Эквивалентность категорий

В теории категорий , разделе абстрактной математики , эквивалентность категорий — это отношение между двумя категориями , которое устанавливает, что эти категории «по существу одинаковы». Существует множество примеров категориальной эквивалентности из многих областей математики. Установление эквивалентности предполагает демонстрацию сильного сходства между рассматриваемыми математическими структурами. В некоторых случаях эти структуры могут показаться несвязанными на поверхностном или интуитивном уровне, что делает это понятие довольно мощным: оно создает возможность «переводить» теоремы между различными типами математических структур, зная, что основной смысл этих теорем сохраняется. под перевод.

Если категория эквивалентна противоположности (или двойственности) другой категории, то говорят о двойственность категорий и говорит, что эти две категории дуально эквивалентны .

Эквивалентность категорий состоит из функтора между задействованными категориями, который должен иметь «обратный» функтор. Однако, в отличие от ситуации, обычной для изоморфизмов в алгебраической ситуации, композиция функтора и его «обратного» не обязательно является тождественным отображением. Вместо этого достаточно, чтобы каждый объект был естественно изоморфен своему образу в этой композиции. Таким образом, можно описать функторы как «обратные с точностью до изоморфизма». Действительно, существует концепция изоморфизма категорий , где требуется строгая форма обратного функтора, но она имеет гораздо меньше практического применения, чем концепция эквивалентности .

Определение

Формально, для данных двух категорий C и D эквивалентность категорий состоит из функтора F : C → D , функтора G : D → C и двух естественных изоморфизмов ε: FG → I _D и η : I _C → GF . Здесь FG : D → D и GF : C → C обозначают соответствующие композиции F и G , а I _C : C → C и I _D : D → D обозначают тождественные функторы на C и D , присваивающие каждому объекту и морфизму сам. Если F и G — контравариантные функторы, вместо этого говорят о двойственности категорий .

Зачастую не указываются все вышеперечисленные данные. что категории C и D эквивалентны Например, мы говорим , (соответственно дуально эквивалентны ), если между ними существует эквивалентность (соответственно двойственность). Более того, мы говорим, что F «есть» эквивалентность категорий, если существуют обратный функтор G и естественные изоморфизмы, описанные выше. Однако обратите внимание, что знания F обычно недостаточно для восстановления G и естественных изоморфизмов: вариантов может быть много (см. пример ниже).

Альтернативные характеристики

Функтор F : C → D дает эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он одновременно:

полное любых двух объектов и _c1 c2 из _{индуцированное} C отображение Hom ₍ c1 , _C c2 ) _; → Hom _D ( Fc1 _{, т.е. для} , Fc2 _, ) F является сюръективным ,
точным , т.е. для любых двух c2 _и из C _{индуцированное} отображение Hom C ₍ c1 , _Fc1 c2 ) _, → _D ( c1 _, , Fc2 _{объектов} ) F инъективно Hom ; и
сюръективен (плотен) , т.е. каждый объект d в D изоморфен объекту формы Fc для c в C. по существу ^{[ 1 ]}

Это весьма полезный и часто применяемый критерий, поскольку не нужно явно конструировать «обратный» G и естественные изоморфизмы между FG , GF и тождественными функторами. С другой стороны, хотя вышеуказанные свойства гарантируют существование категориальной эквивалентности (при достаточно строгой версии аксиомы выбора в базовой теории множеств), недостающие данные не определены полностью, и часто существует много вариантов выбора. Рекомендуется по возможности явно указывать недостающие конструкции. В связи с этим обстоятельством функтор с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий . (К сожалению, это противоречит терминологии теории гомотопий .)

Существует также тесная связь с концепцией сопряженных функторов. $F\dashv G$ , где мы говорим, что $F:C\rightarrow D$ является левым сопряженным $G:D\rightarrow C$ , или, аналогично, G является правым сопряженным к F . Тогда C и D эквивалентны (как определено выше, поскольку существуют естественные изоморфизмы из и IC в _{в ID} GF ) _FG тогда и только тогда, когда $F\dashv G$ и оба F и G полны и верны.

Когда сопряженные функторы $F\dashv G$ не являются одновременно полными и точными, то мы можем рассматривать их отношение сопряженности как выражение «более слабой формы эквивалентности» категорий. Если предположить, что естественные преобразования присоединений заданы, все эти формулировки позволяют явно построить необходимые данные и никакие принципы выбора не нужны. Ключевое свойство, которое здесь необходимо доказать, состоит в том, что контрединица присоединения является изоморфизмом тогда и только тогда, когда правый сопряженный является полным и точным функтором.

Примеры

Рассмотрим категорию $C$ наличие одного объекта $c$ и один морфизм $1_{c}$ и категория $D$ с двумя объектами $d_{1}$ , $d_{2}$ и четыре морфизма: два тождественных морфизма $1_{d_{1}}$ , $1_{d_{2}}$ и два изоморфизма $\alpha \colon d_{1}\to d_{2}$ и $\beta \colon d_{2}\to d_{1}$ . Категории $C$ и $D$ эквивалентны; мы можем (например) иметь $F$ карта $c$ к $d_{1}$ и $G$ нанести на карту оба объекта $D$ к $c$ и все морфизмы на $1_{c}$ .
Напротив, категория $C$ с одним объектом и одним морфизмом не эквивалентно категории $E$ с двумя объектами и только двумя тождественными морфизмами. Два объекта в $E$ не изоморфны , поскольку между ними нет морфизмов. Таким образом, любой функтор из $C$ к $E$ не будет по существу сюръективным.
Рассмотрим категорию $C$ с одним объектом $c$ и два морфизма $1_{c},f\colon c\to c$ . Позволять $1_{c}$ быть тождественным морфизмом на $c$ и установить $f\circ f=1$ . Конечно, $C$ эквивалентно самому себе, что можно показать, взяв $1_{c}$ вместо требуемых естественных изоморфизмов между функтором $\mathbf {I} _{C}$ и сам. Однако верно также и то, что $f$ дает естественный изоморфизм из $\mathbf {I} _{C}$ самому себе. Следовательно, учитывая информацию о том, что тождественные функторы образуют эквивалентность категорий, в этом примере все же можно выбирать между двумя естественными изоморфизмами для каждого направления.
Категория множеств и частичных функций эквивалентна, но не изоморфна категории точечных множеств и отображений, сохраняющих точку. ^{[ 2 ]}
Рассмотрим категорию $C$ конечномерных категория вещественных векторных пространств и $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )$ всех действительных матриц (последняя категория объяснена в статье об аддитивных категориях ). Затем $C$ и $D$ эквивалентны: функтор $G\colon D\to C$ который отображает объект $A_{n}$ из $D$ в векторное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ и матрицы в $D$ соответствующим линейным отображениям является полным, точным и существенно сюръективным.
Одна из центральных тем алгебраической геометрии — двойственность категории аффинных схем и категории коммутативных колец . Функтор $G$ каждому коммутативному кольцу сопоставляется его спектр — схема, определяемая простыми идеалами кольца. Его сопряженный $F$ каждой аффинной схеме сопоставляет свое кольцо глобальных сечений.
В функциональном анализе категория коммутативных -алгебр с единицей контравариантно эквивалентна категории бикомпактов С * . В соответствии с этой двойственностью каждый компакт Хаусдорфа $X$ связана с алгеброй непрерывных комплекснозначных функций на $X$ , и каждой коммутативной С*-алгебре соответствует пространство ее максимальных идеалов . Это представление Гельфанда .
В теории решеток существует ряд двойственностей, основанных на теоремах о представлении , которые связывают определенные классы решеток с классами топологических пространств . Вероятно, наиболее известной теоремой такого рода является теорема Стоуна о представлении булевых алгебр , которая является частным случаем в общей схеме двойственности Стоуна . Каждая булева алгебра $B$ отображается в определенную топологию на ультрафильтров множестве $B$ . И наоборот, для любой топологии открыто-открытые (т.е. замкнутые и открытые) подмножества дают булеву алгебру. Получается двойственность между категорией булевых алгебр (с их гомоморфизмами) и пространствами Стоуна (с непрерывными отображениями). Другой случай двойственности Стоуна - это теорема о представлении Биркгофа, утверждающая двойственность между конечными частичными порядками и конечными дистрибутивными решетками.
В бессмысленной топологии категория пространственных локалей, как известно, эквивалентна двойственной категории трезвых пространств.
Для двух колец R и S категория произведения R - Mod × S - Mod эквивалентна ( R × S ) -Mod . ^{[ нужна ссылка ]}
Любая категория эквивалентна своему скелету .

Характеристики

Как правило, эквивалентность категорий сохраняет все «категоричные» понятия и свойства. Если F : C → D является эквивалентностью, то все следующие утверждения верны:

объект c из C является начальным объектом (или конечным объектом , или нулевым объектом ), тогда и только тогда, когда Fc является начальным объектом (или конечным объектом , или нулевым объектом ) из D
морфизм α в C является мономорфизмом (или эпиморфизмом , или изоморфизмом ), тогда и только тогда, когда Fα — мономорфизм (или эпиморфизм, или изоморфизм) в D .
функтор H : I → C имеет предел (или копредел) l тогда и только тогда, когда функтор FH : I → D имеет предел (или копредел) Fl . Это может быть применено, среди прочего, к эквалайзерам , продуктам и сопутствующим продуктам . Применяя его к ядрам и коядрам , мы видим, что эквивалентность F является точным функтором .
C является декартовой замкнутой категорией (или топосом ) тогда и только тогда, когда D является декартово замкнутой (или топосом).

Дуальности «переворачивают все понятия»: они превращают исходные объекты в терминальные объекты, мономорфизмы в эпиморфизмы, ядра в коядра, пределы в копределы и т. д.

Если F : C → D — эквивалентность категорий, а G ₁ и G ₂ — две обратные категории F , то G ₁ и G ₂ естественно изоморфны.

Если F : C → D — эквивалентность категорий, и если C — преаддитивная категория (или аддитивная категория , или абелева категория ), то D можно превратить в преаддитивную категорию (или аддитивную категорию, или абелеву категорию) в таком способ, которым F становится аддитивным функтором . С другой стороны, любая эквивалентность между аддитивными категориями обязательно аддитивна. (Обратите внимание, что последнее утверждение неверно для эквивалентностей между предаддитивными категориями.)

Автоэквивалентностью → категории C эквивалентность F : C . C называется Автоэквивалентности C образуют группу композиции, если мы считаем две автоэквивалентности, которые естественно изоморфны, идентичными. Эта группа отражает основные «симметрии C. » (Одно предостережение: если C не является маленькой категорией, то автоэквивалентности C могут образовывать собственный класс , а не множество .)

См. также

Ссылки

^ Мак Лейн (1998), Теорема IV.4.1
^ Лутц Шредер (2001). «Категории: бесплатная экскурсия». В Юргене Козловски и Остине Мелтоне (ред.). Категориальные перспективы . Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3 .

эквивалентность категорий в n Lab
«Эквивалентность категорий» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Нью-Йорк: Спрингер. стр. xii+314. ISBN 0-387-98403-8 .

[1] Мак Лейн (1998), Теорема IV.4.1

[KoslowskiMelton2001-2] Лутц Шредер (2001). «Категории: бесплатная экскурсия». В Юргене Козловски и Остине Мелтоне (ред.). Категориальные перспективы . Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3 .

[ 1 ]

[ 2 ]