Структура Вейра – Фелана

Структура Вейра – Фелана

Космическая группа Обозначение фиброфолда Обозначение Кокстера	Вечер 3 н (223) 2 ^тот [[4,3,4] ⁺]

В геометрии структура Вейра -Фелана представляет собой трехмерную структуру, представляющую собой идеализированную пену из пузырьков одинакового размера и двух разных форм. В 1993 году Денис Вейре и Роберт Фелан обнаружили, что эта структура является лучшим решением проблемы Кельвина о замощении пространства ячейками одинакового объема с минимальной площадью поверхности, чем предыдущее самое известное решение - структура Кельвина. ^{[ 1 ]}

История и проблема Кельвина

В двух измерениях разделение плоскости на ячейки равной площади с минимальным средним периметром задается шестиугольной мозаикой , но хотя первое упоминание об этой гипотезе о сотах восходит к древнеримскому ученому Марку Теренцию Варрону (116-27 гг. до н.э.) Это не было доказано до работы Томаса К. Хейлза в 1999 году. ^{[ 2 ]} В 1887 году лорд Кельвин задал соответствующий вопрос для трехмерного пространства: как можно разделить пространство на ячейки одинакового объема с наименьшей площадью поверхности между ними? Или, короче говоря, какая пена для мыльных пузырей была самой эффективной ? ^{[ 3 ]} С тех пор эту проблему стали называть проблемой Кельвина.

Кельвин предложил пену, названную структурой Кельвина . Его пена основана на битусеченных кубических сотах , выпуклых однородных сотах, образованных усеченным октаэдром , заполняющим пространство выпуклым многогранником с 6 квадратными гранями и 8 шестиугольными гранями. Однако эти соты не удовлетворяют законам Плато , сформулированным Джозефом Плато в XIX веке, согласно которым минимальные поверхности пены встречаются при $120^{\circ }$ углы на их краях, причем эти края встречаются друг с другом группами по четыре с углами $\arccos {\tfrac {1}{3}}\approx 109.47^{\circ }$ . Углы многогранной структуры разные; например, его края сходятся под углами $90^{\circ }$ на квадратных лицах или $120^{\circ }$ на шестиугольных гранях. Таким образом, предложенная Кельвином структура использует криволинейные края и слегка искривленные минимальные поверхности для своих граней, подчиняясь законам Плато и уменьшая площадь структуры на 0,2% по сравнению с соответствующей многогранной структурой. ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}

Хотя Кельвин не высказал это прямо как гипотезу, ^{[ 4 ]} Идея о том, что пена из усеченных кубических сот является наиболее эффективной пеной и решает проблему Кельвина, стала известна как гипотеза Кельвина . В это широко верили, и более 100 лет не было известно ни одного контрпримера. Наконец, в 1993 году Тринити-колледжа Дублина физик Денис Вейр и его студент Роберт Фелан открыли структуру Вейра-Фелана посредством компьютерного моделирования пены и показали, что она более эффективна, опровергнув гипотезу Кельвина. ^{[ 1 ]}

С момента открытия структуры Вейра-Фелана были найдены и другие контрпримеры гипотезе Кельвина, но структура Вейра-Фелана по-прежнему имеет наименьшую известную площадь поверхности на ячейку из этих контрпримеров. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} Хотя численные эксперименты показывают, что структура Вейра-Фелана оптимальна, это остается недоказанным. ^{[ 8 ]} , было очень сложно В общем, доказать оптимальность структур, включающих минимальные поверхности . Минимальность сферы как поверхности, охватывающей один объем, не была доказана до XIX века, а следующая простейшая подобная проблема, гипотеза о двойном пузыре, заключающем в себе два объема, оставалась открытой более 100 лет, пока не была доказана в 2002 году. ^{[ 9 ]}

Описание

Неправильный додекаэдр

Тетракаидекаэдр

Структура Вейра-Фелана отличается от структуры Кельвина тем, что в ней используются два типа ячеек, хотя они имеют одинаковый объем. Подобно ячейкам структуры Кельвина, эти ячейки комбинаторно эквивалентны выпуклым многогранникам . — пиритоэдр , неправильный додекаэдр с пятиугольными гранями, обладающий тетраэдрической симметрией ( TH _{Один из них} ). Второй представляет собой форму усеченного шестиугольного трапецоэдра , разновидность тетракаидекаэдра с двумя шестиугольными и двенадцатью пятиугольными гранями, в данном случае обладающими только двумя зеркальными плоскостями и роторно-отражательной симметрией. Как и шестиугольники в структуре Кельвина, пятиугольники в обоих типах ячеек слегка изогнуты. Площадь поверхности структуры Вейра-Фелана на 0,3% меньше, чем у структуры Кельвина. ^{[ 1 ]}

Ячейки тетракаидекаэдра, соединенные в обращенные друг к другу цепочки ячеек вдоль своих шестиугольных граней, образуют цепочки в трех перпендикулярных направлениях. Комбинаторно эквивалентная структура структуре Вейра-Фелана может быть представлена как мозаика пространства единичными кубами, выстроенными лицом к лицу в бесконечные квадратные призмы таким же образом, чтобы сформировать структуру взаимосвязанных призм, называемую тетрастикс . Эти призмы окружают кубические пустоты, составляющие четверть ячеек кубической мозаики; оставшиеся три четверти ячеек заполняют призмы, смещенные на половину единицы от целочисленной сетки, выровненной по стенкам призмы. Аналогично, в самой структуре Вейра-Фелана, которая имеет ту же симметрию, что и структура тетрастикса, 1/4 ячеек представляют собой додекаэдры, а 3/4 - тетракаидекаэдры. ^{[ 10 ]}

Многогранные соты , связанные со структурой Вейра-Фелана (полученной путем сплющивания граней и выпрямления краев), также широко называются структурой Вейра-Фелана. Она была известна задолго до открытия структуры Вейра-Фелана, но ее применение к проблеме Кельвина не было учтено. ^{[ 11 ]}

Приложения

В физических системах

Эксперименты показали, что при благоприятных граничных условиях пузырьки равного объема самопроизвольно самоорганизуются в структуру Вейра – Фелана. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

Соответствующие многогранные соты встречаются в двух связанных геометриях кристаллической структуры в химии . Там, где компоненты кристалла лежат в центрах многогранников, он образует одну из фаз Франка-Каспера , фазу А15 . ^{[ 14 ]}

Когда компоненты кристалла лежат в углах многогранников, это известно как « клатратная структура типа I». Газогидраты, образующиеся при низких температурах метаном, пропаном и углекислым газом, имеют структуру, в которой молекулы воды лежат в узлах структуры Вейра-Фелана и связаны между собой водородными связями , а более крупные молекулы газа заперты в полиэдрических клетках. ^{[ 11 ]} Некоторые щелочных металлов гидриды, силициды и германиды также образуют эту структуру с кремнием или германием в узлах и щелочными металлами в клетках. ^{[ 1 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

В архитектуре

Структура Вейра-Фелана послужила источником вдохновения для дизайна Тристрама Карфрэ Пекинского национального центра водных видов спорта «Водный куб» для летних Олимпийских игр 2008 года . ^{[ 17 ]}

См. также

В погоне за идеальной упаковкой , книга Вейра об этой и связанных с ней проблемах.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Вейре, Д. ; Фелан, Р. (1994), «Контрпример к гипотезе Кельвина о минимальных поверхностях», Phil. Маг. Летт. , 69 (2): 107–110, Бибкод : 1994PMagL..69..107W , doi : 10.1080/09500839408241577 .
^ Хейлз, Т.К. (2001), «Гипотеза о сотах», Дискретная и вычислительная геометрия , 25 (1): 1–22, doi : 10.1007/s004540010071 , hdl : 2027.42/42423 , MR 1797293
^ Jump up to: ^а ^б Лорд Кельвин (сэр Уильям Томсон) (1887), «О разделении пространства с минимальной разделительной площадью» (PDF) , Philosophical Magazine , 24 (151): 503, doi : 10.1080/14786448708628135 , заархивировано из оригинала (PDF) на 26 ноября 2021 г. , получено 15 июня 2012 г.
^ Weaire & Phelan (1994) пишут, что это «скорее неявно, чем прямо указано в оригинальных статьях Кельвина»
^ Салливан, Джон М. (1999), «Геометрия пузырьков и пен», Пены и эмульсии (Cargèse, 1997) , Серия E Институтов передовых научных исследований НАТО: Прикладные науки, том. 354, Клювер, стр. 379–402, MR 1688327
^ Габбриелли, Руджеро (1 августа 2009 г.), «Новый контрпример к гипотезе Кельвина о минимальных поверхностях», Philosophical Magazine Letters , 89 (8): 483–491, Бибкод : 2009PMagL..89..483G , doi : 10.1080/ 09500830903022651 , ISSN 0950-0839 , S2CID 137653272
^ Фрайбергер, Марианна (24 сентября 2009 г.), «Пузырь Кельвина снова лопнул» , журнал Plus Magazine , Кембриджский университет , получено 4 июля 2017 г.
^ Уде, Эдуард (2011), «Аппроксимация перегородок наименьшего периметра с помощью Γ-сходимости: вокруг гипотезы Кельвина» , Experimental Mathematics , 20 (3): 260–270, doi : 10.1080/10586458.2011.565233 , MR 2836251 , S2CID 2945749
^ Морган, Фрэнк (2009), «Глава 14. Доказательство гипотезы о двойном пузыре», Геометрическая теория меры: Руководство для начинающих (4-е изд.), Academic Press .
^ Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008), «Понимание ирландских пузырей» , Симметрии вещей , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, стр. 351, ISBN 978-1-56881-220-5 , МР 2410150
^ Jump up to: ^а ^б Полинг, Лайнус (1960), Природа химической связи (3-е изд.), Издательство Корнельского университета, стр. 471
^ Габбриелли, Р.; Мигер, Эй Джей; Вейре, Д.; Бракке, Калифорния; Хатцлер, С. (2012), «Экспериментальная реализация структуры Вейра-Фелана в монодисперсной жидкой пене» (PDF) , Phil. Маг. Летт. , 92 (1): 1–6, Bibcode : 2012PMagL..92....1G , doi : 10.1080/09500839.2011.645898 , S2CID 25427974 .
^ Болл, Филип (2011), «Ученые создают «идеальную» пену: теоретическая низкоэнергетическая пена, созданная по-настоящему», Nature , doi : 10.1038/nature.2011.9504 , S2CID 136626668 .
^ Франк, ФК; Каспер, Дж. С. (1958), «Структуры сложных сплавов, рассматриваемые как упаковки сфер. I. Определения и основные принципы» (PDF) , Acta Crystallogr. , 11 (3): 184–190, doi : 10.1107/s0365110x58000487 . Франк, ФК; Каспер, Дж. С. (1959), «Сложные структуры сплава, рассматриваемые как сферические упаковки. II. Анализ и классификация типичных структур», Acta Crystallogr. , 12 (7): 483–499, doi : 10.1107/s0365110x59001499 .
^ Каспер, Дж.С.; Хагенмюллер, П.; Паучард, М.; Крос, К. (декабрь 1965 г.), «Клатратная структура кремния Na ₈ Si ₄₆ и Na _x Si ₁₃₆ (x <11)», Science , 150 (3704): 1713–1714, Бибкод : 1965Sci...150.1713K , дои : 10.1126/science.150.3704.1713 , PMID 17768869 , S2CID 21291705
^ Крос, Кристиан; Пушар, Мишель; Хагенмюллер, Пол (декабрь 1970 г.), «О новом семействе изотипов минеральных клатратов газовых и жидких гидратов, интерпретация полученных результатов», Journal of Solid State Chemistry , 2 (4): 570–581, Bibcode : 1970JSSCh. .2..570C , дои : 10.1016/0022-4596(70)90053-8
^ Фонтан, Генри (5 августа 2008 г.), «Проблема пузырей в основе олимпийского дизайна» , New York Times.

Внешние ссылки

3D-модели структур Вейра-Фелана, Кельвина и P42a.
Страница Weaire-Phelan Bubbles с иллюстрациями и бесплатно загружаемыми «сетками» для печати и изготовления моделей.
«Умное модульное космическое поселение Weaire-Phelan» , Александру Пинтя, 2017 г., индивидуальный первый приз конкурса космических поселений НАСА Эймса:

[wp-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Вейре, Д. ; Фелан, Р. (1994), «Контрпример к гипотезе Кельвина о минимальных поверхностях», Phil. Маг. Летт. , 69 (2): 107–110, Бибкод : 1994PMagL..69..107W , doi : 10.1080/09500839408241577 .

[hales-2] Хейлз, Т.К. (2001), «Гипотеза о сотах», Дискретная и вычислительная геометрия , 25 (1): 1–22, doi : 10.1007/s004540010071 , hdl : 2027.42/42423 , MR 1797293

[kelvin-3] Jump up to: ^а ^б Лорд Кельвин (сэр Уильям Томсон) (1887), «О разделении пространства с минимальной разделительной площадью» (PDF) , Philosophical Magazine , 24 (151): 503, doi : 10.1080/14786448708628135 , заархивировано из оригинала (PDF) на 26 ноября 2021 г. , получено 15 июня 2012 г.

[4] Weaire & Phelan (1994) пишут, что это «скорее неявно, чем прямо указано в оригинальных статьях Кельвина»

[sullivan-5] Салливан, Джон М. (1999), «Геометрия пузырьков и пен», Пены и эмульсии (Cargèse, 1997) , Серия E Институтов передовых научных исследований НАТО: Прикладные науки, том. 354, Клювер, стр. 379–402, MR 1688327

[gabrielli-6] Габбриелли, Руджеро (1 августа 2009 г.), «Новый контрпример к гипотезе Кельвина о минимальных поверхностях», Philosophical Magazine Letters , 89 (8): 483–491, Бибкод : 2009PMagL..89..483G , doi : 10.1080/ 09500830903022651 , ISSN 0950-0839 , S2CID 137653272

[freiberger-7] Фрайбергер, Марианна (24 сентября 2009 г.), «Пузырь Кельвина снова лопнул» , журнал Plus Magazine , Кембриджский университет , получено 4 июля 2017 г.

[oudet-8] Уде, Эдуард (2011), «Аппроксимация перегородок наименьшего периметра с помощью Γ-сходимости: вокруг гипотезы Кельвина» , Experimental Mathematics , 20 (3): 260–270, doi : 10.1080/10586458.2011.565233 , MR 2836251 , S2CID 2945749

[morgan-9] Морган, Фрэнк (2009), «Глава 14. Доказательство гипотезы о двойном пузыре», Геометрическая теория меры: Руководство для начинающих (4-е изд.), Academic Press .

[cbgs-10] Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008), «Понимание ирландских пузырей» , Симметрии вещей , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, стр. 351, ISBN 978-1-56881-220-5 , МР 2410150

[pauling-11] Jump up to: ^а ^б Полинг, Лайнус (1960), Природа химической связи (3-е изд.), Издательство Корнельского университета, стр. 471

[gmwbh-12] Габбриелли, Р.; Мигер, Эй Джей; Вейре, Д.; Бракке, Калифорния; Хатцлер, С. (2012), «Экспериментальная реализация структуры Вейра-Фелана в монодисперсной жидкой пене» (PDF) , Phil. Маг. Летт. , 92 (1): 1–6, Bibcode : 2012PMagL..92....1G , doi : 10.1080/09500839.2011.645898 , S2CID 25427974 .

[ball-13] Болл, Филип (2011), «Ученые создают «идеальную» пену: теоретическая низкоэнергетическая пена, созданная по-настоящему», Nature , doi : 10.1038/nature.2011.9504 , S2CID 136626668 .

[fk-14] Франк, ФК; Каспер, Дж. С. (1958), «Структуры сложных сплавов, рассматриваемые как упаковки сфер. I. Определения и основные принципы» (PDF) , Acta Crystallogr. , 11 (3): 184–190, doi : 10.1107/s0365110x58000487 . Франк, ФК; Каспер, Дж. С. (1959), «Сложные структуры сплава, рассматриваемые как сферические упаковки. II. Анализ и классификация типичных структур», Acta Crystallogr. , 12 (7): 483–499, doi : 10.1107/s0365110x59001499 .

[khpc-15] Каспер, Дж.С.; Хагенмюллер, П.; Паучард, М.; Крос, К. (декабрь 1965 г.), «Клатратная структура кремния Na ₈ Si ₄₆ и Na _x Si ₁₃₆ (x <11)», Science , 150 (3704): 1713–1714, Бибкод : 1965Sci...150.1713K , дои : 10.1126/science.150.3704.1713 , PMID 17768869 , S2CID 21291705

[cph-16] Крос, Кристиан; Пушар, Мишель; Хагенмюллер, Пол (декабрь 1970 г.), «О новом семействе изотипов минеральных клатратов газовых и жидких гидратов, интерпретация полученных результатов», Journal of Solid State Chemistry , 2 (4): 570–581, Bibcode : 1970JSSCh. .2..570C , дои : 10.1016/0022-4596(70)90053-8

[fountain-17] Фонтан, Генри (5 августа 2008 г.), «Проблема пузырей в основе олимпийского дизайна» , New York Times.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]