Эквиареальная карта

В дифференциальной геометрии экведиальная карта , иногда называемая аудиционной картой , представляет собой гладкую карту от одной поверхности к другой, которая сохраняет области фигур.

Характеристики

Если m и n являются двумя риманскими (или псевдо-римновыми ) поверхностями, то эквиареальная карта F от M до N может быть охарактеризована любым из следующих эквивалентных условий:

Площадь поверхности f u ( открытого ) равна площади U для каждого набора U на m .
Отказ m элемента площади μ _n на n равен μ _m , элемент области на .
каждой точке P M M и Tangent Vectors V и W до P At В ,

${\bigl |}df_{p}(v)\wedge df_{p}(w){\bigr |}=|v\wedge w|\,$

где ${\textstyle \wedge }$ Обозначает евклидовый клиновый продукт векторов и DF обозначает толкатель вдоль f .

Пример

Примером экведиальной карты, из -за архимеда Сиракуз , является проекция из единичной сферы x ² + и ² + Z. ² = 1 в единичный цилиндр x ² + и ² = 1 наружу от их общей оси. Явная формула

f(x,y,z)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},z\right)

Для ( x , y , z ) точка на сфере устройства.

Линейные преобразования

Каждая евклидова изометрия является евклидовой плоскости эквюреальной, но обратное неправда. Фактически, картирование сдвига и картирование сжатия являются противодействиями обратном.

Картирование сдвига сдает прямоугольник до параллелограмма той же области. Написано в форме матрицы, сдвиг вдоль $x$ оси

{\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+vy\\y\end{pmatrix}}.

Сопоставление сжимания удлиняет и сокращает стороны прямоугольника взаимным образом, чтобы область была сохранена. Записано в форме матрицы, с λ> 1 сжима

{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&1/\lambda \end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x\\y/\lambda .\end{pmatrix}}

Линейное преобразование ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ умножает области на абсолютное значение его определителя $| AD - BC |$ Полем

Устранение гауссов показывает, что каждое линейное преобразование в эквюре ( включенное вращение ) может быть получено путем составления не более двух ножниц вдоль оси, сжатия и (если определяющий отрицательный), отражение .

В проекциях карты

В контексте географических карт называется проекция карты равной районой , эквивалентной , аутиолической , эквиареальной или сохраняющей площадь , если области сохраняются до постоянного фактора; внедрение целевой карты, обычно считающейся подмножеством R ², очевидно в R ³, требование выше, тогда ослаблено:

|df_{p}(v)\times df_{p}(w)|=\kappa |v\times w|

для некоторых κ > 0 не в зависимости от $v$ и $w$ Полем Примеры таких проекций см. В проекции карты равной области .

Смотрите также

Якобианская матрица и детерминант

Ссылки

Прессли, Эндрю (2001), Элементарная дифференциальная геометрия , серия математики Springer, Лондон: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-152-8 , Мистер 1800436