SQ-универсальная группа

В математике , в области теории групп , счетная группа называется SQ-универсальной, если каждая счетная группа может быть вложена в одну из ее факторгрупп . SQ-универсальность можно рассматривать как меру размера или сложности группы.

История

Многие классические результаты комбинаторной теории групп, начиная с 1949 года, теперь интерпретируются как утверждение о том, что определенная группа или класс групп является (являются) SQ-универсальными. Однако первое явное использование этого термина, по-видимому, произошло в выступлении Питера Неймана на Лондонском коллоквиуме по алгебре под названием «SQ-универсальные группы» 23 мая 1968 года.

Примеры SQ-универсальных групп

В 1949 году Грэм Хигман , Бернхард Нойман и Ханна Нойман доказали, что любую счетную группу можно вложить в группу с двумя образующими. Используя современный язык SQ-универсальности, этот результат говорит, что F ₂ , свободная группа (неабелева ) с двумя образующими , является SQ-универсальной. Это первый известный пример SQ-универсальной группы. Сейчас известно еще много примеров:

• Добавление двух генераторов и одного произвольного релятора к нетривиальной группе без кручения всегда приводит к SQ-универсальной группе.
• Любая неэлементарная группа, гиперболическая относительно набора собственных подгрупп, является SQ-универсальной.
• Множество расширений HNN , бесплатные продукты и бесплатные продукты с объединением .
• четырьмя генераторами Группа Кокстера с с презентацией :

$P=\left\langle a,b,c,d\,|\,a^{2}=b^{2}=c^{2}=d^{2}=(ab)^{3}=(bc)^{3}=(ac)^{3}=(ad)^{3}=(cd)^{3}=(bd)^{3}=1\right\rangle$

• Пример Чарльза Ф. Миллера III конечно представленной SQ-универсальной группы, все нетривиальные факторы которой имеют неразрешимую проблему слов .

Кроме того, теперь известны гораздо более сильные версии теоремы Хигмана-Неймана-Неймана. Ульд Хусин доказал:

Для каждой счетной группы G существует 2-порождающая SQ-универсальная группа H такая, что G можно вложить в любой нетривиальный фактор группы H .

Некоторые элементарные свойства SQ-универсальных групп

Свободная группа со счетным числом образующих, скажем, h ₁ , h ₂ , ..., h _n , ... должна быть вложима в фактор SQ-универсальной группы G . Если $h_{1}^{*},h_{2}^{*},\dots ,h_{n}^{*}\dots \in G$ выбираются так, что $h_{n}^{*}\mapsto h_{n}$ для всех n они должны свободно порождать свободную подгруппу G. группы Следовательно:

Каждая SQ-универсальная группа имеет в качестве подгруппы свободную группу со счетным числом образующих.

Поскольку каждую счетную группу можно вложить в счетную простую группу , часто достаточно рассмотреть вложения простых групп. Это наблюдение позволяет легко доказать некоторые элементарные результаты о SQ-универсальных группах, например:

Если G — SQ-универсальная группа и N — нормальная подгруппа группы G (т. е. $N\triangleleft G$) то либо N SQ-универсальна, либо факторгруппа G / N SQ-универсальна.

Чтобы доказать это, предположим, что N не является SQ-универсальной, тогда существует счетная группа K , которую нельзя вложить в факторгруппу N . Пусть H — любая счетная группа, тогда прямое произведение H × K также счетно и, следовательно, может быть вложено в счетную простую группу S . Теперь, по условию, G SQ-универсальна, поэтому S можно вложить в факторгруппу G / M , скажем, G. группы Вторая теорема об изоморфизме говорит нам:

$MN/M\cong N/(M\cap N)$

Сейчас $MN/M\triangleleft G/M$ и S — простая подгруппа G / M, поэтому либо:

$MN/M\cap S\cong 1$

или:

$S\subseteq MN/M\cong N/(M\cap N)$.

Последнее не может быть верным, поскольку из него следует K ⊆ H × K ⊆ S ⊆ N /( M ∩ N ), что противоречит нашему выбору K . Отсюда следует, что S может быть вложено в ( G / M )/( MN / M ), который по третьей теореме об изоморфизме изоморфен G / MN , который, в свою очередь, изоморфен ( G / N )/( MN / N ). . Таким образом, S вложено в фактор-группу группы G / N , а поскольку H ⊆ S — произвольная счетная группа, отсюда следует, что G / N является SQ-универсальной.

Поскольку каждая подгруппа H конечного индекса в группе G содержит нормальную подгруппу N также конечного индекса в G , из этого легко следует, что:

Если группа G SQ-универсальна, то такой же является и любая подгруппа H конечного индекса группы G . Обратное утверждение также верно.

Варианты и обобщения SQ-универсальности.

В литературе встречается несколько вариантов SQ-универсальности. Читателя следует предупредить, что терминология в этой области еще не совсем устойчива, и ему следует читать этот раздел с учетом этой оговорки.

Позволять ${\mathcal {P}}$ быть классом групп. (Для целей этого параграфа группы определены с точностью до изоморфизма .) Группа G называется SQ-универсальной в классе ${\mathcal {P}}$ если $G\in {\mathcal {P}}$ и каждая счетная группа в ${\mathcal {P}}$ изоморфна подгруппе фактора G . Можно доказать следующий результат:

Пусть n , m ∈ Z , где m нечетно, $n>10^{78}$ и m > 1, и пусть B ( m , n ) — свободная m-порождающая группа Бернсайда , тогда каждая нециклическая подгруппа группы B ( m , n ) является SQ-универсальной в классе групп показателя n .

Позволять ${\mathcal {P}}$ быть классом групп. Группа G называется SQ-универсальной для класса ${\mathcal {P}}$ если каждая группа в ${\mathcal {P}}$ изоморфна подгруппе фактора G . Обратите внимание, что нет никаких требований, чтобы $G\in {\mathcal {P}}$ ни какие группы не могут быть счетными.

Стандартное определение SQ-универсальности эквивалентно SQ-универсальности как в так и для него классе счетных групп, .

Дана счетная группа G , назовем SQ-универсальную группу H G -стабильной , если каждая нетривиальная фактор-группа содержит копию G. H Позволять ${\mathcal {G}}$ быть классом конечно определенных SQ-универсальных групп, которые G -стабильны для некоторого G, тогда версия Гусина теоремы HNN, которую можно переформулировать как:

Свободная группа на двух образующих SQ-универсальна для ${\mathcal {G}}$.

Однако существует несчетное множество конечно порожденных групп, а счетная группа может иметь только счетное число конечно порожденных подгрупп. Из этого легко увидеть, что:

Ни одна группа не может быть SQ-универсальной в ${\mathcal {G}}$.

Бесконечный ​ класс ${\mathcal {P}}$ групп является переносимым, если заданы любые группы $F,G\in {\mathcal {P}}$ существует простая группа S и группа $H\in {\mathcal {P}}$ такой, что и G могут быть вложены в S , а S — в H. F Это легко доказать:

Если ${\mathcal {P}}$ — оберточный класс групп, G — SQ-универсальна для ${\mathcal {P}}$ и $N\triangleleft G$ то либо N является SQ-универсальным для ${\mathcal {P}}$ или G / N является SQ-универсальным для ${\mathcal {P}}$.

Если ${\mathcal {P}}$ — оберточный класс групп и H имеет конечный индекс в G , то G SQ-универсальна для класса ${\mathcal {P}}$ тогда и только тогда, когда H SQ-универсальна для ${\mathcal {P}}$.

Мотивация для определения оберточного класса исходит из таких результатов, как теорема Буна-Хигмана , которая утверждает, что счетная группа G имеет разрешимую словесную проблему тогда и только тогда, когда она может быть вложена в простую группу S , которая может быть вложена в конечное число. представила F. группу Хусин показал, что группу F можно сконструировать так, чтобы она тоже имела разрешимую проблему слов. Это вместе с тем фактом, что прямое произведение двух групп сохраняет разрешимость проблемы слов, показывает, что:

Класс всех конечно определенных групп с разрешимой проблемой слов является оберточным.

Другие примеры обертываемых классов групп:

• Класс конечных групп .
• Класс групп без кручения.
• Класс счетных групп без кручения.
• Класс всех групп заданной бесконечной мощности .

Тот факт, что класс ${\mathcal {P}}$ является оберточной, не означает, что любые группы SQ-универсальны для ${\mathcal {P}}$. Ясно, например, что какое-то ограничение мощности для членов ${\mathcal {P}}$ требуется.

Если в определении «SQ-универсальности» заменить словосочетание «изоморфно подгруппе фактора» на «изоморфно подгруппе» в определении «SQ-универсальности», мы получим более сильное понятие S-универсалии (соответственно S-универсалии для /in ${\mathcal {P}}$). Теорему вложения Хигмана можно использовать, чтобы доказать, что существует конечно представленная группа, которая содержит копию каждой конечно представленной группы. Если ${\mathcal {W}}$ — класс всех конечно определенных групп с разрешимой проблемой слов, то известно, что не существует единого алгоритма решения проблемы слов для групп из ${\mathcal {W}}$. Отсюда следует, хотя доказательство и не такое простое, как можно было бы ожидать, что ни одна группа в ${\mathcal {W}}$ может содержать копию каждой группы в ${\mathcal {W}}$. Но ясно, что любая SQ-универсальная группа тем более SQ-универсальна для ${\mathcal {W}}$. Если мы позволим ${\mathcal {F}}$ — класс конечно представленных групп, а F ₂ — свободная группа с двумя образующими, мы можем суммировать это как:

• F ₂ SQ-универсален в ${\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {W}}$.
• Существует группа, S-универсальная в ${\mathcal {F}}$.
• Ни одна группа не является S-универсальной в ${\mathcal {W}}$.

Открыты следующие вопросы (второй подразумевает первый):

• Существует ли счетная группа, которая не является SQ-универсальной, но является SQ-универсальной для ${\mathcal {W}}$?
• Существует ли счетная группа, которая не является SQ-универсальной, но является SQ-универсальной в ${\mathcal {W}}$?

Хотя доказать, что F ₂ SQ-универсальна, довольно сложно, тот факт, что она SQ-универсальна для класса конечных групп, легко следует из этих двух фактов:

• Любая симметрическая группа на конечном множестве может быть порождена двумя элементами
• Каждую конечную группу можно вложить внутрь симметричной группы, естественной из которых является группа Кэли , которая является симметричной группой, действующей на эту группу как конечное множество.

SQ-универсальность в других категориях

Если ${\mathcal {C}}$ это категория и ${\mathcal {P}}$ класс объектов это ${\mathcal {C}}$, то определение SQ-универсалии для ${\mathcal {P}}$ явно имеет смысл. Если ${\mathcal {C}}$ — конкретная категория , то определение SQ-универсалии в ${\mathcal {P}}$ тоже имеет смысл. Как и в теоретико-групповом случае, мы используем термин SQ-универсальный для объекта, который является SQ-универсальным как для , так и в классе счетных объектов ${\mathcal {C}}$.

Многие теоремы вложения можно переформулировать в терминах SQ-универсальности. Теорема Ширшова о том, что алгебра Ли конечной или счетной размерности может быть вложена в 2-порождающую алгебру Ли, эквивалентна утверждению, что 2-порождающая свободная алгебра Ли является SQ-универсальной (в категории алгебр Ли). Это можно доказать, доказав версию теоремы Хигмана, Неймана, Неймана для алгебр Ли. Однако версии теоремы HNN можно доказать для категорий, в которых нет четкого представления о свободном объекте. Например, можно доказать, что каждая сепарабельная топологическая группа изоморфна топологической подгруппе группы, имеющей два топологических образующих (т. е. имеющей плотную 2-порождающую подгруппу).

Аналогичная концепция справедлива и для свободных решеток . Свободная решетка в трех образующих счетно бесконечна. В качестве подрешетки он имеет свободную решетку в четырех образующих, а в качестве подрешетки по индукции — свободную решетку в счетном числе образующих.

Ссылки

• Лоусон, М.В. (1998). Инверсные полугруппы: теория частичных симметрий . Всемирная научная. ISBN  978-981-02-3316-7 .