Тавтологическое расслоение

В математике тавтологическое расслоение — это векторное расслоение, возникающее над грассманианом естественным тавтологическим образом: для грассманиана $k$ - размерные подпространства $V$ , учитывая точку в грассманиане, соответствующую $k$ -мерное векторное подпространство $W\subseteq V$ , волокно поверх $W$ это подпространство $W$ сам. В случае проективного пространства тавтологическое расслоение известно как тавтологическое линейное расслоение.

Тавтологическое расслоение также называют универсальным расслоением, поскольку любое векторное расслоение (над компактным пространством ^[1]) — образ тавтологического расслоения; то есть грассманиан является классифицирующим пространством для векторных расслоений. В связи с этим тавтологическое расслоение важно при изучении характеристических классов .

Тавтологические расслоения строятся как в алгебраической топологии, так и в алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии тавтологическое линейное расслоение (как обратимый пучок ) есть

{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1),

двойственный скручивающему или расслоению гиперплоскости пучку Серра ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)$ . Гиперплоское расслоение — это линейное расслоение, соответствующее гиперплоскости ( дивизору ) $\mathbb {P} ^{n-1}$ в $\mathbb {P} ^{n}$ . Тавтологическое линейное расслоение и гиперплоское расслоение — это в точности два образующих группы Пикара проективного пространства. ^[2]

В «К-теории» Майкла Атьи тавтологическое линейное расслоение над комплексным проективным пространством называется стандартным линейным расслоением . Расслоение сфер стандартного расслоения обычно называют расслоением Хопфа . (см. Генератор Ботта .)

В более общем смысле, существуют также тавтологические расслоения на проективном расслоении векторного расслоения, а также расслоение Грассмана .

Старый термин «канонический расслоение» вышел из употребления на том основании, что «канонический» и так сильно перегружен в математической терминологии, и (что еще хуже) путаницы с каноническим классом в алгебраической геометрии едва ли можно избежать.

Интуитивное определение

Грассманианами по определению являются пространства параметров для линейных подпространств заданной размерности в заданном векторном пространстве. $W$ . Если $G$ является грассманианом, а $V_{g}$ является подпространством $W$ соответствующий $g$ в $G$ , это уже почти те данные, которые необходимы для векторного расслоения: а именно векторное пространство для каждой точки $g$ , непрерывно изменяясь. Единственное, что может остановить определение тавтологического расслоения по этому указанию, — это трудность, заключающаяся в том, что $V_{g}$ собираются пересечься. Чтобы исправить это, необходимо обычное применение устройства непересекающегося объединения , так что проекция пучка происходит из общего пространства, состоящего из идентичных копий $V_{g}$ , которые теперь не пересекаются. Таким образом, у нас есть связка.

В комплект входит футляр для проекционного пространства. По соглашению $P(V)$ может с пользой нести тавтологическое расслоение в смысле двойственного пространства . То есть с $V^{*}$ двойственное пространство, точки $P(V)$ несут векторные подпространства $V^{*}$ это их ядра, если рассматривать их как (лучи) линейных функционалов на $V^{*}$ . Если $V$ имеет размерность $n+1$ тавтологическое линейное расслоение — это одно тавтологическое расслоение, а другое, только что описанное, имеет ранг $n$ .

Формальное определение

Позволять $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ — Грассманиан -мерных n векторных подпространств в $\mathbb {R} ^{n+k};$ как набор это набор всех n -мерных векторных подпространств $\mathbb {R} ^{n+k}.$ Например, если n = 1, это реальное проективное k -пространство.

Определим тавтологическое расслоение γ _{n , k} над $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ следующее. Общее пространство расслоения — это множество всех пар ( V , v ), состоящих из точки V грассманиана и вектора v в V ; задана топология подпространства декартова произведения $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times \mathbb {R} ^{n+k}.$ Карта проекции π задается формулой π( V , v ) = V . Если F является прообразом V относительно π, ему задается структура векторного пространства как a ( V , v ) + b ( V , w ) = ( V , av + bw ). Наконец, чтобы убедиться в локальной тривиальности, для данной точки X в грассманиане пусть U будет множеством всех V таких, что ортогональная проекция p на X отображает V изоморфно на X , ^[3] а затем определить

{\begin{cases}\phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times X\subseteq G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times X\\\phi (V,v)=(V,p(v))\end{cases}}

что, очевидно, является гомеоморфизмом. Следовательно, результатом является векторное расслоение ранга n .

Приведенное выше определение продолжит иметь смысл, если мы заменим $\mathbb {R}$ со сложным полем $\mathbb {C} .$

По определению бесконечный Грассманиан $G_{n}$ является прямым пределом $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ как $k\to \infty .$ Взяв прямой предел расслоений γn _{, k дает} тавтологическое _γn расслоение $G_{n}.$ Это универсальное расслоение в том смысле, что для каждого компакта X существует естественная биекция

{\begin{cases}[X,G_{n}]\to \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{cases}}

где скобка слева означает гомотопический класс, а справа — множество классов изоморфизма вещественных векторных расслоений ранга n . Обратное отображение задается следующим образом: поскольку X компактно, любое векторное расслоение E является подрасслоением тривиального расслоения: $E\hookrightarrow X\times \mathbb {R} ^{n+k}$ для некоторого k и поэтому E определяет отображение

{\begin{cases}f_{E}:X\to G_{n}\\x\mapsto E_{x}\end{cases}}

уникален с точностью до гомотопии.

Замечание . В свою очередь, тавтологическое расслоение можно определить как универсальное расслоение; предположим, что существует естественная биекция

[X,G_{n}]=\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)

для любого паракомпакта X . С $G_{n}$ является прямым пределом компактных пространств, он паракомпакт и, следовательно, существует единственное векторное расслоение над $G_{n}$ что соответствует карте идентичности на $G_{n}.$ Это именно тавтологическое расслоение, и путем ограничения можно получить тавтологические расслоения по всем $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k}).$

Пакет гиперплоскости

Гиперплоское расслоение H на вещественном проективном k -пространстве определяется следующим образом. Общее пространство H — это набор всех пар ( L , f ), состоящих из прямой L, проходящей через начало координат в $\mathbb {R} ^{k+1}$ и f линейный функционал на L . Отображение проекции π задается формулой π( L , f ) = L (так что слой над L является двойственным векторным пространством к L ). Остальное в точности похоже на тавтологическое линейное расслоение.

Другими словами, H — двойственное расслоение к тавтологическому линейному расслоению.

В алгебраической геометрии расслоение гиперплоскости — это линейное расслоение (как обратимый пучок ), соответствующее дивизору гиперплоскости.

H=\mathbb {P} ^{n-1}\subset \mathbb {P} ^{n}

задано, скажем, как = _x0 0, когда xi _— однородные координаты . Это можно увидеть следующим образом. Если D — делитель (Вейля) на $X=\mathbb {P} ^{n},$ соответствующее линейное расслоение O ( D ) на X определяется формулой

\Gamma (U,O(D))=\{f\in K|(f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}

где K поле рациональных функций на X. — Принимая D за H , мы имеем:

{\begin{cases}O(H)\simeq O(1)\\f\mapsto fx_{0}\end{cases}}

где x ₀ , как обычно, рассматривается как глобальное сечение скручивающего пучка O (1). (Фактически, указанный выше изоморфизм является частью обычного соответствия между дивизорами Вейля и дивизорами Картье.) Наконец, двойственный скручивающему пучку соответствует тавтологическому линейному расслоению (см. ниже).

Тавтологическое линейное расслоение в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии это понятие существует над любым полем k . Конкретное определение заключается в следующем. Позволять $A=k[y_{0},\dots ,y_{n}]$ и $\mathbb {P} ^{n}=\operatorname {Proj} A$ . Обратите внимание, что у нас есть:

\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}

где Spec — относительная Spec . Теперь поставьте:

L=\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\dots ,x_{n}]/I\right)

где I — идеальный пучок, порожденный глобальными сечениями $x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}$ . Тогда L — замкнутая подсхема $\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}$ по той же базовой схеме $\mathbb {P} ^{n}$ ; более того, замкнутые точки L — это в точности точки ( x , y ) $\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}\mathbb {P} ^{n}$ такой, что либо x равен нулю, либо образ x в $\mathbb {P} ^{n}$ это y . Таким образом, L — это тавтологическое линейное расслоение, определенное ранее, если k — поле действительных или комплексных чисел.

Говоря более кратко, L — это разрушение происхождения аффинного пространства. $\mathbb {A} ^{n+1}$ , где место x = 0 в L является исключительным дивизором . (ср. Хартсхорн, гл. I, конец § 4.)

В общем, $\mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} {\check {E}})$ — алгебраическое векторное расслоение, соответствующее локально свободному пучку E конечного ранга. ^[4] Поскольку у нас есть точная последовательность:

0\to I\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\to 0,

тавтологическое линейное расслоение L , определенное выше, соответствует двойственному ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)$ Серра извилистого пучка . На практике оба понятия (тавтологическое расслоение и двойственное скручивающему пучку) используются как взаимозаменяемые.

Над полем его двойственное линейное расслоение — это линейное расслоение, связанное с дивизором гиперплоскости H , глобальными сечениями которого являются линейные формы . Его класс Чженя — − H . Это пример анти-обильного линейного расслоения . Над $\mathbb {C} ,$ это равносильно утверждению, что это отрицательное линейное расслоение, а это означает, что за вычетом его класса Чженя есть класс де Рама стандартной кэлеровой формы.

Факты

Тавтологическое линейное расслоение γ _{1, k} , локально тривиально но не тривиально для k ≥ 1. Это остается верным и для других полей. ^{[ нужна ссылка ]}

Фактически, несложно показать, что при k = 1 вещественное тавтологическое линейное расслоение представляет собой не что иное, как хорошо известное расслоение, тотальное пространство которого представляет собой полосу Мёбиуса . Полное доказательство изложенного факта см. ^[5]

Группа Пикара расслоений на $\mathbb {P} (V)$ является бесконечным циклическим , а тавтологическое линейное расслоение является образующим.

В случае проективного пространства, где тавтологическое расслоение является линейным расслоением , соответствующий обратимый пучок сечений имеет вид ${\mathcal {O}}(-1)$ , тензор, обратный ( т.е. двойственное векторное расслоение) гиперплоского расслоения или пучка скручиваний Серра ${\mathcal {O}}(1)$ ; другими словами, расслоение гиперплоскости является генератором группы Пикара, имеющей положительную степень (как дивизор ), а тавтологическое расслоение является его противоположностью: генератором отрицательной степени.

См. также

пучок Хопфа
Класс Штифеля-Уитни
последовательность Эйлера
Класс Черна (классы Черна тавтологических расслоений — это алгебраически независимые образующие кольца когомологий бесконечного грассманиана.)
Теорема Бореля
Пространство Тома (пространство Тома тавтологических расслоений γ _n при n → ∞ называется спектром Тома .)
Пучок Грассмана

Ссылки

^ Для некомпактной, но паракомпактной базы это остается верным при условии использования бесконечного Грассмана.
^ В литературе и учебниках их часто называют каноническими генераторами.
^ U открыт с тех пор $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ задана топология такая, что
${\begin{cases}G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\to \operatorname {End} (\mathbb {R} ^{n+k})\\V\mapsto p_{V}\end{cases}}$
где $p_{V}$ — ортогональный проектор на V , — гомеоморфизм на образ.
^ Редакционное примечание: это определение отличается от Хартшорна тем, что он не использует двойственное определение, но соответствует стандартной практике и другим частям Википедии.
^ Милнор и Сташефф 1974 , §2. Теорема 2.1.

Источники

Атья, Майкл Фрэнсис (1989), K-теория , Advanced Book Classics (2-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-09394-0 , МР 1043170
Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии (PDF) , Wiley Classics Library, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/978118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9 , МР 1288523 .
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , МР 0463157 , OCLC 13348052 .
Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Анналы математических исследований, том. 76, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, MR 0440554
Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия: краткий словарь , Берлин/Бостон: Уолтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3

[1] Для некомпактной, но паракомпактной базы это остается верным при условии использования бесконечного Грассмана.

[2] В литературе и учебниках их часто называют каноническими генераторами.

[3] U открыт с тех пор $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ задана топология такая, что
${\begin{cases}G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\to \operatorname {End} (\mathbb {R} ^{n+k})\\V\mapsto p_{V}\end{cases}}$
где $p_{V}$ — ортогональный проектор на V , — гомеоморфизм на образ.

[4] Редакционное примечание: это определение отличается от Хартшорна тем, что он не использует двойственное определение, но соответствует стандартной практике и другим частям Википедии.

[5] Милнор и Сташефф 1974 , §2. Теорема 2.1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]