Коллинеарность

В геометрии коллинеарность — это множества точек свойство их лежать на одной прямой . ^[1] Набор точек с этим свойством называется коллинеарным (иногда пишется как коллинеарный). ^[2]). В более общем смысле этот термин использовался для обозначения выровненных объектов, то есть вещей, расположенных «в линии» или «в ряд».

Точки на линии

В любой геометрии множество точек на прямой называется коллинеарным . В евклидовой геометрии это соотношение интуитивно визуализируется точками, лежащими подряд на «прямой». Однако в большинстве геометрий (включая евклидову) линия обычно представляет собой примитивный (неопределенный) тип объекта , поэтому такие визуализации не обязательно будут подходящими. Модель . геометрии предлагает интерпретацию того, как точки, линии и другие типы объектов связаны друг с другом, и такое понятие, как коллинеарность, должно интерпретироваться в контексте этой модели Например, в сферической геометрии , где линии в стандартной модели представлены большими кругами сферы, наборы коллинеарных точек лежат на одном и том же большом круге. Такие точки не лежат на «прямой линии» в евклидовом смысле и не считаются расположенными подряд .

Отображение геометрии в себя, которое отправляет линии в линии, называется коллинеацией ; он сохраняет свойство коллинеарности. Линейные карты (или линейные функции) векторных пространств , рассматриваемые как геометрические карты, отображают линии в линии; то есть они отображают коллинеарные наборы точек в коллинеарные наборы точек и, таким образом, являются коллинеарностями. В проективной геометрии эти линейные отображения называются гомографиями и представляют собой лишь один тип коллинеации.

Примеры из евклидовой геометрии

Треугольники

В любом треугольнике коллинеарны следующие множества точек:

Ортоцентр точка , центр описанной окружности , центроид , Эксетера , точка де Лонгшана и центр девятиточечного круга лежат на одной прямой, и все они падают на линию, называемую линией Эйлера .
Точка де Лонгшана имеет и другие коллинеарности .
Любая вершина, касание противоположной стороны с вписанной окружностью и точка Нагеля лежат на прямой, называемой разделителем треугольника.
Середина любой стороны, точка, равноудаленная от нее вдоль границы треугольника в любом направлении (так что эти две точки делят периметр пополам ), и центр круга Шпикера лежат на прямой, называемой скалывателем треугольника. ( Окружность Шпикера — это вписанная окружность , медиального треугольника а центр — это центр масс периметра ее треугольника.)
Любая вершина, касание противоположной стороны с вписанной окружностью и точка Жергонна лежат на одной прямой.
Из любой точки описанной окружности треугольника ближайшие точки на каждой из трех расширенных сторон треугольника коллинеарны линии Симсона точки описанной окружности.
Линии, соединяющие футы высот, пересекают противоположные стороны в коллинеарных точках. ^[3]^{: стр.199}
треугольника Центр , середина высоты и точка контакта соответствующей стороны с вписанной окружностью относительно этой стороны лежат на одной прямой. ^[4]^{: с.120, №78}
Теорема Менелая утверждает, что три точки $P_{1},P_{2},P_{3}$ на сторонах (некоторые расширенных ) треугольника, противоположных вершинам $A_{1},A_{2},A_{3}$ соответственно коллинеарны тогда и только тогда, когда следующие произведения длин отрезков равны: ^[3]^{: с. 147}

P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.

Инцентр, центроид и центр круга Шпикера лежат на одной прямой.
Центр описанной окружности, середина Брокара и точка Лемуана треугольника лежат на одной прямой. ^[5]
Две перпендикулярные линии , пересекающиеся в ортоцентре треугольника треугольника, пересекают каждую из расширенных сторон . Середины трех сторон этих точек пересечения лежат на прямой линии Дроз–Фарный .

Четырехугольники

В выпуклом четырехугольнике $ABCD,$ стороны которого пересекаются в точках $E$ и $F$ , середины AC $противоположные, BD, EF$ лежат на одной прямой, а прямая, проходящая через них, называется линией Ньютона . Если четырехугольник является касательным четырехугольником , то его центр также лежит на этой прямой. ^[6]
В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр $H$ , «центр тяжести площади» $G$ и квазиокружной центр $O$ лежат на одной прямой в этом порядке, и $HG = 2 GO$ . ^[7] (См. Четырехугольник # Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике .)

Другие коллинеарности тангенциального четырехугольника указаны в разделе Тангенциальный четырехугольник#Коллинеарные точки .
В вписанном четырехугольнике , центр описанной окружности центр тяжести вершины (пересечение двух бимедиан) и антицентр лежат на одной прямой. ^[8]
В вписанном четырехугольнике центр тяжести площади , центр тяжести вершины и пересечение диагоналей коллинеарны. ^[9]
В тангенциальной трапеции касания вписанной окружности с двумя основаниями коллинеарны с центром.
В тангенциальной трапеции середины катетов лежат на одной прямой с центром.

Шестиугольники

Теорема Паскаля (также известная как теорема Hexagrammum Mysticum) утверждает, что если произвольные шесть точек выбраны на коническом сечении (т. е. эллипсе , параболе или гиперболе ) и соединены отрезками прямых в любом порядке, чтобы сформировать шестиугольник , то три пары противоположные стороны шестиугольника (при необходимости продленные) встречаются в трех точках, лежащих на прямой, называемой линией Паскаля шестиугольника. Верно и обратное: теорема Брайкенриджа – Маклорена утверждает, что если три точки пересечения трех пар прямых, проходящих через противоположные стороны шестиугольника, лежат на прямой, то шесть вершин шестиугольника лежат на конике, что может быть вырождаются, как в теореме Паппа о шестиугольнике .

Конические сечения

По теореме Монжа для любых трёх окружностей на плоскости, ни одна из которых не находится полностью внутри одной из других, три точки пересечения трёх пар прямых, каждая из которых касается снаружи двух окружностей, коллинеарны.
В эллипсе центр, два фокуса и две вершины с наименьшим радиусом кривизны коллинеарны, а центр и две вершины с наибольшим радиусом кривизны коллинеарны.
В гиперболе центр, два фокуса и две вершины коллинеарны.

Конусы

Центр масс конического тела с одинаковой плотностью находится на четверти пути от центра основания до вершины, на прямой линии, соединяющей их.

Тетраэдры

Центр тяжести тетраэдра — это середина между его точкой Монжа и центром описанной окружности . Эти точки определяют линию Эйлера тетраэдра, аналогичную линии Эйлера треугольника. Центр двенадцатиточечной сферы тетраэдра также лежит на линии Эйлера.

Алгебра

Коллинеарность точек, координаты которых заданы

В координатной геометрии , в $n$ -мерном пространстве, набор из трех или более различных точек коллинеарен тогда и только тогда, когда матрица координат этих векторов имеет ранг 1 или меньше. Например, учитывая три точки

{\begin{aligned}X&=(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n}),\\Y&=(y_{1},\ y_{2},\ \dots ,\ y_{n}),\\Z&=(z_{1},\ z_{2},\ \dots ,\ z_{n}),\end{aligned}}

если матрица

{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

имеет ранг 1 или меньше, точки лежат на одной прямой.

Эквивалентно, для каждого подмножества $X, Y, Z$ , если матрица

{\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

имеет ранг 2 или меньше, точки лежат на одной прямой. В частности, для трех точек на плоскости ( $n = 2$ ) указанная выше матрица является квадратной, а точки коллинеарны тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю; поскольку этот определитель 3 × 3 равен плюс или минус удвоенной площади треугольника с этими тремя точками в качестве вершин, это эквивалентно утверждению, что три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда треугольник с этими точками в качестве вершин имеет нулевую площадь.

Коллинеарность точек, попарные расстояния которых заданы

Набор, состоящий как минимум из трех различных точек, называется прямым , что означает, что все точки коллинеарны тогда и только тогда, когда для каждых трех из этих точек $A, B, C$ следующий определитель определителя Кэли-Менгера равен нулю (с $d (AB)$ означает расстояние между $A$ и $B$ и т. д.):

\det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

Этот определитель по формуле Герона равен -16 умноженному на квадрат площади треугольника с длинами сторон $d (AB), d (BC), d (AC)$ ; поэтому проверка того, равен ли этот определитель нулю, эквивалентна проверке того, имеет ли треугольник с вершинами $A, B, C$ нулевую площадь (поэтому вершины лежат на одной прямой).

Эквивалентно, набор по крайней мере из трех различных точек коллинеарен тогда и только тогда, когда для каждых трех из этих точек $A, B, C$ с $d (AC)$ больше или равно каждой из $d (AB)$ и $d (BC)$ , d неравенство треугольника $(AC) \leq d (AB) + d (BC)$ выполняется с равенством.

Теория чисел

Два числа $m$ и $n$ не являются взаимно простыми , то есть имеют общий делитель, отличный от 1, тогда и только тогда, когда для прямоугольника, построенного на квадратной решетке с вершинами в точках $(0, 0), (m, 0), (m, n), (0, n)$ , по крайней мере одна внутренняя точка коллинеарна с $(0, 0)$ и $(m, n)$ .

Параллелизм (двойная плоскость)

В различных плоских геометриях идея смены ролей «точек» и «линий» при сохранении отношений между ними называется плоской двойственностью . Учитывая набор коллинеарных точек, посредством двойственности плоскостей мы получаем набор прямых, все из которых пересекаются в общей точке. Свойство, которым обладает этот набор линий (встреча в общей точке), называется параллелизмом , а строки называются параллельными линиями . Таким образом, параллелизм — это плоское понятие, двойственное к коллинеарности.

График коллинеарности

Учитывая частичную геометрию $P$ , где две точки определяют не более одной линии, коллинеарности P $граф$ — это граф вершины которого являются точками $P$ , где две вершины смежны тогда и только тогда, когда они определяют линию в $P.$ ,

Использование в статистике и эконометрике

В статистике коллинеарность относится к линейной зависимости между двумя объясняющими переменными . Две переменные идеально коллинеарны, если между ними существует точная линейная связь, поэтому корреляция между ними равна 1 или -1. То есть $X 1$ и $X 2$ совершенно коллинеарны, если существуют параметры $\lambda _{0}$ и $\lambda _{1}$ такой, что для всех наблюдений $i$ мы имеем

X_{2i}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}.

Это означает, что если различные наблюдения $(X 1 i, X 2 i)$ нанести на плоскость $(X 1, X 2)$ , эти точки будут коллинеарны в смысле, определенном ранее в этой статье.

Совершенная мультиколлинеарность относится к ситуации, в которой $k (k \geq 2)$ объясняющих переменных в модели множественной регрессии совершенно линейно связаны, согласно

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}

для всех наблюдений $i$ . На практике мы редко сталкиваемся с идеальной мультиколлинеарностью в наборе данных. Чаще всего проблема мультиколлинеарности возникает, когда существует «сильная линейная связь» между двумя или более независимыми переменными, что означает, что

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}+\varepsilon _{i}

где дисперсия $\varepsilon _{i}$ сравнительно невелик.

Концепция латеральной коллинеарности расширяет эту традиционную точку зрения и относится к коллинеарности между объясняющими и критериальными (то есть объясняемыми) переменными. ^[10]

Использование в других областях

Антенные решетки

Антенная мачта с четырьмя коллинеарными направленными решетками.

В телекоммуникациях коллинеарная (или коллинеарная) антенная решетка представляет собой решетку дипольных антенн, установленных таким образом, что соответствующие элементы каждой антенны параллельны и соосны, то есть расположены вдоль общей линии или оси.

Фотография

Уравнения коллинеарности представляют собой набор двух уравнений, используемых в фотограмметрии и компьютерном стереозрении для связи координат в плоскости изображения ( сенсора ) (в двух измерениях) с координатами объекта (в трех измерениях). В условиях фотографии уравнения выводятся путем рассмотрения проекции точки объекта через оптический центр камеры центральной на изображение в плоскости изображения (сенсора). Три точки: точка объекта, точка изображения и оптический центр всегда лежат на одной прямой. Другими словами, отрезки линий, соединяющие точки объекта с точками их изображения, все совпадают в оптическом центре. ^[11]

См. также

Примечания

^ Эта концепция применима к любой геометрии Дембовского (1968 , стр. 26), но часто определяется только в рамках обсуждения конкретной геометрии. Коксетер (1969 , стр. 178), Браннан, Эсплен и Грей (1998 , стр. 106).
^ Колинеар (словарь Мерриам-Вебстера)
^ Jump up to: ^а ^б Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (исходник: 1929).
^ Суд Альтшиллера, Натан . Колледж геометрии , 2-е изд. Barnes & Noble, 1952 [1-е изд. 1925].
^ Скотт, Дж. А. «Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.
^ Душан Джукич, Владимир Янкович, Иван Матич, Никола Петрович, Сборник ИМО , Springer, 2006, стр. 15.
^ Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295 .
^ Хонсбергер, Росс (1995), «4.2 Циклические четырехугольники» , Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Новая математическая библиотека, том. 37, Издательство Кембриджского университета, стр. 35–39, ISBN. 978-0-88385-639-0
^ Брэдли, Кристофер (2011), Три центроида, созданные циклическим четырехугольником (PDF)
^ Кок, Н.; Линн, GS (2012). «Боковая коллинеарность и вводящие в заблуждение результаты в SEM на основе дисперсии: иллюстрация и рекомендации» (PDF) . Журнал Ассоциации информационных систем . 13 (7): 546–580. дои : 10.17705/1jais.00302 . S2CID 3677154 .
^ Математически более естественно называть эти уравнения уравнениями параллелизма , но в литературе по фотограмметрии эта терминология не используется.

Ссылки

Браннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1998), Геометрия , Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-59787-0
Коксетер, HSM (1969), Введение в геометрию , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0
Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее границы , вып. 44, Берлин: Шпрингер, ISBN 3-540-61786-8 , МР 0233275

[1] Эта концепция применима к любой геометрии Дембовского (1968 , стр. 26), но часто определяется только в рамках обсуждения конкретной геометрии. Коксетер (1969 , стр. 178), Браннан, Эсплен и Грей (1998 , стр. 106).

[2] Колинеар (словарь Мерриам-Вебстера)

[Johnson-3] Jump up to: ^а ^б Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (исходник: 1929).

[AC-4] Суд Альтшиллера, Натан . Колледж геометрии , 2-е изд. Barnes & Noble, 1952 [1-е изд. 1925].

[5] Скотт, Дж. А. «Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.

[6] Душан Джукич, Владимир Янкович, Иван Матич, Никола Петрович, Сборник ИМО , Springer, 2006, стр. 15.

[Myakishev-7] Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295 .

[Honsberger-8] Хонсбергер, Росс (1995), «4.2 Циклические четырехугольники» , Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Новая математическая библиотека, том. 37, Издательство Кембриджского университета, стр. 35–39, ISBN. 978-0-88385-639-0

[9] Брэдли, Кристофер (2011), Три центроида, созданные циклическим четырехугольником (PDF)

[10] Кок, Н.; Линн, GS (2012). «Боковая коллинеарность и вводящие в заблуждение результаты в SEM на основе дисперсии: иллюстрация и рекомендации» (PDF) . Журнал Ассоциации информационных систем . 13 (7): 546–580. дои : 10.17705/1jais.00302 . S2CID 3677154 .

[11] Математически более естественно называть эти уравнения уравнениями параллелизма , но в литературе по фотограмметрии эта терминология не используется.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]