Теория Чепмена – Энскога

Теория Чепмена-Энскога обеспечивает основу, в которой уравнения гидродинамики газа могут быть получены из уравнения Больцмана . Этот метод оправдывает феноменологические определяющие соотношения, возникающие в гидродинамических описаниях, таких как уравнения Навье – Стокса . При этом получаются выражения для различных коэффициентов переноса, таких как теплопроводность и вязкость, через молекулярные параметры. Таким образом, теория Чепмена-Энскога представляет собой важный шаг в переходе от микроскопического описания, основанного на частицах, к континуальному гидродинамическому описанию.

Теория названа в честь Сиднея Чепмена и Дэвида Энскога , которые представили ее независимо в 1916 и 1917 годах. ^[1]

Описание

Отправной точкой теории Чепмена–Энскога является уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения. $f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)$ :

{\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\hat {C}}f,

где ${\hat {C}}$ нелинейный интегральный оператор, моделирующий эволюцию $f$ при межчастичных столкновениях. Эта нелинейность затрудняет решение полного уравнения Больцмана и мотивирует разработку приближенных методов, таких как метод, предоставляемый теорией Чепмена-Энскога.

Учитывая эту отправную точку, различные предположения, лежащие в основе уравнения Больцмана, переносятся и на теорию Чепмена-Энскога. Самый простой из них требует разделения масштаба между продолжительностью столкновения $\tau _{\mathrm {c} }$ и среднее свободное время между столкновениями $\tau _{\mathrm {f} }$ : $\tau _{\mathrm {c} }\ll \tau _{\mathrm {f} }$ . Это условие гарантирует, что столкновения являются четко определенными событиями в пространстве и времени, и выполняется, если безразмерный параметр $\gamma \equiv r_{\mathrm {c} }^{3}n$ мал, где $r_{\mathrm {c} }$ – диапазон межчастичных взаимодействий и $n$ это плотность числа. ^[2] В дополнение к этому предположению теория Чепмена – Энскога также требует, чтобы $\tau _{\mathrm {f} }$ намного меньше любых внешних временных масштабов $\tau _{\text{ext}}$ . Это временные рамки, связанные с членами левой части уравнения Больцмана, которые описывают изменения состояния газа на макроскопических длинах. Обычно их значения определяются начальными/граничными условиями и/или внешними полями. Такое разделение масштабов означает, что столкновительный член в правой части уравнения Больцмана намного меньше, чем потоковые члены в левой части. Таким образом, приближенное решение можно найти из

{\hat {C}}f=0.

Можно показать, что решение этого уравнения является гауссовским :

f=n(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)\right)^{2}}{2k_{B}T(\mathbf {r} ,t)}}\right],

где $m$ это масса молекулы и $k_{B}$ — постоянная Больцмана . ^[3] Говорят, что газ находится в локальном равновесии , если он удовлетворяет этому уравнению. ^[4] Предположение о локальном равновесии приводит непосредственно к уравнениям Эйлера , которые описывают жидкости без диссипации, т.е. с теплопроводностью и вязкостью, равными $0$ . Основная цель теории Чепмена-Энскога - систематическое получение обобщений уравнений Эйлера, учитывающих диссипацию. Это достигается путем выражения отклонений от локального равновесия в виде пертурбативного ряда по числу Кнудсена. ${\text{Kn}}$ , что мало, если $\tau _{\mathrm {f} }\ll \tau _{\text{ext}}$ . Концептуально полученные гидродинамические уравнения описывают динамическое взаимодействие между свободным потоком и межчастичными столкновениями. Последние имеют тенденцию подталкивать газ к локальному равновесию, тогда как первые воздействуют на пространственные неоднородности, выводя газ из локального равновесия. ^[5] Когда число Кнудсена порядка 1 и более, газ в рассматриваемой системе нельзя назвать жидкостью.

Для первого заказа в ${\text{Kn}}$ получаются уравнения Навье–Стокса . Второй и третий порядки приводят соответственно к уравнениям Бернетта и суперуравнениям Бернетта.

Математическая формулировка

Поскольку число Кнудсена не появляется в уравнении Больцмана явно, а неявно в терминах функции распределения и граничных условий, фиктивная переменная $\varepsilon$ введен для отслеживания соответствующих заказов в расширении Чепмена – Энскога:

{\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {1}{\varepsilon }}{\hat {C}}f.

Маленький $\varepsilon$ подразумевает коллизионный член ${\hat {C}}f$ доминирует в потоковом термине $\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}$ , что то же самое, что сказать, что число Кнудсена мало. Таким образом, подходящей формой разложения Чепмена – Энскога является

f=f^{(0)}+\varepsilon f^{(1)}+\varepsilon ^{2}f^{(2)}+\cdots \ .

Решения, которые можно формально разложить таким образом, известны как нормальные решения уравнения Больцмана. ^[6] Этот класс решений исключает непертурбативные вклады (такие как $e^{-1/\varepsilon }$ ), которые возникают в пограничных слоях или вблизи внутренних ударных слоев . Таким образом, теория Чепмена-Энскога ограничена ситуациями, в которых такими решениями можно пренебречь.

Подставив это разложение и приравняв порядки $\varepsilon$ приводит к иерархии

{\begin{aligned}J(f^{(0)},f^{(0)})&=0\\2J(f^{(0)},f^{(n)})&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\right)f^{(n-1)}-\sum _{m=1}^{n-1}J(f^{(n)},f^{(n-m)}),\qquad n>0,\end{aligned}}

где $J$ — интегральный оператор, линейный по обоим аргументам, удовлетворяющий условию $J(f,g)=J(g,f)$ и $J(f,f)={\hat {C}}f$ . Решение первого уравнения является гауссовским:

f^{(0)}=n'(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)\right)^{2}}{2k_{B}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right].

для некоторых функций $n'(\mathbf {r} ,t)$ , $\mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)$ , и $T'(\mathbf {r} ,t)$ . Выражение для $f^{(0)}$ предполагает связь между этими функциями и физическими гидродинамическими полями, определяемыми как моменты $f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)$ :

{\begin{aligned}n(\mathbf {r} ,t)&=\int f\,d\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)\mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)&=\int \mathbf {v} f\,d\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)T(\mathbf {r} ,t)&=\int {\frac {m}{3k_{B}}}\mathbf {v} ^{2}f\,d\mathbf {v} .\end{aligned}}

Однако с чисто математической точки зрения эти два набора функций не обязательно одинаковы для $\varepsilon >0$ (для $\varepsilon =0$ они равны по определению). Действительно, систематически продвигаясь по иерархии, можно обнаружить, что аналогично $f^{(0)}$ , каждый $f^{(n)}$ также содержит произвольные функции $\mathbf {r}$ и $t$ связь которых с физическими гидродинамическими полями априори неизвестна. Одно из ключевых упрощающих предположений теории Чепмена-Энскога состоит в том, чтобы предположить, что эти произвольные функции могут быть записаны через точные гидродинамические поля и их пространственные градиенты. Другими словами, пространственная и временная зависимость $f$ входит лишь неявно через гидродинамические поля. Это утверждение физически правдоподобно, поскольку малые числа Кнудсена соответствуют гидродинамическому режиму, при котором состояние газа определяется исключительно гидродинамическими полями. В случае $f^{(0)}$ , функции $n'(\mathbf {r} ,t)$ , $\mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)$ , и $T'(\mathbf {r} ,t)$ предполагаются в точности равными физическим гидродинамическим полям.

Хотя эти предположения физически правдоподобны, остается вопрос, действительно ли существуют решения, удовлетворяющие этим свойствам. Точнее, нужно показать, что существуют решения, удовлетворяющие

{\begin{aligned}\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}\,d\mathbf {v} =0=\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}\mathbf {v} ^{2}\,d\mathbf {v} \\\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}v_{i}\,d\mathbf {v} =0,\qquad i\in \{x,y,z\}.\end{aligned}}

Более того, даже если такие решения существуют, остается дополнительный вопрос: охватывают ли они полный набор нормальных решений уравнения Больцмана, т.е. не представляют ли они искусственное ограничение исходного разложения по $\varepsilon$ . Одним из ключевых технических достижений теории Чепмена-Энскога является положительный ответ на оба этих вопроса. ^[6] Таким образом, по крайней мере на формальном уровне подход Чепмена–Энскога не теряет общности.

Установив эти формальные соображения, можно приступить к расчету $f^{(1)}$ . Результат ^[1]

f^{(1)}=\left[-{\frac {1}{n}}\left({\frac {2k_{B}T}{m}}\right)^{1/2}\mathbf {A} (\mathbf {v} )\cdot \nabla \ln T-{\frac {2}{n}}\mathbb {B(\mathbf {v} )\colon \nabla } \mathbf {v} _{0}\right]f^{(0)},

где $\mathbf {A} (\mathbf {v} )$ является вектором и $\mathbb {B} (\mathbf {v} )$ тензор , каждый из которых является решением линейного неоднородного интегрального уравнения , которое можно решить явно с помощью полиномиального разложения. Здесь двоеточие обозначает двойное точечное произведение , $\mathbb {T} :\mathbb {T'} =\sum _{i}\sum _{j}T_{ij}T'_{ji}$ для тензоров $\mathbb {T}$ , $\mathbb {T'}$ .

Прогнозы

В первом порядке по числу Кнудсена тепловой поток $\mathbf {q} ={\frac {m}{2}}\int f\mathbf {v} ^{2}\mathbf {v} \,d\mathbf {v}$ оказывается подчиняющимся закону теплопроводности Фурье , ^[7]

\mathbf {q} =-\lambda \nabla T,

и тензор потока импульса-потока $\mathbf {\sigma } =m\int (\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})^{\mathsf {T}}f\,\mathrm {d} \mathbf {v}$ это ньютоновская жидкость , ^[7]

\mathbf {\sigma } =p\mathbb {I} -\mu \left(\nabla \mathbf {v_{0}} +\nabla \mathbf {v_{0}} ^{T}\right)+{\frac {2}{3}}\mu (\nabla \cdot \mathbf {v_{0}} )\mathbb {I} ,

с $\mathbb {I}$ тождественный тензор. Здесь, $\lambda$ и $\mu$ – теплопроводность и вязкость. Их можно рассчитать явно через молекулярные параметры путем решения линейного интегрального уравнения; в таблице ниже суммированы результаты для нескольких важных молекулярных моделей ( $m$ это масса молекулы и $k_{B}$ – постоянная Больцмана). ^[8]

Таблица 1: Прогнозируемые выражения для теплопроводности и вязкости.
Модель	$\mu$	$\lambda$	Примечания
Жесткие упругие сферы диаметром $\sigma$	$1.016\cdot {\frac {5}{16\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{B}mT}{\pi }}\right)^{1/2}$	$2.522\cdot {\frac {3}{2}}{\frac {k_{B}}{m}}\cdot \mu$	Исправьте до 3 десятичных знаков.
Молекулы с силой отталкивания $\kappa /r^{\nu }$	${\frac {5}{8}}{\frac {1}{A_{2}(\nu )\Gamma \left(4-{\frac {2}{\nu -1}}\right)}}\left({\frac {k_{B}mT}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {2k_{B}T}{\kappa }}\right)^{2/(\nu -1)}$	${\frac {15}{4}}{\frac {k_{B}}{m}}\cdot \mu$	$\Gamma$ обозначает гамма-функцию , а $A_{2}(\nu )$ является числовым фактором. Чепмен и Коулинг перечисляют несколько значений последнего, например $A_{2}(5)=0.436$ и $A_{2}(11)=0.319$ . ^[9]
Потенциал Леннарда-Джонса : $V(r)=4\varepsilon \{(\sigma /r)^{12}-(\sigma /r)^{6}\}$	${\frac {5}{8\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{B}mT}{\pi }}\right)^{1/2}\cdot {\frac {1}{{\mathcal {W}}_{1}^{(2)}(2)}}$	${\frac {15}{4}}{\frac {k_{B}}{m}}\cdot \mu$	${\mathcal {W}}_{1}^{(2)}(2)$ является функцией $k_{B}T/\varepsilon$ который можно вычислить численно. Это варьируется от $5.682$ для $k_{B}T/\varepsilon =0.3$ к $1.1738$ для $k_{B}T/\varepsilon =100$ . ^[10]

Имея эти результаты, легко получить уравнения Навье – Стокса. Учет моментов скорости уравнения Больцмана приводит к точным уравнениям баланса гидродинамических полей $n(\mathbf {r} ,t)$ , $\mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)$ , и $T(\mathbf {r} ,t)$ :

{\begin{aligned}{\frac {\partial n}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(n\mathbf {v} _{0}\right)&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} _{0}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla \mathbf {v} _{0}-{\frac {\mathbf {F} }{m}}+{\frac {1}{n}}\nabla \cdot \mathbf {\sigma } &=0\\{\frac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla T+{\frac {2}{3k_{B}n}}\left(\mathbf {\sigma :} \nabla \mathbf {v} _{0}+\nabla \cdot \mathbf {q} \right)&=0.\end{aligned}}

Как и в предыдущем разделе, двоеточие обозначает двойное точечное произведение , $\mathbb {T} :\mathbb {T'} =\sum _{i}\sum _{j}T_{ij}T'_{ji}$ . Подставив выражения Чепмена–Энскога вместо $\mathbf {q}$ и $\sigma$ , приходим к уравнениям Навье–Стокса.

Сравнение с экспериментом

Важным предсказанием теории Чепмена-Энскога является то, что вязкость, $\mu$ , не зависит от плотности (это можно увидеть для каждой молекулярной модели в таблице 1, но на самом деле это не зависит от модели). Этот противоречивый результат восходит к Джеймсу Клерку Максвеллу , который вывел его в 1860 году на основе более элементарных кинетических аргументов. ^[11] Это хорошо проверено экспериментально для газов обычных плотностей.

Таблица 2: Экспериментально измеренные значения $f=\lambda /\mu c_{v}$ для первых пяти благородных газов. ^[12]
Гелий	2.45
Неон	2.52
Аргон	2.48
Криптон	2.535
Ксенон	2.58

С другой стороны, теория предсказывает, что $\mu$ зависит от температуры. Для жестких упругих сфер прогнозируемое масштабирование равно $\mu \propto T^{1/2}$ , в то время как другие модели обычно демонстрируют большее изменение в зависимости от температуры. Например, для молекул, отталкивающихся друг от друга с силой $\propto r^{-\nu }$ прогнозируемое масштабирование $\mu \propto T^{s}$ , где $s=1/2+2/(\nu -1)$ . принимая $s=0.668$ , соответствующий $\nu \approx 12.9$ , показывает разумное согласие с экспериментально наблюдаемым масштабированием для гелия. Для более сложных газов согласие не столь хорошее, скорее всего, из-за пренебрежения силами притяжения. ^[13] Действительно, модель Леннарда-Джонса , включающую в себя привлекательность, можно привести в большее соответствие с экспериментом (хотя и за счет более непрозрачной модели). $T$ зависимость; см. запись Леннарда-Джонса в таблице 1). ^[14] Для лучшего согласия с экспериментальными данными, чем то, которое было получено с помощью модели Леннарда-Джонса более гибкий потенциал Ми : , был использован ^[15] Дополнительная гибкость этого потенциала позволяет точно предсказывать транспортные свойства смесей различных сферически-симметричных молекул.

Теория Чепмена-Энскога также предсказывает простую связь между теплопроводностью: $\lambda$ и вязкость, $\mu$ , в форме $\lambda =f\mu c_{v}$ , где $c_{v}$ - удельная теплоемкость при постоянном объеме и $f$ является чисто численным фактором. Для сферически-симметричных молекул его значение, по прогнозам, будет очень близко к $2.5$ слегка зависящим от модели способом. Например, жесткие упругие сферы имеют $f\approx 2.522$ , а молекулы с силой отталкивания $\propto r^{-13}$ иметь $f\approx 2.511$ (последнее отклонение в таблице 1 не учитывается). Частный случай молекул Максвелла (сила отталкивания $\propto r^{-5}$ ) имеет $f=2.5$ точно. ^[16] С $\lambda$ , $\mu$ , и $c_{v}$ могут быть измерены непосредственно в экспериментах, простой экспериментальной проверкой теории Чепмена – Энскога является измерение $f$ для сферически-симметричных благородных газов . Таблица 2 показывает, что существует разумное согласие между теорией и экспериментом. ^[12]

Расширения

Основные принципы теории Чепмена-Энскога можно распространить на более разнообразные физические модели, включая газовые смеси и молекулы с внутренними степенями свободы. В режиме высокой плотности теория может быть адаптирована для учета столкновительного переноса импульса и энергии, т.е. переноса по диаметру молекулы во время столкновения, а не по средней длине свободного пробега ( между столкновениями). Включение этого механизма предсказывает плотностную зависимость вязкости при достаточно высокой плотности, что также наблюдается экспериментально. Получение поправок, используемых для учета переноса во время столкновения для мягких молекул (т.е. молекул Леннарда-Джонса или Ми ), в целом нетривиально, но успех был достигнут при применении теории возмущений Баркера-Хендерсона для точного описания этих эффектов с точностью до критическая плотность различных смесей жидкостей. ^[15]

Можно также провести теорию в более высоком порядке по числу Кнудсена. В частности, вклад второго порядка $f^{(2)}$ было рассчитано Бернеттом. ^[17] Однако в общих обстоятельствах эти поправки более высокого порядка могут не дать надежных улучшений теории первого порядка из-за того, что расширение Чепмена – Энскога не всегда сходится. ^[18] (С другой стороны, считается, что разложение, по крайней мере, асимптотично для решений уравнения Больцмана, и в этом случае усечение до низкого порядка все еще дает точные результаты.) ^[19] Даже если поправки более высокого порядка действительно приводят к улучшению данной системы, интерпретация соответствующих гидродинамических уравнений все еще остается дискуссионной. ^[20]

Пересмотренная теория Энскога

Распространение теории Чепмена-Энскога для многокомпонентных смесей на повышенные плотности, в частности, плотности, при которых кообъем смеси не пренебрегаем, было осуществлено в серии работ ЭГД Коэна и других. ^[21]^[22]^[23]^[24]^[25] и была придумана пересмотренная теория Энскога (RET). Успешный вывод RET последовал за несколькими предыдущими попытками того же самого, но которые дали результаты, которые, как было показано, несовместимы с необратимой термодинамикой . Отправной точкой для разработки RET является модифицированная форма уравнения Больцмана для $s$ -функция распределения частиц по скоростям,

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathrm {v} _{i}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathrm {r} }}+{\frac {\mathrm {F} _{i}}{m_{i}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathrm {v} _{i}}}\right)f_{i}=\sum _{j}S_{ij}(f_{i},f_{j})$

где $\mathrm {v_{i}} (\mathrm {r} ,t)$ - скорость частиц видов $i$ , на позиции $\mathrm {r}$ и время $t$ , $m_{i}$ - масса частицы, $\mathrm {F} _{i}$ – внешняя сила, а

$S_{ij}(f_{i},f_{j})=\iiint \left[g_{ij}(\sigma _{ij}\mathrm {k} )f_{i}'(\mathrm {r} )f_{j}'(\mathrm {r} +\sigma _{ij}\mathrm {k} )-g_{ij}(-\sigma _{ij}\mathrm {k} )f_{i}(\mathrm {r} )f_{j}(\mathrm {r} -\sigma _{ij}\mathrm {k} )\right]d\tau$

Отличие этого уравнения от классической теории Чепмена–Энскога заключается в операторе потока $S_{ij}$ , в рамках которого оценивается распределение скоростей двух частиц в разных точках пространства, разделенных $\sigma _{ij}\mathrm {k}$ , где $\mathrm {k}$ - единичный вектор вдоль линии, соединяющей центры масс двух частиц. Еще одно существенное отличие связано с введением факторов $g_{ij}$ , которые представляют повышенную вероятность столкновений из-за исключенного объема. Классические уравнения Чепмена-Энскога восстанавливаются, полагая $\sigma _{ij}=0$ и $g_{ij}(\sigma _{ij}\mathrm {k} )=1$ .

Важным моментом для успеха RET является выбор факторов. $g_{ij}$ , что интерпретируется как функция парного распределения, оцениваемая на расстоянии контакта $\sigma _{ij}$ . Здесь следует отметить важный фактор: для получения результатов, согласующихся с необратимой термодинамикой , необходимо $g_{ij}$ следует рассматривать как функционалы полей плотности, а не как функции локальной плотности.

Результаты пересмотренной теории Энскога

Одним из первых результатов, полученных с помощью RET, который отличается от результатов классической теории Чепмена-Энскога, является уравнение состояния . В то время как из классической теории Чепмена-Энскога восстанавливается закон идеального газа, RET, разработанный для жестких упругих сфер, дает уравнение давления

${\frac {p}{nkT}}=1+{\frac {2\pi n}{3}}\sum _{i}\sum _{j}x_{i}x_{j}\sigma _{ij}^{3}g_{ij}$ ,

которое согласуется с уравнением состояния Карнахана-Старлинга и сводится к закону идеального газа в пределе бесконечного разбавления (т.е. когда $n\sum _{i}\sum _{j}x_{i}x_{j}\sigma _{ij}^{3}\ll 1$ )

Для коэффициентов переноса : вязкости , теплопроводности , диффузии и термодиффузии RET предоставляет выражения, которые точно сводятся к выражениям, полученным из классической теории Чепмена-Энскога в пределе бесконечного разбавления. Однако RET предсказывает зависимость теплопроводности от плотности , которую можно выразить как

$\lambda =(1+n\alpha _{\lambda })\lambda _{0}+n^{2}T^{1/2}\lambda _{\sigma }$

где $\alpha _{\lambda }$ и $\lambda _{\sigma }$ являются относительно слабыми функциями состава, температуры и плотности, а $\lambda _{0}$ — теплопроводность, полученная из классической теории Чепмена-Энскога.

Аналогично полученное выражение для вязкости можно записать как

$\mu =(1+nT\alpha _{\mu })\mu _{0}+n^{2}T^{1/2}\mu _{\sigma }$

с $\alpha _{\mu }$ и $\mu _{\sigma }$ слабые функции состава, температуры и плотности, а также $\mu _{0}$ значение, полученное из классической теории Чепмена-Энскога.

Для коэффициентов диффузии и коэффициентов термодиффузии картина несколько сложнее. Однако одним из основных преимуществ RET по сравнению с классической теорией Чепмена-Энскога является то, что предсказывается зависимость коэффициентов диффузии от термодинамических факторов, т.е. производных химических потенциалов по составу. Кроме того, RET не предсказывает строгой зависимости

$D\sim {\frac {1}{n}},\quad D_{T}\sim {\frac {1}{n}}$

для всех плотностей, а скорее предсказывает, что коэффициенты будут уменьшаться медленнее с плотностью при высоких плотностях, что хорошо согласуется с экспериментами. Эти модифицированные зависимости плотности также позволяют RET предсказать зависимость коэффициента Соре от плотности :

$S_{T}={\frac {D_{T}}{D}},\quad \left({\frac {\partial S_{T}}{\partial n}}\right)_{T}\neq 0$ ,

в то время как классическая теория Чепмена-Энскога предсказывает, что коэффициент Соре, как вязкость и теплопроводность, не зависит от плотности.

Приложения

Хотя пересмотренная теория Энскога дает множество преимуществ по сравнению с классической теорией Чепмена-Энскога, ценой этого является то, что ее значительно сложнее применять на практике. В то время как классическая теория Чепмена-Энскога может быть применена к сколь угодно сложным сферическим потенциалам при наличии достаточно точных и быстрых процедур интегрирования для оценки требуемых интегралов столкновений , пересмотренная теория Энскога, в дополнение к этому, требует знания контактного значения парной функции распределения.

Для смесей твердых сфер эту величину можно вычислить без больших затруднений, но для более сложных межмолекулярных потенциалов получить ее вообще нетривиально. Однако определенный успех был достигнут при оценке контактного значения парной функции распределения для жидкостей Ми (которая состоит из частиц, взаимодействующих посредством обобщенного потенциала Леннарда-Джонса ) и использовании этих оценок для прогнозирования транспортных свойств плотных газовых смесей и сверхкритических жидкостей. . ^[15]

Применение RET к частицам, взаимодействующим посредством реалистичных потенциалов, также ставит перед проблемой определения разумного «диаметра контакта» для мягких частиц. Хотя они однозначно определены для твердых сфер, до сих пор не существует общепринятого значения, которое следует использовать для контактного диаметра мягких частиц.

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Чепмен, Сидней; Коулинг, Т.Г. (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press
^ Балеску, Раду (1975), Равновесная и неравновесная статистическая механика , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-04600-4
^ Черчиньяни, Карло (1975), Теория и применение уравнения Больцмана , Elsevier, стр. 78–79, ISBN 978-0-444-19450-3
^ Балеску, стр. 450.
^ Балеску, стр. 451.
^ Jump up to: ^а ^б Град, Гарольд (1958), «Принципы кинетической теории газов», в Флюгге, С. (ред.), Энциклопедия физики , том. XII, Springer-Verlag, стр. 205–294.
^ Jump up to: ^а ^б Берд, Р. Брайон; Армстронг, Роберт С.; Хассагер, Оле (1987), Динамика полимерных жидкостей, Том 1: Механика жидкости (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 10–11.
^ Чепмен и Коулинг, глава 10.
^ Чепмен и Коулинг, с. 172
^ Чепмен и Коулинг, с. 185
^ Максвелл, Джеймс (1860), «V. Иллюстрации динамической теории газов. — Часть I. О движении и столкновениях совершенно упругих сфер», Philosophical Magazine , 19 (124): 19–32, doi : 10.1080/14786446008642818
^ Jump up to: ^а ^б Чепмен и Коулинг с. 249
^ Чепмен и Коулинг, стр. 230–232.
^ Чепмен и Коулинг, стр. 235–237.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джервелл, Вегард Г.; Вильгельмсен, Ойвинд (08 июня 2023 г.). «Пересмотренная теория Энскога для жидкостей Ми: прогнозирование коэффициентов диффузии, коэффициентов термодиффузии, вязкости и теплопроводности» . Журнал химической физики . 158 (22). дои : 10.1063/5.0149865 . ISSN 0021-9606 .
^ Чепмен и Коулинг, стр. 247.
^ Бернетт, Д. (1936), «Распределение молекулярных скоростей и среднее движение в неоднородном газе», Труды Лондонского математического общества , 40 : 382, doi : 10.1112/plms/s2-40.1.382
^ Сантос, Андрес; Брей, Дж. Хавьер; Дафти, Джеймс В. (1986), «Расхождение расширения Чепмена-Энскога», Physical Review Letters , 56 (15): 1571–1574, Бибкод : 1986PhRvL..56.1571S , doi : 10.1103/PhysRevLett.56.1571 , PMID 1003271 1
^ Град, Гарольд (1963), «Асимптотическая теория уравнения Больцмана», The Physics of Fluids , 6 (2): 147, Бибкод : 1963PhFl....6..147G , doi : 10.1063/1.1706716
^ Гарсиа-Колин, Л.С.; Веласко, РМ; Урибе, Ф.Дж. (2008), «Помимо уравнений Навье-Стокса: гидродинамика Бернетта», Physics Reports , 465 (4): 149–189, Bibcode : 2008PhR...465..149G , doi : 10.1016/j.physrep. 2008.04.010
^ Лопес де Аро, М.; Коэн, EGD; Кинкейд, Дж. М. (1 марта 1983 г.). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. I. Теория линейного переноса» . Журнал химической физики . 78 (5): 2746–2759. дои : 10.1063/1.444985 . ISSN 0021-9606 .
^ Кинкейд, Дж. М.; Лопес де Аро, М.; Коэн, EGD (1 ноября 1983 г.). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. II. Взаимная диффузия» . Журнал химической физики . 79 (9): 4509–4521. дои : 10.1063/1.446388 . ISSN 0021-9606 .
^ Лопес де Аро, М.; Коэн, EGD (1 января 1984 г.). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. III. Транспортные свойства плотных бинарных смесей с одним трассирующим компонентом» . Журнал химической физики . 80 (1): 408–415. дои : 10.1063/1.446463 . ISSN 0021-9606 .
^ Кинкейд, Дж. М.; Коэн, EGD; Лопес де Аро, М. (15 января 1987 г.). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. IV. Термическая диффузия» . Журнал химической физики . 86 (2): 963–975. дои : 10.1063/1.452243 . ISSN 0021-9606 .
^ Ван Бейерен, Х.; Эрнст, М.Х. (март 1973 г.). «Нелинейное уравнение Энскога-Больцмана» . Буквы по физике А. 43 (4): 367–368. дои : 10.1016/0375-9601(73)90346-0 .

Ссылки

Классическая монография по теме:

Чепмен, Сидней; Коулинг, Т.Г. (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press

Содержит техническое введение в нормальные решения уравнения Больцмана:

Град, Гарольд (1958), «Принципы кинетической теории газов», в Флюгге, С. (ред.), Энциклопедия физики , том. XII, Springer-Verlag, стр. 205–294.

[Chapman1970-1] Jump up to: ^а ^б Чепмен, Сидней; Коулинг, Т.Г. (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press

[Balescu1975-2] Балеску, Раду (1975), Равновесная и неравновесная статистическая механика , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-04600-4

[Cercignani1975-3] Черчиньяни, Карло (1975), Теория и применение уравнения Больцмана , Elsevier, стр. 78–79, ISBN 978-0-444-19450-3

[4] Балеску, стр. 450.

[5] Балеску, стр. 451.

[Grad1958-6] Jump up to: ^а ^б Град, Гарольд (1958), «Принципы кинетической теории газов», в Флюгге, С. (ред.), Энциклопедия физики , том. XII, Springer-Verlag, стр. 205–294.

[Bird1987-7] Jump up to: ^а ^б Берд, Р. Брайон; Армстронг, Роберт С.; Хассагер, Оле (1987), Динамика полимерных жидкостей, Том 1: Механика жидкости (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 10–11.

[8] Чепмен и Коулинг, глава 10.

[9] Чепмен и Коулинг, с. 172

[10] Чепмен и Коулинг, с. 185

[11] Максвелл, Джеймс (1860), «V. Иллюстрации динамической теории газов. — Часть I. О движении и столкновениях совершенно упругих сфер», Philosophical Magazine , 19 (124): 19–32, doi : 10.1080/14786446008642818

[ChapmanandCowlingpage249-12] Jump up to: ^а ^б Чепмен и Коулинг с. 249

[13] Чепмен и Коулинг, стр. 230–232.

[14] Чепмен и Коулинг, стр. 235–237.

[:0-15] Jump up to: ^а ^б ^с Джервелл, Вегард Г.; Вильгельмсен, Ойвинд (08 июня 2023 г.). «Пересмотренная теория Энскога для жидкостей Ми: прогнозирование коэффициентов диффузии, коэффициентов термодиффузии, вязкости и теплопроводности» . Журнал химической физики . 158 (22). дои : 10.1063/5.0149865 . ISSN 0021-9606 .

[16] Чепмен и Коулинг, стр. 247.

[Burnett-17] Бернетт, Д. (1936), «Распределение молекулярных скоростей и среднее движение в неоднородном газе», Труды Лондонского математического общества , 40 : 382, doi : 10.1112/plms/s2-40.1.382

[Santos1986-18] Сантос, Андрес; Брей, Дж. Хавьер; Дафти, Джеймс В. (1986), «Расхождение расширения Чепмена-Энскога», Physical Review Letters , 56 (15): 1571–1574, Бибкод : 1986PhRvL..56.1571S , doi : 10.1103/PhysRevLett.56.1571 , PMID 1003271 1

[Grad1963-19] Град, Гарольд (1963), «Асимптотическая теория уравнения Больцмана», The Physics of Fluids , 6 (2): 147, Бибкод : 1963PhFl....6..147G , doi : 10.1063/1.1706716

[García-Cólin2008-20] Гарсиа-Колин, Л.С.; Веласко, РМ; Урибе, Ф.Дж. (2008), «Помимо уравнений Навье-Стокса: гидродинамика Бернетта», Physics Reports , 465 (4): 149–189, Bibcode : 2008PhR...465..149G , doi : 10.1016/j.physrep. 2008.04.010

[21] Лопес де Аро, М.; Коэн, EGD; Кинкейд, Дж. М. (1 марта 1983 г.). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. I. Теория линейного переноса» . Журнал химической физики . 78 (5): 2746–2759. дои : 10.1063/1.444985 . ISSN 0021-9606 .

[22] Кинкейд, Дж. М.; Лопес де Аро, М.; Коэн, EGD (1 ноября 1983 г.). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. II. Взаимная диффузия» . Журнал химической физики . 79 (9): 4509–4521. дои : 10.1063/1.446388 . ISSN 0021-9606 .

[23] Лопес де Аро, М.; Коэн, EGD (1 января 1984 г.). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. III. Транспортные свойства плотных бинарных смесей с одним трассирующим компонентом» . Журнал химической физики . 80 (1): 408–415. дои : 10.1063/1.446463 . ISSN 0021-9606 .

[24] Кинкейд, Дж. М.; Коэн, EGD; Лопес де Аро, М. (15 января 1987 г.). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. IV. Термическая диффузия» . Журнал химической физики . 86 (2): 963–975. дои : 10.1063/1.452243 . ISSN 0021-9606 .

[25] Ван Бейерен, Х.; Эрнст, М.Х. (март 1973 г.). «Нелинейное уравнение Энскога-Больцмана» . Буквы по физике А. 43 (4): 367–368. дои : 10.1016/0375-9601(73)90346-0 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]