Продукт подмножеств группы
В математике можно определить произведение подмножеств групп естественным образом . Если S и T являются подмножествами группы G определенное , то их продуктом является подмножество G, формулой
Подмножества S и T не обязательно должны быть подгруппами , чтобы этот продукт был корректно определен. Ассоциативность ассоциативности этого продукта вытекает из группового продукта. Таким образом, произведение групповых подмножеств определяет естественную моноидную структуру на множестве степеней G .
Гораздо больше можно сказать в случае, когда S и T являются подгруппами. Произведение двух подгрупп S и T группы G само является подгруппой G тогда и только тогда, когда ST = TS .
Товар подгрупп
[ редактировать ]Если S и T — подгруппы G , их произведение не обязательно должно быть подгруппой (например, две различные подгруппы порядка 2 в симметричной группе на 3 символах). Это произведение иногда называют произведением Фробениуса . [1] В общем случае произведение двух подгрупп S и T является подгруппой тогда и только тогда, когда ST = TS , [2] и говорят, что эти две подгруппы переставляют местами . ( Вальтер Ледерманн назвал этот факт теоремой о произведении , [3] но это имя, как и «произведение Фробениуса», ни в коем случае не является стандартным.) В данном случае ST — это группа порожденная , S и T ; т. е. ST = TS = ⟨ S ∪ T ⟩.
Если либо S , либо T нормальны , то условие ST = TS выполнено и произведение является подгруппой. [4] [5] Если и S , и T нормальны, то и произведение тоже нормальное. [4]
Если S и T — конечные подгруппы группы G , то ST — подмножество G размера |ST| определяется формулой произведения :
Обратите внимание, что это применимо, даже если ни S, ни T не являются нормальными.
Модульный закон
[ редактировать ]Следующий модульный закон (для групп) справедлив для любой Q подгруппы S , где T — любая другая произвольная подгруппа (и S и T являются подгруппами некоторой группы G ):
- Q ( S ∩ Т ) знак равно S ∩ ( QT ).
Два продукта, фигурирующие в этом равенстве, не обязательно являются подгруппами.
Если QT — подгруппа (эквивалентно, как отмечалось выше, если Q и T переставляют места), то QT = ⟨ Q ∪ T ⟩ = Q ∨ T ; т. е. QT является соединением Q и и T в решетке подгрупп группы G , модульный закон для такой пары также может быть записан как Q ∨ ( S ∩ T ) = S ∩ ( Q ∨ T ), что является уравнение, определяющее модулярную решетку , если оно справедливо для любых трех элементов решетки с Q ≤ S . В частности, поскольку нормальные подгруппы переставляются друг с другом, они образуют модулярную подрешетку .
Группа, в которой каждая подгруппа перестановлена, называется группой Ивасавы . Таким образом, решетка подгрупп группы Ивасавы является модулярной решеткой, поэтому эти группы иногда называют модулярными группами. [6] (хотя этот последний термин может иметь и другие значения.)
Предположение модулярного закона для групп (сформулированного выше) о том, что Q является подгруппой S, является существенным. Если Q является не подгруппой S , то предварительное, более общее дистрибутивное свойство, которое можно считать S ∩ ( QT ) = ( S ∩ Q )( S ∩ T ) , неверно . [7] [8]
Произведение подгрупп с тривиальным пересечением
[ редактировать ]В частности, если S и T пересекаются только по тождеству, то каждый элемент ST имеет уникальное выражение как произведение st с s в S и t в T . Если S и T также коммутируют, то ST является группой и называется произведением Заппы – Сепа . Более того, если или T нормальны в ST , то ST совпадает с произведением S S и T. полупрямым Наконец, если и , T нормальны в ST , то ST совпадает с прямым произведением S S и T. и
Если S и T — подгруппы, пересечением которых является тривиальная подгруппа (единичный элемент) и дополнительно ST = G , то S называется дополнением к T и наоборот.
Из-за (локально однозначного) злоупотребления терминологией две подгруппы, пересекающиеся только по (в противном случае обязательному) тождеству, иногда называют непересекающимися . [9]
Произведение подгрупп с нетривиальным пересечением
[ редактировать ]В случае нетривиального пересечения нормальной подгруппы N и подгруппы K возникает вопрос : какова структура фактора NK / N ? Хотя может возникнуть соблазн просто «отменить» N и сказать, что ответ — K , это неверно, потому что гомоморфизм с ядром N также «схлопнет» (отобразит в 1) все элементы , которые оказались в N. K Таким образом, правильный ответ состоит в том, что NK / N изоморфен K /( N ∩ K ). Этот факт иногда называют второй теоремой об изоморфизме . [10] (хотя нумерация этих теорем различается у разных авторов); также назвал ее теоремой ромба из И. Мартин Айзекс -за формы решётки подгрупп, [11] и также было названо правилом параллелограмма Полом Морицем Коном , который, таким образом, подчеркнул аналогию с правилом параллелограмма для векторов, поскольку в полученной решетке подгрупп предполагается, что две стороны представляют факторгруппы ( SN )/ N и S /( S ∩ N ) «равны» в смысле изоморфизма. [12]
Аргумент Фраттини гарантирует существование произведения подгрупп (дающего начало всей группе) в случае, когда пересечение не обязательно тривиально (и по этой последней причине две подгруппы не являются дополнениями). Более конкретно, если — конечная группа с нормальной подгруппой , и если силовская p - подгруппа группы N , то G = NG G ( P ) N , где NG ( P — ) обозначает нормализатор P P в G. N что нормализатор P включает P , поэтому пересечение между N и NG (Обратите внимание , ( P ) равно как минимум P .)
Обобщение на полугруппы
[ редактировать ]В полугруппе S произведение двух подмножеств определяет структуру полугруппы на P(S), степенного множества полугруппы S; более того, P(S) — полукольцо со сложением как объединением (подмножеств) и умножением как произведением подмножеств. [13]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп . Вальтер де Грюйтер. п. 1 . ISBN 978-3-11-022061-2 .
- ^ В. Кейт Николсон (2012). Введение в абстрактную алгебру (4-е изд.). Джон Уайли и сыновья. Лемма 2, с. 125. ИСБН 978-1-118-13535-8 .
- ^ Уолтер Ледерманн, Введение в теорию групп , 1976, Лонгман, ISBN 0-582-44180-3 , с. 52
- ^ Перейти обратно: а б Николсон, 2012, Теорема 5, с. 125
- ^ Дэвид А. Р. Уоллес (1998). Группы, кольца и поля . Springer Science & Business Media. Теорема 14, с. 123. ИСБН 978-3-540-76177-8 .
- ^ Баллестер-Болинчес, Эстебан-Ромеро, Асаад, с. 24
- ^ Дерек Робинсон (1996). Курс теории групп . Springer Science & Business Media. п. 15. ISBN 978-0-387-94461-6 .
- ^ Пол Мориц Кон (2000). Классическая алгебра . Уайли. стр. 248 . ISBN 978-0-471-87731-8 .
- ^ Л. Фукс (1970). Бесконечные абелевы группы. Том I. Академическая пресса. п. 37. ИСБН 978-0-08-087348-0 .
- ^ Дэн Сарасино (1980). Абстрактная алгебра: первый курс . Аддисон-Уэсли. п. 123 . ISBN 0-201-07391-9 .
- ^ И. Мартин Айзекс (1994). Алгебра: Высший курс . Американское математическое соц. п. 33 . ISBN 978-0-8218-4799-2 .
- ^ Пол Мориц Кон (2000). Классическая алгебра . Уайли. п. 245 . ISBN 978-0-471-87731-8 .
- ^ Жан Э. Пин (1989). Формальные свойства конечных автоматов и их приложения: Весенняя школа LITP по теоретической информатике, Раматюэль, Франция, 23–27 мая 1988 г. Труды . Springer Science & Business Media. п. 35. ISBN 978-3-540-51631-6 .
- Ротман, Джозеф (1995). Введение в теорию групп (4-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94285-8 .