Функция потока

В гидродинамике два типа функции тока определены :

Двумерная (или лагранжевая) функция тока, введенная Жозефом Луи Лагранжем в 1781 году: ^[1] определяется для несжимаемых ( бездивергентных ) двумерных потоков .
Функция потока Стокса , названная в честь Джорджа Габриэля Стокса , ^[2] определяется для несжимаемых трехмерных потоков с осевой симметрией .

Свойства потоковых функций делают их полезными для анализа и графической иллюстрации потоков.

Оставшаяся часть этой статьи описывает функцию двумерного потока.

Двумерная функция потока

Предположения

Двумерная функция тока основана на следующих предположениях:

Пространство трехмерно.
Поле течения можно описать как двумерное плоское течение с вектором скорости

\quad \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u(x,y,t)\\v(x,y,t)\\0\end{bmatrix}}.

Скорость удовлетворяет уравнению неразрывности для несжимаемого потока:

\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.

Хотя в принципе функция потока не требует использования определенной системы координат, для удобства в представленном здесь описании используется правосторонняя декартова система координат с координатами $(x,y,z)$ .

Вывод

Тестовая поверхность

Учтите два момента $A$ и $P$ в $xy$ плоскость и кривая $AP$ , а также в $xy$ самолет, который их соединяет. Тогда каждая точка кривой $AP$ имеет $z$ координировать $z=0$ . Пусть общая длина кривой $AP$ быть $L$ .

Предположим, что поверхность в форме ленты создана путем продления кривой $AP$ вверх в горизонтальную плоскость $z=b$ $(b>0)$ , где $b$ это толщина потока. Тогда поверхность имеет длину $L$ , ширина $b$ , и площадь $b\,L$ . Назовем это тестовой поверхностью .

Поток через испытательную поверхность

Полный объемный поток через исследуемую поверхность равен

Q(x,y,t)=\int _{0}^{b}\int _{0}^{L}\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} z

где $s$ параметр длины дуги, определенный на кривой $AP$ , с $s=0$ в точку $A$ и $s=L$ в точку $P$ .Здесь $\mathbf {n}$ – единичный вектор, перпендикулярный исследуемой поверхности, т. е.

\mathbf {n} \,\mathrm {d} s=-R\,\mathrm {d} \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\mathrm {d} y\\-\mathrm {d} x\\0\end{bmatrix}}

где $R$ это $3\times 3$ матрица вращения, соответствующая $90^{\circ }$ вращение против часовой стрелки вокруг положительного $z$ ось:

R=R_{z}(90^{\circ })={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.

Подынтегральное выражение в выражении для $Q$ не зависит от $z$ , поэтому внешний интеграл можно вычислить, чтобы получить

Q(x,y,t)=b\,\int _{A}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right)

Классическое определение

Лэмб и Бэтчелор определяют функцию потока. $\psi$ следующее. ^[3]

\psi (x,y,t)=\int _{A}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right)

Используя полученное выше выражение для полного объемного потока, $Q$ , это можно записать как

\psi (x,y,t)={\frac {Q(x,y,t)}{b}}

.

Другими словами, функция потока $\psi$ — объемный поток через испытуемую поверхность на единицу толщины, где толщина измеряется перпендикулярно плоскости потока.

Суть $A$ — это контрольная точка, которая определяет, где функция потока равна нулю. Его положение выбирается более или менее произвольно и, однажды выбранное, обычно остается фиксированным.

Бесконечно малый сдвиг $\mathrm {d} P=(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)$ в положении точки $P$ приводит к следующему изменению функции потока:

\mathrm {d} \psi =u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x

.

Из точного дифференциала

\mathrm {d} \psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,\mathrm {d} y,

поэтому компоненты скорости потока по отношению к функции потока $\psi$ должно быть

u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.

Обратите внимание, что функция тока линейна по скорости. Следовательно, если два несжимаемых поля потока наложены друг на друга, то функция тока результирующего поля потока представляет собой алгебраическую сумму функций тока двух исходных полей.

Эффект смещения положения контрольной точки

Рассмотрим сдвиг положения точки отсчета, скажем, от $A$ к $A'$ . Позволять $\psi '$ обозначают функцию потока относительно сдвинутой опорной точки $A'$ :

\psi '(x,y,t)=\int _{A'}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right).

Тогда функция тока сдвигается на

{\begin{aligned}\Delta \psi (t)&=\psi '(x,y,t)-\psi (x,y,t)\\&=\int _{A'}^{A}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right),\end{aligned}}

что подразумевает следующее:

Сдвиг положения контрольной точки фактически добавляет к функции потока константу (для установившегося потока) или функцию исключительно времени (для нестационарного потока). $\psi$ в каждой точке $P$ .
Сдвиг функции потока, $\Delta \psi$ , равен полному объемному потоку на единицу толщины через поверхность, простирающуюся от точки $A'$ указывать $A$ . Следовательно $\Delta \psi =0$ тогда и только тогда, когда $A$ и $A'$ лежат на одной линии тока.

С точки зрения векторного вращения

Скорость $\mathbf {u}$ может быть выражено через функцию потока $\psi$ как

\mathbf {u} =-R\,\nabla \psi

где $R$ это $3\times 3$ матрица вращения, соответствующая $90^{\circ }$ вращение против часовой стрелки вокруг положительного $z$ ось. Решая приведенное выше уравнение для $\nabla \psi$ создает эквивалентную форму

\nabla \psi =R\,\mathbf {u} .

Из этих форм сразу видно, что векторы $\mathbf {u}$ и $\nabla \psi$ являются

перпендикуляр: $\mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0$
одинаковой длины: $|\mathbf {u} |=|\nabla \psi |$ .

Кроме того, компактность формы вращения облегчает манипуляции (например, см. Условие существования ).

С точки зрения векторного потенциала и поверхностей потока

Используя функцию тока, можно выразить скорость через векторный потенциал ${\boldsymbol {\psi }}$

\mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}

где ${\boldsymbol {\psi }}=\psi \,\mathbf {z}$ , и $\mathbf {z}$ - единичный вектор, указывающий на положительное значение $z$ направление. Это также можно записать как векторное векторное произведение

\mathbf {u} =\nabla \psi \times \mathbf {z}

где мы использовали тождество векторного исчисления

\nabla \times \left(\psi \mathbf {z} \right)=\psi \nabla \times \mathbf {z} +\nabla \psi \times \mathbf {z} .

отмечая, что $\mathbf {z} =\nabla z$ и определение $\phi =z$ , можно выразить поле скорости как

\mathbf {u} =\nabla \psi \times \nabla \phi .

Эта форма показывает, что поверхности уровня $\psi$ и ровные поверхности $z$ (т. е. горизонтальные плоскости) образуют систему ортогональных поверхностей потока .

Альтернативное (противоположный знак) определение

Альтернативное определение, иногда используемое в метеорологии и океанографии , — это

\psi '=-\psi .

Связь с завихренностью

В двумерном плоском потоке вектор завихренности , определяемый как ${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u}$ , сводится к $\omega \,\mathbf {z}$ , где

\omega =-\nabla ^{2}\psi

или

\omega =+\nabla ^{2}\psi '

Это формы уравнения Пуассона .

Отношение к оптимизации

Рассмотрим двумерное плоское течение с двумя бесконечно близкими точками. $P=(x,y,z)$ и $P'=(x+dx,y+dy,z)$ лежащие в одной горизонтальной плоскости. Из исчисления соответствующая бесконечно малая разница между значениями функции тока в двух точках равна

{\begin{aligned}\mathrm {d} \psi (x,y,t)&=\psi (x+\mathrm {d} x,y+\mathrm {d} y,t)-\psi (x,y,t)\\&={\partial \psi  \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \psi  \over \partial y}\mathrm {d} y\\&=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}

Предполагать $\psi$ принимает то же значение, скажем $C$ , в двух точках $P$ и $P'$ . Тогда это дает

0=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ,

подразумевая, что вектор $\nabla \psi$ нормально к поверхности $\psi =C$ . Потому что $\mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0$ везде (например, см. В терминах векторного вращения ) каждая линия тока соответствует пересечению определенной поверхности потока и определенной горизонтальной плоскости. Следовательно, в трех измерениях для однозначной идентификации той или иной линии тока необходимо указать соответствующие значения как функции тока, так и высоты ( $z$ координата).

Развитие здесь предполагает, что космическая область является трехмерной. Понятие функции тока также может быть развито в контексте двумерной пространственной области. В этом случае множества уровней функции тока представляют собой кривые, а не поверхности, а линии тока представляют собой кривые уровня функции тока. Следовательно, в двух измерениях для однозначной идентификации какой-либо конкретной линии тока необходимо указать только соответствующее значение функции тока.

Условия существования

Несложно показать, что для двумерного плоского течения $\mathbf {u}$ удовлетворяет уравнению роторной дивергенции

(\nabla \cdot \mathbf {u} )\,\mathbf {z} =-\nabla \times (R\,\mathbf {u} )

где $R$ это $3\times 3$ матрица вращения, соответствующая $90^{\circ }$ вращение против часовой стрелки вокруг положительного $z$ ось. Это уравнение справедливо независимо от того, является ли поток несжимаемым.

Если поток несжимаем (т.е. $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$ ), то уравнение роторной дивергенции дает

\mathbf {0} =\nabla \times (R\,\mathbf {u} )

.

Тогда по теореме Стокса линейный интеграл от $R\,\mathbf {u}$ по каждому замкнутому контуру исчезает

\oint _{\partial \Sigma }(R\,\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } =0.

Следовательно, линейный интеграл от $R\,\mathbf {u}$ не зависит от пути. Наконец, по обратной теореме о градиенте скалярная функция $\psi (x,y,t)$ существует такое, что

R\,\mathbf {u} =\nabla \psi

.

Здесь $\psi$ представляет функцию потока.

Обратно, если функция потока существует, то $R\,\mathbf {u} =\nabla \psi$ . Подстановка этого результата в уравнение роторной дивергенции дает $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$ (т.е. поток несжимаем).

Таким образом, функция тока для двумерного плоского течения существует тогда и только тогда, когда поток несжимаем.

Потенциальный поток

Для двумерного потенциального потока линии тока перпендикулярны эквипотенциальным линиям. В сочетании с потенциалом скорости функция тока может использоваться для получения комплексного потенциала. Другими словами, функция тока учитывает соленоидальную часть двумерного разложения Гельмгольца , а потенциал скорости — безвихревую часть.

Краткое описание свойств

Основные свойства двумерных функций потока можно резюмировать следующим образом:

Компоненты x и y скорости потока в данной точке задаются частными производными функции тока в этой точке.
Значение функции тока постоянно вдоль каждой линии тока (линии тока представляют собой траектории частиц в установившемся потоке). То есть в двух измерениях каждая линия тока представляет собой кривую уровня функции тока.
Разница между значениями функции тока в любых двух точках дает объемный поток через вертикальную поверхность, соединяющую две точки.

Двумерная функция тока для течений с постоянной во времени плотностью

Если плотность жидкости не зависит от времени во всех точках потока, т. е.

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0

,

тогда уравнение неразрывности (например, см. Уравнение неразрывности#Гидродинамика ) для двумерного плоского потока принимает вид

\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} )=0.

В этом случае функция потока $\psi$ определяется так, что

\rho \,u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad \rho \,v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}

и представляет собой массовый поток (а не объемный поток) на единицу толщины через исследуемую поверхность.

См. также

Элементарный поток

Ссылки

Цитаты

^ Лагранж, Ж.-Л. (1868), «Мемуары по теории движения жидкостей (в: Новые мемуары Королевской академии наук и берлинской беллетристики, год 1781)», Сочинения Лагранжа , том. Том IV, стр. 695–748
^ Стоукс, Г.Г. (1842), «Об устойчивом движении несжимаемых жидкостей», Труды Кембриджского философского общества , 7 : 439–453, Бибкод : 1848TCaPS...7..439S
Перепечатано в: Стоукс, Г.Г. (1880), Математические и физические статьи, Том I , Издательство Кембриджского университета, стр. 1–16.
^ Лэмб (1932 , стр. 62–63) и Бэтчелор (1967 , стр. 75–79)

Источники

Бэтчелор, Г.К. (1967), Введение в гидродинамику , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-09817-3
Лэмб, Х. (1932), Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, переиздано Dover Publications, ISBN 0-486-60256-7
Мэсси, бакалавр наук; Уорд-Смит, Дж. (1998), Механика жидкостей (7-е изд.), Великобритания: Нельсон Торнс
Уайт, FM (2003), Механика жидкости (5-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill.
Гамелен, TW (2001), Комплексный анализ , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-95093-1
«Streamfunction» , Глоссарий метеорологии AMS , Американское метеорологическое общество , получено 30 января 2014 г.

Внешние ссылки

Интерактивное веб-приложение Joukowsky Transform

[1] Лагранж, Ж.-Л. (1868), «Мемуары по теории движения жидкостей (в: Новые мемуары Королевской академии наук и берлинской беллетристики, год 1781)», Сочинения Лагранжа , том. Том IV, стр. 695–748

[2] Стоукс, Г.Г. (1842), «Об устойчивом движении несжимаемых жидкостей», Труды Кембриджского философского общества , 7 : 439–453, Бибкод : 1848TCaPS...7..439S
Перепечатано в: Стоукс, Г.Г. (1880), Математические и физические статьи, Том I , Издательство Кембриджского университета, стр. 1–16.

[3] Лэмб (1932 , стр. 62–63) и Бэтчелор (1967 , стр. 75–79)

[1]

[2]

[3]