S (теория множеств)

S — это аксиоматическая теория множеств, изложенная Джорджем Булосом в его статье 1989 года «Снова итерация». S , теория первого порядка , является двухсортной, поскольку ее онтология включает в себя как «стадии», так и множества . Булос разработал S , чтобы воплотить свое понимание «итеративной концепции множества» и связанной с ней итеративной иерархии . S обладает тем важным свойством, что все аксиомы теории множеств Цермело Z , за исключением аксиомы экстенсиональности и аксиомы выбора , являются теоремами S или небольшой ее модификацией.

Онтология

Любая группировка математических , абстрактных или конкретных объектов, как бы они ни были сформированы, представляет собой совокупность , синоним того, что другие теории множеств называют классом . Вещи, составляющие коллекцию, называются элементами или членами. Обычным примером коллекции является область дискурса теории первого порядка .

Все множества являются коллекциями, но есть коллекции, которые не являются множествами. Синонимом коллекций, которые не являются наборами, является собственный класс . Существенной задачей аксиоматической теории множеств является отличие множеств от собственных классов, хотя бы потому, что математика основана на множествах, а собственным классам отводится чисто описательная роль.

Вселенная фон Неймана реализует «итерационную концепцию множества» путем разделения вселенной множеств на серию «стадий», при этом множества на данном этапе являются возможными членами множеств, сформированных на всех более высоких стадиях. Понятие сцены заключается в следующем. Каждому этапу присвоен порядковый номер . Самый низкий уровень, этап 0, состоит из всех сущностей, не имеющих членов. Мы предполагаем, что единственной сущностью на этапе 0 является пустое множество , хотя этот этап будет включать в себя любые элементы, которые мы захотим допустить. Этап n , n >0, состоит из всех возможных наборов, сформированных из элементов, которые можно найти на любом этапе, число которых меньше n . Каждое множество, сформированное на этапе n, также может быть сформировано на каждом этапе, превышающем n .

Следовательно, этапы образуют вложенную и хорошо упорядоченную последовательность и образовывали бы иерархию , если бы членство во множестве было транзитивным . Итеративная концепция постепенно стала более общепринятой, несмотря на несовершенное понимание ее исторического происхождения.

множества хорошо мотивированно избегает известных парадоксов Рассела Итеративная концепция , Бурали-Форти и Кантора . Все эти парадоксы являются результатом неограниченного использования принципа понимания наивной теории множеств . Такие коллекции, как «класс всех множеств» или «класс всех ординалов », включают множества со всех этапов итеративной иерархии. Следовательно, такие коллекции не могут быть сформированы на каком-либо данном этапе и, следовательно, не могут быть множествами.

Примитивные понятия

Этот раздел следует за Булосом (1998: 91). Переменные x и y варьируются по наборам, а r , s и t – по этапам. Существует три примитивных двуместных предиката :

• Set-set: x ∈ y означает, как обычно, что множество x является членом множества y ;
• Set-stage: Fxr означает, что набор x «формируется на» этапе r ;
• Стадия-стадия: r < s означает, что стадия r «находится раньше, чем» стадия s .

Приведенные ниже аксиомы включают определенный двухместный предикат этапа установки Bxr , который сокращается:

$\exists s[s<r\land Fxs].$

Bxr читается как «набор x формируется до этапа r ».

Идентичность , обозначаемая инфиксом '=', не играет той роли в S , которую она играет в других теориях множеств, и Булос не дает полностью ясного объяснения, включает ли фоновая логика идентичность. S не имеет аксиомы экстенсиональности , а тождество отсутствует в других S. аксиомах Идентичность действительно появляется в схеме аксиом, отличающей S+ от S , выводе в S спаривания и , нулевого множества и бесконечности аксиом Z. в

Аксиомы

Символические аксиомы, показанные ниже, взяты из Boolos (1998: 91) и управляют тем, как наборы и этапы ведут себя и взаимодействуют. Версии аксиом на естественном языке предназначены для помощи интуиции.

Аксиомы делятся на две группы по три. Первая группа состоит из аксиом, относящихся исключительно к стадиям и отношению стадия-стадия '<'.

Между : $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$

«Раньше чем» является переходным.

Сеть : $\forall s\forall t\exists r[t<r\land s<r]\,.$

Следствием Net является то, что каждый этап предшествует некоторому этапу.

Инф : $\exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.$

Единственная цель Inf — обеспечить возможность вывода в S аксиомы бесконечности других теорий множеств.

Вторая и последняя группа аксиом включает в себя как множества, так и этапы, а также предикаты, отличные от «<»:

Все : $\forall x\exists rFxr\,.$

Каждое множество формируется на определенном этапе иерархии.

Когда : $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$

Множество формируется на каком-то этапе тогда и только тогда, когда его члены формируются на более ранних стадиях.

Пусть A ( y ) — формула S , где y свободен, а x — нет. Тогда справедлива следующая схема аксиом:

Спецификация : $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$

Если существует этап r такой, что все множества, удовлетворяющие A ( y ), формируются на этапе, предшествующем r , то существует набор x, членами которого являются только те множества, удовлетворяющие A ( y ). Роль Spec в S аналогична роли спецификации Z схемы аксиом .

Обсуждение

Булос назвал теорию множеств Цермело минус экстенсиональность Z- . Булос вывел в S все аксиомы Z-, кроме аксиомы выбора . Целью этого упражнения было показать, как большая часть традиционной теории множеств может быть выведена из итеративной концепции множеств, предположительно воплощенной S. в Экстенсиональность не следует из итеративной концепции и поэтому не является теоремой S . Однако S + Экстенсиональность свободна от противоречий, если S свободна от противоречий.

Затем Булос изменил Spec , чтобы получить вариант S, который он назвал S+ , такой, что схема аксиом замены выводится в S++ Extensionality. Следовательно, S ++ экстенсиональность обладает силой ZF . Булос также утверждал, что аксиома выбора добавить Выбор к S. не следует из итеративной концепции, но не задавался вопросом, можно ли каким-либо образом Следовательно, S+ + экстенсиональность не может доказать те теоремы традиционной теории множеств ZFC, доказательства которых требуют выбора.

Inf гарантирует существование стадий ω и ω + n для конечных n , но не стадии ω + ω. Тем не менее, S дает достаточно канторовского рая , чтобы обосновать почти всю современную математику.

Булос довольно подробно сравнивает S с вариантом системы , Grundgesetze Фреге аксиому неограниченного в которой принцип Юма , взятый как аксиома, заменяет Основной закон V Фреге, понимания , которая делала систему Фреге непоследовательной; см . парадокс Рассела .

Ссылки

• Булос, Джордж (1989), «Снова итерация», Philosophical Topics , 17 : 5–21, JSTOR   43154050 . Перепечатано в: Булос, Джордж (1998), Логика, логика и логика , издательство Гарвардского университета, стр. 88–104, ISBN  9780674537675 .
• Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия , Oxford University Press, ISBN  9780199269730 .