Азартная математика

Математика , азартных игр представляет собой совокупность вероятностных приложений, встречающихся в азартных играх и может быть включена в теорию игр . С математической точки зрения азартные игры представляют собой эксперименты, генерирующие различные типы случайных событий, и их можно рассчитать, используя свойства вероятности на конечном пространстве возможностей.

Эксперименты, события и вероятностные пространства

Технические процессы игры представляют собой эксперименты, генерирующие случайные события. Вот несколько примеров:

События могут быть определены; однако при постановке вероятностной задачи их необходимо делать крайне осторожно. С математической точки зрения события — это не что иное, как подмножества, а пространство событий — это булева алгебра. Мы находим элементарные и составные события, исключительные и неисключительные события, независимые и ненезависимые события.

В эксперименте с бросанием игральной кости:

• Событие {3, 5} (буквальное определение которого — появление 3 или 5) является составным, поскольку {3, 5} = {3} U {5};
• События {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} являются элементарными;
• События {3, 5} и {4} несовместимы или исключительны, поскольку их пересечение пусто; то есть они не могут происходить одновременно;
• События {1, 2, 5} и {2, 5} неисключительны, поскольку их пересечение не пусто;

В эксперименте с броском двух игральных костей один за другим события: получение «3» на первом кубике и получение «5» на втором кубике — независимы, поскольку появление первого события не влияет на появление второго события, и наоборот. наоборот.

В эксперименте по раздаче карманных карт в Техасском Холдеме:

• Событие раздачи (3♣, 3♦) игроку является элементарным событием;
• Событие раздачи игроку двух троек является составным, поскольку оно представляет собой объединение событий (3♣, 3♠), (3♣, 3♥), (3♣, 3♦), (3♠, 3♥), (3♠, 3♦) и (3♥, 3♦);
• События « игроку 1 сдается пара королей» и « игроку 2 сдается пара королей» не являются исключительными (оба могут произойти);
• События, в которых игроку 1 раздаются две коннекторы червей выше J , а игроку 2 — две коннекторы червей выше J, являются исключительными (может произойти только один);
• События раздачи игроку 1 (7, K) и раздачи игроку 2 (4, Q) не являются независимыми (наступление второго зависит от события первого, пока используется одна и та же колода).

Это несколько примеров азартных событий, свойства сложности, исключительности и независимости которых легко заметить. Эти свойства являются фундаментальными в практическом исчислении вероятностей.

Комбинации

Азартные игры также являются хорошими примерами комбинаций , перестановок и расстановок , встречающихся на каждом этапе: комбинации карт в руке игрока, на столе или ожидаемые в любой карточной игре; комбинации цифр при однократном броске нескольких игральных костей; комбинации чисел в лотерее и Бинго; комбинации символов в слотах; перестановки и договоренности в гонке, на которую можно делать ставки, и тому подобное. Комбинаторное исчисление является неотъемлемой частью приложений, связанных с вероятностями азартных игр. В азартных играх большая часть расчета вероятности, в котором мы используем классическое определение вероятности, сводится к подсчету комбинаций. Игровые события можно идентифицировать с помощью наборов, которые часто представляют собой наборы комбинаций. Таким образом, мы можем отождествить событие с комбинацией.

Например, в покерной игре с пятью розыгрышами событие, когда хотя бы один игрок собрал каре, может быть идентифицировано как набор всех комбинаций типа (xxxxy), где x и y — различные значения карты. В этом наборе 13C(4,4)(52-4)=624 комбинации. Возможные комбинации: (3♠ 3♣ 3♥ 3♦ J♣) или (7♠ 7♣ 7♥ 7♦ 2♣). Их можно идентифицировать с элементарными событиями, из которых состоит событие, подлежащее измерению.

Математические принципы

Закон больших чисел

Когда случайные события происходят большое количество раз, случайность будет компенсировать друг друга, так что среднее арифметическое результатов этих событий будет очень близко к значению своего математического члена в вероятностном смысле. Например, когда подбрасывают монету, то, какая сторона монеты будет обращена вверх, когда она падает, является случайным, но когда это происходит достаточное количество раз, количество раз, когда монета поднимается вверх с обеих сторон, составляет примерно половину каждого. Это известно как закон больших чисел .

Четверть доллара

Выигрыш и проигрыш в азартных играх также ведут себя как случайное событие для одного человека и в течение короткого периода времени, но в долгосрочной перспективе, пока игрок имеет отрицательную норму прибыли, проигрыш рано или поздно произойдет по мере игры. прогрессирует. Для казино, а также для игроков с преимуществом, пока процент выигрышей в азартной игре положителен, это верный выигрыш.

Принцип положительной нормы прибыли

Ключом к определению победы или поражения является норма прибыли , определяемая правилами и стратегией азартных игр. Ставка прибыли отражает истинность и природу азартных игр. Принцип разработки правил азартных игр обычно заключается в том, чтобы сделать процент выигрышей в казино чуть более 50%, что отражается в положительной норме прибыли, немного превышающей ноль. Азартные игры – это не удача, а соревнование интеллекта, стратегии и доходности. Конечный выигрыш в долгосрочной азартной игре зависит от нормы прибыли игрока: если норма прибыли положительна, ожидаемая прибыль больше нуля, и можно выиграть; если норма прибыли отрицательна, ожидаемая доходность меньше нуля и выиграть невозможно. При отрицательной норме доходности «долгая азартная игра проиграет» роль закона больших чисел будет проявляться все чаще. Профессиональные игроки, придерживающиеся принципа положительной доходности, долго не играют и проиграют азартную игру только для того, чтобы сделать ставку на верный выигрыш. Они не игроки.

Закон смещения малых чисел

Закон больших чисел означает, что когда выборка близка к общей, ее вероятность будет близка к общей вероятности. «Закон смещения малых чисел» относится к тому факту, что распределение вероятностей события в небольшой выборке считается общим распределением, тем самым преувеличивая репрезентативность небольшой выборки для всей совокупности. Другая ситуация – это так называемая «заблуждение игрока». Например, если при подбрасывании монеты 10 раз подряд выпадет орел, можно подумать, что в следующий раз, когда выпадет решка, весьма вероятно; на самом деле вероятность выпадения орла или решки каждый раз равна 0,5, и это не имеет никакого отношения к тому, сколько раз выпал орел.

Игнорирование влияния размера выборки, вера в то, что малые и большие выборки имеют одинаковую ожидаемую ценность, и замена правильного вероятностного закона больших чисел ложным психологическим законом малых чисел являются причиной резкого роста склонности людей к азартным играм. Казино верят в закон больших чисел, а игроки неосознанно применяют закон малых чисел. Закон больших чисел позволяет казино зарабатывать деньги, а закон малых чисел позволяет игрокам отдавать деньги казино, и в этом заключается логика существования казино.

Преимущество казино

Преимущество казино – это преимущество, которое казино имеет перед игроками по каждому виду азартной игры в казино.

Возьмем, к примеру, бросок монеты: шансы выпадения орла и решки равны, по 50% каждый, если игрок ставит 10 долларов на выпадение монеты орлом вверх и выигрывает, казино платит ему 10 долларов. Если они проиграют, все 10 долларов теряются в пользу казино, в этом случае преимущество казино равно нулю (казино уж точно не настолько глупо, чтобы открыть эту игру); но если они выиграют, казино платит им только 9 долларов, если они проиграют, все 10 долларов будут потеряны для казино. Средняя выплата составляет (+9–10 долларов США)/2 = –0,50 доллара США . Преимущество казино в этом случае составляет $0,50/$10 = 5% .

В любой игре в казино казино имеет определенное преимущество перед игроками, и только таким образом казино может гарантировать, что оно продолжит свою работу в долгосрочной перспективе. Преимущество казино сильно варьируется от игры к игре: в некоторых играх преимущество казино низкое, а в других — высокое. Люди, которые много играют в азартные игры, стараются не играть в игры с высоким преимуществом казино.

Ожидания и стратегия

Азартные игры — это не просто чистое применение исчисления вероятностей, а игровые ситуации — это не просто изолированные события, числовая вероятность которых четко установлена ​​с помощью математических методов; это также игры, на ход которых влияют действия человека. В азартных играх человеческий фактор имеет поразительный характер. Игрока интересует не только математическая вероятность различных игровых событий, но он или она имеет ожидания от игр, пока существует основное взаимодействие. Чтобы получить благоприятные результаты от такого взаимодействия, игроки учитывают всю возможную информацию, в том числе статистику , для построения игровых стратегий. Вы можете легко выбрать стратегию, соответствующую вашим интересам как игрока, просмотрев список в следующем разделе. Как видите, мы объяснили основы каждого метода, который может протестировать игрок.

Хотя случайность, присущая азартным играм, казалось бы, обеспечивает их справедливость (по крайней мере, по отношению к игрокам за столом — перетасовка колоды или вращение колеса не приносят пользу ни одному игроку, за исключением тех случаев, когда они мошенники), игроки ищут и ждут за нарушения в этой случайности, которые позволят им победить. Математически доказано, что в идеальных условиях случайности и при отрицательном матожидании для игроков азартных игр невозможен регулярный долгосрочный выигрыш. Большинство игроков принимают эту предпосылку, но все же работают над стратегиями, которые помогут им выиграть либо в краткосрочной, либо в долгосрочной перспективе.

Преимущество или преимущество казино

Игры казино обеспечивают предсказуемое долгосрочное преимущество казино или «дома», предлагая игроку возможность получения крупной краткосрочной выплаты. В некоторых играх казино есть элемент навыков, благодаря которому игрок принимает решения; такие игры называются «рандомными с тактическим элементом». Хотя благодаря умелой игре можно минимизировать преимущество казино, игрок редко обладает достаточными навыками, чтобы устранить присущий ему долгосрочный недостаток (преимущество казино или сила казино) в игре в казино. Распространено мнение, что такой набор навыков потребует многолетних тренировок, исключительной памяти и способности к счету и/или острого визуального или даже слухового наблюдения, как в случае с колесом в рулетке . Дополнительные примеры см. в разделе « Преимущества азартных игр» .

Невыгодное положение игрока является результатом того, что казино не выплачивает выигрышные ставки в соответствии с «истинными шансами» игры, которые представляют собой выплаты, которые можно было бы ожидать, учитывая шансы на выигрыш или проигрыш ставки. Например, если в игре делается ставка на число, которое выпадет в результате броска одной кости, истинные шансы будут в 5 раз превышать сумму ставки, поскольку вероятность выпадения любого одного числа составляет 1/6. Однако казино может выплатить выигрышную ставку только в 4 раза больше суммы ставки.

Преимущество казино (HE) или энергичность определяется как прибыль казино, выраженная в процентах от первоначальной ставки игрока. В таких играх, как Блэкджек или Испанский 21, окончательная ставка может в несколько раз превышать первоначальную ставку, если игрок удваивает или разделяет ставку.

Пример: в американской рулетке есть два зеро и 36 ненулевых номеров (18 красных и 18 черных). Если игрок ставит 1 доллар на красное, его шансы выиграть 1 доллар составляют 18/38, а его шансы проиграть 1 доллар (или выиграть -1 доллар) равны 20/38.

Ожидаемая ценность игрока, EV = (18/38 x 1) + (20/38 x -1) = 18/38 - 20/38 = -2/38 = -5,26%. Таким образом, преимущество казино составляет 5,26%. После 10 раундов сыграйте по 1 доллару за раунд, и средняя прибыль казино составит 10 х 1 доллар х 5,26% = 0,53 доллара. Конечно, казино не может выиграть ровно 53 цента; эта цифра представляет собой среднюю прибыль казино от каждого игрока, если бы в нем были миллионы игроков, каждый из которых делал ставки в 10 раундах по 1 доллару за раунд.

Преимущество казино в играх казино сильно варьируется в зависимости от игры. Кено может иметь преимущество казино до 25%, а игровые автоматы - до 15%, в то время как большинство австралийских игр Pontoon имеют преимущество казино от 0,3% до 0,4%.

Расчет преимущества казино в рулетке был тривиальным занятием; в других играх это обычно не так. Для выполнения задачи необходим комбинаторный анализ и/или компьютерное моделирование.

В играх, в которых есть элемент навыков, таких как блэкджек или испанский 21 , преимущество казино определяется как преимущество казино от оптимальной игры (без использования передовых методов, таких как подсчет карт или отслеживание тасования ), на первой руке. (контейнер, в котором хранятся карты). Набор оптимальных вариантов игры для всех возможных рук известен как «базовая стратегия» и сильно зависит от конкретных правил и даже количества используемых колод. Хорошие игры в блэкджек и испанский 21 должны иметь преимущество ниже 0,5%.

В онлайн-слотах часто публикуется процент возврата игроку (RTP), который определяет теоретическое преимущество казино. Некоторые разработчики программного обеспечения предпочитают публиковать RTP своих игровых автоматов, а другие этого не делают. Несмотря на теоретико-множественный RTP, в краткосрочной перспективе возможен практически любой исход.

Стандартное отклонение

Фактор удачи в игре в казино измеряется с помощью стандартного отклонения (SD). Стандартное отклонение такой простой игры, как рулетка, можно легко вычислить благодаря биномиальному распределению успехов (при условии, что результат равен 1 единице за выигрыш и 0 единиц за проигрыш). Для биномиального распределения SD равно ${\sqrt {npq}}$, где $n$ количество сыгранных раундов, $p$ это вероятность выигрыша, и $q$ это вероятность проигрыша. Более того, если мы сделаем фиксированную ставку в размере 10 единиц на раунд вместо 1 единицы, диапазон возможных результатов увеличится в 10 раз. Следовательно, SD для ставки на равные деньги в рулетке равно $2b{\sqrt {npq}}$, где $b$ фиксированная ставка на раунд, $n$ количество раундов, $p=18/38$, и $q=20/38$.

После достаточно большого количества раундов теоретическое распределение общего выигрыша сходится к нормальному распределению , что дает хорошую возможность спрогнозировать возможный выигрыш или проигрыш. Например, после 100 раундов по цене 1 доллар за раунд стандартное отклонение выигрыша (равного проигрышу) будет равно $2\cdot \$1\cdot {\sqrt {100\cdot 18/38\cdot 20/38}}\approx \$9.99$. После 100 раундов ожидаемый проигрыш составит $100\cdot \$1\cdot 2/38\approx \$5.26$.

Диапазон 3 сигм в шесть раз превышает стандартное отклонение: в три выше среднего и в три ниже. Таким образом, после 100 раундов ставок по 1 доллару за раунд результат, скорее всего, будет где-то между $-\$5.26-3\cdot \$9.99$ и $-\$5.26+3\cdot \$9.99$, т. е. между -34 и 24 долларами. Есть еще ок. Шанс от 1 до 400, что результат окажется за пределами этого диапазона, т.е. либо выигрыш превысит 24 доллара, либо проигрыш превысит 34 доллара.

Стандартное отклонение для ставки в рулетке на равные деньги — одно из самых низких среди всех игр казино. Большинство игр, особенно слотов, имеют чрезвычайно высокие стандартные отклонения. По мере увеличения размера потенциальных выплат растет и стандартное отклонение.

К сожалению, приведенные выше соображения для небольшого количества раундов неверны, поскольку распределение далеко от нормального. Более того, результаты более волатильных игр обычно сходятся к нормальному распределению гораздо медленнее, поэтому для этого требуется гораздо большее количество раундов.

По мере увеличения количества раундов ожидаемые потери в конечном итоге превысят стандартное отклонение во много раз. Из формулы мы видим, что стандартное отклонение пропорционально квадратному корню из количества сыгранных раундов, а ожидаемый проигрыш пропорционален количеству сыгранных раундов. По мере увеличения количества раундов ожидаемые потери растут гораздо быстрее. Вот почему игроку практически невозможно выиграть в долгосрочной перспективе (если у него нет преимущества). Именно высокое соотношение краткосрочного стандартного отклонения к ожидаемому убытку заставляет игроков думать, что они могут выиграть.

Индекс волатильности (VI) определяется как стандартное отклонение для одного раунда при ставке в одну единицу. Следовательно, VI для ставки в Американской рулетке на равные деньги составляет $2{\sqrt {18/38\cdot 20/38}}\approx 0.9986$.

Дисперсия $v$ определяется как квадрат VI. Таким образом, дисперсия ставки в Американской рулетке на равные деньги составляет ок. 0,9972, что мало для игры в казино. Дисперсия в блэкджеке составляет ок. 1.2, что все еще мало по сравнению с вариантами электронных игровых автоматов (EGM).

Кроме того, используется термин индекса волатильности, основанный на некоторых доверительных интервалах. Обычно он основан на доверительном интервале 90%. Индекс волатильности для 90% доверительного интервала составляет ок. В 1,645 раза больше «обычного» индекса волатильности, относящегося к ок. 68,27% доверительный интервал.

Казино важно знать как преимущество казино, так и индекс волатильности для всех своих игр. Преимущество казино говорит им, какую прибыль они получат в процентах от оборота, а индекс волатильности говорит им, сколько им нужно в виде денежных резервов. Математики и программисты, выполняющие такую ​​работу, называются игровыми математиками и игровыми аналитиками. Казино не имеют собственного опыта в этой области, поэтому они передают свои требования экспертам в области игрового анализа.

Вероятность бинго

Вероятность выигрыша в игре в Бинго (без учета одновременных победителей, делая выигрыши взаимоисключающими) можно рассчитать как:

$P(Win)=1-P(Loss)$

поскольку выигрыш и проигрыш являются взаимоисключающими. Вероятность проигрыша такая же, как и вероятность выигрыша другого игрока (на данный момент предполагается, что у каждого игрока есть только одна карта Бинго). С $n$ игроки, принимающие участие: $P(Loss)=P(P_{2}{\mbox{ or }}P_{3}{\mbox{ or }}...P_{n-1}{\mbox{ or }}P_{n})$с $n$ игроки и наш игрок назначаются $P_{1}$. Это также указывается (для взаимоисключающих событий) как $P(Loss)=P(P_{2})+P(P_{3})+...+P(P_{n})$.

Если вероятность выигрыша каждого игрока равна (как и следовало ожидать в честной азартной игре), то $P(P_{1})=P(P_{2})=...=P(P_{n})$и таким образом $P(Loss)=(n-1)P(P_{1})$ и поэтому $P(Win)=P(P_{1})=1-(n-1)P(P_{1})$. Упрощение доходности

$P(P_{1})=1/n$

В случае, когда куплено более одной карты, каждую карту можно рассматривать как эквивалентную вышеупомянутым игрокам, имеющую равные шансы на победу. $P(C_{1})=1/n_{C}$где $n_{C}$ количество карт в игре и $C_{1}$ это карта, которая нас интересует.

Игрок ( $P_{1}$) проведение $m$ карты, следовательно, будут выигрышными, если выиграет какая-либо из этих карт (по-прежнему игнорируя одновременные выигрыши):

$P(P_{1})=P(C_{1})+P(C_{2})+...+P(C_{m})=m/n_{C}$

Таким образом, простой способ увеличить свои шансы на выигрыш для игрока — это покупать больше карт в игре (увеличивать $m$).

Одновременные выигрыши могут происходить в определенных типах игр (например, в онлайн-бинго , где победитель определяется автоматически, а не, например, путем крика «Бинго»), при этом выигрыш делится между всеми одновременными победителями. Вероятность нашей карты, $C_{1}$, выигрыш при наличии одного или нескольких одновременных победителей выражается следующим образом:

$P(C_{1})=P(w){\frac {w}{n_{C}}}$

где $P(w)$ это вероятность существования $w$ одновременный победитель (зависит от типа игры и количества игроков) и ${\frac {w}{n_{C}}}$ (справедливая) вероятность того, что $C_{1}$ одна из выигрышных карт. Таким образом, общее ожидаемое значение выплаты (1 соответствует полному выигрышному банку) составляет:

$E={\frac {1}{1}}{\frac {1}{n_{C}}}P(1)+{\frac {1}{2}}{\frac {2}{n_{C}}}P(2)+...+{\frac {1}{n_{C}}}{\frac {n_{C}}{n_{C}}}P(n_{C})$

$E={\frac {1}{n_{C}}}(P(1)+P(2)+...+P(n_{C}))$

Поскольку для обычной игры в бинго, в которую играют до тех пор, пока не будет выявлен победитель, вероятность появления выигрышной карты либо $P(1)$ или $P(2)$ или... или $P(n_{C})$, и поскольку они являются взаимоисключающими , можно сказать, что

$P(1)+P(2)+...+P(n_{C})=1$

и поэтому это

$E={\frac {1}{n_{C}}}$

Таким образом, ожидаемый результат игры не изменяется одновременными победителями, пока банк делится поровну между всеми одновременными победителями. Это было подтверждено численно.

Чтобы выяснить, лучше ли играть несколькими картами в одной игре или играть в несколько игр, вероятность выигрыша рассчитывается для каждого сценария, где $m$ карты куплены.

$P(win)_{multiplecards}={\frac {m}{m+n-1}}$

где n — количество игроков (при условии, что каждый игрок противника разыгрывает только одну карту). Вероятность проигрыша в любой отдельной игре, в которой разыгрывается только одна карта, выражается как:

$P(loss)_{game}=1-P(win)=1-{\frac {1}{n}}$

Вероятность проигрыша $m$ игры выражается как:

$P(loss)_{multiplegames}=(1-{\frac {1}{n}})^{m}$

Вероятность выиграть хотя бы одну игру из $m$ игр – это то же самое, что вероятность не проиграть все $m$ игры:

$P(win)_{multiplegames}=1-(1-{\frac {1}{n}})^{m}$

Когда $m=1$, эти значения равны:

$P(win)_{multiplecards}=P(win)_{multiplegames}$

но это было показано что $P(win)_{multiplegames}>P(win)_{multiplecards}$ для $m>1$. Преимущество $P(win)_{multiplegames}$ растет как $m$ растет и $n$ уменьшается. Поэтому всегда лучше играть в несколько игр, чем в одну игру с несколькими картами, хотя преимущество уменьшается, когда в игре участвует больше игроков.

См. также

• Математика букмекерства
• Вероятность покера
• Прогнозы статистической ассоциации на футбол
• Азартные игры онлайн
• Онлайн Бинго

Дальнейшее чтение

• «Математика азартных игр » Эдварда Торпа . ISBN   0-89746-019-7
• «Теория азартных игр и статистическая логика, исправленное издание », Ричард Эпштейн , ISBN   0-12-240761-X
• «Математика игр и азартных игр» , второе издание, Эдвард Пакел , ISBN   0-88385-646-8
• Руководство по вероятности азартных игр: математика игр в кости, игровых автоматов, рулетки, баккара, блэкджека, покера, лотереи и спортивных ставок , Каталин Барбояну, ISBN   973-87520-3-5 ,
  • Хоффман, Рекс (2021). «6 фактов о быстрой математике в казино, которые вам нужно знать» . Спортивный гик . дои : 10.4324/9780429459504 . ISBN  9780429459504 . S2CID   197989420 . выдержки
• Удача, логика и белая ложь: математика игр , Йорг Беверсдорф , 2005 г., 2-е издание, 2021 г., ISBN   978-1-00309-287-2 , doi : 10.1201/9781003092872 , введение в 1-е издание.
• «Понимание своей игры: советы математика по рациональной и безопасной игре» , Каталин Барбояну, ISBN   978-606-9735-00-8

Внешние ссылки

• Обсуждение математики вероятности и азартных игр от Wizard of Odds
• Применение теории вероятностей в азартных играх