Интегральное уравнение

Для уравнений с целочисленными неизвестными см. Диофантово уравнение .

В математике интегральные уравнения — это уравнения, в которых неизвестная функция стоит под знаком интеграла . Таким образом, в математической записи интегральные уравнения могут быть выражены в виде: $$f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});I^{1}(u),I^{2}(u),I^{3}(u),...,I^{m}(u))=0$$где $I^{i}(u)$ — интегральный оператор, действующий на u. Следовательно, интегральные уравнения можно рассматривать как аналог дифференциальных уравнений , в которых вместо уравнения, включающего производные, уравнение содержит интегралы. Можно провести прямое сравнение математической формы общего интегрального уравнения, приведенной выше, с общей формой дифференциального уравнения, которое можно выразить следующим образом: $$f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});D^{1}(u),D^{2}(u),D^{3}(u),...,D^{m}(u))=0$$где $D^{i}(u)$ можно рассматривать как дифференциальный оператор порядка i . Благодаря такой тесной связи между дифференциальными и интегральными уравнениями часто можно выполнить преобразование между ними. Например, одним из методов решения краевой задачи является преобразование дифференциального уравнения с его граничными условиями в интегральное уравнение и решение интегрального уравнения. Кроме того, поскольку между ними существует возможность преобразования, дифференциальные уравнения в физике, такие как уравнения Максвелла, часто имеют аналоговую интегральную и дифференциальную форму. См. также, например, функцию Грина и теорию Фредгольма .

Классификация и обзор

Существуют различные методы классификации интегральных уравнений. Несколько стандартных классификаций включают различия между линейными и нелинейными; гомогенные и неоднородные; Фредхольм и Вольтерра; первого порядка, второго порядка и третьего порядка; сингулярные и регулярные интегральные уравнения. Эти различия обычно основаны на некоторых фундаментальных свойствах, таких как учет линейности уравнения или его однородности. Эти комментарии конкретизируются посредством следующих определений и примеров:

Линейность

Линейное : интегральное уравнение является линейным, если неизвестная функция u(x) и ее интегралы кажутся линейными в уравнении. Следовательно, примером линейного уравнения может быть: $$u(x)=f(x)+\lambda \int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt$$В качестве примечания к соглашению об именах: i) u(x) называется неизвестной функцией, ii) f(x) называется известной функцией, iii) K(x,t) является функцией двух переменных и часто называется ядром функция, и iv) λ — неизвестный фактор или параметр, который играет ту же роль, что и собственное значение в линейной алгебре .

Нелинейное : интегральное уравнение является нелинейным, если неизвестная функция u(x) или любой из ее интегралов оказываются в уравнении нелинейными. Следовательно, примерами нелинейных уравнений были бы приведенные выше уравнения, если бы мы заменили u(t) на $u^{2}(x),\,\,\cos(u(x)),\,{\text{or }}\,e^{u(x)}$, такой как: $$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u^{2}(t)dt$$Некоторые виды нелинейных интегральных уравнений имеют особые названия. Выбор таких уравнений:

• Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра второго рода, имеющие общий вид: $u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,u(t))\,dt,$ где F — известная функция.
• Нелинейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода, имеющие общий вид: $f(x)=F(x,\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy)$.
• Особый тип нелинейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода имеет вид: $f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy$, который имеет два специальных подкласса:
  • Уравнение Урысона: $f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y,f(y))\,dy$.
  • Уравнение Хаммерштейна: $f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y)\,G(y,f(y))\,dy$.

Дополнительную информацию об уравнении Хаммерштейна и различных версиях уравнения Хаммерштейна можно найти в разделе Хаммерштейна ниже.

Местоположение неизвестного уравнения

Первый вид : Интегральное уравнение называется интегральным уравнением первого рода, если неизвестная функция стоит только под знаком интеграла. Примером может быть: $f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt$.

Второй вид : Интегральное уравнение называется интегральным уравнением второго рода, если неизвестная функция также входит в состав интеграла.

Третий вид : Интегральное уравнение называется интегральным уравнением третьего рода, если оно представляет собой линейное интегральное уравнение следующего вида: $$g(t)u(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,x)u(x)\,dx=f(t)$$где g(t) обращается в нуль хотя бы один раз в интервале [a,b] или где g(t) обращается в нуль в конечном числе точек из (a,b) .

Пределы интеграции

Фредгольм : Интегральное уравнение называется интегральным уравнением Фредгольма, если оба предела интегрирования во всех интегралах фиксированы и постоянны. Примером может служить то, что интеграл берется по фиксированному подмножеству $\mathbb {R} ^{n}$. Следовательно, следующие два примера являются уравнениями Фредгольма:

• Уравнение Фредгольма первого типа: $f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt$.
• Уравнение Фредгольма второго типа: $u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt.$

Обратите внимание, что мы можем выразить интегральные уравнения, подобные приведенным выше, также используя обозначения интегральных операторов. Например, мы можем определить интегральный оператор Фредгольма как: $$({\mathcal {F}}y)(t):=\int _{t_{0}}^{T}K(t,s)\,y(s)\,ds.$$Следовательно, приведенное выше уравнение Фредгольма второго рода можно компактно записать как: $$y(t)=g(t)+\lambda ({\mathcal {F}}y)(t).$$

Вольтерра : Интегральное уравнение называется интегральным уравнением Вольтерра, если хотя бы один из пределов интегрирования является переменной. Следовательно, интеграл берется в области, меняющейся в зависимости от переменной интегрирования. Примерами уравнений Вольтерра могут быть:

• Интегральное уравнение Вольтерра первого рода: $f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt$
• Интегральное уравнение Вольтерра второго рода: $u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt.$

Как и в случае с уравнениями Фредгольма, мы снова можем принять операторную запись. Таким образом, мы можем определить линейный интегральный оператор Вольтерра ${\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)$, следующее: $$({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds$$где $t\in I=[t_{0},T]$ а K(t,s) называется ядром и должна быть непрерывной на интервале $D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}$. Следовательно, интегральное уравнение Вольтерра первого рода можно записать в виде: $$({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)$$с $g(0)=0$. Кроме того, линейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода для неизвестной функции $y(t)$ и заданная непрерывная функция $g(t)$ на интервале $I$ где $t\in I$: $$y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t).$$Вольтерра-Фредгольм : В более высоких измерениях существуют интегральные уравнения, такие как интегральные уравнения Фредгольма-Вольтерра (VFIE). VFIE имеет форму: $$u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)$$с $x\in \Omega$ и $\Omega$ являющаяся замкнутой ограниченной областью в $\mathbb {R} ^{d}$ с кусочно гладкой границей. Интегральный оператор Фредгольма-Вольтерра. ${\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )$ определяется как:

$$({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.$$Обратите внимание: хотя в этой статье границы интеграла обычно записываются в виде интервалов, это не обязательно так. В общем, интегральные уравнения не всегда нужно определять на интервале. $[a,b]=I$, но также может быть определен по кривой или поверхности.

Однородность

Однородное : интегральное уравнение называется однородным, если известная функция $f$ тождественно равен нулю.

Неоднородное : интегральное уравнение называется неоднородным, если известная функция $f$ ненулевое значение.

Регулярность

Регулярное : интегральное уравнение называется регулярным, если все используемые интегралы являются собственными.

Сингулярное или слабо сингулярное . Интегральное уравнение называется сингулярным или слабо сингулярным, если интеграл является несобственным. Это может быть связано либо с тем, что хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен, либо с тем, что ядро ​​становится неограниченным, то есть бесконечным, по крайней мере, в одной точке интервала или области, по которой интегрируется.

Примеры включают в себя: $$F(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\lambda x}u(x)\,dx$$$$L[u(x)]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}u(x)\,dx$$Эти два интегральных уравнения представляют собой преобразование Фурье и преобразование Лапласа функции u(x) соответственно, причем оба являются уравнениями Фредгольма первого рода с ядром $K(x,t)=e^{-i\lambda x}$ и $K(x,t)=e^{-\lambda x}$, соответственно. Другой пример сингулярного интегрального уравнения, в котором ядро ​​становится неограниченным: $$x^{2}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {x-t}}}\,u(t)\,dt.$$Это уравнение представляет собой специальную форму более общего слабо сингулярного интегрального уравнения Вольтерра первого рода, называемого интегральным уравнением Абеля: $$g(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f(y)}{\sqrt {x-y}}}\,dy$$Сильно сингулярное . Интегральное уравнение называется сильно сингулярным, если интеграл определяется специальной регуляризацией, например, главным значением Коши.

Интегро-дифференциальные уравнения

Интегро -дифференциальное уравнение, как следует из названия, объединяет дифференциальные и интегральные операторы в одно уравнение. Существует множество версий, включая интегро-дифференциальное уравнение Вольтерра и уравнения типа задержки, как определено ниже. Например, используя оператор Вольтерра, определенный выше, интегро-дифференциальное уравнение Вольтерра можно записать как: $$y'(t)=f(t,y(t))+(V_{\alpha }y)(t)$$Для проблем с задержкой мы можем определить интегральный оператор задержки $({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)$ как: $$({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t):=\int _{\theta (t)}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k_{2}(t,s,y(s),y'(s))\,ds$$где интегро-дифференциальное уравнение с запаздыванием может быть выражено как: $$y'(t)=f(t,y(t),y(\theta (t)))+({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t).$$

Интегральные уравнения Вольтерра

Теоремы единственности и существования в 1D

Решение линейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода, определяемое уравнением: $$({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)$$можно описать следующей теоремой единственности и существования. Напомним, что интегральный оператор Вольтерра ${\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)$, можно определить следующим образом: $$({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds$$где $t\in I=[t_{0},T]$ а K(t,s) называется ядром и должна быть непрерывной на интервале $D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}$.

Теорема . Предположим, что $K$ удовлетворяет $K\in C(D),\,\partial K/\partial t\in C(D)$ и $\vert K(t,t)\vert \geq k_{0}>0$ для некоторых $t\in I.$ Тогда для любого $g\in C^{1}(I)$ с $g(0)=0$ интегральное уравнение, приведенное выше, имеет единственное решение в $y\in C(I)$.

Решение линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода, определяемое уравнением: $$y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t)$$можно описать следующей теоремой единственности и существования.

Теорема — Пусть $K\in C(D)$ и пусть $R$ обозначим резольвентное ядро, связанное с $K$. Тогда для любого $g\in C(I)$ интегральное уравнение Вольтерра второго рода имеет единственное решение $y\in C(I)$ и это решение дается следующим образом: $y(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds$.

Интегральные уравнения Вольтерра в $\mathbb {R} ^{2}$

Интегральное уравнение Вольтерра второго рода можно выразить следующим образом: $$u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}K(x,\xi ,y,\eta )\,u(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi$$где $(x,y)\in \Omega :=[0,X]\times [0,Y]$, $g\in C(\Omega )$, $K\in C(D_{2})$ и $D_{2}:=\{(x,\xi ,y,\eta ):0\leq \xi \leq x\leq X,0\leq \eta \leq y\leq Y\}$. Это интегральное уравнение имеет единственное решение $u\in C(\Omega )$ предоставлено: $$u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}R(x,\xi ,y,\eta )\,g(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi$$где $R$ является резольвентным ядром K .

Теоремы единственности и существования уравнений Фредгома-Вольтерра

Как определено выше, VFIE имеет форму: $$u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)$$с $x\in \Omega$ и $\Omega$ являющаяся замкнутой ограниченной областью в $\mathbb {R} ^{d}$ с кусочно гладкой границей. Интегральный оператор Фредгольма-Вольтерра. ${\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )$ определяется как: $$({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.$$В случае, когда ядро ​​K можно записать как $K(t,s,x,\xi )=k(t-s)H(x,\xi )$, K называется ядром положительной памяти. Имея это в виду, мы можем теперь ввести следующую теорему:

Теорема . Если линейный VFIE определяется формулой: $u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds$ с $(t,x)\in I\times \Omega$ удовлетворяет следующим условиям:

• $g\in C(I\times \Omega )$, и
• $K\in C(D\times \Omega ^{2})$ где $D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\}$ и $\Omega ^{2}=\Omega \times \Omega$

Тогда у VFIE есть единственное решение $u\in C(I\times \Omega )$ данный $u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds$ где $R\in C(D\times \Omega ^{2})$ называется резольвентным ядром и определяется пределом ряда Неймана для ядра $K$ и решает резольвентные уравнения: $R(t,s,x,\xi )=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,v,x,z)R(v,s,z,\xi )\,dz\,dv=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,v,x,z)K(v,s,z,\xi )\,dz\,dv$

Специальные уравнения Вольтерра

Особый тип уравнения Вольтерра, который используется в различных приложениях, определяется следующим образом: $$y(t)=g(t)+(V_{\alpha }y)(t)$$где $t\in I=[t_{0},T]$, функция g(t) непрерывна на интервале $I$и интегральный оператор Вольтерра $(V_{\alpha }t)$ дается: $$(V_{\alpha }t)(t):=\int _{t_{0}}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k(t,s,y(s))\,ds$$с $(0\leq \alpha <1)$.

Преобразование IVP в интегральные уравнения

В следующем разделе мы приведем пример того, как преобразовать начальную задачу (IVP) в интегральное уравнение. Для этого есть несколько причин, в том числе то, что интегральные уравнения часто легче решить и больше подходят для доказательства теорем существования и единственности.

Следующий пример был приведен Вазвазом на страницах 1 и 2 его книги. Мы исследуем IVP, заданный уравнением:

$$u'(t)=2tu(t),\,\,\,\,\,\,\,x\geq 0$$и начальное состояние:

$$u(0)=1$$

Если проинтегрировать обе части уравнения, получим:

$$\int _{0}^{x}u'(t)dt=\int _{0}^{x}2tu(t)dt$$

и по основной теореме исчисления мы получаем:

$$u(x)-u(0)=\int _{0}^{x}2tu(t)dt$$

Переставив приведенное выше уравнение, получим интегральное уравнение:

$$u(x)=1+\int _{0}^{x}2tu(t)dt$$

которое представляет собой интегральное уравнение Вольтерра вида:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt$$

где K(x,t) называется ядром и равен 2t , а f(x)=1 .

Численное решение

Стоит отметить, что интегральные уравнения часто не имеют аналитического решения и должны решаться численно. Примером этого является вычисление интегрального уравнения электрического поля (EFIE) или интегрального уравнения магнитного поля (MFIE) для объекта произвольной формы в задаче электромагнитного рассеяния.

Один из методов численного решения требует дискретизации переменных и замены интеграла квадратурным правилом.

$\sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i}),\qquad i=0,1,\dots ,n.$

Тогда у нас есть система с n уравнениями и n переменными. Решив ее, мы получим значения n переменных

$u(t_{0}),u(t_{1}),\dots ,u(t_{n}).$

Интегральные уравнения как обобщение уравнений на собственные значения

Дополнительная информация: теория Фредгольма.

Некоторые однородные линейные интегральные уравнения можно рассматривать как континуальный предел уравнений на собственные значения . Используя индексную запись , уравнение собственных значений можно записать как

$\sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}$

где M = [ Mi _,j ] — матрица, v — один из ее собственных векторов, а λ — соответствующее собственное значение.

Переход к континуальному пределу, т. е. замена дискретных индексов i и j непрерывными переменными x и y , дает

$\int K(x,y)\,\varphi (y)\,dy=\lambda \,\varphi (x),$

где сумма по j заменена интегралом по y , а матрица M и вектор v заменены ядром K ( x , y ) и собственной функцией φ ( y ) . (Пределы интеграла фиксированы, аналогично пределам суммы по j .) Это дает линейное однородное уравнение Фредгольма второго типа.

В общем, K ( x , y ) может быть распределением , а не функцией в строгом смысле слова. Если распределение K имеет опору только в точке x = y , то интегральное уравнение сводится к дифференциальному уравнению собственных функций .

В общем случае интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма могут возникнуть из одного дифференциального уравнения, в зависимости от того, какие условия применяются на границе области его решения.

Интегральные уравнения Винера–Хопфа.

Основная статья: метод Винера – Хопфа

$$y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)\,x(s)\,ds,\qquad 0\leq t<\infty .$$ Первоначально такие уравнения изучались в связи с проблемами переноса излучения, а в последнее время они были связаны с решением граничных интегральных уравнений для плоских задач, в которых граница является лишь кусочно-гладкой.

Уравнения Хаммерштейна

Уравнение Гаммерштейна представляет собой нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода вида: $$g(t)=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds.$$При определенных условиях регулярности уравнение эквивалентно неявному интегральному уравнению Вольтерра второго рода: $$G(t,y(t))=g_{1}(t)-\int _{0}^{t}K_{1}(t,s)\,G(s,y(s))\,ds$$где: $$g_{1}(t):={\frac {g'(t)}{K(t,t)}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{and}}\,\,\,\,\,\,\,K_{1}(t,s):=-{\frac {1}{K(t,t)}}{\frac {\partial K(t,s)}{\partial t}}.$$Однако уравнение можно также выразить в операторной форме, что мотивирует определение следующего оператора, называемого нелинейным оператором Вольтерра-Хаммерштейна: $$({\mathcal {H}}y)(t):=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds$$Здесь $G:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — гладкая функция, а ядро ​​K может быть непрерывным, т. е. ограниченным, или слабо сингулярным. Соответствующее интегральное уравнение Вольтерра второго рода, называемое интегральным уравнением Вольтерра-Хаммерштейна второго рода или для краткости просто уравнением Хаммерштейна, можно выразить как: $$y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)$$В некоторых приложениях нелинейность функции G можно рассматривать только как полулинейную в виде: $$G(s,y)=y+H(s,y)$$В этом случае имеем следующее полулинейное интегральное уравнение Вольтерра: $$y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)=g(t)+\int _{0}^{t}K(t,s)[y(s)+H(s,y(s))]\,ds$$В такой форме можно сформулировать теорему существования и единственности полулинейного интегрального уравнения Гаммерштейна.

Теорема . Предположим, что полулинейное уравнение Гаммерштейна имеет единственное решение. $y\in C(I)$ и $H:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — липшицева непрерывная функция. Тогда решение этого уравнения можно записать в виде: $y(t)=y_{l}(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,H(s,y(s))\,ds$ где $y_{l}(t)$ обозначает единственное решение линейной части приведенного выше уравнения и имеет вид: $y_{l}(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds$ с $R(t,s)$ обозначающее резольвентное ядро.

Мы также можем записать уравнение Хаммерштейна, используя другой оператор, называемый оператором Нимицкого или оператором подстановки: ${\mathcal {N}}$ определяется следующим образом: $$({\mathcal {N}}\phi )(t):=G(t,\phi (t))$$Подробнее об этом можно прочитать на странице 75 этой книги.

Приложения

Интегральные уравнения важны во многих приложениях. Проблемы, в которых встречаются интегральные уравнения, включают перенос излучения и колебания струны, мембраны или оси. Проблемы колебаний также могут быть решены как дифференциальные уравнения .

• Актуарная наука (теория разорения )
• Вычислительная электромагнетика
  • Метод граничных элементов
• Обратная задача
  • Уравнение Марченко ( обратное преобразование рассеяния )
• Ценообразование опционов при скачкообразной диффузии
• Радиационный перенос
• Теория обновления
• вязкоупругость
• Гидравлическая механика

См. также

• Дифференциальное уравнение
• Интегро-дифференциальное уравнение
• Теория руин
• Интегральное уравнение Вольтерра

Библиография

• Агарвал, Рави П. и Донал О'Риган. Интегральные и интегродифференциальные уравнения: теория, метод и приложения. Издательство Гордон и Бреч Сайенс, 2000.
• Бруннер, Герман. Методы коллокации для интегральных уравнений Вольтерра и родственных им функционально-дифференциальных уравнений. Издательство Кембриджского университета, 2004.
• Бертон, Т.А. Вольтерра Интегральные и дифференциальные уравнения. Эльзевир, 2005.
• Глава 7 It Mod 14.02.05 — Инженерный колледж Иры А. Фултона. https://www.et.byu.edu/~vps/ET502WWW/NOTES/CH7m.pdf.
• Кордуняну, К. Интегральные уравнения и приложения. Издательство Кембриджского университета, 2008.
• Хакбуш, Вольфганг. Теория интегральных уравнений и численное лечение. Биркхойзер, 1995.
• Хохштадт, Гарри. Интегральные уравнения. Wiley-Interscience/John Wiley & Sons, 1989.
• «Интегральное уравнение». Из Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/IntegralEquation.html.
• «Интегральное уравнение». Интегральное уравнение — Математическая энциклопедия, https://encyclepediaofmath.org/wiki/Integral_equation.
• Джерри, Абдул Дж. Введение в интегральные уравнения с приложениями. Выборочное издательство, 2007.
• Пипкин А.В. Курс интегральных уравнений. Спрингер-Верлаг, 1991.
• Полянин А.Д., Манжиров Александр Васильевич. Справочник интегральных уравнений. Чепмен и Холл/CRC, 2008.
• Вазваз, Абдул-Маджид. Первый курс интегральных уравнений. Всемирный научный, 2015.

Дальнейшее чтение

• Кендалл Э. Аткинсон. Численное решение интегральных уравнений второго рода . Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике, 1997.
• Джордж Арфкен и Ганс Вебер. Математические методы для физиков . Харкорт/Академическая пресса, 2000.
• Гарри Бейтман (1910) История и современное состояние теории интегральных уравнений , отчет Британской ассоциации .
• Андрей Дмитриевич Полянин и Александр Владимирович Манжиров Справочник по интегральным уравнениям . CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN   0-8493-2876-4 .
• Э. Т. Уиттакер и Дж. Н. Уотсон . Курс современного анализа Кембриджской математической библиотеки.
• М. Краснов, А. Киселев, Г. Макаренко, Задачи и упражнения по интегральным уравнениям , Издательство Мир, Москва, 1971
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Глава 19. Интегральные уравнения и обратная теория» . Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8 .

Внешние ссылки

• Интегральные уравнения: точные решения на EqWorld: мир математических уравнений.
• Интегральные уравнения: индекс EqWorld: мир математических уравнений.
• «Интегральное уравнение» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Интегральные уравнения ( MIT OpenCourseWare )