ординалов $\beta _{1},\ldots ,\beta _{k}$ в свою очередь имеет аналогичную нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, соединяя корни деревьев, представляющих $\beta _{1},\ldots ,\beta _{k}$ к новому корню. (Это приводит к тому, что число 0 представлено одним корнем, а число $1=\omega ^{0}$ представлено деревом, содержащим корень и один лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: сначала мы упорядочиваем поддеревья, соединенные с корнем, в порядке убывания, а затем используем лексикографический порядок для этих упорядоченных последовательностей поддеревья. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится упорядоченным множеством , по порядку изоморфным ε вполне ₀ .

Это представление связано с доказательством теоремы о гидре , которая представляет убывающие последовательности ординалов как игру в теории графов .

Иерархия Веблена

Основная статья: функция Веблена

Неподвижные точки «эпсилон-отображения» $x\mapsto \varepsilon _{x}$ образуют нормальную функцию, неподвижные точки которой образуют нормальную функцию; это известно как иерархия Веблена (функции Веблена с базой φ ₀ ( α ) = ω ^а ). В обозначениях иерархии Веблена эпсилон-отображение равно φ ₁ , а его неподвижные точки нумеруются φ ₂ .

Продолжая в том же духе, можно определить карты φ _α для постепенно увеличивающихся порядковых номеров α (включая, благодаря этой разреженной форме трансфинитной рекурсии, предельные ординалы) с постепенно увеличивающимися наименьшими фиксированными точками φ _{α +1} (0) . Наименьший порядковый номер, недостижимый из 0 с помощью этой процедуры, т. е. наименьший порядковый номер α, для которого φ _α (0) = α , или, что то же самое, первая неподвижная точка отображения. $\alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)$– ординал Фефермана–Шютте Γ ₀ . В теории множеств, где можно доказать существование такого ординала, существует отображение Γ , перечисляющее неподвижные точки Γ ₀ , Γ ₁ , Γ ₂ , ... $\alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)$; все это все еще эпсилон-числа, поскольку они лежат в образе φ _β для каждого β ≤ Γ ₀ , включая отображение φ _1, которое перечисляет эпсилон-числа.

Сюрреалистические числа ε

В книге «О числах и играх» , классическом изложении сюрреалистических чисел , Джон Хортон Конвей привел ряд примеров концепций, которые имели естественное расширение от порядковых чисел к сюрреалистическим. Одной из таких функций является $\omega$-карта $n\mapsto \omega ^{n}$; это отображение естественным образом обобщается, включая все сюрреалистические числа в свою область определения , что, в свою очередь, обеспечивает естественное обобщение нормальной формы Кантора для сюрреалистических чисел.

Естественно считать любую фиксированную точку этой расширенной карты эпсилон-числом, независимо от того, является ли оно строго порядковым числом или нет. Некоторые примеры непорядковых чисел эпсилон:

$\varepsilon _{-1}=\left\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\ldots \mid \varepsilon _{0}-1,\omega ^{\varepsilon _{0}-1},\ldots \right\}$

и

$\varepsilon _{1/2}=\left\{\varepsilon _{0}+1,\omega ^{\varepsilon _{0}+1},\ldots \mid \varepsilon _{1}-1,\omega ^{\varepsilon _{1}-1},\ldots \right\}.$

Существует естественный способ определить $\varepsilon _{n}$ для любого сюрреалистического числа n , и карта остаётся сохраняющей порядок . Конвей далее определяет более широкий класс «неприводимых» сюрреалистических чисел, который включает числа эпсилон как особенно интересный подкласс.

См. также

• Порядковая арифметика
• Большой счетный порядковый номер

Ссылки

• Дж. Х. Конвей, О числах и играх (1976) Academic Press ISBN   0-12-186350-6
• Раздел XIV.20 Серпинский, Вацлав (1965), Кардинальные и порядковые числительные (2-е изд.), PWN - Польское научное издательство
• Хессенберг, Герхард (1906). Основные понятия теории множеств . Геттинген: Ванденхук и Рупрехт.