Перфектоидное пространство

В математике которые перфектоидные пространства — это адические пространства особого рода, которые встречаются при изучении задач « смешанной характеристики », таких как локальные поля , нулевой характеристики имеют поля вычетов характеристики простого числа p .

Перфектоидное поле — это полное топологическое поле К которого , топология индуцирована недискретным нормированием ранга 1, такое, что эндоморфизм Фробениуса Ф сюръективен на К °/ р , где К ° обозначает кольцо степенно ограниченных элементов.

Перфектоидные пространства могут использоваться (и были изобретены для того, чтобы) сравнивать ситуации со смешанными характеристическими ситуациями с чисто конечными характеристическими ситуациями. Техническими инструментами для уточнения этого являются тилт-эквивалентность и теорема почти чистоты. Эти понятия были введены в 2012 году Питером Шольце .

Наклонная эквивалентность

Для любого перфектоидного поля K существует наклон K ^♭ , которое является перфектоидным полем конечной характеристики p . В качестве множества его можно определить как

$K^{\flat }=\varprojlim _{x\mapsto x^{p}}K.$

Явно элемент из K ^♭ — это бесконечная последовательность ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...) элементов K такая, что x _i = x ^п
_{я +1} . Умножение в K ^♭ определяется почленно, а сложение более сложное. Если K имеет конечную характеристику, то K ≅ K ^♭ . Если K — p -адическое пополнение ​ $\mathbb {Q} _{p}(p^{1/p^{\infty }})$, то К ^♭ является t -адическим пополнением $\mathbb {F} _{p}((t))(t^{1/p^{\infty }})$.

Существуют понятия перфектоидных алгебр и перфектоидных пространств над перфектоидным полем K , примерно аналогичные коммутативным алгебрам и схемам над полем . Операция наклона распространяется и на эти объекты. Если X — перфектоидное пространство над перфектоидным полем K , то можно сформировать перфектоидное пространство X ^♭ над К ^♭ . Наклонная эквивалентность — это теорема, согласно которой функтор наклона (-) ^♭ индуцирует эквивалентность категорий между перфектоидными пространствами над K и перфектоидными пространствами над K. ^♭ . Обратите внимание, что хотя перфектоидное поле конечной характеристики может иметь несколько неизоморфных « ненаклонов», все категории перфектоидных пространств над ними будут эквивалентны.

Теорема о почти чистоте

Эта эквивалентность категорий учитывает некоторые дополнительные свойства морфизмов. Многие свойства морфизмов схем имеют аналоги для морфизмов адических пространств. Теорема о почти чистоте для перфектоидных пространств касается конечных этальных морфизмов . Это обобщение Фалтингса теоремы о почти чистоте в p -адической теории Ходжа . Название отсылает к почти математике , которая используется в доказательстве, и к отдаленно связанной классической теореме о чистоте локуса ветвления .

Заявление состоит из двух частей. Пусть K — перфектоидное поле.

• Если X → Y — конечный этальный морфизм адических пространств над K и Y перфектоид, то X также перфектоид;
• Морфизм X → Y перфектоидных пространств над K конечен эталь тогда и только тогда, когда наклон X ^♭ → И ^♭ конечно распределен по K ^♭ .

Поскольку конечные этальные отображения в поле являются в точности конечными сепарабельными расширениями полей , из теоремы о почти чистоте следует, что для любого перфектоидного поля K абсолютные группы Галуа полей K и K ^♭ изоморфны.

См. также

• Идеальное поле

Внешние ссылки

• Бхатт, Бхаргав. «Что такое… Перфектоидное пространство?» (PDF) . Вестник АМС . Проверено 2 января 2020 г.
• «Что такое «перфектоидные пространства»?» . MathOverflow .
• Основы перфектоидных пространств Мэтью Морроу
• Бедные перфектоидные пространства . Определение перфектоидных пространств, формализованное в средстве доказательства теоремы Лина.