скаляр Лоренца
В релятивистской теории физики инвариантно скаляр Лоренца — это скалярное выражение, значение которого при любом преобразовании Лоренца . Скаляр Лоренца может быть сгенерирован, например, из скалярного произведения векторов или путем сжатия тензоров. Хотя компоненты сжатых величин могут меняться при преобразованиях Лоренца, скаляры Лоренца остаются неизменными.
Простой скаляр Лоренца в пространстве-времени Минковского — это пространственно-временное расстояние («длина» их разницы) двух фиксированных событий в пространстве-времени. Хотя «положения»-4-векторов событий изменяются между разными инерциальными системами отсчета, их пространственно-временное расстояние остается инвариантным при соответствующем преобразовании Лоренца. Другими примерами скаляров Лоренца являются «длина» 4-скоростей (см. ниже) или кривизна Риччи в точке пространства-времени из общей теории относительности является сокращением тензора кривизны Римана , которая там .
Простые скаляры в специальной теории относительности
[ редактировать ]Длина вектора положения
[ редактировать ]
В специальной теории относительности положение частицы в 4-мерном пространстве-времени определяется выражением где - положение частицы в трехмерном пространстве, - скорость в трехмерном пространстве и это скорость света .
«Длина» вектора является скаляром Лоренца и определяется выражением где — собственное время, измеренное часами в системе покоя частицы, а метрика Минковского определяется выражением Это временной показатель.
Часто используется альтернативная сигнатура метрики Минковского , в которой знаки единиц меняются местами. Это пространственная метрика.
В метрике Минковского пространственноподобный интервал определяется как
В оставшейся части статьи мы используем пространственную метрику Минковского.
Длина вектора скорости
[ редактировать ]
Скорость в пространстве-времени определяется как где
Величина 4-скорости является скаляром Лоренца,
Следовательно, — скаляр Лоренца.
Внутренний продукт ускорения и скорости
[ редактировать ]4-ускорение определяется выражением
4-ускорение всегда перпендикулярно 4-скорости.
Следовательно, мы можем рассматривать ускорение в пространстве-времени как просто вращение 4-скорости. Внутреннее произведение ускорения и скорости является скаляром Лоренца и равно нулю. Это вращение является просто выражением сохранения энергии: где это энергия частицы и – 3-сила, действующая на частицу.
Энергия, масса покоя, 3-импульс и 3-скорость от 4-импульса.
[ редактировать ]4-импульс частицы равен где – масса покоя частицы, - импульс в трехмерном пространстве, а это энергия частицы.
Энергия частицы
[ редактировать ]Рассмотрим вторую частицу с 4-скоростью и 3-скоростной . В системе покоя второй частицы внутренний продукт с пропорциональна энергии первой частицы где индекс 1 указывает на первую частицу.
Поскольку соотношение истинно в системе покоя второй частицы, оно верно и в любой системе отсчета. , энергия первой частицы в системе второй частицы, является скаляром Лоренца. Поэтому, в любой инерциальной системе отсчета, где по-прежнему является энергией первой частицы в системе второй частицы.
Масса покоя частицы
[ редактировать ]В системе покоя частицы внутренний продукт импульса равен
Следовательно, масса покоя ( m ) является скаляром Лоренца. Отношение остается верным независимо от кадра, в котором вычисляется внутренний продукт. Во многих случаях масса покоя записывается как чтобы избежать путаницы с релятивистской массой, которая .
3-импульс частицы
[ редактировать ]Обратите внимание, что
Квадрат величины 3-импульса частицы, измеренный в системе отсчёта второй частицы, является скаляром Лоренца.
Измерение 3-скорости частицы
[ редактировать ]3-скорость в рамках второй частицы может быть построена из двух скаляров Лоренца.
Более сложные скаляры
[ редактировать ]Скаляры также могут быть построены из тензоров и векторов, из сжатия тензоров (таких как ) или комбинации сокращений тензоров и векторов (например, ).
Ссылки
[ редактировать ]- Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уиллер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 .
- Ландау, Л.Д. и Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое исправленное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN 0-08-018176-7 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]СМИ, связанные со скаляром Лоренца, на Викискладе?