Коллинеация

В проективной геометрии коллинеация — это взаимно-однозначное отображение ( биекция ) одного проективного пространства в другое или из проективного пространства в себя, так что изображения коллинеарных точек . сами по себе коллинеарны Таким образом, коллинеация — это изоморфизм проективных пространств или автоморфизм проективного пространства в себя. Некоторые авторы ограничивают определение коллинеации случаем, когда она является автоморфизмом. ^[1] Совокупность всех коллинеаций пространства с самим собой образует группу , называемую группой коллинеаций .

Определение

Проще говоря, коллинеация — это взаимно однозначное отображение одного проективного пространства в другое или из проективного пространства в себя, такое, что изображения коллинеарных точек сами по себе коллинеарны. Это можно формализовать, используя различные способы представления проективного пространства. Кроме того, случай проективной прямой является особым и, следовательно, обычно рассматривается по-разному.

Линейная алгебра

Для проективного пространства, определенного в терминах линейной алгебры (как проективизация векторного пространства ), коллинеация — это отображение между проективными пространствами, сохраняющее порядок относительно включения подпространств.

Формально, пусть V — векторное пространство над полем K а W — векторное пространство над полем L. , Рассмотрим проективные пространства PG ( V ) и PG ( W , состоящие из прямых V W. и ) векторных Назовите D ( V ) и D ( W ) набором подпространств V и W соответственно. Коллинеация от PG ( V ) до PG ( W ) — это отображение α : D ( V ) → D ( W ), такое что:

α является биекцией.
A ⊆ B ⇔ α( A ) ⊆ α( B ) для всех A , B в D ( V ). ^[2]

аксиоматически

Учитывая проективное пространство, определенное аксиоматически в терминах структуры инцидентности (набор точек P, линий L и отношения инцидентности I, определяющего, какие точки лежат на каких прямых, удовлетворяя определенным аксиомам), коллинеация между определенными таким образом проективными пространствами является биективная функция f между наборами точек и биективная функция g между набором прямых, сохраняющая отношение инцидентности. ^[3]

Каждое проективное пространство размерности больше или равной трем изоморфно проективизации линейного пространства над телом , поэтому в этих измерениях это определение не более общее, чем линейно-алгебраическое, приведенное выше, но в размерности два существуют другие проективные плоскости, а именно недесарговы плоскости , и это определение позволяет определять коллинеации в таких проективных плоскостях.

Для размерности один набор точек, лежащих на одной проективной прямой, определяет проективное пространство, и результирующее понятие коллинеации представляет собой просто любую биекцию множества.

Коллинеации проективной линии

Для проективного пространства размерности один (проективная линия; проективизация векторного пространства размерности два ) все точки коллинеарны, поэтому группа коллинеации представляет собой в точности симметричную группу точек проективной прямой. Это отличается от поведения в более высоких измерениях, и поэтому дается более ограничительное определение, уточненное так, чтобы выполнялась фундаментальная теорема проективной геометрии .

В этом определении, когда V имеет размерность два, коллинеация от PG ( V ) до PG ( W ) представляет собой отображение α : D ( V ) → D ( W ) , такое что:

Нулевое подпространство V подпространство отображается в нулевое W .
V отображается W. в
Существует неособое полулинейное отображение β из V в W такое, что для всех v в V , $\alpha (\langle v\rangle )=\langle \beta (v)\rangle$

Последнее требование гарантирует, что все коллинеации являются полулинейными картами.

Типы

Основными примерами коллинеаций являются проективные линейные преобразования (также известные как гомографии ) и автоморфные коллинеации . Для проективных пространств, происходящих из линейного пространства, фундаментальная теорема проективной геометрии гласит, что все коллинеации представляют собой их комбинацию, как описано ниже.

Проективные линейные преобразования

Проективные линейные преобразования (гомографии) представляют собой коллинеации (плоскости в векторном пространстве соответствуют линиям в соответствующем проективном пространстве, а линейные преобразования отображают плоскости в плоскости, поэтому проективные линейные преобразования отображают линии в линии), но в целом не все коллинеации являются проективными линейными. преобразования. Группа проективных линейных преобразований ( PGL ) вообще является собственной подгруппой группы коллинеации.

Автоморфные коллинеации

Ан автоморфная коллинеация — это карта, которая в координатах представляет собой полевой автоморфизм, примененный к координатам.

Основная теорема проективной геометрии

Если геометрическая размерность паппова проективного пространства не менее 2, то каждая коллинеация является продуктом гомографии (проективного линейного преобразования) и автоморфной коллинеации. Точнее, группа коллинеаций — это проективная полулинейная группа , которая является полупрямым произведением гомографий на автоморфные коллинеации.

В частности, коллинеации вещественной проективной плоскости PG(2, R ) являются в точности гомографиями, поскольку R не имеет нетривиальных автоморфизмов (см. Автоморфизм # Примеры и сноску d в разделе Действительное число ).

Предположим, φ — неособое полулинейное отображение V в W с размерностью V не менее трех. Определим α : D ( V ) → D ( W ), сказав, что Z ^а знак равно { φ ( z ) : z ∈ Z } для всех Z в D ( V ). Поскольку φ полулинейно, легко проверить, что это отображение определено правильно, и, более того, поскольку φ не является сингулярным, оно взаимно однозначно. Теперь очевидно, что α является коллинеацией. Мы говорим, что α индуцировано φ .

Основная теорема проективной геометрии утверждает обратное:

Предположим, что V — векторное пространство над полем K размерностью не менее трех, W — векторное пространство над полем L , а α — коллинеация из PG( V ) в PG( W ). Отсюда следует, что K и L — изоморфные поля, V и W имеют одинаковую размерность и существует полулинейное отображение φ такое, что φ индуцирует α .

При n ≥ 3 группой коллинеации является проективная полулинейная группа , PΓL – это PGL, скрученная полевыми автоморфизмами ; формально полупрямое произведение PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k ) , где k — поле для K. простое

Линейная структура

Таким образом, для K простое поле ( $\mathbb {F} _{p}$ или $\mathbb {Q}$ ), мы имеем PGL = PΓL , но для K не простое поле (например, $\mathbb {C}$ или $\mathbb {F} _{p^{n}}$ при n ≥ 2 ) проективная линейная группа, вообще говоря, является собственной подгруппой группы коллинеации, которую можно рассматривать как «преобразования, сохраняющие проективную полулинейную структуру». Соответственно, факторгруппа PΓL/PGL ≅ Gal( K / k ) соответствует «выбору линейной структуры», при этом идентичность (базовая точка) является существующей линейной структурой. Учитывая проективное пространство без идентификации как проективизация линейного пространства, не существует естественного изоморфизма между группой коллинеации и PΓL, а выбор линейной структуры (реализация как проективизация линейного пространства) соответствует выбору подгруппы PGL < PΓL , эти выборы образуют торсор над Gal( K / k ).

История

Идея линии была абстрагирована до троичного отношения, определяемого коллинеарностью (точки, лежащие на одной прямой). По словам Вильгельма Бляшке ^[4] именно Август Мёбиус первым абстрагировал эту суть геометрического преобразования:

Что теперь означают наши геометрические преобразования? Мёбиус отбросил и поставил этот вопрос уже в своем «Барицентрическом исчислении» (1827). Там он говорил не о преобразованиях , а о перестановках [Verwandtschaften], когда говорил, что два элемента, взятые из области, переставляются , когда их заменяют местами с помощью произвольного уравнения. В нашем конкретном случае, линейные уравнения между однородными координатами точек, Мёбиус назвал перестановкой [Verwandtschaft] обоих точечных пространств, в частности, коллинеацией . изменил это значение Позднее Шаль на гомографию . Выражение Мёбиуса сразу становится понятным, если мы следуем Мёбиусу и называем точки коллинеарными , когда они лежат на одной прямой. Обозначение Мёбиуса можно выразить следующим образом: коллинеарные точки отображаются путем перестановки коллинеарных точек, или, говоря простым языком, прямые линии остаются прямыми.

Современные математики рассматривают геометрию как структуру инцидентности с группой автоморфизмов, состоящей из отображений основного пространства, сохраняющих инцидентность . Такое отображение меняет местами линии структуры инцидентности, и понятие коллинеации сохраняется.

Как упоминалось Блашке и Кляйн, Мишель Шасль предпочитал термин гомография» коллинеации « . Различие между терминами возникло при выяснении различия между вещественной проективной плоскостью и комплексной проективной линией . Поскольку не существует нетривиальных полевых автоморфизмов поля действительных чисел , все коллинеации являются гомографиями в вещественной проективной плоскости, ^[5] однако из-за полевого автоморфизма комплексного сопряжения не все коллинеации комплексной проективной прямой являются гомографиями. В таких приложениях, как компьютерное зрение , где базовым полем является поле действительных чисел, гомография и коллинеация могут использоваться как взаимозаменяемые.

Антигомография

Операция взятия комплексно-сопряженного в комплексной плоскости сводится к отражению в вещественной прямой . С обозначением z ^∗ для сопряженного z антигомография формулой задается

f(z)={\frac {az^{*}+b}{cz^{*}+d}}.

Таким образом, антигомография представляет собой композицию сопряжения с гомографией , а также пример коллинеации, которая не является гомографией. Например, геометрически отображение $f(z)=1/z^{*}$ представляет собой инверсию круга . ^[6] Преобразования инверсной геометрии плоскости часто описываются как совокупность всех гомографий и антигомографий комплексной плоскости. ^[7]

Примечания

^ Например, Beutelspacher & Rosenbaum 1998 , стр.21, Casse 2006 , стр. 56 и Йельский университет, 2004 г. , с. 226
^ Геометры до сих пор обычно используют обозначение экспоненциального типа для функций, и это условие часто выглядит как A ⊆ B ⇔ A. ^а ⊆ Б ^а для всех A , B в D ( V ).
^ «Сохранение отношения инцидентности» означает, что если точка $p$ находится на линии $l,$ то $f (p)$ находится в $g (l)$ ; формально, если $(p, l) \in I$ , то $(f (p), g (l)) \in I'$ .
^ Феликс Кляйн (1926, 1949) Лекции по высшей геометрии , под редакцией Бляшке, стр. 138
^ Касс 2006 , с. 64, следствие 4.29.
^ Морли и Морли 1933 , с. 38
^ Блэр 2000 , с. 43 ; Швердтфегер 2012 , с. 42 .

Ссылки

Бойтельспехер, Альбрехт ; Розенбаум, Ют (1998), Проективная геометрия / От основ к приложениям , Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-48364-6
Блэр, Дэвид Э. (2000), Теория инверсии и конформное отображение , Студенческая математическая библиотека, том. 9, Американское математическое общество, ISBN. 9780821826362
Блашке, Вильгельм (1948), Проективная геометрия , Wolfenbüttel Verlagsanstalt
Касс, Рей (2006), Проективная геометрия / Введение , Oxford University Press, ISBN 9780199298860
Морли, Фрэнк ; Морли, Ф.В. (1933), Обратная геометрия , Лондон: Г. Белл и сыновья.
Швердтфегер, Ганс (2012), Геометрия комплексных чисел , Courier Dover Publications, ISBN 9780486135861
Йель, Пол Б. (2004) [впервые опубликовано в 1968 году], Геометрия и симметрия , Дувр, ISBN 0-486-43835-Х

Внешние ссылки

проективность в PlanetMath .

[1] Например, Beutelspacher & Rosenbaum 1998 , стр.21, Casse 2006 , стр. 56 и Йельский университет, 2004 г. , с. 226

[2] Геометры до сих пор обычно используют обозначение экспоненциального типа для функций, и это условие часто выглядит как A ⊆ B ⇔ A. ^а ⊆ Б ^а для всех A , B в D ( V ).

[3] «Сохранение отношения инцидентности» означает, что если точка $p$ находится на линии $l,$ то $f (p)$ находится в $g (l)$ ; формально, если $(p, l) \in I$ , то $(f (p), g (l)) \in I'$ .

[4] Феликс Кляйн (1926, 1949) Лекции по высшей геометрии , под редакцией Бляшке, стр. 138

[5] Касс 2006 , с. 64, следствие 4.29.

[6] Морли и Морли 1933 , с. 38

[7] Блэр 2000 , с. 43 ; Швердтфегер 2012 , с. 42 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]