Закон Стокса

В гидродинамике , закон Стокса — это эмпирический закон силы трения, также называемой силой сопротивления действующей на сферические объекты с очень малыми числами Рейнольдса в вязкой жидкости . ^{[ 1 ]} Он был получен Джорджем Габриэлем Стоксом в 1851 году путем решения предела потока Стокса для малых чисел Рейнольдса уравнений Навье – Стокса . ^{[ 2 ]}

Заявление о законе

Сила вязкости, действующая на небольшую сферу, движущуюся через вязкую жидкость, определяется выражением: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

F_{\rm {d}}=6\pi \mu Rv

где (в единицах СИ ):

$F d$ — сила трения, известная как сопротивление Стокса , действующая на границу раздела между жидкостью и частицей ( ньютоны , кг мс). ⁻²);
$μ$ (некоторые авторы используют обозначение $η$ ) — динамическая вязкость ( Паскаль -секунды, кг·м ⁻¹ с ⁻¹);
$R$ – радиус сферического объекта (метры);
⁠ $v$ ⁠ — скорость потока относительно объекта (метры в секунду).

Закон Стокса делает следующие предположения о поведении частицы в жидкости:

Ламинарный поток
Отсутствие инерционных эффектов (нулевое число Рейнольдса )
Сферические частицы
Однородный (однородный по составу) материал
Гладкие поверхности
Частицы не мешают друг другу.

В зависимости от желаемой точности невыполнение этих предположений может потребовать или не потребовать использования более сложной модели. Например, при ошибке 10% скорости необходимо ограничить до значений Re < 1.

Для молекул закон Стокса используется для определения их радиуса и диаметра Стокса .

В честь его работы единица СГС кинематической вязкости была названа «стокс».

Приложения

Закон Стокса лежит в основе вискозиметра с падающей сферой , в котором жидкость неподвижна в вертикальной стеклянной трубке. Сфере известного размера и плотности позволяют опуститься через жидкость. При правильном выборе он достигает конечной скорости, которую можно измерить по времени, необходимому для прохождения двух отметок на трубке. Электронное зондирование можно использовать для непрозрачных жидкостей. Зная конечную скорость, размер и плотность сферы, а также плотность жидкости, закон Стокса можно использовать для расчета вязкости жидкости . В классическом эксперименте для повышения точности расчета обычно используется серия стальных шарикоподшипников разного диаметра. В школьном эксперименте в качестве жидкости используется глицерин или золотой сироп , а этот метод применяется в промышленности для проверки вязкости жидкостей, используемых в технологических процессах. Некоторые школьные эксперименты часто включают изменение температуры и/или концентрации используемых веществ, чтобы продемонстрировать влияние этого на вязкость. Промышленные методы включают в себя множество различных масла и полимерные жидкости, такие как растворы.

Важность закона Стокса иллюстрируется тем фактом, что он сыграл решающую роль в исследованиях, приведших как минимум к трем Нобелевским премиям. ^{[ 5 ]}

Закон Стокса важен для понимания плавания микроорганизмов и сперматозоидов ; также осаждение мелких частиц и организмов в воде под действием силы тяжести. ^{[ 5 ]}

В воздухе ту же теорию можно использовать, чтобы объяснить, почему маленькие капли воды (или кристаллы льда) могут оставаться во взвешенном состоянии в воздухе (в виде облаков), пока не вырастут до критического размера и не начнут падать в виде дождя (или снега и града). ^{[ 6 ]} Аналогичное использование уравнения можно использовать при осаждении мелких частиц в воде или других жидкостях. ^{[ нужна ссылка ]}

Конечная скорость сферы, падающей в жидкость

При конечной скорости (или скорости стабилизации) избыточная сила $F e,$ возникающая из-за разницы между весом и плавучестью сферы (оба вызваны силой тяжести ^{[ 7 ]}) дается:

F_{e}=(\rho _{p}-\rho _{f})\,g\,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3},

где (в единицах СИ ):

$ρ p$ — плотность массы сферы [кг/м ³]
$ρ f$ — массовая плотность жидкости [кг/м ³]
$g$ — ускорение свободного падения [м/с ²]

Требование баланса сил $F d = F e$ и определение скорости $v$ дает конечную скорость $v s$ . Обратите внимание, что, поскольку избыточная сила увеличивается с ростом $R 3$ и сопротивление Стокса увеличивается как $R$ , конечная скорость увеличивается как $R 2$ и, таким образом, сильно зависит от размера частиц, как показано ниже. Если при падении в вязкой жидкости частица испытывает только собственный вес, то конечная скорость достигается, когда сумма сил трения и плавучести, действующих на частицу из-за жидкости, точно уравновешивает гравитационную силу . Эта скорость $v$ [м/с] определяется выражением: ^{[ 7 ]}

v={\frac {2}{9}}{\frac {\rho _{p}-\rho _{f}}{\mu }}g\,R^{2}\quad {\begin{cases}\rho _{p}>\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ vertically downwards}}\\\rho _{p}<\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ vertically upwards}}\end{cases}}

где (в единицах СИ):

$g$ — напряженность гравитационного поля [м/с ²]
$R$ — радиус сферической частицы [м]
$ρ p$ — массовая плотность частицы [кг/м ³]
$ρ f$ — массовая плотность жидкости [кг/м ³]
$μ$ — динамическая вязкость [кг/(м•с)].

Вывод

Устойчивый стоксов поток

В потоке Стокса при очень малом числе Рейнольдса члены конвективного ускорения в уравнениях Навье – Стокса пренебрегаются. Тогда уравнения течения для несжимаемого установившегося потока примут вид : ^{[ 8 ]}

{\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}

где:

$p$ — давление жидкости (в Па),
$u$ - скорость потока (в м/с), а
$ω$ – завихренность (в с ⁻¹), определяемый как ${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} .$

Используя некоторые тождества векторного исчисления , можно показать, что эти уравнения приводят к уравнениям Лапласа для давления и каждого из компонентов вектора завихренности: ^{[ 8 ]}

\nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0

и

\nabla ^{2}p=0.

Дополнительные силы, такие как сила тяжести и плавучесть, не были приняты во внимание, но их можно легко добавить, поскольку приведенные выше уравнения являются линейными, поэтому линейную суперпозицию можно применить решений и связанных с ними сил.

Поперечное обтекание сферы

Для случая сферы в однородном потоке в дальней зоне выгодно использовать цилиндрическую систему координат $(r, φ, z)$ . Ось $z$ проходит через центр сферы и совпадает со средним направлением потока, а $r$ представляет собой радиус, измеренный перпендикулярно оси $z$ . Начало координат находится в центре сферы. Поскольку поток осесимметричен вокруг $оси z$ , он не зависит от азимута $φ$ .

В этой цилиндрической системе координат несжимаемый поток можно описать функцией тока Стокса $ψ$ , зависящей от $r$ и $z$ : ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

u_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\qquad u_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},

где $u r$ и $u z$ — компоненты скорости потока в $направлении r$ и $z$ соответственно. Азимутальная составляющая скорости в $φ$ -направлении в этом осесимметричном случае равна нулю. Объемный поток через трубку, ограниченную поверхностью некоторой постоянной величины $ψ$ , равен $2 πψ$ и является постоянным. ^{[ 9 ]}

Для этого случая осесимметричного течения единственной ненулевой компонентой вектора завихренности $ω$ является азимутальная $φ$ –компонента $ω φ$ ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

\omega _{\varphi }={\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.

Оператор Лапласа , примененный к завихренности $ω φ$ , в этой цилиндрической системе координат с осесимметрией принимает вид: ^{[ 12 ]}

\nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.

Из двух предыдущих уравнений и с соответствующими граничными условиями для скорости однородного потока $u$ в дальней зоне в $направлении z$ и сферы радиуса $R$ находится решение: ^{[ 13 ]}

\psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].

Решение скорости в цилиндрических координатах и компонентах выглядит следующим образом:

{\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3Rrzu}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left(\left({\frac {R}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\right)\\[4pt]u_{z}(r,z)&=u+{\frac {3Ru}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left({\frac {2R^{2}+3r^{2}}{3(r^{2}+z^{2})}}-\left({\frac {rR}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-2\right)\end{aligned}}

Стокс-Обтекание сферы с параметрами скорости в дальнем поле $\mathbf {u} _{\infty }={\begin{pmatrix}6&0&6\end{pmatrix}}^{T}{\text{m/s}}$ , радиус сферы $R=1\;{\text{m}}$ , вязкость воды (Т = 20°С) $\mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}$ . Показаны силовые линии поля скорости и амплитуды скорости, давления и завихренности с псевдоцветами.

Решение завихренности в цилиндрических координатах выглядит следующим образом:

\omega _{\varphi }(r,z)=-{\frac {3Ru}{2}}\cdot {\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}

Решение давления в цилиндрических координатах имеет вид:

p(r,z)=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}

Решение давления в сферических координатах выглядит следующим образом:

p(r,\theta )=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}

Формулу давления также называют дипольным потенциалом, аналогично понятию в электростатике.

Более общая формулировка с произвольным вектором скорости в дальней зоне $\mathbf {u} _{\infty }$ , в декартовых координатах $\mathbf {x} =(x,y,z)^{T}$ следует с: ${\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{conservative: curl=0,}}\ \nabla ^{2}\mathbf {u} =0}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{far-field}}} _{\text{Terms of Boundary-Condition}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{non-conservative: curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),\ \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla p}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbf {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}$

{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )=-{\frac {3R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}

p\left(\mathbf {x} \right)=-{\frac {3\mu R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}

В этой формулировке неконсервативный член представляет собой своего рода так называемый Стокслет . Стокслет — это функция Грина уравнений потока Стокса. Консервативный член равен полю дипольного градиента . Формула завихренности аналогична закону Био–Савара в электромагнетизме .

Альтернативно, более компактно, можно сформулировать поле скорости следующим образом:

\mathbf {u} (\mathbf {x} )=\left[\mathbf {I} +\mathrm {H} \left({\frac {R^{3}}{4}}{\frac {1}{\|\mathbf {x} \|}}\right)-\mathrm {S} \left({\frac {3R}{4}}\|\mathbf {x} \|\right)\right]\cdot \mathbf {u} _{\infty },\quad \|\mathbf {x} \|\geq R

,

где $\mathrm {H} =\nabla \otimes \nabla$ – матричный дифференциальный оператор Гессе и $\mathrm {S} =\mathbf {I} \nabla ^{2}-\mathrm {H}$ — дифференциальный оператор, состоящий из разности лапласиана и гессиана. Таким образом, становится явно ясно, что решение состоит из производных потенциала кулоновского типа ( $1/\|\mathbf {x} \|$ ) и потенциал бигармонического типа ( $\|\mathbf {x} \|$ ). Дифференциальный оператор $\mathrm {S}$ применяется к векторной норме $\|\mathbf {x} \|$ генерирует Стокслета.

Следующая формула описывает тензор вязких напряжений для частного случая стоксова течения. Он нужен при расчете силы, действующей на частицу. В декартовых координатах вектор-градиент $\nabla \mathbf {u}$ идентична матрице Якобиана . Матрица $I$ представляет собой единичную матрицу .

{\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)

рассчитывают с помощью поверхностного интеграла, где $er Силу, действующую на сферу ,$ представляет собой радиальный единичный вектор сферических координат :

{\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}

Вращательное обтекание сферы

Стокса-обтекание сферы: ${\boldsymbol {\omega }}_{R}={\begin{pmatrix}0&0&2\end{pmatrix}}^{T}\;{\text{Hz}}$ , $\mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}$ , $R=1\;{\text{m}}$

{\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}

Другие типы стоксова течения

Хотя жидкость статична и сфера движется с определенной скоростью, относительно рамки сферы сфера покоится, и жидкость течет в направлении, противоположном движению сферы.

См. также

Соотношение Эйнштейна (кинетическая теория)
Научные законы, названные в честь людей
Уравнение перетаскивания
Вискозиметрия
Эквивалентный сферический диаметр
Отложение (геология)
Число Стокса - определяющий фактор дополнительного влияния турбулентности на конечную скорость падения частиц в жидкостях. ^{[ 14 ]}

Источники

Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66396-2 .
Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45868-9 . Первоначально опубликованное в 1879 году, шестое расширенное издание появилось впервые в 1932 году.

Ссылки

^ Стоукс, Г.Г. (1856). «О влиянии внутреннего трения жидкостей на движение маятников» . Труды Кембриджского философского общества . 9, часть II: 8–106. Бибкод : 1851TCaPS...9....8S . Формула для конечной скорости ( V ) приведена на стр. [52], уравнение (127).
^ Бэтчелор (1967), с. 233.
^ Лейдлер, Кейт Дж .; Мейзер, Джон Х. (1982). Физическая химия . Бенджамин/Каммингс. п. 833. ИСБН 0-8053-5682-7 .
^ Роберт Байрон, Берд; Уоррен Э., Стюарт; Эдвин Н., Лайтфут (7 августа 2001 г.). Транспортные явления (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 61. ИСБН 0-471-41077-2 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дюзенбери, Дэвид (2009). Жизнь на микроуровне: неожиданная физика маленького размера . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-03116-6 . OCLC 225874255 .
^ Хэдли, Питер. «Почему облака не падают?» . Институт физики твердого тела, ТУ Грац . Архивировано из оригинала 12 июня 2017 года . Проверено 30 мая 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Лэмб (1994), §337, с. 599.
^ Перейти обратно: ^а ^б Бэтчелор (1967), раздел 4.9, с. 229.
^ Перейти обратно: ^а ^б Бэтчелор (1967), раздел 2.2, с. 78.
^ Лэмб (1994), §94, с. 126.
^ Бэтчелор (1967), раздел 4.9, с. 230
^ Перейти обратно: ^а ^б Бэтчелор (1967), приложение 2, с. 602.
^ Лэмб (1994), §337, с. 598.
^ Дей, С; Али, СЗ; Падхи, Э (2019). «Конечная скорость падения: наследие Стокса с точки зрения речной гидравлики» . Труды Королевского общества А. 475 (2228). дои : 10.1098/rspa.2019.0277 . ПМК 6735480 . 20190277.

[1] Стоукс, Г.Г. (1856). «О влиянии внутреннего трения жидкостей на движение маятников» . Труды Кембриджского философского общества . 9, часть II: 8–106. Бибкод : 1851TCaPS...9....8S . Формула для конечной скорости ( V ) приведена на стр. [52], уравнение (127).

[Batch233-2] Бэтчелор (1967), с. 233.

[3] Лейдлер, Кейт Дж .; Мейзер, Джон Х. (1982). Физическая химия . Бенджамин/Каммингс. п. 833. ИСБН 0-8053-5682-7 .

[4] Роберт Байрон, Берд; Уоррен Э., Стюарт; Эдвин Н., Лайтфут (7 августа 2001 г.). Транспортные явления (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 61. ИСБН 0-471-41077-2 .

[Dusenbery2009-5] Перейти обратно: ^а ^б Дюзенбери, Дэвид (2009). Жизнь на микроуровне: неожиданная физика маленького размера . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-03116-6 . OCLC 225874255 .

[6] Хэдли, Питер. «Почему облака не падают?» . Институт физики твердого тела, ТУ Грац . Архивировано из оригинала 12 июня 2017 года . Проверено 30 мая 2015 г.

[Lamb599-7] Перейти обратно: ^а ^б Лэмб (1994), §337, с. 599.

[Batch229-8] Перейти обратно: ^а ^б Бэтчелор (1967), раздел 4.9, с. 229.

[Batch78-9] Перейти обратно: ^а ^б Бэтчелор (1967), раздел 2.2, с. 78.

[10] Лэмб (1994), §94, с. 126.

[Batch230-11] Бэтчелор (1967), раздел 4.9, с. 230

[Batch602-12] Перейти обратно: ^а ^б Бэтчелор (1967), приложение 2, с. 602.

[13] Лэмб (1994), §337, с. 598.

[14] Дей, С; Али, СЗ; Падхи, Э (2019). «Конечная скорость падения: наследие Стокса с точки зрения речной гидравлики» . Труды Королевского общества А. 475 (2228). дои : 10.1098/rspa.2019.0277 . ПМК 6735480 . 20190277.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]