Этальная фундаментальная группа

Этальная пространств или алгебраическая фундаментальная группа аналог в алгебраической геометрии для схем обычной фундаментальной группы топологических — .

Топологический аналог/неформальное обсуждение

В алгебраической топологии фундаментальная группа $\pi _{1}(X,x)$ точечного топологического пространства $(X,x)$ определяется как группа гомотопических классов петель, основанных на $x$ . Это определение хорошо работает для таких пространств, как вещественные и комплексные многообразия , но дает нежелательные результаты для алгебраических многообразий с топологией Зарисского .

При классификации накрытий показано, что фундаментальной группой является именно группа колодных преобразований универсального накрытия . Это более перспективно: конечные этальные морфизмы алгебраических многообразий являются подходящим аналогом накрытий топологических пространств. К сожалению, алгебраическое многообразие $X$ часто не имеет «универсального покрытия», конечного над $X$ , поэтому необходимо рассмотреть всю категорию конечных этальных накрытий $X$ . Тогда можно определить этальную фундаментальную группу как обратный предел конечных групп автоморфизмов .

Формальное определение

Позволять $X$ — связная и локально нётерова схема , пусть $x$ быть геометрической точкой $X,$ и пусть $C$ быть категорией пар $(Y,f)$ такой, что $f\colon Y\to X$ — конечный этальный морфизм схемы $Y.$ Морфизмы $(Y,f)\to (Y',f')$ в этой категории являются морфизмы $Y\to Y'$ как схемы закончились $X.$ Эта категория имеет естественный функтор категории множеств, а именно функтор:

F(Y)=\operatorname {Hom} _{X}(x,Y);

геометрически это волокно $Y\to X$ над $x,$ и абстрактно это функтор Йонеды, представленный формулой $x$ в категории схем свыше $X$ . Функтор $F$ обычно не представимо в $C$ ; однако, это пропредставимо в $C$ , на самом деле обложки Галуа $X$ . Это означает, что мы имеем проективную систему $\{X_{j}\to X_{i}\mid i<j\in I\}$ в $C$ , индексированный направленным набором $I,$ где $X_{i}$ являются Галуа каверами $X$ , т. е. схемы с конечным распространением по $X$ такой, что $\#\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})=\operatorname {deg} (X_{i}/X)$ . ^[1] Это также означает, что мы задали изоморфизм функторов:

F(Y)=\varinjlim _{i\in I}\operatorname {Hom} _{C}(X_{i},Y)

.

В частности, у нас есть отмеченный момент $P\in \varprojlim _{i\in I}F(X_{i})$ проективной системы.

На двоих таких $X_{i},X_{j}$ карта $X_{j}\to X_{i}$ индуцирует групповой гомоморфизм $\operatorname {Aut} _{X}(X_{j})\to \operatorname {Aut} _{X}(X_{i})$ который производит проективную систему групп автоморфизмов из проективной системы $\{X_{i}\}$ . Затем мы даем следующее определение: этальная фундаментальная группа $\pi _{1}(X,x)$ из $X$ в $x$ является обратным пределом:

\pi _{1}(X,x)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} }_{X}(X_{i}),

с инверсной предельной топологией.

Функтор $F$ теперь является функтором из $C$ к категории конечных и непрерывных $\pi _{1}(X,x)$ -устанавливает и устанавливает эквивалентность категорий между $C$ и категория конечных и непрерывных $\pi _{1}(X,x)$ -наборы. ^[2]

Примеры и теоремы

Самый простой пример: $\pi _{1}(\operatorname {Spec} k)$ , этальная фундаментальная группа поля $k$ . По сути, по определению, фундаментальная группа $k$ можно показать, что она изоморфна абсолютной группе Галуа $\operatorname {Gal} (k^{sep}/k)$ . Точнее, выбор геометрической точки $\operatorname {Spec} (k)$ эквивалентно предоставлению сепарабельно замкнутого поля расширения $K$ , а этальная фундаментальная группа относительно этой базовой точки отождествляется с группой Галуа $\operatorname {Gal} (K/k)$ . Эта интерпретация группы Галуа известна как теория Галуа Гротендика .

В более общем смысле для любого геометрически связного многообразия $X$ над полем $k$ (т.е. $X$ таков, что $X^{sep}:=X\times _{k}k^{sep}$ связен) существует точная последовательность проконечных групп :

1\to \pi _{1}(X^{sep},{\overline {x}})\to \pi _{1}(X,{\overline {x}})\to \operatorname {Gal} (k^{sep}/k)\to 1.

Схемы над полем нулевой характеристики

Для схемы $X$ который имеет конечный тип над $\mathbb {C}$ , комплексные числа, существует тесная связь между этальной фундаментальной группой $X$ и обычная топологическая фундаментальная группа $X(\mathbb {C} )$ , комплексное аналитическое пространство , присоединенное к $X$ . Алгебраическая фундаментальная группа, как ее обычно называют в этом случае, представляет собой пополнение бесконечное $\pi _{1}(X)$ . Это следствие теоремы существования Римана , которая гласит, что все конечные этальные накрытия $X(\mathbb {C} )$ происходят от одного из $X$ . В частности, как фундаментальная группа гладких кривых над $\mathbb {C}$ (т. е. открытые римановы поверхности ) хорошо изучены; это определяет алгебраическую фундаментальную группу. В более общем смысле, фундаментальная группа правильной схемы над любым алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики известна, поскольку расширение алгебраически замкнутых полей индуцирует изоморфные фундаментальные группы.

Схемы над полем положительной характеристики и ручной фундаментальной группой

Для алгебраически замкнутого поля $k$ положительной характеристики, результаты будут иными, поскольку в этой ситуации существуют накрытия Артина–Шрейера. Например, фундаментальная группа аффинной прямой $\mathbf {A} _{k}^{1}$ не является топологически конечно порожденным . Ручная фундаментальная группа некоторой схемы U является фактором обычной фундаментальной группы схемы U. $U$ учитывающий только покровы, аккуратно разветвленные вдоль $D$ , где $X$ является некоторой компактификацией и $D$ является дополнением $U$ в $X$ . ^[3]^[4] Например, ручная фундаментальная группа аффинной прямой равна нулю.

Аффинные схемы над полем характеристики p

Оказывается, каждая аффинная схема $X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}$ это $K(\pi ,1)$ -пространство в том смысле, что этальный гомотопический тип $X$ полностью определяется своей этальной гомотопической группой. ^[5] Примечание $\pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})$ где ${\overline {x}}$ является геометрической точкой.

Дальнейшие темы

С теоретико-категорной точки зрения фундаментальная группа представляет собой функтор:

{ Остроконечные алгебраические многообразия } → { Проконечные группы }.

Обратная задача Галуа спрашивает, какие группы могут возникнуть как фундаментальные группы (или группы Галуа расширений полей). Анабелева геометрия , например , Гротендика гипотеза сечения стремится идентифицировать классы многообразий, которые определяются их фундаментальными группами. ^[6]

Фридлендер (1982) изучает высшие этальные гомотопические группы с помощью схемы этального гомотопического типа.

Прогосударственная фундаментальная группа

Бхатт и Шольце (2015 , §7) представили вариант этальной фундаментальной группы, названный проэтальной фундаментальной группой . Он строится путем рассмотрения вместо конечных этальных накрытий отображений, которые одновременно являются этальными и удовлетворяют оценочному критерию правильности . Для геометрически одноветвевых схем (например, нормальных схем) оба подхода согласуются, но в целом проэтальная фундаментальная группа является более тонким инвариантом: ее проконечным пополнением является этальная фундаментальная группа.

См. также

Примечания

^ Дж. С. Милн, Лекции по этальным когомологиям , версия 2.21: 26-27
^ Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Семинар по алгебраической геометрии в Буа Мари - 1960-61 - Плоские накрытия и фундаментальная группа - (SGA 1) (Математические документы 3 ) , Париж: Société Mathématique de France , стр. xviii+327, см. Exp. V, IX, X, arXiv : math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
^ Гротендик, Александр ; Мурре, Джейкоб П. (1971), Ручная фундаментальная группа формальной окрестности дивизора с нормальными пересечениями на схеме , Конспект лекций по математике, Vol. 208, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
^ Шмидт, Александр (2002), «Прирученные покрытия арифметических схем», Mathematische Annalen , 322 (1): 1–18, arXiv : math/0005310 , doi : 10.1007/s002080100262 , S2CID 29899627
^ Ачингер, Петр (ноябрь 2017 г.). «Дикое ветвление и пространства K (pi, 1)». Математические изобретения . 210 (2): 453–499. arXiv : 1701.03197 . дои : 10.1007/s00222-017-0733-5 . ISSN 0020-9910 . S2CID 119146164 .
^ (Тамагава 1997 )

Ссылки

Бхатт, Бхаргав; Шольце, Питер (2015), «Проэтальная топология схем», Asterisque : 99–201, arXiv : 1309.1198 , Bibcode : 2013arXiv1309.1198B , MR 3379634
Фридлендер, Эрик М. (1982), Этальная гомотопия симплициальных схем , Анналы математических исследований, том. 104, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-08288-2
Мурре, JP (1967), Лекции по введению в теорию фундаментальной группы Гротендика , Бомбей: Институт фундаментальных исследований Таты, MR 0302650
Тамагава, Акио (1997), «Гипотеза Гротендика для аффинных кривых», Compositio Mathematica , 109 (2): 135–194, doi : 10.1023/A:1000114400142 , MR 1478817
Эта статья включает в себя материалы фундаментальной группы étale на сайте PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .

[1] Дж. С. Милн, Лекции по этальным когомологиям , версия 2.21: 26-27

[2] Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Семинар по алгебраической геометрии в Буа Мари - 1960-61 - Плоские накрытия и фундаментальная группа - (SGA 1) (Математические документы 3 ) , Париж: Société Mathématique de France , стр. xviii+327, см. Exp. V, IX, X, arXiv : math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2

[3] Гротендик, Александр ; Мурре, Джейкоб П. (1971), Ручная фундаментальная группа формальной окрестности дивизора с нормальными пересечениями на схеме , Конспект лекций по математике, Vol. 208, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag

[4] Шмидт, Александр (2002), «Прирученные покрытия арифметических схем», Mathematische Annalen , 322 (1): 1–18, arXiv : math/0005310 , doi : 10.1007/s002080100262 , S2CID 29899627

[5] Ачингер, Петр (ноябрь 2017 г.). «Дикое ветвление и пространства K (pi, 1)». Математические изобретения . 210 (2): 453–499. arXiv : 1701.03197 . дои : 10.1007/s00222-017-0733-5 . ISSN 0020-9910 . S2CID 119146164 .

[6] (Тамагава 1997 )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]