Геометрическое преобразование

Не путать с геометрией трансформации .

Для более широкого освещения этой темы см. Преобразование (математика) .

В математике геометрическое преобразование — это любое биекция множества самому себе (или другому такому множеству) с некоторой явной геометрической основой. Точнее, это функция которой , областью определения и диапазоном являются наборы точек — чаще всего и то, и другое. $\mathbb {R} ^{2}$ или оба $\mathbb {R} ^{3}$ - такая, что функция является биективной , так что существует ее обратная . К изучению геометрии можно подойти с помощью изучения этих преобразований.

Классификации

Геометрические преобразования можно классифицировать по размерности их наборов операндов (таким образом различая, скажем, плоские преобразования и пространственные преобразования). Их также можно классифицировать по сохраняемым свойствам:

• Смещения сохраняют расстояния и ориентированные углы (например, переводы );
• Изометрии сохраняют углы и расстояния (например, евклидовы преобразования );
• Сходства сохраняют углы и соотношения между расстояниями (например, изменение размера);
• Аффинные преобразования сохраняют параллелизм (например, масштабирование , сдвиг );
• Проективные преобразования сохраняют коллинеарность ;

Каждый из этих классов содержит предыдущий.

• Преобразования Мёбиуса с использованием комплексных координат на плоскости (а также инверсия окружности ) сохраняют набор всех линий и окружностей, но могут менять местами линии и окружности.

• 
  Исходное изображение (на основе карты Франции)
• 
  Изометрия
• 
  Сходство
• 
  Аффинное преобразование
• 
  Проективная трансформация
• 
  Инверсия

• Конформные преобразования сохраняют углы и представляют собой в первую очередь подобия.
• Эквиареальные преобразования сохраняют площади в плоском случае или объемы в трехмерном случае. и являются в первом порядке аффинными преобразованиями определителя 1.
• Гомеоморфизмы (бинепрерывные преобразования) сохраняют окрестности точек.
• Диффеоморфизмы (бидифференцируемые преобразования) — это преобразования, аффинные в первом порядке; они содержат предыдущие как частные случаи и могут быть дополнительно уточнены.

• 
  Конформное преобразование
• 
  Эквиареальное преобразование
• 
  Гомеоморфизм
• 
  Диффеоморфизм

Преобразования одного типа образуют группы , которые могут быть подгруппами других групп преобразований.

Противоположные групповые действия

Основные статьи: Групповое действие и Противоположная группа

Многие геометрические преобразования выражаются с помощью линейной алгебры. Биективные линейные преобразования являются элементами общей линейной группы . Линейное преобразование A неособо. Для вектора-строки v матричное произведение vA дает другой вектор-строку w = vA .

Транспонирование представляет собой вектора-строки v вектор-столбец v ^Т , а транспонирование приведенного выше равенства равно $w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.$ Здесь А ^Т обеспечивает левое действие на вектор-столбцы.

В геометрии преобразований существуют композиции AB . Начиная с вектора-строки v , правильное действие составного преобразования — w = vAB . После транспозиции

$w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.$

Таким образом, для AB соответствующее действие левой группы равно $B^{T}A^{T}.$ При изучении противоположных групп проводится различие между действиями противоположных групп, поскольку коммутативные группы — единственные группы, для которых эти противоположности равны.

См. также

• Преобразование координат
• Эрлангенская программа
• Симметрия (геометрия)
• Движение
• Отражение
• Жесткая трансформация
• Вращение
• Топология
• Матрица трансформации

Дальнейшее чтение

• Адлер, Ирвинг (2012) [1966], Новый взгляд на геометрию , Дувр, ISBN  978-0-486-49851-5
• Динес, ЗП ; Голдинг, EW (1967). Геометрия через преобразования (3 тома): Геометрия искажения , Геометрия конгруэнтности , а также Группы и координаты . Нью-Йорк: Гердер и Гердер.
• Дэвид Ганс – Преобразования и геометрии .
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952). Геометрия и воображение (2-е изд.). Челси. ISBN  0-8284-1087-9 .
• Джон Макклири (2013) Геометрия с дифференцируемой точки зрения , Cambridge University Press ISBN   978-0-521-11607-7
• Моденов П.С.; Пархоменко А.С. (1965) . Геометрические преобразования (2 тома): евклидовы и аффинные преобразования и проективные преобразования . Нью-Йорк: Академическая пресса.
• А.Н. Прессли – Элементарная дифференциальная геометрия .
• Яглом, И.М. (1962, 1968, 1973, 2009) . Геометрические преобразования (4 т.). Случайный дом (I, II и III), MAA (I, II, III и IV).