Вспомогательная функция

В математике — вспомогательные функции важная конструкция трансцендентной теории чисел . Это функции , которые встречаются в большинстве доказательств в этой области математики и обладают особыми желательными свойствами, такими как принятие нулевого значения для многих аргументов или наличие в какой-то момент нуля высокого порядка .

Определение

Вспомогательные функции не являются строго определенным видом функций, скорее, это функции, которые либо явно построены, либо, по крайней мере, показано, что существуют, и которые противоречат некоторой предполагаемой гипотезе или иным образом доказывают рассматриваемый результат. Создание функции в ходе доказательства с целью доказать результат не является методом, эксклюзивным для теории трансцендентности, но термин «вспомогательная функция» обычно относится к функциям, созданным в этой области.

Явные функции

Критерий трансцендентности Лиувилля

Из-за упомянутого выше соглашения об именах вспомогательные функции можно датировать их источником, просто взглянув на самые ранние результаты теории трансцендентности. Одним из этих первых результатов было Лиувиллем доказательство существования трансцендентных чисел , когда он показал, что так называемые числа Лиувилля трансцендентны. Он сделал это, открыв критерий трансцендентности, которому удовлетворяли эти числа. Чтобы вывести этот критерий, он начал с общего алгебраического числа α и нашел некоторое свойство, которому это число обязательно должно удовлетворять. Вспомогательной функцией, которую он использовал при доказательстве этого критерия, был просто минимальный многочлен от α, который представляет собой неприводимый многочлен f с целыми коэффициентами такой, что f (α) = 0. Эту функцию можно использовать для оценки того, насколько хорошо алгебраическое число α можно оценить рациональными числами p / q . В частности, если α имеет степень d не менее двух, он показал, что

$\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{d}}},$

а также, используя теорему о среднем значении , что существует некоторая константа, зависящая от α, скажем, c (α), такая, что

$\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\leq c(\alpha )\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.$

Объединение этих результатов дает свойство, которому должно удовлетворять алгебраическое число; поэтому любое число, не удовлетворяющее этому критерию, должно быть трансцендентным.

Вспомогательная функция в работе Лиувилля очень проста: это всего лишь полином, обращающийся в нуль при заданном алгебраическом числе. Обычно этому типу свойств удовлетворяют вспомогательные функции. Они либо исчезают, либо становятся очень маленькими в определенных точках, что обычно сочетается с предположением, что они не исчезают или не могут быть слишком малы для получения результата.

Доказательство Фурье иррациональности e

Еще одно простое раннее явление - в доказательстве Фурье иррациональности e : хотя используемые обозначения обычно скрывают этот факт. В доказательстве Фурье использовался степенной ряд показательной функции :

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$

Усекая этот степенной ряд, скажем, после N + 1 слагаемого, мы получаем многочлен с рациональными коэффициентами степени N , который в некотором смысле «близок» к функции e ^х . В частности, если мы посмотрим на вспомогательную функцию, определяемую остатком:

$R(x)=e^{x}-\sum _{n=0}^{N}{\frac {x^{n}}{n!}}$

тогда эта функция — экспоненциальный полином — должна принимать малые значения при x, близком к нулю. Если e — рациональное число, то, полагая x = 1 в приведенной выше формуле, мы видим, что R (1) также является рациональным числом. Однако Фурье доказал, что R (1) не может быть рациональным, исключив все возможные знаменатели. Таким образом, e не может быть рациональным.

Доказательство Эрмита иррациональности e ^р

Эрмит расширил работу Фурье, аппроксимировав функцию e ^х не с многочленом, а с рациональной функцией , которая является частным двух многочленов. В частности, он выбрал полиномы A ( x ) и B ( x ) такие, что вспомогательная функция R, определенная формулой

$R(x)=B(x)e^{x}-A(x)$

можно было сделать настолько маленьким, насколько он хотел, около x = 0. Но если e ^р были бы рациональными, то R ( r ) должно было бы быть рациональным с определенным знаменателем, однако Эрмит мог бы сделать R ( r ) слишком маленьким, чтобы иметь такой знаменатель, отсюда противоречие.

Доказательство Эрмита трансцендентности e

Чтобы доказать, что е на самом деле трансцендентно, Эрмит пошел еще дальше в своей работе, аппроксимировав не только функцию е ^х , но и функции e ^кх для целых чисел k = 1,..., m , где он предполагал, что e алгебраическое со степенью m . Аппроксимируя e ^кх рациональными функциями с целыми коэффициентами и с тем же знаменателем, скажем, A _k ( x ) / B ( x ), он мог бы определить вспомогательные функции R _k ( x ) по формуле

$R_{k}(x)=B(x)e^{kx}-A_{k}(x).$

Для решения своего противоречия Эрмит предположил, что e удовлетворяет полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами a ₀ + a ₁ e + ... + a _m e ^м = 0. Умножив это выражение на B (1), он заметил, что из этого следует

$R=a_{0}+a_{1}R_{1}(1)+\cdots +a_{m}R_{m}(1)=a_{1}A_{1}(1)+\cdots +a_{m}A_{m}(1).$

Правая часть представляет собой целое число, поэтому, оценив вспомогательные функции и доказав, что 0 < | р | < 1 он вывел необходимое противоречие.

Вспомогательные функции по принципу «ячейки»

Основная статья: лемма Сигела

Все вспомогательные функции, описанные выше, можно явно вычислить и с ними можно работать. Прорывом Акселя Туэ и Карла Людвига Зигеля в двадцатом веке стало осознание того, что эти функции не обязательно должны быть известны явно — может быть достаточно знать, что они существуют и обладают определенными свойствами. Используя принцип голубиного отверстия , Туэ, а позже и Сигелу, удалось доказать существование вспомогательных функций, которые, например, принимали нулевое значение во многих различных точках или принимали нули высокого порядка в меньшем наборе точек. Более того, они доказали, что такие функции можно построить, не делая их слишком большими. Таким образом, их вспомогательные функции не были явными функциями, но, зная, что существует определенная функция с определенными свойствами, они использовали ее свойства, чтобы упростить доказательства трансцендентности девятнадцатого века и дать несколько новых результатов.

Этот метод был подхвачен и использован несколькими другими математиками, в том числе Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером, которые независимо использовали его для доказательства теоремы Гельфонда-Шнайдера . Алан Бейкер также использовал этот метод в 1960-х годах для своей работы над линейными формами в логарифмах и, в конечном итоге, над теоремой Бейкера . Ниже приведен еще один пример использования этого метода из 1960-х годов.

Вспомогательная полиномиальная теорема

Пусть β равно кубическому корню из b/a в уравнении ax ³ + бх ³ = c и предположим, что m — целое число, удовлетворяющее условию m + 1 > 2 n /3 ≥ m ≥ 3, где n — положительное целое число.

Тогда существует

$F(X,Y)=P(X)+Y*Q(X)$

такой, что

$\sum _{i=0}^{m+n}u_{i}X^{i}=P(X),$

$\sum _{i=0}^{m+n}v_{i}X^{i}=Q(X).$

Теорема о вспомогательном полиноме утверждает

$\max _{0\leq i\leq m+n}{(|u_{i}|,|v_{i}|)}\leq 2b^{9(m+n)}.$

Теорема Ланга

Основная статья: теорема Шнайдера – Ланга

В 1960-х годах Серж Ланг доказал результат, используя эту неявную форму вспомогательных функций. Из теоремы следует как теоремы Эрмита–Линдемана , так и теоремы Гельфонда–Шнайдера . В теореме рассматривается числовое поле K и мероморфные функции f ₁ ,..., f _N порядка не выше ρ , по крайней мере две из которых алгебраически независимы и такие, что если мы дифференцируем любую из этих функций, то результатом будет полином по всем функциям. При этих гипотезах теорема утверждает, что если существует m различных комплексных чисел ω ₁ ,...,ω _m таких, что ( _fi ω _j   ) находится в K для всех комбинаций i и j , то m ограничено выражением

$m\leq 20\rho [K:\mathbb {Q} ].$

Чтобы доказать результат, Лэнг взял две алгебраически независимые функции из , _f1 ..., fN _g , скажем, и g , а затем создал вспомогательную функцию, которая была просто многочленом F от f и f . Эту вспомогательную функцию нельзя было явно сформулировать, поскольку f и g явно не известны. Но, используя лемму Зигеля, Ланг показал, как сделать F таким образом, чтобы оно исчезало в высоком порядке при m комплексных числах.ω ₁ ,...,ω _м . Из-за этого исчезновения высокого порядка можно показать, что производная высокого порядка от F принимает значение небольшого размера из ω _i s, «размер» здесь относится к алгебраическому свойству числа. Используя принцип максимума модуля, Лэнг также нашел отдельный способ оценить абсолютные значения производных F и, используя стандартные результаты сравнения размера числа и его абсолютного значения, он показал, что эти оценки противоречат, если не выполняется заявленная граница для m .

Определители интерполяции

После множества успехов, достигнутых при использовании существующих, но не явных вспомогательных функций, в 1990-х годах Мишель Лоран представил идею интерполяционных определителей. Это альтернанты – определители матриц вида

${\mathcal {M}}=\left(\varphi _{i}(\zeta _{j})\right)_{1\leq i,j\leq N}$

где φ _i — набор функций, интерполированных в множестве точек ζ _j . Поскольку определитель — это всего лишь полином от элементов матрицы, эти вспомогательные функции поддаются изучению аналитическими методами. Проблема с методом заключалась в необходимости выбрать основу, прежде чем можно будет работать с матрицей. Разработка Жана-Бенуа Боста устранила эту проблему с использованием теории Аракелова . и исследования в этой области продолжаются. Пример ниже дает представление об особенностях этого подхода.

Доказательство теоремы Эрмита–Линдемана.

Одним из более простых применений этого метода является доказательство вещественной версии теоремы Эрмита–Линдемана . То есть, если α — ненулевое действительное алгебраическое число, то e ^а является трансцендентальным. Сначала пусть k — некоторое натуральное число, а n — большое кратное k . определитель интерполяции представляет собой определитель Δ n Рассматриваемый ⁴ × n ⁴ матрица

$\left(\{\exp(j_{2}x)x^{j_{1}-1}\}^{(i_{1}-1)}{\Big |}_{x=(i_{2}-1)\alpha }\right).$

Строки этой матрицы нумеруются 1 ≤ i ₁ ≤ n ⁴ / k и 1 ≤ i ₂ ≤ k , а столбцы индексируются 1 ≤ j ₁ ≤ n ³ и 1 ≤ j ₂ ≤ п . Таким образом, функции в нашей матрице являются мономами по x и e. ^х и их производные, и мы интерполируем в k точках 0,α,2α,...,( k − 1)α. Предполагая, что е ^а является алгебраическим, мы можем сформировать числовое поле Q (α, e ^а ) степени m над Q , а затем умножить ∆ на подходящий знаменатель , а также все ее образы при вложениях поля Q (α, e ^а в С. ) По алгебраическим причинам это произведение обязательно является целым числом, и, используя аргументы, относящиеся к вронскианам, можно показать, что оно не равно нулю, поэтому его абсолютное значение представляет собой целое число Ω ≥ 1.

Используя версию теоремы о среднем значении для матриц, можно также получить аналитическую оценку для Ω, и фактически, используя обозначение большого О, мы имеем

$\Omega =O\left(\exp \left(\left({\frac {m+1}{k}}-{\frac {3}{2}}\right)n^{8}\log n\right)\right).$

Число m фиксируется степенью поля Q (α, e ^а ), но k — это количество точек, в которых мы интерполируем, поэтому мы можем увеличить его по своему желанию. А как только k > 2( m + 1)/3, мы будем иметь Ω → 0, что в конечном итоге противоречит установленному условию Ω ≥ 1. Таким образом, e ^а в конце концов не может быть алгебраическим.

Ссылки

• Вальдшмидт, Мишель. «Введение в методы иррациональности и трансцендентности» (PDF) .
• Лиувилл, Жозеф (1844). «Об очень обширных классах величин, значение которых не является ни алгебраическим, ни даже сводимым к алгебраическим иррациональным числам». Дж. Математика. Чистое приложение . 18 : 883–885 и 910–911.
• Эрмит, Чарльз (1873). «О показательной функции». ЧР акад. наук. Париж . 77 .
• Туэ, Аксель (1977). Избранные математические статьи . Осло: Университетское издательство.
• Сигель, Карл Людвиг (1929). «О некоторых приложениях диофантовых приближений». Трактаты Акад. Берлин . 1:70 .
• Сигель, Карл Людвиг (1932). «О периодах эллиптических функций». Журнал чистой и прикладной математики . 1932 (167): 62–69. дои : 10.1515/crll.1932.167.62 . S2CID   199545608 .
• Гельфонд, АО (1934). «О седьмой проблеме Д. Гильберта». Изв. Акад. Наук СССР . 7 :623–630.
• Шнайдер, Теодор (1934). «Исследование трансцендентности периодических функций. I. Трансцендентность степеней». Дж. Рейн Анжью. Математика . 172 : 65–69.
• Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Г. (2007), «Логарифмические формы и диофантова геометрия», Новые математические монографии , том. 9, Издательство Кембриджского университета, с. 198
• Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа . Издательская компания Аддисон-Уэсли.
• Лоран, Мишель (1991). «О некоторых недавних результатах трансцендентности». Звездочка . 198–200: 209–230.
• Бост, Жан-Бенуа (1996). «Периоды и изогении абелевых многообразий на числовых полях (по Д. Массеру и Г. Вюстгольцу)». Звездочка . 237 :795.
• Пила, Джонатан (1993). «Геометрическое и арифметическое постулирование показательной функции» . Дж. Аустрал. Математика. Соц . А. 54 : 111–127. дои : 10.1017/s1446788700037022 .