Период возврата

Информацию о периоде возвращения спутника см. в разделе Период повторного посещения спутника .

Период повторяемости , также известный как интервал повторения или интервал повторения , представляет собой среднее время или расчетное среднее время между такими событиями, как землетрясения , наводнения , оползни , или могут возникнуть стоки рек .

Это статистическое измерение, обычно основанное на исторических данных за длительный период и обычно используемое для анализа рисков. Примеры включают принятие решения о том, следует ли разрешить реализацию проекта в зоне определенного риска, или проектирование структур, способных противостоять событиям с определенным периодом повторяемости. Следующий анализ предполагает, что вероятность наступления события не меняется со временем и не зависит от прошлых событий.

Оценка периода возврата

Интервал повторения $={n+1 \over m}$

n количество лет записи;

m — ранг наблюдаемых явлений, расположенных в порядке убывания.

Для наводнений событие можно измерить в единицах m ³ /с или высота; для штормовых нагонов , по высоте нагона, и аналогично для других событий. Это формула Вейбулла.

Период возврата как величина, обратная ожидаемой частоте

Теоретический период повторяемости между событиями является обратной величиной средней частоты возникновения. 10-летнего паводка в течение любого года составляет 1/10 = 0,1 или 10% Например, вероятность превышения , а вероятность превышения 50-летнего паводка в течение любого года составляет 0,02 или 2%.

Это не означает, что 100-летнее наводнение будет происходить регулярно каждые 100 лет или только один раз в 100 лет. Несмотря на многозначность названия «период возврата». В любой конкретный 100-летний период 100-летнее событие может произойти один, два раза, больше или не произойти вообще, и каждый результат имеет вероятность, которую можно вычислить, как показано ниже.

Кроме того, приведенный ниже расчетный период доходности является статистикой : он рассчитывается на основе набора данных (наблюдений), в отличие от теоретического значения в идеализированном распределении. На самом деле никто не знает, что определенная или большая величина происходит с вероятностью 1%, но известно лишь то, что она наблюдалась ровно один раз в 100 лет.

Это различие важно, потому что наблюдений за редкими событиями мало: например, если наблюдения ведутся за 400 лет, самое экстремальное событие (400-летнее событие по статистическому определению) может позже быть классифицировано, при более длительном наблюдении, как 200-летнее событие. -летнее событие (если сопоставимое событие происходит немедленно) или 500-летнее событие (если сопоставимое событие не произойдет в течение следующих 100 лет).

Кроме того, невозможно определить размер 1000-летнего события только на основе таких записей, а вместо этого необходимо использовать статистическую модель для прогнозирования масштаба такого (ненаблюдаемого) события. Даже если исторический интервал повторения намного меньше 1000 лет, если зарегистрирован ряд менее серьезных событий аналогичного характера, использование такой модели, вероятно, предоставит полезную информацию, которая поможет оценить будущий интервал повторения.

Распределения вероятностей

Хотелось бы иметь возможность интерпретировать период повторяемости в вероятностных моделях. Наиболее логичная интерпретация этого состоит в том, чтобы принять период повторяемости в качестве скорости счета в распределении Пуассона, поскольку это математическое ожидание частоты появления. Альтернативная интерпретация состоит в том, чтобы принять это как вероятность ежегодного испытания Бернулли в биномиальном распределении . Это нежелательно, поскольку каждый год не представляет собой независимого процесса Бернулли, а является произвольной мерой времени. Этот вопрос носит преимущественно академический характер, поскольку полученные результаты будут схожи как при пуассоновской, так и при биномиальной интерпретации.

Пуассон

Функция массы вероятности распределения Пуассона равна

$P(r;t)={(\mu t)^{r} \over r!}e^{-\mu t}={(t/T)^{r} \over r!}e^{-t/T}$

где $r$ - количество случаев, для которых рассчитывается вероятность, $t$ интересующий период времени, $T$ это период возврата и $\mu =1/T$ это скорость счета.

Вероятность ненаступления может быть получена, просто рассматривая случай $r=0$. Формула

$P(r=0;t)=e^{-\mu t}=e^{-t/T}$

Следовательно, вероятность превышения (т.е. вероятность события «более сильного», чем событие с периодом повторяемости $T$ произойти хотя бы один раз в течение интересующего периода времени)

$P(t>0;t)=1-P(t=0;t)=1-e^{-\mu t}=1-e^{-t/T}$

Обратите внимание, что для любого события с периодом повторяемости $T$, вероятность превышения в пределах интервала, равного периоду повторяемости (т.е. $t=T$) не зависит от периода повторяемости и равен $1-\exp(-1)\approx 63.2\%$. Это означает, например, что существует 63,2% вероятность того, что наводнение, превышающее 50-летнее возвратное наводнение, произойдет в течение любого 50-летнего периода.

Пример

Если возвратный период возникновения ${\textstyle T}$ 243 года ( ${\textstyle \mu =0.0041}$) то вероятность ровно одного события за десять лет равна

${\begin{aligned}P(r;t)&={\frac {(\mu t)^{r}}{r!}}e^{-\mu t}\\[6pt]P(r=1;t=10)&={\frac {(10/243)^{1}}{1!}}e^{-10/243}\approx 3.95\%\end{aligned}}$

Биномиальный

В данный период $n\times \tau$ за единицу времени $\tau$ (например $\tau =1{\text{year}}$), вероятность данного числа r событий периода повторяемости $\mu$ задается биномиальным распределением следующим образом.

$P(X=r)={n \choose r}\mu ^{r}(1-\mu )^{n-r}.$

Это справедливо только в том случае, если вероятность более одного события в единицу времени $\tau$ равен нулю. Часто это близкое приближение, и в этом случае вероятности, полученные по этой формуле, выполняются приблизительно.

Если $n\rightarrow \infty ,\mu \rightarrow 0$ таким образом, что $n\mu \rightarrow \lambda$ затем

${\frac {n!}{(n-r)!r!}}\mu ^{r}(1-\mu )^{n-r}\rightarrow e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{r}}{r!}}.$

Брать

$\mu ={\frac {1}{T}}={m \over n+1}$

где

T — интервал возврата

n — количество лет записи.

m – количество зарегистрированных появлений рассматриваемого события

Пример

Учитывая, что период повторяемости события составляет 100 лет,

$p={1 \over 100}=0.01.$

Таким образом, вероятность того, что такое событие произойдет ровно один раз в 10 лет подряд, равна:

${\begin{aligned}P(X=1)&={\binom {10}{1}}\times 0.01^{1}\times 0.99^{9}\\[4pt]&\approx 10\times 0.01\times 0.914\\[4pt]&\approx 0.0914\end{aligned}}$

Анализ рисков

Период повторяемости полезен для анализа рисков (таких как природный, присущий или гидрологический риск отказа). При расчете ожиданий при проектировании конструкции период окупаемости полезен при расчете рискованности конструкции.

Вероятность хотя бы одного события, которое превысит проектные пределы в течение ожидаемого срока службы конструкции, является дополнением к вероятности того, что не произойдет событий, которые превысят проектные пределы.

Уравнение для оценки этого параметра:

${\overline {R}}=1-\left(1-{1 \over T}\right)^{n}=1-(1-P(X\geq x_{T}))^{n}$

где

${1 \over T}=P(X\geq x_{T})$ – выражение вероятности наступления рассматриваемого события через год;

n – ожидаемый срок службы конструкции.

См. также

• 100-летнее наводнение
• Совокупный частотный анализ
• Частота превышения
• Время проживания