Презентация группы

В математике представление — это один из методов определения группы . Представление группы G включает набор S генераторов — так что каждый элемент группы можно записать как произведение степеней некоторых из этих генераторов — и набор между этими R отношений генераторами. Затем мы говорим, что G имеет представление

\langle S\mid R\rangle .

Неформально, G имеет вышеуказанное представление, если это «самая свободная группа», порожденная S, подчиняющаяся только отношениям R . Формально говорят, что группа G имеет указанное выше представление, если она свободной группы изоморфна фактору S на по нормальной подгруппе, порожденной отношениями R .

В качестве простого примера циклическая группа порядка n имеет представление

\langle a\mid a^{n}=1\rangle ,

где 1 — идентификатор группы. Это можно записать эквивалентно как

\langle a\mid a^{n}\rangle ,

благодаря соглашению, согласно которому термины, не содержащие знака равенства, считаются равными групповой идентичности. Такие термины называются отношениями , в отличие от отношений, которые включают знак равенства.

У каждой группы есть презентация, и на самом деле много разных презентаций; презентация часто является наиболее компактным способом описания структуры группы.

Близкородственной, но отличной концепцией является концепция абсолютного представления группы .

Фон

Свободная группа на множестве S — это группа, в которой каждый элемент можно однозначно описать как произведение конечной длины вида:

s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}

где s _i — элементы S, соседние s _i различны, а a _i — ненулевые целые числа (но n может быть нулевым). Говоря менее формально, группа состоит из слов в образующих и их инверсиях , подлежащих только сокращению генератора с соседним вхождением его обратного слова.

Если G — любая группа, а S — порождающее подмножество G , то каждый элемент G также имеет указанную выше форму; в целом эти произведения не будут однозначно описывать элемент G. но

Например, группа диэдра D ₈ шестнадцатого порядка может быть создана вращением r порядка 8; и флип f порядка 2; и, конечно же, любой элемент D8 _{является} произведением r 's и f 's .

Однако имеем, например, $rfr = f -1$ , $р 7 = р -1$ и т. д., поэтому такие изделия не уникальны в D ₈ . Каждая такая эквивалентность продукта может быть выражена как равенство тождеству, например:

рфрф = 1

,

р 8 = 1

или

f ж 2 = 1

.

Неформально мы можем рассматривать эти произведения в левой части как элементы свободной группы $F = ⟨ r, f ⟩$ и пусть $R = ⟨ rfrf, r 8, ж 2 ⟩$ . То есть мы позволяем R быть подгруппой, порожденной строками rfrf , r ⁸, ж ², каждый из которых также эквивалентен 1, если рассматривать его как произведение в D ₈ .

Если мы затем позволим N быть подгруппой F, порожденной всеми сопряженными x ⁻¹Rx группы R , то по определению следует, что каждый элемент N является конечным произведением x ₁⁻¹г ₁ х ₁ ... х _м⁻¹r _m x _m членов таких конъюгатов. Отсюда следует, что каждый элемент N , если рассматривать его как произведение в D8 _, также будет иметь значение 1; и, таким образом, N является нормальной подгруппой F . Таким образом, _D8 изоморфна факторгруппе $F / N$ . Тогда мы говорим, что D ₈ имеет представление

\langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1\rangle .

Здесь набор образующих равен $S = {r, f$ }, а набор отношений равен $R = {r 8 = 1, е 2 = 1, (рф) 2 = 1}$ . Мы часто видим сокращение R , дающее представление

\langle r,f\mid r^{8}=f^{2}=(rf)^{2}=1\rangle .

В еще более короткой форме знаки равенства и тождества опущены, чтобы перечислить только набор соотношений, который равен ${r 8, ж 2, (рф) 2}$ . Это дает презентацию

\langle r,f\mid r^{8},f^{2},(rf)^{2}\rangle .

Все три презентации эквивалентны.

Обозначения

Хотя обозначение $⟨ S | R ⟩,$ используемый в этой статье для презентации, сейчас является наиболее распространенным, раньше авторы использовали разные варианты одного и того же формата. К таким обозначениям относятся следующие: ^{[ нужна ссылка ]}

$⟨ С | Р ⟩$
$(С | Р)$
${С; Р$ }
$⟨ С; Р ⟩$

Определение

Пусть S — множество, и FS _— свободная группа на S. пусть Пусть R — набор слов на S , поэтому R естественным образом дает подмножество слов. $F_{S}$ . Сформировать группу с презентацией $\langle S\mid R\rangle$ , возьмем частное $F_{S}$ наименьшей нормальной подгруппой, содержащей каждый элемент R . (Эта подгруппа называется нормальным замыканием N группы R в $F_{S}$ .) Группа $\langle S\mid R\rangle$ затем определяется как факторгруппа

\langle S\mid R\rangle =F_{S}/N.

Элементы S называются образующими $\langle S\mid R\rangle$ а элементы R называются связями . Говорят, что группа G имеет представление $\langle S\mid R\rangle$ если G изоморфна $\langle S\mid R\rangle$ . ^[1]

Реляторы принято записывать в форме $x=y$ где x и y слова на S. — Это означает, что $y^{-1}x\in R$ . Это имеет интуитивный смысл: изображения x и y должны быть равны в факторгруппе. Так, например, р ^н в списке родственников эквивалентно $r^{n}=1$ . ^[1]

Для конечной группы G можно построить представление G по таблице группового умножения следующим образом. Возьмем S в качестве элементов множества $g_{i}$ из G и R — это все слова формы $g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}$ , где $g_{i}g_{j}=g_{k}$ это запись в таблице умножения.

Альтернативное определение

В качестве альтернативы определение группового представления может быть переработано с точки зрения классов эквивалентности слов в алфавите. $S\cup S^{-1}$ . С этой точки зрения мы объявляем два слова эквивалентными, если можно перейти от одного к другому с помощью последовательности ходов, где каждый ход состоит из добавления или удаления последовательной пары. $xx^{-1}$ или $x^{-1}x$ для некоторого $x$ в $S$ или путем добавления или удаления последовательной копии релятора. Элементы группы — это классы эквивалентности, а групповая операция — конкатенация. ^[1]

Эта точка зрения особенно распространена в области комбинаторной теории групп .

Конечно представленные группы

Представление называется конечно порожденным, если S конечно, и конечно связанным, если R конечно. Если оба конечны, то говорят, что это конечное представление . Группа конечно порождена (соответственно конечно связанных , конечно представлено ), если оно имеет представление, которое конечно порождено (соответственно конечно связанное, конечное представление). Группа, имеющая конечное представление с одним отношением, называется группой с одним отношением .

Рекурсивно представленные группы

Если S индексируется множеством I, состоящим из всех натуральных чисел N или их конечного подмножества, то легко установить простое однозначное кодирование (или нумерацию Гёделя ) f : F _S → N из свободной группы на S к натуральным числам, так что мы можем найти алгоритмы, которые по заданному f ( w ) вычисляют w и наоборот. Тогда мы можем назвать подмножество U в FS _{) ,} рекурсивным (соответственно рекурсивно перечислимым если f ( U ) рекурсивно (соответственно рекурсивно перечислимо). Если S индексируется, как указано выше, а R рекурсивно перечисляемо, то представление является рекурсивным представлением , и соответствующая группа представляется рекурсивно . Такое использование может показаться странным, но можно доказать, что если у группы есть представление с R рекурсивно перечислимым R. , то у нее есть другое представление с рекурсивным

Каждая конечно представимая группа рекурсивно представлена, но существуют рекурсивно представленные группы, которые не могут быть конечно представимы. Однако теорема Грэма Хигмана утверждает, что конечно порожденная группа имеет рекурсивное представление тогда и только тогда, когда она может быть вложена в конечно представленную группу. ^[2] Отсюда можно сделать вывод, что существует (с точностью до изоморфизма) лишь счетное число конечно порожденных рекурсивно представленных групп. Бернхард Нейман показал, что существует бесчисленное множество неизоморфных двух образующих групп. Следовательно, существуют конечно порожденные группы, которые невозможно представить рекурсивно.

История

Одно из первых представлений группы образующими и отношениями было дано ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его икосианском исчислении — представлении икосаэдрической группы . ^[3]Первое систематическое исследование было проведено Вальтером фон Дейком , учеником Феликса Клейна , в начале 1880-х годов, заложив основы комбинаторной теории групп . ^[4]

Примеры

В следующей таблице приведены некоторые примеры презентаций для обычно изучаемых групп. Обратите внимание, что в каждом случае возможно множество других презентаций. Представленная презентация не обязательно является самой эффективной из возможных.

Группа	Презентация	Комментарии
свободная группа на S	$\langle S\mid \varnothing \rangle$	Свободная группа «свободна» в том смысле, что она не подвержена никаким отношениям.
C _n , циклическая группа порядка n	$\langle a\mid a^{n}\rangle$
D _n , группа диэдра порядка 2 n	$\langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle$	Здесь r представляет собой вращение, а f — отражение.
D _∞ , бесконечная группа диэдра	$\langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle$
Dic _n , дициклическая группа	$\langle r,f\mid r^{2n},r^{n}=f^{2},frf^{-1}=r^{-1}\rangle$	Группа кватернионов Q ₈ представляет собой частный случай, когда n = 2
Z × Z	$\langle x,y\mid xy=yx\rangle$
З / м Z × Z / n Z	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$
свободная абелева группа на S	$\langle S\mid R\rangle$ где R — множество всех коммутаторов элементов S
Sn _, симметрическая группа на n символах	генераторы: $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ отношения: $\sigma _{i}^{2}=1$ , $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ , $\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\$ Последний набор отношений можно преобразовать в ${(\sigma _{i}\sigma _{i+1}})^{3}=1\$ с использованием $\sigma _{i}^{2}=1$ .	Здесь σ _i — перестановка, которая меняет местами i -й элемент на i +1-й. Произведение σ _i σ _{i +1} является 3-циклом на множестве { i , i +1, i +2}.
B _n кос группы	генераторы: $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ отношения: $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1$ , $\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\$	Обратите внимание на сходство с симметричной группой; единственная разница заключается в удалении отношения $\sigma _{i}^{2}=1$ .
V ₄ ≅ D ₂ , группа Клейна 4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{2},(st)^{2}\rangle$
T ≅ A ₄ , тетраэдрическая группа	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
O ≅ S ₄ , октаэдрическая группа	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
I ≅ A ₅ , группа икосаэдра.	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
Q ₈ , группа кватернионов	$\langle i,j\mid i^{4},jij=i,iji=j\rangle \,$	Альтернативное представление см. в Dic _n выше, где n=2.
СЛ(2, Z )	$\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$	топологически a и b можно представить как скручивание Дена на торе
ГЛ(2, Я )	$\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle$	нетривиальный Z /2 Z – групповое расширение SL(2, Z )
PSL(2, Z ), модульная группа	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$	PSL(2, Z ) — свободное произведение циклических групп Z /2 Z и Z /3 Z
Группа Гейзенберга	$\langle x,y,z\mid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zy\rangle$
BS( m , n ), группы Баумслага–Солитара	$\langle a,b\mid a^{n}=ba^{m}b^{-1}\rangle$
Группа сисек	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3},(ab)^{13},[a,b]^{5},[a,bab]^{4},((ab)^{4}ab^{-1})^{6}\rangle$	[ a , b ] — коммутатор

Примером конечно порожденной группы , которая не является конечно представленной, является сплетение $\mathbf {Z} \wr \mathbf {Z}$ группы целых чисел с самим собой.

Некоторые теоремы

Теорема. У каждой группы есть презентация.

в этом, рассмотрим группу G , свободную FG _группу на G. Чтобы убедиться По универсальному свойству свободных групп существует единственный гомоморфизм групп $φ : F G \to G$ , ограничение которого на G является тождественным отображением. Пусть K — ядро этого гомоморфизма. Тогда K нормален в F _G и, следовательно, равен его нормальному замыканию, поэтому $⟨ G | K ⟩ знак равно F грамм / K$ . Поскольку тождественное отображение сюръективно, φ также сюръективен, поэтому по теореме об изоморфизме Первой $⟨ G | K ⟩ ≅ im(φ) знак равно грамм$ . Такое представление может быть крайне неэффективным, если G и K намного больше, чем необходимо.

Следствие. Каждая конечная группа имеет конечное представление.

В качестве образующих можно принять элементы группы, а в качестве отношений — таблицу Кэли .

Novikov–Boone theorem

Отрицательное решение проблемы слов для групп утверждает, что существует конечное представление $⟨ S | R ⟩,$ для которого не существует алгоритма, который по двум словам u , v решает, описывают ли u и v один и тот же элемент в группе. Это показал Петр Новиков в 1955 году. ^[5] другое доказательство было получено Уильямом Буном в 1958 году. ^[6]

Конструкции

Предположим, G имеет представление $⟨ S | R ⟩$ и H имеет представление $⟨ T | Q ⟩$ , где S и T не пересекаются. Затем

свободный продукт $G * H$ имеет представление $⟨ S, T | Р, Q ⟩$ и
прямое произведение $G \times H$ имеет представление $⟨ S, T | R, Q, [S, T]⟩$ , где [ S , T ] означает, что каждый элемент из S коммутирует с каждым элементом из T (см. коммутатор ).

Дефицит

Недостаток | конечного $⟨ S представления Р ⟩$ просто $| С | - | р |$ и недостаток конечно представленной группы G , обозначаемый def( ) , является максимумом недостатка среди всех представлений G. G Недостаток конечной группы неположителен. Мультипликатор Шура конечной группы G может быть порожден генераторами −def( G ), и G эффективен , если это число требуется. ^[7]

Геометрическая теория групп

Представление группы определяет геометрию в смысле геометрической теории групп : имеется граф Кэли , который имеет метрику , называемую словесной метрикой . Это также два результирующих порядка, слабый порядок и порядок Брюа , и соответствующие диаграммы Хассе . Важный пример – группы Кокстера .

Кроме того, некоторые свойства этого графа ( грубая геометрия ) являются внутренними, то есть не зависят от выбора генераторов.

См. также

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Пайфер, Дэвид (1997). «Введение в комбинаторную теорию групп и проблему слов». Журнал «Математика» . 70 (1): 3–10. дои : 10.1080/0025570X.1997.11996491 .
^ Хигман, Г. (8 августа 1961 г.). «Подгруппы конечно определенных групп» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 262 (1311): 455–475. Бибкод : 1961RSPSA.262..455H . дои : 10.1098/rspa.1961.0132 . ISSN 0080-4630 . S2CID 120100270 .
^ Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856 г.). «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF) . Философский журнал . 12 : 446. Архивировано (PDF) из оригинала 26 июня 2003 г.
^ Стиллвелл, Джон (2002). Математика и ее история . Спрингер. п. 374 . ISBN 978-0-387-95336-6 .
^ Новиков, Петр С. (1955), «Об алгоритмической неразрешимости проблемы слова в теории групп», Труды Математического института им. Стеклова (на русском языке), 44 : 1–143, Zbl 0068.01301
^ Бун, Уильям В. (1958), «Проблема слов» (PDF) , Proceedings of the National Academy of Sciences , 44 (10): 1061–1065, Бибкод : 1958PNAS...44.1061B , doi : 10.1073/pnas. 44.10.1061 , PMC 528693 , PMID 16590307 , Zbl 0086.24701 , заархивировано (PDF) из оригинала 24 сентября 2015 г.
^ Джонсон, Д.Л.; Робертсон, Э.Л. (1979). «Конечные группы нулевого дефекта». Ин Уолл, CTC (ред.). Гомологическая теория групп . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 36. Издательство Кембриджского университета . стр. 275–289. ISBN 0-521-22729-1 . Збл 0423.20029 .

Ссылки

Коксетер, HSM ; Мозер, WOJ (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9 . ― В этом полезном справочнике есть таблицы представлений всех малых конечных групп, групп отражений и т. д.
Джонсон, Д.Л. (1997). Презентации групп (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58542-2 . ― метод Шрайера, метод Нильсена, свободные представления, подгруппы и HNN-расширения, теорема Голода–Шафаревича и др.
Симс, Чарльз К. (1994). Вычисления с конечно представленными группами (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-13507-8 . ― фундаментальные алгоритмы из теоретической информатики, вычислительной теории чисел, вычислительной коммутативной алгебры и т. д.

Внешние ссылки

[Peifer-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Пайфер, Дэвид (1997). «Введение в комбинаторную теорию групп и проблему слов». Журнал «Математика» . 70 (1): 3–10. дои : 10.1080/0025570X.1997.11996491 .

[2] Хигман, Г. (8 августа 1961 г.). «Подгруппы конечно определенных групп» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 262 (1311): 455–475. Бибкод : 1961RSPSA.262..455H . дои : 10.1098/rspa.1961.0132 . ISSN 0080-4630 . S2CID 120100270 .

[3] Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856 г.). «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF) . Философский журнал . 12 : 446. Архивировано (PDF) из оригинала 26 июня 2003 г.

[stillwell374-4] Стиллвелл, Джон (2002). Математика и ее история . Спрингер. п. 374 . ISBN 978-0-387-95336-6 .

[5] Новиков, Петр С. (1955), «Об алгоритмической неразрешимости проблемы слова в теории групп», Труды Математического института им. Стеклова (на русском языке), 44 : 1–143, Zbl 0068.01301

[6] Бун, Уильям В. (1958), «Проблема слов» (PDF) , Proceedings of the National Academy of Sciences , 44 (10): 1061–1065, Бибкод : 1958PNAS...44.1061B , doi : 10.1073/pnas. 44.10.1061 , PMC 528693 , PMID 16590307 , Zbl 0086.24701 , заархивировано (PDF) из оригинала 24 сентября 2015 г.

[7] Джонсон, Д.Л.; Робертсон, Э.Л. (1979). «Конечные группы нулевого дефекта». Ин Уолл, CTC (ред.). Гомологическая теория групп . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 36. Издательство Кембриджского университета . стр. 275–289. ISBN 0-521-22729-1 . Збл 0423.20029 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]