MV-алгебра

В абстрактной алгебре , разделе чистой математики , MV-алгебра — это алгебраическая структура с бинарной операцией. $\oplus$ , унарная операция $\neg$ и константа $0$ , удовлетворяющий определенным аксиомам. MV-алгебры — это алгебраическая семантика логики Лукасевича ; буквы MV относятся многозначной логике Лукасевича к . MV-алгебры совпадают с классом ограниченных коммутативных BCK-алгебр .

Определения

MV -алгебра — это алгебраическая структура. $\langle A,\oplus ,\lnot ,0\rangle ,$ состоящий из

множество непустое $A,$
операция бинарная $\oplus$ на $A,$
операция унарная $\lnot$ на $A,$ и
константа $0$ фиксированный элемент обозначающий $A,$

который удовлетворяет следующим тождествам :

$(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z),$
$x\oplus 0=x,$
$x\oplus y=y\oplus x,$
$\lnot \lnot x=x,$
$x\oplus \lnot 0=\lnot 0,$ и
$\lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x.$

В силу первых трех аксиом $\langle A,\oplus ,0\rangle$ является коммутативным моноидом . Будучи определяемыми тождествами, MV-алгебры образуют множество алгебр . Многообразие MV-алгебр является подмногообразием многообразия BL -алгебр и содержит все булевы алгебры .

MV-алгебру можно эквивалентным образом определить ( Hájek 1998) как предлинейную коммутативную ограниченную целочисленную решётку с вычетами $\langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\rangle$ удовлетворение дополнительной идентичности $x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y.$

Примеры MV-алгебр

Простой числовой пример: $A=[0,1],$ с операциями $x\oplus y=\min(x+y,1)$ и $\lnot x=1-x.$ В математической нечеткой логике эта MV-алгебра называется стандартной MV-алгеброй , поскольку она формирует стандартную вещественную семантику логики Лукасевича .

Тривиальная MV-алгебра имеет единственный элемент 0 и операции , определенные единственно возможным способом: $0\oplus 0=0$ и $\lnot 0=0.$

Двухэлементная . MV-алгебра на самом деле является двухэлементной булевой алгеброй $\{0,1\},$ с $\oplus$ совпадающее с булевой дизъюнкцией и $\lnot$ с булевым отрицанием. Фактически, добавив аксиому $x\oplus x=x$ к аксиомам, определяющим MV-алгебру, приводит к аксиоматизации булевых алгебр.

Если вместо этого будет добавлена аксиома $x\oplus x\oplus x=x\oplus x$ , то аксиомы определяют алгебру MV ₃ , соответствующую трехзначной логике Лукасевича Ł ₃^{[ нужна ссылка ]}. Другие конечные линейно упорядоченные MV-алгебры получаются путем ограничения пространства и операций стандартной MV-алгебры множеством $n$ эквидистантные действительные числа от 0 до 1 (оба включены), то есть набор $\{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\},$ который закрыт под операции $\oplus$ и $\lnot$ стандартной MV-алгебры; эти алгебры обычно обозначаются MV _n .

Другим важным примером является Чанга MV-алгебра , состоящая только из бесконечно малых (с типом порядка ω) и их кобесконечно малых.

Чанг также построил MV-алгебру из произвольной полностью упорядоченной абелевой группы G, зафиксировав положительный элемент u и определив отрезок [0, u ] как { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u }, которая становится MV-алгеброй с x ⊕ y = min( u , x + y ) и ¬ x = u − x . Более того, Чанг показал, что каждая линейно упорядоченная MV-алгебра изоморфна MV-алгебре, построенной таким образом из группы.

Даниэле Мундичи распространил приведенную выше конструкцию на абелевы решеточно-упорядоченные группы . Если G — такая группа с сильной (порядковой) единицей u , то «единичный интервал» { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } может быть снабжено ¬ x = u − x , x ⊕ y = u ∧ _G (x + y) и x ⊗ y = 0 ∨ _G ( x + y − u ). Эта конструкция устанавливает категорическую эквивалентность между решеточно упорядоченными абелевыми группами с сильной единицей и MV-алгебрами.

Алгебра эффектов , упорядоченная по решетке и обладающая свойством разложения Рисса, является MV-алгеброй. И наоборот, любая MV-алгебра является решеточно-упорядоченной алгеброй эффектов со свойством разложения Рисса. ^[1]

Связь с логикой Лукасевича

К.С. Чанг разработал MV-алгебры для изучения многозначной логики , введенные Яном Лукасевичем в 1920 году. В частности, MV-алгебры образуют алгебраическую семантику логики Лукасевича , как описано ниже.

Для MV-алгебры алгебры высказывательных формул ( на языке A A-нормирование является гомоморфизмом , состоящем из $\oplus ,\lnot ,$ и 0) A. в Формулы, сопоставленные с 1 (т. е. с $\lnot$ 0) для всех А -оценок называются А - тавтологиями . Если используется стандартная MV-алгебра над [0,1], набор всех [0,1]-тавтологий определяет так называемую бесконечнозначную логику Лукасевича .

Теорема о полноте Чанга (1958, 1959) утверждает, что любое уравнение MV-алгебры, справедливое в стандартной MV-алгебре на интервале [0,1], будет выполняться в любой MV-алгебре. С алгебраической точки зрения это означает, что стандартная MV-алгебра порождает многообразие всех MV-алгебр. Аналогично, теорема Чанга о полноте утверждает, что MV-алгебры характеризуют бесконечнозначную логику Лукасевича , определяемую как набор [0,1]-тавтологий.

То, как [0,1] MV-алгебра характеризует все возможные MV-алгебры, соответствует хорошо известному факту, что тождества, имеющие место в двухэлементной булевой алгебре, выполняются во всех возможных булевых алгебрах. Более того, MV-алгебры характеризуют бесконечнозначную логику Лукасевича аналогично тому, как булевы алгебры характеризуют классическую бивалентную логику (см. Алгебра Линденбаума – Тарского ).

В 1984 году Фонт, Родригес и Торренс представили алгебру Вайсберга как альтернативную модель бесконечнозначной логики Лукасевича. Алгебры Вайсберга и MV-алгебры термоэквивалентны. ^[2]

MV _n -алгебры

В 1940-х годах Григоре Мойсил представил свои алгебры Лукасевича – Мойсила (LM _n -алгебры) в надежде дать алгебраическую семантику для (конечно) n -значной логики Лукасевича . Однако в 1956 году Алан Роуз обнаружил, что для n ≥ 5 алгебра Лукасевича – Мойсила не моделирует -значную логику Лукасевича n . Хотя CC Chang опубликовал свою MV-алгебру в 1958 году, она является точной моделью только для ℵ ₀ -значной (бесконечно многозначной) логики Лукасевича – Тарского . Для аксиоматически более сложных (конечно) n -значных логик Лукасевича подходящие алгебры были опубликованы в 1977 году Ревазом Григолиа и названы MV _n -алгебрами. ^[3] MV _n -алгебры являются подклассом LM _n -алгебр; включение строгое при n ≥ 5. ^[4]

MV _n -алгебры - это MV-алгебры, которые удовлетворяют некоторым дополнительным аксиомам, точно так же, как n -значные логики Лукасевича имеют дополнительные аксиомы, добавленные к ℵ ₀ -значной логике.

В 1982 году Роберто Чиньоли опубликовал некоторые дополнительные ограничения, которые, добавленные к LM _n -алгебрам, дают подходящие модели для n -значной логики Лукасевича; Чиньоли назвал свое открытие собственными n-значными алгебрами Лукасевича . ^[5] LM _n -алгебры, которые также являются MV _n -алгебрами, являются в точности собственными n -значными алгебрами Чиньоли Лукасевича. ^[6]

Связь с функциональным анализом

MV-алгебры были связаны Даниэле Мундичи с приближенно конечномерными C*-алгебрами путем установления биективного соответствия между всеми классами изоморфизма приближенно конечномерных C*-алгебр с решеточно-упорядоченной размерной группой и всеми классами изоморфизма счетных MV-алгебр. Некоторые примеры этой переписки включают в себя:

Счетная МВ-алгебра	приближенно конечномерная C*-алгебра
{0, 1}	$\mathbb {C}$
{0, 1/ n , ..., 1 }	$M_{n}(\mathbb {C} )$ , т.е. размера n × n комплексные матрицы
конечный	конечномерный
логическое значение	коммутативный

В программном обеспечении

Существует множество фреймворков, реализующих нечеткую логику (тип II), и большинство из них реализуют так называемую мультисопряженную логику . Это не более чем реализация MV-алгебры.

Ссылки

^ Фулис, диджей (01 октября 2000 г.). «Алгебры MV и эффектов Гейтинга». Основы физики . 30 (10): 1687–1706. Бибкод : 2000FoPh...30.1687F . дои : 10.1023/А:1026454318245 . ISSN 1572-9516 . S2CID 116763476 .
^ «цитата по Дж. М. Фонту, А. Дж. Родригесу, А. Торренсу, «Алгебры Вайсберга», Stochastica , VIII, 1, 5–31, 1984» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 10 августа 2014 г. Проверено 21 августа 2014 г.
^ Лавиния Корина Чиунгу (2013). Некоммутативные алгебры многозначной логики . Спрингер. стр. VII–VIII. ISBN 978-3-319-01589-7 .
^ Йоргулеску, А.: Связи между MV _n -алгебрами и n -значными алгебрами Лукасевича – Мойсила — I. Дискретная математика. 181, 155–177 (1998) дои : 10.1016/S0012-365X(97)00052-6
^ Лукасевича , Studia Logica, 41, 1982, 3-16, Р. Чиньоли, Собственные n-значные алгебры Лукасевича как S-алгебры n -значных исчислений высказываний дои : 10.1007/BF00373490
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 10 августа 2014 г. Проверено 21 августа 2014 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

Чанг, CC (1958) «Алгебраический анализ многозначной логики», Труды Американского математического общества 88 : 476–490.
------ (1959) «Новое доказательство полноты аксиом Лукасевича», Труды Американского математического общества 88 : 74–80.
Чиньоли, РЛО, Д'Оттавиано, ИМЛ , Мундичи, Д. (2000) Алгебраические основы многозначного рассуждения . Клювер.
Ди Нола А., Леттьери А. (1993) «Эквациональная характеристика всех разновидностей MV-алгебр», Journal of Algebra 221 : 463–474. дои : 10.1006/jabr.1999.7900 .
Гаек, Петр (1998) Метаматематика нечеткой логики . Клювер.
Мундичи, Д.: Интерпретация AF C*-алгебр в исчислении предложений Лукасевича. Дж. Функц. Анальный. 65, 15–63 (1986) дои : 10.1016/0022-1236(86)90015-7

Дальнейшее чтение

Даниэле Мундичи, MV-АЛГЕБРА. Короткое руководство
Д. Мундичи (2011). Продвинутое исчисление Лукасевича и MV-алгебры . Спрингер. ISBN 978-94-007-0839-6 .
Мундичи, Д. C*-алгебры трехзначной логики. Логический коллоквиум '88, Материалы коллоквиума, проходившего в Падуе 61–77 (1989). дои : 10.1016/s0049-237x(08)70262-3
Кабрер, Л.М. и Мундичи, Д. Теорема Стоуна-Вейерштрасса для MV-алгебр и ℓ-групп с единицей. Журнал логики и вычислений (2014). два : 10.1093/logcom/exu023
Оливия Карамелло , Анна Карла Руссо (2014) Морита-эквивалентность между MV-алгебрами и абелевыми ℓ-группами с сильной единицей

Внешние ссылки

Стэнфордская энциклопедия философии : « Многозначная логика » — Зигфрид Готвальд .

[1] Фулис, диджей (01 октября 2000 г.). «Алгебры MV и эффектов Гейтинга». Основы физики . 30 (10): 1687–1706. Бибкод : 2000FoPh...30.1687F . дои : 10.1023/А:1026454318245 . ISSN 1572-9516 . S2CID 116763476 .

[2] «цитата по Дж. М. Фонту, А. Дж. Родригесу, А. Торренсу, «Алгебры Вайсберга», Stochastica , VIII, 1, 5–31, 1984» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 10 августа 2014 г. Проверено 21 августа 2014 г.

[Ciungu2013-3] Лавиния Корина Чиунгу (2013). Некоммутативные алгебры многозначной логики . Спрингер. стр. VII–VIII. ISBN 978-3-319-01589-7 .

[4] Йоргулеску, А.: Связи между MV _n -алгебрами и n -значными алгебрами Лукасевича – Мойсила — I. Дискретная математика. 181, 155–177 (1998) дои : 10.1016/S0012-365X(97)00052-6

[5] Лукасевича , Studia Logica, 41, 1982, 3-16, Р. Чиньоли, Собственные n-значные алгебры Лукасевича как S-алгебры n -значных исчислений высказываний дои : 10.1007/BF00373490

[6] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 10 августа 2014 г. Проверено 21 августа 2014 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]