Движение снаряда

Параболические траектории водяных струй

Компоненты начальной скорости параболического метания

Баллистические траектории являются параболическими, если гравитация однородна, и эллиптическими, если она круглая.

Движение снаряда — это форма движения, испытываемая объектом или частицей ( снарядом ), который проецируется в гравитационном поле , например, с , Земли поверхности и движется по искривленному пути ( траектории ) только под действием силы тяжести . В частном случае движения снаряда по Земле большинство расчетов предполагают, что влияние сопротивления воздуха пассивно и незначительно.

Галилео Галилей показал, что траектория данного снаряда является параболической путь может быть и прямым , но в особом случае, когда предмет брошен прямо вверх или вниз, . Изучение таких движений называется баллистикой , а такая траектория — баллистической . Единственная сила математического значения, активно действующая на объект, — это гравитация, которая действует вниз, тем самым сообщая объекту ускорение Земли вниз по направлению к центру масс . объекта Из-за инерции не требуется никакой внешней силы для поддержания горизонтальной составляющей скорости движения объекта.

Учет других сил, таких как аэродинамическое сопротивление или внутренняя тяга (например, в ракете ), требует дополнительного анализа. Баллистическая ракета — это ракета, только управляемая в течение относительно короткого начального этапа полета с двигателем , оставшийся курс которой определяется законами классической механики .

Баллистика (от древнегреческого βάλλειν bállein «бросить») — наука о динамике , изучающая полет, поведение и воздействие снарядов, особенно пуль , неуправляемых бомб , ракет и т.п.; наука или искусство проектирования и ускорения снарядов для достижения желаемых характеристик.

Траектории снаряда с сопротивлением воздуха и переменной начальной скоростью

Элементарное уравнение баллистики игнорирует почти все факторы, за исключением начальной скорости и предполагаемого постоянного гравитационного ускорения. Практические решения задач баллистики часто требуют учета сопротивления воздуха, бокового ветра, движения цели, изменения ускорения силы тяжести, а в таких задачах, как запуск ракеты из одной точки Земли в другую, вращения Земли. Подробные математические решения практических задач обычно не имеют решений в замкнутой форме и поэтому требуют численных методов для решения.

Кинематические величины

При движении снаряда горизонтальное и вертикальное движение независимы друг от друга; то есть ни одно движение не влияет на другое. Это принцип сложного движения, установленный Галилеем в 1638 году. и использован им для доказательства параболической формы движения снаряда.

Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости снаряда независимы друг от друга.

Баллистическая траектория — это парабола с однородным ускорением, например, на космическом корабле с постоянным ускорением при отсутствии других сил. На Земле ускорение меняет величину с высотой и направление с широтой/долготой. Это приводит к эллиптической траектории, которая в небольшом масштабе очень близка к параболе. Однако если бы был брошен объект и Земля внезапно заменилась черной дырой равной массы, стало бы очевидно, что баллистическая траектория является частью эллиптической орбиты вокруг этой черной дыры, а не параболы, уходящей в бесконечность. На более высоких скоростях траектория также может быть круговой, параболической или гиперболической (если только она не искажается другими объектами, такими как Луна или Солнце). В этой статье предполагается однородное ускорение.

Ускорение

Поскольку ускорение имеет место только в вертикальном направлении, то скорость в горизонтальном направлении постоянна и равна $\mathbf {v} _{0}\cos \theta$. Вертикальное движение снаряда — это движение частицы при ее свободном падении. Здесь ускорение постоянно и равно g . Компонентами ускорения являются:

$a_{x}=0$,

$a_{y}=-g$.*

*Ускорение Y также можно назвать силой Земли, действующей на интересующий объект(ы).

Скорость

Пусть снаряд запущен с начальной скоростью $\mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}$, который можно выразить как сумму горизонтальной и вертикальной составляющих следующим образом:

$\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}$.

Компоненты $v_{0x}$ и $v_{0y}$ можно найти, если начальный угол запуска, $\theta$, известно:

$v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )$,

$v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )$

Горизонтальная составляющая скорости объекта остается неизменной на протяжении всего движения. Вертикальная составляющая скорости изменяется линейно: потому что ускорение свободного падения постоянно. Ускорения в направлениях x и y можно интегрировать для определения компонентов скорости в любой момент времени t следующим образом:

$v_{x}=v_{0}\cos(\theta )$,

$v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt$.

Величина скорости (по теореме Пифагора , также известной как закон треугольника):

$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$.

Смещение

Перемещение и координаты параболического метания

В любое время $t$ снаряда , горизонтальное и вертикальное смещение равно:

$x=v_{0}t\cos(\theta )$,

$y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}$.

Величина смещения равна:

$\Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

Рассмотрим уравнения

$x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}$.

Если исключить t между этими двумя уравнениями, получится следующее уравнение:

$y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=\tan \theta \cdot x\left(1-{\frac {x}{R}}\right).$

Здесь R — дальность полета снаряда .

Поскольку g , θ и v ₀ являются постоянными, приведенное выше уравнение имеет вид

$y=ax+bx^{2}$,

в котором a и b — константы. Это уравнение параболы, поэтому путь параболический. Ось параболы вертикальна.

Если положение снаряда (x,y) и угол запуска (θ или α) известны, начальную скорость можно найти, решая v ₀ в вышеупомянутом параболическом уравнении:

$v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}$.

Смещение в полярных координатах

Параболическая траектория снаряда также может быть выражена в полярных координатах вместо декартовых координат. В этом случае позиция имеет общую формулу

$r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)$.

В этом уравнении начало координат — это середина горизонтальной дальности полета снаряда, а если земля плоская, параболическая дуга строится в диапазоне $0\leq \phi \leq \pi$. Это выражение можно получить путем преобразования декартова уравнения, как указано выше, с помощью $y=r\sin \phi$ и $x=r\cos \phi$.

Свойства траектории

Время полета или общее время всего путешествия

Общее время t, в течение которого снаряд находится в воздухе, называется временем полета.

$y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

После полета снаряд возвращается на горизонтальную ось (ось X), поэтому $y=0$.

$0=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

$v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}$

$v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt$

$t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}$

Обратите внимание, что мы пренебрегли сопротивлением воздуха на снаряде.

Если стартовая точка находится на высоте y ₀ относительно точки удара, время полета составит:

$t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}$

Как и выше, это выражение можно свести к

$t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{|g|}}={\frac {v\sin {\theta }+v\sin {\theta }}{|g|}}={\frac {2v\sin {\theta }}{|g|}}={\frac {2v\sin {(45)}}{|g|}}={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{|g|}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{|g|}}$

если θ равен 45°, а y ₀ равен 0.

Время полета до позиции цели

Как показано выше в разделе «Смещение» , горизонтальная и вертикальная скорость снаряда не зависят друг от друга.

Благодаря этому мы можем найти время достижения цели, используя формулу перемещения для горизонтальной скорости:

$x=v_{0}t\cos(\theta )$

${\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )$

$t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta )}}$

Это уравнение даст общее время t, за которое снаряд должен пролететь, чтобы достичь горизонтального смещения цели, пренебрегая сопротивлением воздуха.

Максимальная высота снаряда

Максимальная высота снаряда

Наибольшая высота, которой достигнет объект, называется пиком движения объекта. Увеличение высоты будет продолжаться до тех пор, пока $v_{y}=0$, то есть,

$0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}$.

Время достижения максимальной высоты (ч):

${\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

Для вертикального смещения максимальной высоты снаряда:

$h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}$

$h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2|g|}}$

Максимально достижимая высота получается при θ =90°:

$h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2|g|}}$

Если положение снаряда (x,y) и угол запуска (θ) известны, максимальную высоту можно найти, решив h в следующем уравнении:

$h={\frac {(x\tan \theta )^{2}}{4(x\tan \theta -y)}}.$

Угол подъема (φ) на максимальной высоте определяется по формуле:

$\phi =\arctan {\tan \theta \over 2}$

Связь между горизонтальным диапазоном и максимальной высотой

Связь между дальностью d в горизонтальной плоскости и максимальной высотой h, достигнутой при ${\frac {t_{d}}{2}}$ является:

$h={\frac {d\tan \theta }{4}}$

показывать Доказательство
$h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2|g|}}$ $d={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{|g|}}$ ${\frac {h}{d}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2|g|}}$ × ${\frac {g}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}$ ${\frac {h}{d}}={\frac {\sin ^{2}\theta }{4\sin \theta \cos \theta }}$ $h={\frac {d\tan \theta }{4}}$. If $h=R$ $\theta =\arctan(4)\approx 76.0^{\circ }$

Максимальная дальность полета снаряда

Основная статья: Дальность полета снаряда

Максимальная дальность полета снаряда

Дальность и максимальная высота снаряда не зависят от его массы. Следовательно, дальность и максимальная высота равны для всех тел, брошенных с одинаковой скоростью и направлением. Горизонтальная дальность d — это горизонтальное расстояние, которое он прошел, когда вернулся на первоначальную высоту ( снаряда $y=0$).

$0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}$.

Время достижения земли:

$t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}$.

Из горизонтального смещения максимальная дальность полета снаряда:

$d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )$,

так

$d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta )$.

Обратите внимание, что d имеет максимальное значение, когда

$\sin 2\theta =1$,

что обязательно соответствует

$2\theta =90^{\circ }$,

или

$\theta =45^{\circ }$.

Траектории снарядов, выпущенных под разными углами возвышения, но с одинаковой скоростью 10 м/с в вакууме и однородном нисходящем гравитационном поле 10 м/с. ² . Точки располагаются с интервалом 0,05 с, а длина их хвостов линейно пропорциональна их скорости. t = время с момента запуска, T = время полета, R = дальность и H = высшая точка траектории (указана стрелками).

Общее пройденное горизонтальное расстояние (d) .

$d={\frac {v\cos \theta }{|g|}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)$

Когда поверхность плоская (начальная высота объекта равна нулю), пройденное расстояние:

$d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{|g|}}$

Таким образом, максимальное расстояние получается, если θ составляет 45 градусов. Это расстояние:

$d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{|g|}}$

Применение теоремы о работе энергии

Согласно теореме о работе-энергии, вертикальная составляющая скорости равна:

$v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy$.

Эти формулы игнорируют аэродинамическое сопротивление, а также предполагают, что площадка приземления находится на одинаковой высоте 0.

Угол досягаемости

«Угол досягаемости» — это угол ( θ ), под которым должен быть запущен снаряд, чтобы пройти расстояние d при заданной начальной скорости v .

$\sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}$

Есть два решения:

$\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)$ (пологая траектория)

и потому что $\sin(2\theta )=\cos(2\theta -90^{\circ })$,

$\theta =45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)$ (крутая траектория)

Угол θ, необходимый для попадания в координату ( x , y )

Вакуумная траектория снаряда при разных углах пуска. Скорость запуска одинакова для всех углов, 50 м/с, если «g» равно 10 м/с. ² .

Для поражения цели на дальности x и высоте y при стрельбе из (0,0) и с начальной скоростью v необходимые углы запуска θ составляют:

$\theta =\arctan {\left({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2})}}}{gx}}\right)}$

Два корня уравнения соответствуют двум возможным углам запуска, если они не являются мнимыми, и в этом случае начальная скорость недостаточно велика, чтобы достичь выбранной точки ( x , y ). Эта формула позволяет найти необходимый угол запуска без ограничения $y=0$.

Можно также спросить, какой угол запуска обеспечивает минимально возможную скорость запуска. Это происходит, когда два приведенных выше решения равны, а это означает, что величина под знаком квадратного корня равна нулю. Для этого необходимо решить квадратное уравнение относительно $v^{2}$, и мы находим

$v^{2}/g=y+{\sqrt {y^{2}+x^{2}}}.$

Это дает

$\theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).$

Если мы обозначим угол, тангенс которого равен y/x, через α , то

$\tan \theta ={\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha }}$

$\tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha +1}}$

$\cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)$

$2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )$

Это подразумевает

$\theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha ).$

Другими словами, пуск должен происходить под углом посередине между целью и Зенитом (вектор, противоположный Гравитации).

Общая длина траектории

Длина параболической дуги, описываемой снарядом L при одинаковой высоте старта и приземления и отсутствии сопротивления воздуха, определяется по формуле:

$L={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right)={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)$

где $v_{0}$ - начальная скорость, $\theta$ угол запуска и $g$ - ускорение свободного падения как положительная величина. Выражение можно получить путем вычисления интеграла длины дуги для параболы высота-расстояние между границами начального и конечного смещения (т.е. между 0 и горизонтальной дальностью полета снаряда), так что:

$L=\int _{0}^{\mathrm {range} }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{v_{0}^{2}\sin(2\theta )/g}{\sqrt {1+\left(\tan \theta -{g \over {v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x.$

Если время полета равно t ,

$L=\int _{0}^{t}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2v_{0}\sin \theta /g}{\sqrt {(gt)^{2}-2gv_{0}\sin \theta t+v_{0}^{2}}}\,\mathrm {d} t.$

Траектория полета снаряда при сопротивлении воздуха

Траектории массы, брошенной под углом 70°:
  без сопротивления
  с сопротивлением Стокса
  с ньютоновским сопротивлением

Сопротивление воздуха создает силу, которая (для симметричных снарядов) всегда направлена ​​против направления движения в окружающей среде и имеет величину, зависящую от абсолютной скорости: $\mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}}$. Зависимость силы трения от скорости линейная ( $f(v)\propto v$) на очень малых скоростях ( сопротивление Стокса ) и квадратичных ( $f(v)\propto v^{2}$) на больших скоростях ( сопротивление Ньютона ). Переход между этими поведениями определяется числом Рейнольдса , которое зависит от скорости, размера объекта и кинематической вязкости среды. Для чисел Рейнольдса ниже примерно 1000 зависимость линейная, выше становится квадратичной. В воздухе, который имеет кинематическую вязкость около $0.15\,\mathrm {cm^{2}/s}$, это означает, что сила сопротивления становится квадратичной по v , когда произведение скорости и диаметра превышает примерно $0.015\,\mathrm {m^{2}/s}$, что обычно имеет место для снарядов.

• Стокса тянет: $\mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad$ (для $Re\lesssim 1000$)
• Ньютоновое сопротивление: $\mathbf {F_{air}} =-k\,|\mathbf {v} |\cdot \mathbf {v} \qquad$ (для $Re\gtrsim 1000$)

Схема свободного тела тела, на которое действуют только сила тяжести и сопротивление воздуха.

Диаграмма свободного тела справа предназначена для снаряда, испытывающего сопротивление воздуха и силу тяжести. Здесь предполагается, что сопротивление воздуха направлено в сторону, противоположную скорости снаряда: $\mathbf {F_{\mathrm {air} }} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}}$

Траектория снаряда с сопротивлением Стокса

Стокса перетаскивают, где $\mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v}$, применяется только при очень низкой скорости в воздухе и, следовательно, не является типичным случаем для снарядов. Однако линейная зависимость $F_{\mathrm {air} }$ на $v$ вызывает очень простое дифференциальное уравнение движения

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}$

в котором два декартовых компонента становятся полностью независимыми и, следовательно, их легче решить. Здесь, $v_{0}$, $v_{x}$ и $v_{y}$ будет использоваться для обозначения начальной скорости, скорости в направлении x и скорости в направлении y соответственно. Массу снаряда обозначим m , а $\mu :=k/m$. Для вывода только случай, когда $0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}$ считается. И снова снаряд запускается из начала координат (0,0).

показывать Вывод горизонтального положения

The relationships that represent the motion of the particle are derived by Newton's Second Law, both in the x and y directions. In the x direction $\Sigma F=-kv_{x}=ma_{x}$ and in the y direction $\Sigma F=-kv_{y}-mg=ma_{y}$. This implies that: $a_{x}=-\mu v_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}$ (1), and $a_{y}=-\mu v_{y}-g={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}$ (2) Solving (1) is an elementary differential equation, thus the steps leading to a unique solution for vx and, subsequently, x will not be enumerated. Given the initial conditions $v_{x}=v_{x0}$ (where vx0 is understood to be the x component of the initial velocity) and $x=0$ for $t=0$: $v_{x}=v_{x0}e^{-\mu t}$ (1a)

$x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)$ (1б)

показывать Вывод вертикального положения

While (1) is solved much in the same way, (2) is of distinct interest because of its non-homogeneous nature. Hence, we will be extensively solving (2). Note that in this case the initial conditions are used $v_{y}=v_{y0}$ and $y=0$ when $t=0$. ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{y}-g$ (2) ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y}=-g$ (2a) This first order, linear, non-homogeneous differential equation may be solved a number of ways; however, in this instance, it will be quicker to approach the solution via an integrating factor $e^{\int \mu \,\mathrm {d} t}$. $e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)$ (2c) $(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }=e^{\mu t}(-g)$ (2d) $\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ (2e) $e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C$(2f) $v_{y}={\frac {-g}{\mu }}+Ce^{-\mu t}$ (2g) And by integration we find: $y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C$ (3) Solving for our initial conditions: $v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}$ (2h) $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ (3a) With a bit of algebra to simplify (3a):

$y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)$ (3б)

показывать Вывод времени полета

The total time of the journey in the presence of air resistance (more specifically, when $F_{air}=-kv$) can be calculated by the same strategy as above, namely, we solve the equation $y(t)=0$. While in the case of zero air resistance this equation can be solved elementarily, here we shall need the Lambert W function. The equation $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ is of the form $c_{1}t+c_{2}+c_{3}e^{c_{4}t}=0$, and such an equation can be transformed into an equation solvable by the $W$ function (see an example of such a transformation here). Some algebra shows that the total time of flight, in closed form, is given as

$t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)$.

Траектория снаряда с сопротивлением Ньютона

Траектории парашютиста в воздухе с сопротивлением Ньютона

Наиболее типичным случаем сопротивления воздуха для случая чисел Рейнольдса выше примерно 1000 является сопротивление Ньютона с силой сопротивления, пропорциональной квадрату скорости: $F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}$. В воздухе, который имеет кинематическую вязкость около $0.15\,\mathrm {cm^{2}/s}$, это означает, что произведение скорости и диаметра должно быть больше, чем примерно $0.015\,\mathrm {m^{2}/s}$.

К сожалению, в этом случае уравнения движения не могут быть легко решены аналитически. Поэтому будет рассмотрено численное решение.

Сделаны следующие предположения:

• Постоянное гравитационное ускорение
• Сопротивление воздуха определяется следующей формулой сопротивления :

$\mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v}$

Где:

• F _D — сила сопротивления
• c - коэффициент лобового сопротивления
• ρ — плотность воздуха
• А - площадь поперечного сечения снаряда.
• µ = k / m = cρA /(2 м )

Особые случаи

Хотя общий случай снаряда с сопротивлением Ньютона не может быть решен аналитически, некоторые частные случаи могут быть решены. Здесь мы обозначим конечную скорость в свободном падении как $v_{\infty }={\sqrt {g/\mu }}$ и характеристическая постоянная времени стабилизации $t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}$.

• Почти горизонтальное движение: если движение почти горизонтальное, $|v_{x}|\gg |v_{y}|$, например, у летящей пули, вертикальная составляющая скорости очень мало влияет на горизонтальное движение. В этом случае:

${\dot {v}}_{x}(t)=-\mu \,v_{x}^{2}(t)$

$v_{x}(t)={\frac {1}{1/v_{x,0}+\mu \,t}}$

$x(t)={\frac {1}{\mu }}\ln(1+\mu \,v_{x,0}\cdot t)$

Та же закономерность применима и к движению с трением по прямой в любом направлении, когда сила тяжести пренебрежимо мала. Это также применимо, когда вертикальное движение предотвращено, например, для движущегося автомобиля с выключенным двигателем.

• Вертикальное движение вверх:

${\dot {v}}_{y}(t)=-g-\mu \,v_{y}^{2}(t)$

$v_{y}(t)=v_{\infty }\tan {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}$

$y(t)=y_{\mathrm {peak} }+{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}\right)$

Здесь

$v_{\infty }\equiv {\sqrt {\frac {g}{\mu }}},$

$t_{f}\equiv {\frac {1}{\sqrt {\mu g}}},$

$t_{\mathrm {peak} }\equiv t_{f}\arctan {\frac {v_{y,0}}{v_{\infty }}}={\frac {1}{\sqrt {\mu g}}}\arctan {\left({\sqrt {\frac {\mu }{g}}}v_{y,0}\right)},$

и

$y_{\mathrm {peak} }\equiv -{\frac {1}{\mu }}\ln {\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}={\frac {1}{2\mu }}\ln {\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y,0}^{2}\right)}$

где $v_{y,0}$ - начальная скорость вверх при $t=0$ и исходное положение $y(0)=0$.

Снаряд не может подниматься дольше, чем $t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}$ в вертикальном направлении, прежде чем достигнет пика.

• Вертикальное движение вниз:

${\dot {v}}_{y}(t)=-g+\mu \,v_{y}^{2}(t)$

$v_{y}(t)=-v_{\infty }\tanh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}$

$y(t)=y_{\mathrm {peak} }-{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cosh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}\right)$

Через некоторое время $t_{f}$, снаряд достигает почти предельной скорости $-v_{\infty }$.

Численное решение

Движение снаряда с сопротивлением может быть вычислено в общих чертах путем численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения , например, путем применения сокращения к системе первого порядка . Уравнение, которое необходимо решить, имеет вид

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}$.

Этот подход также позволяет добавлять эффекты зависящего от скорости коэффициента сопротивления, зависящей от высоты плотности воздуха и зависящего от положения гравитационного поля.

Лофт-траектория

Поднятые траектории северокорейских ракет «Хвасон-14» и «Хвасон-15»

Частным случаем баллистической траектории ракеты является поднятая траектория - траектория с апогеем, большим , чем траектория с минимальной энергией на ту же дальность. Другими словами, ракета летит выше и при этом использует больше энергии, чтобы добраться до той же точки приземления. Это может быть сделано по разным причинам, например, для увеличения расстояния до горизонта для увеличения дальности обзора/связи или для изменения угла падения ракеты при приземлении. Лофт-траектории иногда используются как в ракетной технике, так и в космических полетах .

Движение снаряда в планетарном масштабе

Траектория снаряда вокруг планеты в сравнении с движением в однородном поле

Когда снаряд без сопротивления воздуха преодолевает расстояние, значительное по сравнению с радиусом Земли (более ≈100 км), кривизну Земли и неоднородную гравитацию Земли необходимо учитывать . Так обстоит дело, например, с космическими кораблями или межконтинентальными снарядами. Затем траектория обобщается от параболы до эллипса Кеплера с одним фокусом в центре Земли. Тогда движение снаряда следует законам движения планет Кеплера .

Параметры траекторий необходимо адаптировать из указанных выше значений однородного гравитационного поля. Радиус Земли принимается за R , а g за стандартную поверхностную гравитацию. Позволять ${\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}$ скорость запуска относительно первой космической скорости.

Общий диапазон d между запуском и ударом:

$d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}{\Big /}{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}$

Максимальная дальность полета снаряда при оптимальном угле пуска ( $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$):

$d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)$ с $v<{\sqrt {Rg}}$, первая космическая скорость

Максимальная высота снаряда над поверхностью планеты:

$h={\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{g}}{\Big /}\left(1-{\tilde {v}}^{2}+{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)$

Максимальная высота снаряда при вертикальном пуске ( $\theta =90^{\circ }$):

$h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)$ с $v<{\sqrt {2Rg}}$, вторая космическая скорость

Время полета:

$t={\frac {2v\sin \theta }{g}}\cdot {\frac {1}{2-{\tilde {v}}^{2}}}\left(1+{\frac {1}{{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }}\arcsin {\frac {{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}\right)$

См. также

• Уравнения движения
• Пугоид