Математика букмекерства

На азартных игр языке создание книги — это практика размещения ставок на различные возможные исходы одного события. Эта фраза происходит из практики записи таких ставок в книгу в твердом переплете ( «книга») и дает в английском языке термин «букмекерская контора» для человека, делающего ставки и, таким образом, «составляющего книгу». ^{[ 1 ]}^: 6^{[ 2 ]}^: 13, 36

Создание «книги» (и понятие перебора)

Букмекерская контора стремится принимать ставки на исход события в правильных пропорциях, чтобы получить прибыль независимо от того, какой исход преобладает. ^{[ 3 ]} См. голландскую книгу и согласованность (философская стратегия азартных игр) . Это достигается в первую очередь за счет корректировки в сторону уменьшения того, что определено как истинные коэффициенты на различные исходы события (т. е. букмекерская контора будет выплачивать, используя свои фактические коэффициенты, сумму, которая меньше, чем заплатили бы истинные коэффициенты; тем самым обеспечивая прибыль). ^{[ 4 ]}

Коэффициенты, указанные для конкретного события, могут быть фиксированными, но, скорее всего, будут колебаться, чтобы принять во внимание размер ставок, сделанных игроками в преддверии фактического события (например, скачек). В этой статье объясняется математика создания книги в (более простом) случае первого события. О втором методе см. Ставки Parimutuel .

Важно понимать взаимосвязь между дробными и десятичными коэффициентами. Дробные коэффициенты обозначаются a − b ( a / b или a to b ), что означает, что выигравший игрок получит свои деньги обратно плюс единицы за каждые b единиц, которые он поставил. Десятичные коэффициенты — это одно значение, большее 1, представляющее сумму, подлежащую выплате за каждую единицу ставки. Например, ставка в размере 40 фунтов стерлингов при коэффициенте 6–4 (дробные коэффициенты) принесет выплату 40 фунтов стерлингов + 60 фунтов стерлингов = 100 фунтов стерлингов. Эквивалентные десятичные шансы равны 2,5; 40 фунтов стерлингов × 2,5 = 100 фунтов стерлингов. Мы можем преобразовать дробные коэффициенты в десятичные по формуле D = ( б + а ) ⁄ б . Следовательно, дробные шансы a - 1 (т. е. b = 1) могут быть получены из десятичных коэффициентов с помощью a = D - 1.

Также важно понимать взаимосвязь между шансами и подразумеваемыми вероятностями: Дробные шансы a − b (с соответствующими десятичными шансами D ) представляют собой подразумеваемую вероятность б ⁄ ( а + б ) знак равно 1 ⁄ D , например 6-4 соответствует 4 ⁄ (6 + 4) = 4/10 ( = 0,4 40%). Подразумеваемая вероятность x представлена дробными шансами (1 − x )/ x , например, 0,2 равно (1 − 0,2)/0,2 = 0,8/0,2 = 4/1 (4-1, 4 к 1) (эквивалентно, 1 ⁄ x − от 1 до 1) и десятичные шансы D = 1 ⁄ x .

Пример

При рассмотрении футбольного матча (события), который может быть «победой дома», «ничьей» или «победой на выезде» (исходы), можно встретить следующие коэффициенты, отражающие истинную вероятность каждого из трех исходов:

Главная: Эвены

Ничья: 2-1

На выезде: 5-1

Эти шансы могут быть представлены как подразумеваемые вероятности (или проценты, умноженные на 100) следующим образом:

Эвены (или 1-1) соответствуют подразумеваемой вероятности 1 ⁄ 2 (50%)

2-1 соответствует подразумеваемой вероятности 1 ⁄ 3 (33 1 ⁄ 3 %)

5-1 соответствует подразумеваемой вероятности 1 ⁄ 6 (16 2 ⁄ 3 %)

Путем сложения процентов получается общая «книга» 100% (что представляет собой справедливую книгу). Букмекерская контора уменьшит эти коэффициенты, чтобы обеспечить прибыль. Рассмотрим простейшую модель сокращения, использующую пропорциональное уменьшение шансов. В приведенном выше примере следующие коэффициенты находятся в одинаковой пропорции относительно их предполагаемых вероятностей (3:2:1):

Дома: 4-6

Ничья: 6-4

На выезде: 4-1

4-6 соответствует подразумеваемой вероятности 3 ⁄ 5 (60%)

6-4 соответствует подразумеваемой вероятности 2 ⁄ 5 (40%)

4-1 соответствует подразумеваемой вероятности 1 ⁄ 5 (20%)

Сложив эти проценты, получим «книгу» в 120%.

Сумма, на которую фактическая «книга» превышает 100%, называется «переоценкой». ^{[ 1 ]}^: 96–104^{[ 2 ]}^{: 126–130} «букмекерская маржа» ^{[ 4 ]} или « энергичный » или «виг» ^{[ 4 ]} и представляет собой ожидаемую прибыль букмекерской конторы. Таким образом, в «идеальной» ситуации, если букмекерская контора принимает ставки на сумму 120 фунтов стерлингов с собственными коэффициентами в правильной пропорции, он выплатит только 100 фунтов стерлингов (включая возвращенные ставки) независимо от фактического результата футбольного матча. Анализ того, как он потенциально достигает этого:

Ставка в размере £60,00 при счете 4-6 возвращает £100,00 (ровно) на домашнюю победу.

Ставка в размере 40 фунтов стерлингов при счете 6-4 возвращает 100 фунтов стерлингов (ровно) за ничью.

Ставка в £20,00 при счете 4-1 возвращает £100,00 (ровно) на выездную победу.

Общая сумма полученных ставок составляет £120,00 с максимальной выплатой £100,00 независимо от результата. Эта прибыль в размере 20 фунтов стерлингов представляет собой 16 2 ⁄ % прибыли от оборота (20,00/120,00).

В действительности букмекеры используют более сложные модели снижения, чем эта модель «идеальной» ситуации.

Букмекерская маржа в английских футбольных лигах

Маржа букмекеров в английских футбольных лигах в последние годы снизилась. ^{[ 5 ]} Исследование шести крупных букмекерских контор в период с сезона 2005/06 по сезон 2017/2018 показало, что средняя маржа в Премьер-лиге снизилась с 9% до 4%, в Чемпионате английской футбольной лиги , Первой английской футбольной лиге и Второй английской футбольной лиге с 11. % до 6%, а в Национальной лиге с 11% до 8%.

Оверраунд по экспресс-ставкам

Когда игрок ( делающий ставку ) объединяет более одного исхода, например, в двойную , тройную или экспресс- ставку, тогда эффект перераунда в книге каждого исхода усугубляется. Это наносит ущерб игроку с точки зрения финансовой прибыли по сравнению с истинными шансами на выигрыш всех исходов и, таким образом, приводит к успешной ставке.

Например, рассмотрим дубль, полученный путем выбора победителей из двух теннисных матчей:

В матче 1 между игроками А и Б оба игрока имеют равные шансы на победу. Такая же ситуация и во втором матче между C и D. игроками В честной книге в каждом матче, т.е. у каждого есть книга 100%, всем игрокам будут предложены коэффициенты эвенов (1-1). Однако букмекерская контора, вероятно, предложит коэффициенты 5-6 (например) на каждый из двух возможных исходов в каждом событии (каждом теннисном матче). В результате книга для каждого теннисного матча составляет 109,09...%, рассчитанная как 100 × ( 6 ⁄ 11 + 6 ⁄ 11 ), т. е. 9,09% округления.

Существует четыре возможных исхода при объединении результатов обоих матчей: победившей парой игроков может быть AC , AD , BC или BD . Поскольку каждый из исходов в этом примере был выбран намеренно, чтобы гарантировать их одинаковую вероятность, вероятность наступления каждого исхода равна 1 ⁄ 4 или 0,25, а дробные шансы на выпадение каждого из них составляют 3-1. Ставка в 100 единиц на любую из четырех комбинаций принесет в случае успеха возврат 100 × (3/1 + 1) = 400 единиц, что соответствует десятичному коэффициенту 4,0.

Десятичные коэффициенты экспресс-ставки часто рассчитываются путем умножения десятичных коэффициентов отдельных ставок. Идея состоит в том, что если события независимы , то подразумеваемая вероятность должна быть произведением подразумеваемых вероятностей отдельных ставок. В приведенном выше случае с дробными коэффициентами 5–6 десятичные коэффициенты равны 11 ⁄ 6 . Таким образом, десятичный коэффициент двойной ставки равен 11 ⁄ 6 × 11 ⁄ 6 = 1,833...×1,833... = 3,3611..., или дробный коэффициент 2,3611 - 1. Это представляет собой подразумеваемую вероятность 29,752% (1/3,3611) и умножение на 4 (для каждого из четырех равновероятные комбинации исходов) дает общий баланс 119,01%. Таким образом, результат овераунда увеличился чуть более чем вдвое за счет объединения двух одинарных ставок в двойную.

В общем, комбинированное округление по дублю ( OD _{, выраженных} ), выраженное в процентах, рассчитывается на основе отдельных книг B ₁ и B ₂ в десятичных дробях, по формуле O _D = B ₁ × B ₂ × 100 – 100. В примере имеем O _D = 1,0909 × 1,0909 × 100 – 100 = 19,01%.

Такое масштабное увеличение потенциальной прибыли букмекера (19% вместо 9% по событию; в данном случае двойное) является основной причиной, по которой букмекеры выплачивают бонусы за успешный выбор победителей в экспресс-ставках. Сравните предложение бонуса 25% за правильный выбор четырех победителей из четырех выборов в Янки , например, когда потенциальный выигрыш в простой четверке гонок с отдельными книгами 120% превышает 107% (книга 207%) . Именно поэтому букмекеры предлагают такие ставки, как «Счастливчик 15» , «Счастливчик 31» и «Счастливчик 63» , предлагая удвоенные коэффициенты на одного победителя и увеличивающие процентные бонусы на двух, трех и более победителей.

В общем, для любой экспресс-ставки от двух до i исходов совокупный процент округления книг B ₁ , B ₂ , ..., B _i , выраженный в десятичных дробях, рассчитывается как B ₁ × B ₂ × ... × B _i × 100 - 100. Например, ранее упомянутая четверка, состоящая из отдельных книг на 120% (1,20), дает округление 1,20 × 1,20 × 1,20 × 1,20 × 100 - 100 = 107,36%.

Расчет выигрышных ставок

При расчете выигрышных ставок используются либо десятичные коэффициенты, либо к дробному коэффициенту добавляется единица. Это значит, что ставка будет включена в доход. Местная часть ставок в обе стороны рассчитывается отдельно от выигрышной части; метод идентичен, но шансы уменьшаются в зависимости от фактора места для конкретного события ( «Аккумулятор» подробный пример см. В разделе ниже). Все ставки считаются выигрышными, если не указано иное. Во всех случаях показано использование дробных коэффициентов: замените (дробные коэффициенты + 1) десятичными коэффициентами, если известны десятичные коэффициенты. Неучаствующие считаются победителями с дробным коэффициентом, равным нулю (десятичный коэффициент, равным 1). Доли пенсов в общем выигрыше букмекеры всегда округляют до ближайшего ниже пенни. Приведенные ниже расчеты для ставок на несколько ставок приводят к тому, что итоговые суммы отображаются для отдельных категорий (например, двойные, тройные и т. д.), и поэтому общий доход может не совпадать с суммой, полученной от использования компьютерного программного обеспечения, доступного букмекерам для расчета общего результата. выигрыши. ^{[ 1 ]}^{: 138–147}^{[ 2 ]}^{: 163–177}

Одиночные игры

Победить в одиночном разряде

Например, 100 фунтов стерлингов в одиночку в 9–2; общая ставка = 100 фунтов стерлингов

Возврат = 100 фунтов стерлингов × (9/2 + 1) = 100 фунтов стерлингов × 5,5 = 550 фунтов стерлингов.

Односторонний в обе стороны

Например, 100 фунтов стерлингов в одну сторону в 11 − 4 ( 1/5 на шансов место); общая ставка = 200 фунтов стерлингов

Возврат (выигрыш) = 100 фунтов стерлингов × (11/4 + 1) = 100 фунтов стерлингов × 3,75 = 375 фунтов стерлингов.

Возврат (место) = 100 фунтов стерлингов × (11/20 + 1) = 100 фунтов стерлингов × 1,55 = 155 фунтов стерлингов.

Общая прибыль в случае победы выбора = 530 фунтов стерлингов; если только разместить = 155 фунтов стерлингов

Множественные ставки

Многократные ставки в каждую сторону обычно рассчитываются с использованием метода по умолчанию « Выигрыш к выигрышу, место к месту », что означает, что ставка состоит из аккумулятора выигрыша и отдельного аккумулятора места (Примечание: двойной или тройной аккумулятор представляет собой аккумулятор с 2 или 3 выбор соответственно). Однако более редким способом расчета по ставкам этого типа является « Каждый исход всех исходов » (известный как « Равно разделенный », который обычно должен быть указан как таковой в купоне ставок), при котором доходы от одного исхода в аккумулятор разделяется, чтобы сформировать ставку с равной ставкой на каждый исход на следующий исход и так далее, пока все исходы не будут использованы. ^{[ 1 ]}^{: 155–156}^{[ 2 ]}^{: 170–171} В первом примере ниже показаны два разных подхода к расчету по этим типам ставок.

Двойной ^{[ 1 ]}^{: 153–168}^{[ 2 ]}^{: 169–177}

Например, 100 фунтов стерлингов в обе стороны счете победителей 2-1 ( при 1 ⁄ шанс на место) и 5-4 ( 1 ⁄ шанс на место); общая ставка = 200 фунтов стерлингов

« Победа за победой, место за местом »

« В обе стороны, все в обе стороны »

Примечание: « От победы к победе, от места к месту » всегда будет обеспечивать больший доход, если выиграют все варианты, тогда как « Каждый вариант, все каждый вариант » обеспечивает большую компенсацию, если один вариант окажется проигрышным, поскольку каждый из остальных победителей обеспечивает большую прибыль. сумма денег за место для последующих выборов.

Высокие частоты ^{[ 1 ]}^: 153-168^{[ 2 ]}^: 169-177

по £100 Например, тройной выигрыш с победителями со счетом 3-1, 4-6 и 11-4; общая ставка = 100 фунтов стерлингов

Возврат = 100 фунтов стерлингов × (3/1 + 1) × (4/6 + 1) × (11/4 + 1) = 2500 фунтов стерлингов.

аккумулятор ^{[ 1 ]}^: 153-168^{[ 2 ]}^: 169-177

на сумму 100 фунтов стерлингов в каждую сторону Например, пятикратный аккумулятор с победителями на турнире Evens ( 1 ⁄ шанс на место), 11-8 ( коэффициент 1 ⁄ 5 ), 5-4 ( коэффициент 1 ⁄ 4 ), 1-2 (все до победы) и 3-1 ( шанс 1 ⁄ 5 ); общая ставка = 200 фунтов стерлингов

Примечание. «Все ради победы» означает, что в соревновании недостаточно участников для определения коэффициентов на места (например, 4 или менее участников в скачках). Таким образом, единственным «местом» является первое место, для которого указаны шансы на победу.

Возврат (пятикратный выигрыш) = 100 фунтов стерлингов × (1/1 + 1) × (11/8 + 1) × (5/4 + 1) × (1/2 + 1) × (3/1 + 1) = £ 6412,50

Возврат (пятикратное место) = 100 фунтов стерлингов × (1/4 + 1) × (11/40 + 1) × (5/16 + 1) × (1/2 + 1) × (3/5 + 1) = £ 502.03

Общий доход = 6914,53 фунтов стерлингов.

Ставки с полным покрытием

Трикси

за 10 фунтов Например, Трикси с победителями со счетом 4-7, 2-1 и 11-10; общая ставка = 40 фунтов стерлингов

янки

стоимостью 10 фунтов стерлингов Например, «Янки» с победителями со счетом 1–3, 5–2, 6–4 и эвенами; общая ставка = 110 фунтов стерлингов

Трикси , Янки , Канадец , Хайнц , Супер Хайнц и Голиаф образуют семейство ставок, известное как ставки с полным покрытием , в которых присутствуют все возможные коэффициенты. Примеры выигрышных ставок на Трикси и Янки были показаны выше. Другие именованные ставки рассчитываются аналогичным образом с учетом всех возможных комбинаций исходов в их кратных числах. Примечание. Двойную ставку можно рассматривать как ставку с полным покрытием только с двумя исходами.

Если выбор в одной из этих ставок не выиграет, то оставшиеся победители считаются полностью успешной ставкой на следующего «члена семьи». Например, только два победителя из трех в Трикси означают, что ставка рассчитывается как двойная; только четыре победителя из пяти в канадце означают, что он считается янки ; только пять победителей из восьми в Голиафе означают, что он считается канадцем . Часть места в ставках на каждую сторону рассчитывается отдельно с использованием уменьшенного коэффициента места. в обе стороны Таким образом, Super Heinz на семи лошадях с тремя победителями и еще двумя лошадьми, занявшими места, определяется как победа Трикси и место канадца . Практически все букмекерские конторы используют компьютерное программное обеспечение для простоты, скорости и точности расчета при расчете экспресс-ставок.

Ставки с полным покрытием в одиночных играх

Патент

стоимостью 2 фунта стерлингов Например, патент с победителями со счетом 4-6, 2-1 и 11-4; общая ставка = 14 фунтов стерлингов

Патент , Lucky 15 , Lucky 31 , Lucky 63 и выше Ставки Lucky образуют семейство ставок, известных как ставки с полным покрытием, с одинарными ставками , в которых присутствуют все возможные коэффициенты вместе с одинарными ставками на все исходы. Примеры выигрышной ставки на Патент были показаны выше. Другие именованные ставки рассчитываются аналогичным образом с учетом всех возможных комбинаций исходов в их кратных и одиночных вариантах.

Если выбор в одной из этих ставок не выиграет, то оставшиеся победители считаются полностью успешной ставкой на следующего «члена семьи». Например, только два победителя из трех в Патенте означают, что ставка рассчитывается как двойная и две одиночные; только три победителя из четырех в Lucky 15 означают, что он засчитан как Патент ; только четыре победителя из шести в Lucky 63 означают, что он считается Lucky 15 . Часть места в ставках на каждую сторону рассчитывается отдельно с использованием уменьшенного коэффициента места. в обе стороны Таким образом, выигрыш Lucky 63 на шести лошадях с тремя победителями и еще двумя лошадьми, занявшими места, считается выигрышным патентом и местом Lucky 31 .

Алгебраическая интерпретация

Доход по любой ставке можно считать рассчитанным как «единица ставки» × «множитель шансов». Общий «множитель шансов» представляет собой объединенное десятичное значение коэффициентов и является результатом всех отдельных ставок , составляющих ставку с полным покрытием, включая одиночные ставки, если это необходимо. Например, если успешный игрок «Янки» стоимостью 10 фунтов стерлингов вернул 461,35 фунта стерлингов, то общий «множитель шансов» ( OM ) составит 46,135.

Если a , b , c , d ... представляют собой десятичные коэффициенты , т. е. (дробные коэффициенты + 1), то ОМ можно вычислить алгебраически путем умножения выражений ( a + 1), ( b + 1), ( c + 1)... и т. д. вместе в установленном порядке и вычитая 1. При необходимости (десятичный коэффициент + 1) можно заменить на (дробный коэффициент + 2). ^{[ 1 ]}^: 166^{[ 2 ]}^{: 169, 176}

Примеры

3 исхода с десятичными коэффициентами a , b и c . Разложение ( a + 1)( b + 1)( c + 1) алгебраически дает abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1. Это эквивалентно OM для патента (тройной: abc ; двойной: ab , ac и bc одиночные: a , b и c ) плюс 1 . Таким образом, чтобы вычислить доходность выигрышного патента, нужно просто умножить ( a + 1), ( b + 1) и ( c + 1) вместе и вычесть 1, чтобы получить OM для выигрышной ставки, т.е. OM = ( а + 1)( б + 1)( с + 1) - 1 . Теперь умножьте на единицу ставки, чтобы получить общий доход от ставки. ^{[ 1 ]}^: 161^{[ 2 ]}^: 176

Например, выигравший патент, описанный ранее, можно быстрее и проще оценить следующим образом:

Общая прибыль = 2 фунта стерлингов × [(4/6 + 2) × (2/1 + 2) × (11/4 + 2) − 1] = 99,33 фунта стерлингов.

Игнорируя любые бонусы, 50 пенсов в каждую сторону Lucky 63 (общая ставка £63) с 4 победителями [2-1, 5-2, 7-2 (все 1 ⁄ шанс на место) и 6-4 ( 1 ⁄ шанс на место)] и еще одна лошадь [9-2 ( вероятность 1 ⁄ 5 на место)] можно сравнительно легко рассчитать следующим образом:

Возврат (часть выигрыша) = 0,50 × [(2/1 + 2) × (5/2 + 2) × (7/2 + 2) × (6/4 + 2) − 1] = £172,75

или проще, как 0,50 × (4 × 4,5 × 5,5 × 3,5 - 1)

Возврат (часть места) = 0,50 × [(2/5 + 2) × (5/10 + 2) × (7/10 + 2) × (6/16 + 2) × (9/10 + 2) − 1 ] = £11,79

или проще, как 0,50 × (2,4 × 2,5 × 2,7 × 2,375 × 2,9 - 1)

Общий доход = 184,54 фунта стерлингов.

Для семейства ставок с полным покрытием, которые не включают одиночные ставки, в расчет вносится корректировка, оставляющая только двойные, тройные и экспрессы. Таким образом, ранее описанный выигрыш Янки в размере 10 фунтов стерлингов с победителями со счетом 1–3, 5–2, 6–4 и эвенами имеет доход, рассчитанный по формуле:

£10 × [(1/3 + 2) × (5/2 + 2) × (6/4 + 2) × (1/1 + 2) − 1 − [(1/3 + 1) + (5/2 + 1) + (6/4 + 1) + (1/1 + 1)]] = £999.16

По сути, ставка рассчитывается как «Счастливые 15» минус одиночные ставки. Обратите внимание, что общая стоимость возврата в размере 999,16 фунтов стерлингов на пенни выше, чем ранее рассчитанное значение, поскольку этот более быстрый метод включает только округление окончательного ответа, а не округление на каждом отдельном этапе.

В алгебраических терминах OM для ставки на Янки определяется следующим образом:

ОМ знак равно ( а + 1)( б + 1)( с + 1)( d + 1) - 1 - ( а + б + с + d )

До того, как программное обеспечение стало доступным для использования букмекерами и теми, кто рассчитывает ставки в лицензированных букмекерских конторах (LBO), этот метод был практически обязательным для экономии времени и избежания многочисленных повторяющихся вычислений, необходимых при расчете ставок с полным покрытием.

Расчет других типов выигрышных ставок

Вверх и вниз

Например, £20 Up and Down с победителями со счетом 7-2 и 15-8; общая ставка = 40 фунтов стерлингов

Например, 10 фунтов вверх и вниз с победителем со счетом 5-1 и проигравшим; общая ставка = 20 фунтов стерлингов

Круговая система

Круговая система с тремя победителями рассчитывается как Трикси плюс три ставки «Вверх» и «Вниз», по 2 победителя в каждой.

Круговая система с двумя победителями рассчитывается как двойная плюс одна ставка «вверх» и «вниз» с двумя победителями плюс две ставки «вверх» и «вниз» по одному победителю в каждой.

Круговая система с 1 победителем рассчитывается как две ставки «вверх» и «вниз», по одному победителю в каждой.

Ставки «Флаг» и «Суперфлаг» могут быть рассчитаны таким же образом, как указано выше, с использованием соответствующей ставки с полным покрытием (при наличии достаточного количества победителей) вместе с необходимым количеством ставок «вверх» и «вниз» на 2 победителя и 1 победителя.

Примечание. Эксперты по расчетам ставок до появления программного обеспечения для расчета ставок всегда использовали метод алгебраического типа вместе с простым калькулятором для определения доходности ставки (см. Ниже).

Алгебраическая интерпретация

Если a , b , c , d ... представляют собой десятичные коэффициенты , т. е. (дробные коэффициенты + 1), то «множитель шансов» OM можно вычислить алгебраически путем умножения выражений ( a + 1), ( b + 1) , ( c + 1), ... и т. д. вместе в требуемом порядке и добавляя или вычитая дополнительные компоненты. При необходимости (десятичный коэффициент + 1) можно заменить на (дробный коэффициент + 2). ^{[ 1 ]}^: 166^{[ 2 ]}^: 169-176

Примеры

2 исхода с десятичными коэффициентами a и b в ставках вверх и вниз.

3 исхода с десятичными коэффициентами a , b и c в круговой системе.

4 исхода с десятичными коэффициентами a , b , c и d во флаге.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Сидни, Чарльз (1976). Искусство леггинсов . Макслайн Интернэшнл.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Сидни, Чарльз (2003). Искусство леггинсов: история, теория и практика букмекерства на английском газоне (3-е изд.). Издательство Ротекс.
^ Ицковиц, Дэвид К. (1988). «Викторианские букмекеры и их клиенты» . Викторианские исследования . 32 (1): 7–30. ISSN 0042-5222 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Кортис, Доминик (2015). «Ожидаемые значения и дисперсия выплат букмекерам: теоретический подход к установлению ограничений на коэффициенты» . Журнал рынков прогнозов . 1. 9 .
^ Марек, Патрис (сентябрь 2018 г.). «Эффективность букмекерских контор в английских футбольных лигах» . Математические методы в экономике - Материалы конференции : 330–335.

Дальнейшее чтение

« В поисках края », Рон Лофтус , США, Южная Каролина, Северный Чарльстон: Создайте пространство., 2011, 144 стр.
« Как сделать книгу », Фил Булл , Лондон: Morrison & Gibb Ltd., 1948, 160 стр.
« Книга о букмекерстве », Ферде Ромбола, Калифорния: Romford Press, 1984, 147 стр. ISBN 978-0-935536-37-9 .
Искусство букмекерства , Малкольм Бойл, High Stakes Publishing, 2006.
Секреты успешных ставок , Майкл Адамс, Raceform, 2002.
Математика игр и азартных игр , Эдвард В. Пакел , Математическая ассоциация Америки , 2006.
Математика азартных игр , Эдвард О. Торп , Л. Стюарт, 1984.
«Максимин Хеджес», Жан-Клод Дердериан, журнал Mathematics Magazine , том 51, номер 3. (май 1978 г.), страницы 188–192.
«Карнап и де Финетти о ставках и вероятности сингулярных событий: пересмотр аргументов голландской книги » Клаус Хейлиг, Британский журнал философии науки , том 29, номер 4. (декабрь 1978 г.), страницы 325–346.
«Тестирование эффективности ставок на ипподроме с использованием коэффициентов букмекерской конторы», Рон Берд, Майкл МакКрэй, «Наука управления» , том 33, номер 12 (декабрь 1987 г.), страницы 152–156.
«Почему на британских рынках ставок на ипподроме существует предвзятость в пользу фаворитов», Лейтон Воан Уильямс, Дэвид Пэтон. Экономический журнал , том 107, номер 440 (январь 1997 г.), страницы 150–158.
Оптимальное определение коэффициентов ставок букмекеров: теория и тесты , Джон Финглтон и Патрик Уолдрон, Серия экономических статей Trinity, Технический документ № 96/9, Тринити-колледж, Дублинский университет , 1999.
«Шансы, которые не суммируются!», Майк Флетчер, Преподавание математики и ее приложений , 1994, том 13, номер 4, страницы 145–147.
«Информация, цены и эффективность на рынке ставок с фиксированными коэффициентами», Питер Ф. Поуп, Дэвид А. Пил, Economica, New Series , том 56, номер 223 (август 1989 г.), страницы 323–341.
«Математический взгляд на азартные игры», Молли Максвелл, Математический журнал бакалавриата Массачусетского технологического института , том 1 (1999), страницы 123–132.
« Руководство по вероятностям азартных игр: математика игральных костей, игровых автоматов, рулетки, баккара, блэкджека, покера, лотереи и спортивных ставок », Каталин Барбояну, Инфаром, 2006, 316 стр. ISBN 973-87520-3-5 .

[idSidney1976-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Сидни, Чарльз (1976). Искусство леггинсов . Макслайн Интернэшнл.

[idSidney2003-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Сидни, Чарльз (2003). Искусство леггинсов: история, теория и практика букмекерства на английском газоне (3-е изд.). Издательство Ротекс.

[3] Ицковиц, Дэвид К. (1988). «Викторианские букмекеры и их клиенты» . Викторианские исследования . 32 (1): 7–30. ISSN 0042-5222 .

[cortis-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кортис, Доминик (2015). «Ожидаемые значения и дисперсия выплат букмекерам: теоретический подход к установлению ограничений на коэффициенты» . Журнал рынков прогнозов . 1. 9 .

[5] Марек, Патрис (сентябрь 2018 г.). «Эффективность букмекерских контор в английских футбольных лигах» . Математические методы в экономике - Материалы конференции : 330–335.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]