Тривиальность (математика)

В математике прилагательное тривиальный часто используется для обозначения утверждения или случая, который можно легко получить из контекста, или объекта, который обладает простой структурой (например, группы , топологические пространства ). ^[1]^[2] Существительное тривиальность обычно относится к простому техническому аспекту какого-либо доказательства или определения. Происхождение этого термина в математическом языке происходит из средневековой учебной программы тривиума , которая отличается от более сложной учебной программы квадривиума . ^[1]^[3] Противоположностью тривиальному является нетривиальный , который обычно используется для обозначения того, что пример или решение не просты или что утверждение или теорему нелегко доказать. ^[2]

Суждение о том, является ли рассматриваемая ситуация тривиальной или нет, зависит от того, кто ее рассматривает, поскольку ситуация очевидно верна для того, кто обладает достаточными знаниями или опытом о ней, тогда как для того, кто никогда не видел этого, ее может быть даже трудно понять. так что это совсем не тривиально. И может возникнуть спор о том, насколько быстро и легко следует распознать проблему, чтобы ее можно было рассматривать как тривиальную. Итак, тривиальность не является общепризнанным свойством в математике и логике.

Тривиальные и нетривиальные решения [ править ]

В математике термин «тривиальный» часто используется для обозначения объектов (например, групп, топологических пространств) с очень простой структурой. К ним относятся, среди прочего:

Пустой набор : набор , не содержащий элементов или не содержащий элементов.
Тривиальная группа : математическая группа, содержащая только единичный элемент.
Тривиальное кольцо : кольцо, определенное в одноэлементном множестве.

Слово « тривиальное » также может использоваться для описания решений уравнения , которые имеют очень простую структуру, но для полноты картины не могут быть опущены. Эти решения называются тривиальными решениями . Например, рассмотрим дифференциальное уравнение

y'=y

где $y=y(x)$ это функция которой , производная равна $y'$ . Тривиальным решением является нулевая функция

y(x)=0

а нетривиальным решением является показательная функция

y(x)=e^{x}.

Дифференциальное уравнение $f''(x)=-\lambda f(x)$ с граничными условиями $f(0)=f(L)=0$ важен в математике и физике, поскольку его можно использовать для описания частицы в ящике в квантовой механике или стоячей волны на струне. Оно всегда включает в себя решение $f(x)=0$ , которое считается очевидным и поэтому называется «тривиальным» решением. В некоторых случаях могут существовать и другие решения ( синусоиды ), которые называются «нетривиальными» решениями. ^[4]

Точно так же математики часто описывают последнюю теорему Ферма как утверждение, что не существует нетривиальных целочисленных решений уравнения. $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ , где n больше 2. Очевидно, что уравнение имеет некоторые решения. Например, $a=b=c=0$ является решением для любого n , но такие решения очевидны и достижимы без особых усилий и, следовательно, «тривиальны».

В математических рассуждениях [ править ]

Тривиальность может также относиться к любому простому случаю доказательства, который ради полноты доказательства нельзя игнорировать. Например, доказательства методом математической индукции состоят из двух частей: «базовый случай», который показывает, что теорема верна для определенного начального значения (например, n = 0 или n = 1), и индуктивный шаг, который показывает, что если теорема верно для определенного значения n , то это также верно и для значения n + 1. Базовый случай часто тривиален и идентифицируется как таковой, хотя бывают ситуации, когда базовый случай сложен, но индуктивный шаг тривиален. Точно так же можно захотеть доказать, что некоторым свойством обладают все члены определенного множества. В основной части доказательства будет рассмотрен случай непустого множества и подробно рассмотрены его члены; в случае, когда множество пусто, этим свойством тривиально обладают все члены пустого множества, поскольку их нет (подробнее см. « Пустая истина »).

Суждение о том, является ли рассматриваемая ситуация тривиальной или нет, зависит от того, кто ее рассматривает, поскольку ситуация очевидно верна для того, кто обладает достаточными знаниями или опытом о ней, тогда как для того, кто никогда не видел этого, ее может быть даже трудно понять. так что это совсем не тривиально. И может возникнуть спор о том, насколько быстро и легко следует распознать проблему, чтобы ее можно было рассматривать как тривиальную. Следующие примеры показывают субъективность и двусмысленность суждения о тривиальности.

Тривиальность также зависит от контекста. Доказательство в функциональном анализе , вероятно, при наличии числа тривиально предполагает существование большего числа. Однако при доказательстве основных результатов о натуральных числах в элементарной теории чисел доказательство вполне может зависеть от замечания о том, что любое натуральное число имеет преемника – утверждение, которое само по себе должно быть доказано или принято как аксиома, поэтому не является тривиальным ( подробнее см. аксиомы Пеано ).

Тривиальные доказательства [ править ]

В некоторых текстах тривиальное доказательство относится к утверждению, содержащему материальную импликацию P → Q, где следствие Q всегда истинно. ^[5] Здесь доказательство следует непосредственно в силу определения материальной импликации, в которой импликация истинна независимо от истинностного значения антецедента P , если консеквент зафиксирован как истинный. ^[5]

Родственное понятие — это пустая истина , где антецедент P в материальной импликации P → Q ложен. ^[5] В этом случае импликация всегда истинна независимо от истинностного значения консеквента Q – опять же в силу определения материальной импликации. ^[5]

Критика [ править ]

В математическом сообществе распространена шутка о том, что «тривиальное» является синонимом «доказанного» — то есть любую теорему можно считать «тривиальной», если известно, что она доказана. ^[1]
Два математика обсуждают теорему: первый математик говорит, что теорема «тривиальна». В ответ на просьбу другого объясниться он затем приступает к двадцатиминутному изложению. В конце объяснения второй математик соглашается, что теорема тривиальна. Но можем ли мы сказать, что эта теорема тривиальна, даже если ее доказательство потребует много времени и усилий?
Когда математик говорит, что теорема тривиальна, но не может доказать ее самостоятельно в тот момент, когда объявляет ее тривиальной, является ли эта теорема тривиальной?
Часто в шутку проблему называют «интуитивно очевидной». Например, человек, имеющий опыт в исчислении, сочтет следующее утверждение тривиальным: $\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}.$ Однако для человека, не знакомого с интегральным исчислением, это неочевидно, поэтому это нетривиально.

Примеры [ править ]

В теории чисел важно найти множители целого числа N. часто бывает Любое число N имеет четыре очевидных множителя: ±1 и ± N . Это так называемые «тривиальные факторы». Любой другой фактор, если бы он существовал, можно было бы назвать «нетривиальным». ^[6]
Однородное матричное уравнение $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ , где $A$ фиксированная матрица, $\mathbf {x}$ – неизвестный вектор, и $\mathbf {0}$ — нулевой вектор, имеет очевидное решение $\mathbf {x} =\mathbf {0}$ . Это называется «тривиальным решением». Любые другие решения, с $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$ , называются «нетривиальными». ^[7]
В теории групп существует очень простая группа, состоящая всего из одного элемента; ее часто называют «тривиальной группой». Все остальные группы, более сложные, называются «нетривиальными».
В теории графов тривиальный граф — это граф, который имеет только одну вершину и не имеет ребра.
В теории баз данных есть концепция, называемая функциональной зависимостью , написанная $X\to Y$ . Зависимость $X\to Y$ истинно, если , поэтому этот тип Y является подмножеством X зависимости называется «тривиальным». Все остальные зависимости, менее очевидные, называются «нетривиальными».
Можно показать, что дзета-функция Римана имеет нули при отрицательных четных числах -2, -4,... Хотя доказательство сравнительно легко, этот результат все же обычно не называют тривиальным; однако это так и есть в данном случае, поскольку другие его нули обычно неизвестны, имеют важные приложения и вызывают открытые вопросы (такие как гипотеза Римана ). Соответственно, отрицательные четные числа называются тривиальными нулями функции, а любые другие нули считаются нетривиальными.