Теорема Брука–Райзера–Чоулы

Брука который – Райзера – Чоулы Теорема представляет собой результат комбинаторики блочных , конструкций подразумевает отсутствие определенных видов конструкций. В нем говорится, что если существует конструкция ( v , b , r , k , λ) с v = b ( симметричная блочная конструкция ), то:

• если v четно, то k − λ — квадрат;
• если v нечетно, то следующее диофантово уравнение имеет нетривиальное решение:

  х ² − ( k − λ) y ² − (−1) ^(v−1)/2 л з ² = 0.

Теорема была доказана в случае проективных плоскостей Бруком и Райзером (1949) . распространили его на симметричные конструкции Чоула и Райзер (1950) .

Проекционные плоскости

В частном случае симметричной конструкции с λ = 1, то есть проективной плоскости , теорема (которая в этом случае называется теоремой Брука–Райзера ) может быть сформулирована следующим образом: Если конечная проективная плоскость порядка q существует и q конгруэнтно 1 или 2 (по модулю 4), тогда q должно быть суммой двух квадратов. Обратите внимание, что для проективной плоскости расчетные параметры: v = b = q. ² + q + 1, r = k = q + 1, λ = 1. Таким образом, v в этом случае всегда нечетно.

Теорема, например, исключает существование проективных плоскостей порядков 6 и 14, но допускает существование плоскостей порядков 10 и 12. Поскольку с помощью комбинации теории кодирования и теории кодирования было показано, что проективная плоскость 10-го порядка не существует, масштабный компьютерный поиск, условие теоремы, очевидно, недостаточно для существования замысла. Однако более сильный общий критерий несуществования неизвестен.

Связь с матрицами заболеваемости

Существование симметричной ( v , b , r , k , λ)-схемы эквивалентно существованию v × v матрицы инцидентности R с элементами 0 и 1, удовлетворяющими

Р Р ^Т = ( k − λ) I + λ J

где I — единичная матрица v × v , а J — матрица v × v all-1. По сути, теорема Брука–Райзера–Чоулы представляет собой формулировку необходимых условий существования рациональной R × v матрицы , удовлетворяющей этому уравнению. Фактически, условия, сформулированные в теореме Брука–Райзера–Чоулы, не только необходимы, но и достаточны для существования такой рациональной матрицы R . Их можно вывести из теоремы Хассе-Минковского о рациональной эквивалентности квадратичных форм .

Ссылки

• Брук, Р.Х.; Райзер, Х.Дж. (1949), «Несуществование некоторых конечных проективных плоскостей», Canadian Journal of Mathematics , 1 : 88–93, doi : 10.4153/cjm-1949-009-2 , S2CID   123440808
• Чола, С. ; Райзер, Х.Дж. (1950), «Комбинаторные задачи», Canadian Journal of Mathematics , 2 : 93–99, doi : 10.4153/cjm-1950-009-8 , S2CID   247194753
• Лам, CWH (1991), «Поиск конечной проективной плоскости порядка 10» , American Mathematical Monthly , 98 (4): 305–318, doi : 10.2307/2323798 , JSTOR   2323798
• Ван Линт, Дж. Х. и Р. М. Уилсон (1992), Курс комбинаторики . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Теорема Брука–Райзера–Чоулы» , MathWorld