Флаг (линейная алгебра)

В математике особенно в линейной алгебре , флаг это возрастающая последовательность подпространств , конечномерного — пространства V. векторного Здесь «увеличение» означает, что каждое из них является собственным подпространством следующего (см. фильтрацию ):

\{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.

Термин «флаг» мотивирован конкретным примером, напоминающим флаг : нулевая точка, линия и плоскость соответствуют гвоздю, посоху и листу ткани. ^[1]

Если мы напишем, что dim V _i = d _i, то мы имеем

0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,

где n — размерность V . (считается конечной) Следовательно, мы должны иметь k ≤ n . Флаг называется полным флагом, если d _i = i для всех i , в противном случае он называется частичным флагом .

Частичный флаг можно получить из полного флага, удалив некоторые подпространства. И наоборот, любой частичный флаг может быть дополнен (разными способами) путем вставки подходящих подпространств.

Сигнатурой k флага является последовательность ( d ₁ , ..., d ₎ .

Базы

упорядоченный базис для V Говорят, что адаптирован к флагу V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ... ⊂ V _k , если первые базисные векторы d _i образуют базис для V _i для каждого 0 ≤ i ≤ k . Стандартные аргументы линейной алгебры могут показать, что любой флаг имеет адаптированную основу.

Любой упорядоченный базис порождает полный флаг, если V _i является промежутком первых i базисных векторов. Например, стандартный флаг в R ^н индуцируется из стандартного базиса ( e ₁ , ..., ) _en где ei _, обозначает вектор с 1 в i -й записи и 0 в остальных местах. Конкретно, стандартным флагом является последовательность подпространств:

0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.

Адаптированный базис почти никогда не бывает уникальным (контрпримеры тривиальны); см. ниже.

Полный флаг в пространстве внутреннего произведения имеет по существу уникальный ортонормированный базис : он уникален с точностью до умножения каждого вектора на единицу (скаляр единичной длины, например 1, −1, i ). Такой базис можно построить с помощью процесса Грама-Шмидта . Единственность с точностью до единиц следует индуктивно , если отметить, что $v_{i}$ лежит в одномерном пространстве $V_{i-1}^{\perp }\cap V_{i}$ .

Более абстрактно, он уникален с точностью до действия максимального тора : флаг соответствует группе Бореля , а скалярное произведение соответствует максимальной компактной подгруппе . ^[2]

Стабилизатор

стандартного флага является группа обратимых . верхнетреугольных матриц Подгруппой стабилизатора

В более общем смысле, стабилизатор флага ( линейные операторы на V такие, что $T(V_{i})<V_{i}$ для всех i ) представляет собой в матричных терминах алгебру блочных верхнетреугольных матриц (относительно адаптированного базиса), где размеры блоков $d_{i}-d_{i-1}$ . Подгруппа стабилизатора полного флага — это множество обратимых верхнетреугольных матриц относительно любого базиса, адаптированного к флагу. Подгруппа нижних треугольных матриц относительно такого базиса зависит от этого базиса и поэтому не может быть охарактеризована только с помощью флага.

Подгруппа стабилизатора любого полного флага является борелевской подгруппой (полной линейной группы ), а стабилизатор любых частичных флагов — параболической подгруппой.

Подгруппа стабилизатора флага действует просто транзитивно на адаптированных базисах флага, и, следовательно, они не уникальны, если только стабилизатор не тривиален. Это совершенно исключительное обстоятельство: оно имеет место только для векторного пространства размерности 0 или для векторного пространства над $\mathbf {F} _{2}$ размерности 1 (точно те случаи, когда существует только один базис независимо от любого флага).

Подпространственное гнездо

В бесконечномерном пространстве V , используемом в функциональном анализе , идея флага обобщается до гнезда подпространства , а именно набора подпространств V , который представляет собой полный порядок включения и который, кроме того , замкнут при произвольных пересечениях и замкнутых линейных промежутках. См. гнездовую алгебру .

Теоретико-множественные аналоги

С точки зрения поля с одним элементом множество можно рассматривать как векторное пространство над полем с одним элементом: это формализует различные аналогии между группами Кокстера и алгебраическими группами .

При этом соответствии упорядочение на множестве соответствует максимальному флагу: упорядочение эквивалентно максимальной фильтрации множества. Например, фильтрация (флаг) $\{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}$ соответствует порядку $(0,1,2)$ .

См. также

Ссылки

^ Кострикин, Алексей И. и Манин, Юрий И. (1997). Линейная алгебра и геометрия , с. 13. Перевод с русского М. Е. Алферьева. Издательство Гордон и Бреч Сайенс. ISBN 2-88124-683-4 .
^ Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс , с. 95. Спрингер. ISBN 0387974954 .

Шафаревич, ИР ; А.О. Ремизов (2012). Линейная алгебра и геометрия . Спрингер . ISBN 978-3-642-30993-9 .

[1] Кострикин, Алексей И. и Манин, Юрий И. (1997). Линейная алгебра и геометрия , с. 13. Перевод с русского М. Е. Алферьева. Издательство Гордон и Бреч Сайенс. ISBN 2-88124-683-4 .

[2] Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс , с. 95. Спрингер. ISBN 0387974954 .

[1]

[2]