Факторная группа

Факторгруппа полученная или факторгруппа — это математическая группа, путем агрегирования аналогичных элементов более крупной группы с использованием отношения эквивалентности , которое сохраняет часть структуры группы (остальная часть структуры «выбрасывается»). Например, циклическую группу сложения по модулю n можно получить из складываемой группы целых чисел путем идентификации элементов, которые отличаются кратно $n$ и определение групповой структуры, которая работает с каждым таким классом (известным как класс конгруэнтности ) как с единым объектом. Это часть математической области, известной как теория групп .

Для отношения конгруэнции в группе класс эквивалентности единичного элемента всегда является нормальной подгруппой исходной группы, а другие классы эквивалентности являются в точности смежными классами этой нормальной подгруппы. Полученное частное записывается ⁠ $G\,/\,N$⁠ , где $G$ это исходная группа и $N$ это нормальная подгруппа. Это читается как ' ⁠ $G{\bmod {N}}$⁠ ', где ${\mbox{mod}}$ это сокращение от modulo . (Обозначение ⁠ $G\,/\,H$⁠ следует интерпретировать с осторожностью, поскольку некоторые авторы (например, Винберг ) используйте его для представления левых смежных классов $H$ в $G$ для любой подгруппы $H$, хотя эти смежные классы не образуют группу, если $H$ это не нормально в $G$. Другие (например, Даммит и Фут ) используют это обозначение только для обозначения факторгруппы, причем появление этого обозначения подразумевает нормальность $H$ в $G$.)

Большая часть важности факторгрупп вытекает из их связи с гомоморфизмами . Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ любой группы G при гомоморфизме всегда изоморфен фактору $G$. В частности, образ $G$ при гомоморфизме $\varphi :G\rightarrow H$ изоморфен $G\,/\,\ker(\varphi )$ где $\ker(\varphi )$ обозначает ядро ​​⁠ ​ $\varphi$⁠ .

Двойственное , и это два основных понятие факторгруппы — это подгруппа способа образования меньшей группы из большей. Любая нормальная подгруппа имеет соответствующую факторгруппу, образованную из большей группы путем устранения различия между элементами подгруппы. В теории категорий факторгруппы являются примерами , которые двойственны подобъектам факторобъектов .

Другие примеры факторобъектов см. в разделах Фактор-кольцо , Фактор-пространство (линейная алгебра) , Фактор-пространство (топология) и Фактор-множество .

Определение и иллюстрация

Учитывая группу $G$ и подгруппа $H$и фиксированный элемент $a\in G$, можно рассмотреть соответствующий левый смежный класс : ⁠ $aH:=\left\{ah:h\in H\right\}$⁠ . Классы смежности — это естественный класс подмножеств группы; например, рассмотрим абелеву группу G целых чисел с операцией , определяемой обычным сложением, и подгруппу $H$ из четных целых чисел. Тогда существует ровно два смежных класса: ⁠ $0+H$⁠ , которые являются четными целыми числами, и ⁠ $1+H$⁠ , которые являются нечетными целыми числами (здесь мы используем аддитивную запись для бинарной операции вместо мультипликативной записи).

Для общей подгруппы ⁠ $H$⁠ желательно определить совместимую групповую операцию на множестве всех возможных смежных классов, ⁠ $\left\{aH:a\in G\right\}$⁠ . Это возможно именно тогда, когда $H$ является нормальной подгруппой, см. ниже. Подгруппа $N$ группы $G$ нормально тогда и только тогда, когда выполнено равенство смежных классов $aN=Na$ справедливо для всех ⁠ $a\in G$⁠ . Обычная подгруппа $G$ обозначается ⁠ $N$⁠ .

Определение

Позволять $N$ быть нормальной подгруппой группы ⁠ $G$⁠ . Определите набор $G\,/\,N$ быть множеством всех левых смежных классов $N$ в ⁠ $G$⁠ . То есть ⁠ $G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}$⁠ .

Поскольку единичный элемент ⁠ $e\in N$⁠ , ⁠ $a\in aN$⁠ . Определите бинарную операцию на множестве смежных классов, ⁠ $G\,/\,N$⁠ следующим образом. Для каждого $aN$ и $bN$ в ⁠ $G\,/\,N$⁠ , произведение $aN$ и ⁠ $bN$⁠ , ⁠ $(aN)(bN)$⁠ , это ⁠ $(ab)N$⁠ . Это работает только потому, что $(ab)N$ не зависит от выбора представителей, $a$ и ⁠ $b$⁠ каждого левого смежного класса, $aN$ и ⁠ $bN$⁠ . Чтобы доказать это, предположим $xN=aN$ и $yN=bN$ для некоторых ⁠ $x,y,a,b\in G$⁠ . Затем

${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N}$.

Это зависит от того, что ⁠ $N$⁠ — нормальная подгруппа. Осталось показать, что это условие не только достаточно, но и необходимо для определения операции над ⁠ $G\,/\,N$⁠ .

Чтобы показать, что это необходимо, рассмотрим, что для подгруппы $N$ из ⁠ $G$⁠ нам дано, что операция корректно определена. То есть для всех $xN=aN$ и ⁠ $yN=bN$⁠ для ⁠ $x,y,a,b\in G,\;(ab)N=(xy)N$⁠ .

Позволять $n\in N$ и ⁠ $g\in G$⁠ . Поскольку ⁠ $eN=nN$⁠ , у нас есть ⁠ $gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N$⁠ .

Сейчас, $gN=(ng)N\Leftrightarrow N=(g^{-1}ng)N\Leftrightarrow g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N$ и ⁠ $g\in G$⁠ .

Следовательно $N$ является нормальной подгруппой ⁠ $G$⁠ .

Также можно проверить, что эта операция на $G\,/\,N$ всегда ассоциативен, $G\,/\,N$ имеет идентификационный элемент ⁠ $N$⁠ и обратный элемент $aN$ всегда можно представить как ⁠ $a^{-1}N$⁠ . Следовательно, набор $G\,/\,N$ вместе с операцией, определенной $(aN)(bN)=(ab)N$ образует группу, факторгруппу $G$ автор ⁠ $N$⁠ .

Ввиду нормальности ⁠ $N$⁠ , левые и правые классы $N$ в $G$ одинаковы, и поэтому, $G\,/\,N$ можно было бы определить как набор правых смежных классов $N$ в ⁠ $G$⁠ .

Пример: Сложение по модулю 6.

Например, рассмотрим группу со сложением по модулю 6: ⁠ $G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}$⁠ . Рассмотрим подгруппу ⁠ $N=\left\{0,3\right\}$⁠ , что нормально, потому что $G$ является абелевым . Тогда набор (левых) смежных классов имеет размер три:

$G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}$.

Определенная выше бинарная операция превращает этот набор в группу, известную как факторгруппа, которая в данном случае изоморфна циклической группе порядка 3.

Мотивация названия «частное».

Причина $G\,/\,N$ называется факторгруппой, происходит от деления целых чисел . При делении 12 на 3 получается ответ 4, поскольку можно перегруппировать 12 объектов в 4 подколлекции по 3 объекта. Факторгруппа — та же идея, хотя в итоге мы получаем группу для окончательного ответа вместо числа, поскольку группы имеют большую структуру, чем произвольный набор объектов.

Чтобы уточнить, при взгляде на $G\,/\,N$ с $N$ нормальная подгруппа ⁠ $G$⁠ структура группы используется для формирования естественной «перегруппировки». Это смежные классы $N$ в ⁠ $G$⁠ . Поскольку мы начали с группы и нормальной подгруппы, итоговое частное содержит больше информации, чем просто количество смежных классов (что дает регулярное деление), но вместо этого имеет саму групповую структуру.

Примеры

Четные и нечетные целые числа

Рассмотрим группу целых чисел $\mathbb {Z}$ (в дополнении) и подгруппа $2\mathbb {Z}$ состоящее из всех четных целых чисел. Это нормальная подгруппа, потому что $\mathbb {Z}$ является абелевым . Есть только два смежных класса: набор четных целых чисел и набор нечетных целых чисел, и, следовательно, факторгруппа $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$ — циклическая группа из двух элементов. Эта факторгруппа изоморфна множеству $\left\{0,1\right\}$ со сложением по модулю 2; неофициально иногда говорят, что $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$ равно множеству $\left\{0,1\right\}$ со сложением по модулю 2.

Пример далее объяснен...

Позволять $\gamma (m)$ быть остатками $m\in \mathbb {Z}$ при делении на ⁠ $2$⁠ . Затем, $\gamma (m)=0$ когда $m$ четный и $\gamma (m)=1$ когда $m$ странно.

По определению ⁠ $\gamma$⁠ , ядро ​​⁠ $\gamma$⁠ , ⁠ $\ker(\gamma )=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}$⁠ — это набор всех четных целых чисел.

Пусть ⁠ $H=\ker(\gamma )$⁠ . Затем, $H$ является подгруппой, поскольку тождество в ⁠ $\mathbb {Z}$⁠ , то есть ⁠ $0$⁠ , находится в ⁠ $H$⁠ сумма двух четных целых чисел четна и, следовательно, если $m$ и $n$ находятся в ⁠ $H$⁠ , $m+n$ находится в $H$ (закрытие) и если $m$ даже, $-m$ тоже четно и так $H$ содержит свои обратные.

Определять $\mu :\mathbb {Z} /H\to \mathrm {Z} _{2}$ как $\mu (aH)=\gamma (a)$ для $a\in \mathbb {Z}$ и $\mathbb {Z} /H$ – факторгруппа левых смежных классов; ⁠ $\mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}$⁠ .

Обратите внимание, что мы определили ⁠ $\mu$⁠ , $\mu (aH)$ является $1$ если $a$ это странно и $0$ если $a$ четный.

Таким образом, $\mu$ является изоморфизмом из $\mathbb {Z} /H$ до ⁠ $\mathrm {Z} _{2}$⁠ .

Остатки целочисленного деления

Небольшое обобщение последнего примера. Еще раз рассмотрим группу целых чисел $\mathbb {Z}$ под дополнением. Пусть ⁠ $n$⁠ — любое положительное целое число. Мы рассмотрим подгруппу $n\mathbb {Z}$ из $\mathbb {Z}$ состоящий из всех кратных ⁠ $n$⁠ . Снова $n\mathbb {Z}$ это нормально в $\mathbb {Z}$ потому что $\mathbb {Z}$ является абелевым. Смежные классы — это коллекция ⁠ $\left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}$⁠ . Целое число $k$ принадлежит смежному классу ⁠ $r+n\mathbb {Z}$⁠ , где $r$ это остаток при делении $k$ автор ⁠ $n$⁠ . Частное $\mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z}$ можно рассматривать как группу «остатков» по ​​модулю ⁠ $n$⁠ . Это циклическая группа порядка ⁠ $n$⁠ .

Комплексные целые корни из 1

Классы корней четвертой степени из единицы N по корням двенадцатой степени из единицы G .

Корни двенадцатой степени из единицы , которые являются точками на комплексной единичной окружности , образуют мультипликативную абелеву группу ⁠ $G$⁠ , показанные на рисунке справа в виде цветных шариков с номером в каждой точке, обозначающим его комплексный аргумент. Рассмотрим его подгруппу $N$ состоят из четвертых корней из единицы, показанных в виде красных шариков. Эта нормальная подгруппа разбивает группу на три смежных класса, показанных красным, зеленым и синим цветом. Можно проверить, что смежные классы образуют группу из трех элементов (произведение красного элемента на синий — синий, инверсия синего элемента — зеленый и т. д.). Таким образом, факторгруппа $G\,/\,N$ — это группа трех цветов, которая оказывается циклической группой из трех элементов.

Действительные числа по модулю целых чисел

Рассмотрим группу действительных чисел $\mathbb {R}$ в дополнении и подгруппа $\mathbb {Z}$ целых чисел. Каждый смежный класс $\mathbb {Z}$ в $\mathbb {R}$ представляет собой множество вида ⁠ $a+\mathbb {Z}$⁠ , где $a$ это действительное число. С $a_{1}+\mathbb {Z}$ и $a_{2}+\mathbb {Z}$ являются идентичными множествами, когда части нецелые $a_{1}$ и $a_{2}$ равны, можно наложить ограничение $0\leq a<1$ без изменения смысла. Добавление таких смежных классов осуществляется путем сложения соответствующих действительных чисел и вычитания 1, если результат больше или равен 1. Факторгруппа $\mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z}$ изоморфна группе кругов , группе комплексных чисел с абсолютным значением 1 при умножении или, соответственно, группе вращений в 2D вокруг начала координат, то есть специальной ортогональной группе ⁠ $\mathrm {SO} (2)$⁠ . Изоморфизм задается формулой $f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)$ (см. тождество Эйлера ).

Матрицы действительных чисел

Если $G$ это группа обратимых $3\times 3$ действительные матрицы и $N$ является подгруппой $3\times 3$ действительные матрицы с определителем 1, тогда $N$ это нормально в $G$ (поскольку оно является ядром детерминантного гомоморфизма ). Классы $N$ являются множествами матриц с данным определителем и, следовательно, $G\,/\,N$ изоморфна мультипликативной группе ненулевых действительных чисел. Группа $N$ известна как специальная линейная группа ⁠ $\mathrm {SL} (3)$⁠ .

Целочисленная модульная арифметика

Рассмотрим абелеву группу $\mathrm {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z}$ (то есть набор $\left\{0,1,2,3\right\}$ со сложением по модулю 4) и ее подгруппа ⁠ $\left\{0,2\right\}$⁠ . Факторгруппа $\mathrm {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}$ это ⁠ $\left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}$⁠ . Это группа с единичным элементом ⁠ $\left\{0,2\right\}$⁠ и групповые операции, такие как ⁠ $\left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}$⁠ . Обе подгруппы $\left\{0,2\right\}$ и факторгруппа $\left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}$ изоморфны ⁠ $\mathrm {Z} _{2}$⁠ .

Целочисленное умножение

Рассмотрим мультипликативную группу ⁠ $G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }$⁠ . Набор $N$ из ⁠ $n$⁠ th остатков — мультипликативная подгруппа, изоморфная ⁠ $(\mathbb {Z} _{n})^{\times }$⁠ . Затем $N$ это нормально в $G$ и группа факторов $G\,/\,N$ имеет смежные классы ⁠ $N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N$⁠ . Криптосистема Пайе основана на гипотезе о том, что трудно определить класс случайного элемента $G$ не зная факторизации ⁠ $n$⁠ .

Характеристики

Факторгруппа $G\,/\,G$ изоморфна и ( тривиальной группе группе с одним элементом) $G\,/\,\left\{e\right\}$ изоморфен ⁠ $G$⁠ .

Порядок ​ ​ ⁠ $G\,/\,N$⁠ , по определению количество элементов, равно ⁠ $\vert G:N\vert$⁠ , индекс ​ $N$ в ⁠ $G$⁠ . Если $G$ конечен, индекс также равен порядку $G$ разделить на порядок ⁠ $N$⁠ . Набор $G\,/\,N$ может быть конечным, хотя оба $G$ и $N$ бесконечны (например, ⁠ $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$⁠ ).

Существует «естественный» гомоморфизм сюръективной группы ⁠ $\pi :G\rightarrow G\,/\,N$⁠ , отправка каждого элемента $g$ из $G$ к смежному классу $N$ к которому $g$ принадлежит, то есть: ⁠ $\pi (g)=gN$⁠ . Отображение $\pi$ иногда называют канонической проекцией $G$ на ⁠ $G\,/\,N$⁠ . Его ядро ​​⁠ ​ $N$⁠ .

Между подгруппами группы существует биективное соответствие. $G$ которые содержат $N$ и подгруппы ⁠ $G\,/\,N$⁠ ; если $H$ является подгруппой $G$ содержащий ⁠ $N$⁠ , то соответствующая подгруппа $G\,/\,N$ это ⁠ $\pi (H)$⁠ . Это соответствие справедливо для нормальных подгрупп группы $G$ и $G\,/\,N$ а также формализована в решеточной теореме .

Некоторые важные свойства факторгрупп записаны в фундаментальной теореме о гомоморфизмах и теоремах об изоморфизме .

Если $G$ абелева разрешима , нильпотентна , , ⁠ циклична или конечно порождена то и , $G\,/\,N$⁠ .

Если $H$ — подгруппа в конечной группе ⁠ $G$⁠ и порядок $H$ составляет половину порядка ⁠ $G$⁠ , тогда $H$ гарантированно будет нормальной подгруппой, поэтому $G\,/\,H$ существует и изоморфен ⁠ $\mathrm {C} _{2}$⁠ . Этот результат также можно сформулировать как «любая подгруппа индекса 2 нормальна», и в этой форме он применим и к бесконечным группам. Кроме того, если $p$ - наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы, ⁠ $G$⁠ , то если $G\,/\,H$ есть порядок ⁠ $p$⁠ , $H$ должна быть нормальной подгруппой ⁠ $G$⁠ .

Данный $G$ и нормальная подгруппа ⁠ $N$⁠ , тогда $G$ является групповым расширением $G\,/\,N$ автор ⁠ $N$⁠ . Можно задаться вопросом, является ли это расширение тривиальным или расщепленным; другими словами, можно было бы спросить, является ли $G$ является прямым или полупрямым продуктом $N$ и ⁠ $G\,/\,N$⁠ . Это частный случай проблемы расширения . Пример, когда расширение не разбивается, выглядит следующим образом: Пусть ⁠ $G=\mathrm {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}$⁠ и ⁠ $N=\left\{0,2\right\}$⁠ , который изоморфен ⁠ $\mathrm {Z} _{2}$⁠ . Затем $G\,/\,N$ также изоморфен ⁠ $\mathrm {Z} _{2}$⁠ . Но $\mathrm {Z} _{2}$ имеет только тривиальный автоморфизм , поэтому единственное полупрямое произведение $N$ и $G\,/\,N$ является прямым продуктом. С $\mathrm {Z} _{4}$ отличается от ⁠ $\mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}$⁠ , делаем вывод, что $G$ не является полупрямым продуктом $N$ и ⁠ $G\,/\,N$⁠ .

Частные групп Ли

Если $G$ является группой Ли и $N$ — нормальная и замкнутая (в топологическом, а не в алгебраическом смысле слова) подгруппа Ли группы ⁠ $G$⁠ , частное $G\,/\,N$ также является группой Ли. В этом случае исходная группа $G$ имеет структуру расслоения ( в частности, принципала ⁠ $N$⁠ -bundle ), с базовым пространством $G\,/\,N$ и волокно ⁠ $N$⁠ . Размерность $G\,/\,N$ равно ⁠ $\dim G-\dim N$⁠ .

Обратите внимание, что условие, $N$ закрыто необходимо. Действительно, если $N$ не замкнуто, то фактор-пространство не является T1-пространством (поскольку в фактор-пространстве существует смежный класс, который не может быть отделен от единицы открытым множеством) и, следовательно, не является хаусдорфовым пространством .

Для ненормальной подгруппы Ли ⁠ $N$⁠ , пространство $G\,/\,N$ левых смежных классов не является группой, а просто дифференцируемым многообразием , на котором $G$ действует. Результат известен как однородное пространство .

См. также

• Расширение группы
• Категория фактора
• Короткая точная последовательность

Ссылки

• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  978-0-471-43334-7
• Херштейн, Индиана (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  0-471-02371-Х