Сжатое когерентное состояние

В физике сжатое когерентное состояние — это квантовое состояние, которое обычно описывается двумя некоммутирующими наблюдаемыми, имеющими непрерывный спектр собственных значений . Примеры: позиция $x$ и импульс $p$ частицы, а (безразмерное) электрическое поле по амплитуде $X$ (фаза 0) и в режиме $Y$ волны (фаза 90°) световой волны ( квадратуры ). Произведение стандартных отклонений двух таких операторов подчиняется принципу неопределенности :

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}\;$ и $\;\Delta X\Delta Y\geq {\frac {1}{4}}$ , соответственно.

Распределение в фазовом пространстве Вигнера сжатого состояния света с ζ=0,5.

Тривиальными примерами, которые на самом деле не являются сжатыми, являются основное состояние $|0\rangle$ квантового гармонического осциллятора и семейства когерентных состояний $|\alpha \rangle$. Эти состояния насыщают неопределенность, указанную выше, и имеют симметричное распределение неопределенностей оператора с $\Delta x_{g}=\Delta p_{g}$ в «единицах естественных генераторов» и $\Delta X_{g}=\Delta Y_{g}=1/2$. (В литературе используются различные нормировки квадратурных амплитуд. Здесь мы используем нормализацию, для которой сумма дисперсий основного состояния квадратурных амплитуд непосредственно дает квантовое число нулевой точки. $\Delta ^{2}X_{g}+\Delta ^{2}Y_{g}=1/2$).

Термин «сжатое состояние» фактически используется для состояний со стандартным отклонением ниже основного состояния для одного из операторов или для линейной комбинации двух. Идея, лежащая в основе этого, заключается в том, что круг, обозначающий неопределенность когерентного состояния в квадратурном фазовом пространстве (см. Справа), «сжимается» до эллипса той же площади. Обратите внимание, что сжатое состояние не обязательно должно учитывать принцип неопределенности.

Сжатые состояния света были впервые получены в середине 1980-х годов. В то время было достигнуто сжатие квантового шума по дисперсии примерно в 2 (3 дБ), т.е. $\Delta ^{2}X\approx \Delta ^{2}X_{g}/2$. По состоянию на 2017 год непосредственно наблюдались коэффициенты сжатия более 10 (10 дБ).

Математическое определение

Анимированная позиционно-волновая функция когерентного состояния со сжатием амплитуды 2 дБ при α=3.

Наиболее общей волновой функцией , удовлетворяющей приведенному выше тождеству, является сжатое когерентное состояние (мы работаем в единицах с $\hbar =1$)

$\psi (x)=C\,\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2w_{0}^{2}}}+ip_{0}x\right)$

где $C,x_{0},w_{0},p_{0}$ являются константами (константа нормализации, центр волнового пакета , его ширина и математическое ожидание его импульса ). Новой особенностью когерентного состояния является свободное значение ширины $w_{0}$, поэтому государство и называют «сжатым».

Сжатое состояние выше является собственным состоянием линейного оператора

${\hat {x}}+i{\hat {p}}w_{0}^{2}$

и соответствующее собственное значение равно $x_{0}+ip_{0}w_{0}^{2}$. В этом смысле это обобщение основного состояния, а также когерентного состояния.

Представительство оператора

Общий вид сжатого когерентного состояния квантового гармонического осциллятора имеет вид

$|\alpha ,\zeta \rangle ={\hat {S}}(\zeta )|\alpha \rangle ={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )|0\rangle$

где $|0\rangle$ это состояние вакуума , $D(\alpha )$ – оператор смещения и $S(\zeta )$ — оператор сжатия , заданный формулой

${\hat {D}}(\alpha )=\exp(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}})\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {S}}(\zeta )=\exp {\bigg [}{\frac {1}{2}}(\zeta ^{*}{\hat {a}}^{2}-\zeta {\hat {a}}^{\dagger 2}){\bigg ]}$

где ${\hat {a}}$ и ${\hat {a}}^{\dagger }$ являются операторами уничтожения и создания соответственно. Для квантового гармонического генератора угловой частоты $\omega$, эти операторы имеют вид

${\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x-{\frac {ip}{m\omega }}\right)\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {a}}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {ip}{m\omega }}\right)$

По-настоящему $\zeta$, (Обратите внимание, что $\zeta =re^{2i\phi }$, где r — параметр сжатия), неопределенность в $x$ и $p$ даны

$(\Delta x)^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }}\mathrm {e} ^{-2\zeta }\qquad {\text{and}}\qquad (\Delta p)^{2}={\frac {m\hbar \omega }{2}}\mathrm {e} ^{2\zeta }$

Следовательно, сжатое когерентное состояние насыщает принцип неопределенности Гейзенберга. $\Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}$, с уменьшенной неопределенностью в одной из ее квадратурных составляющих и повышенной неопределенностью в другой.

Некоторые значения ожидания для сжатых когерентных состояний:

$\langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}|\alpha ,\zeta \rangle =\alpha \cosh(r)-\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh(r)$

$\langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}^{2}|\alpha ,\zeta \rangle =\alpha ^{2}\cosh ^{2}(r)+{\alpha ^{*}}^{2}e^{2i\theta }\sinh ^{2}(r)-(1+2{|\alpha |}^{2})e^{i\theta }\cosh(r)\sinh(r)$

$\langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\alpha ,\zeta \rangle =|\alpha |^{2}\cosh ^{2}(r)+(1+{|\alpha |}^{2})\sinh ^{2}(r)-({\alpha }^{2}e^{-i\theta }+{\alpha ^{*}}^{2}e^{i\theta })\cosh(r)\sinh(r)$

Общий вид смещенного сжатого состояния квантового гармонического осциллятора имеет вид

$|\zeta ,\alpha \rangle ={\hat {D}}(\alpha )|\zeta \rangle ={\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )|0\rangle$

Некоторые ожидаемые значения для смещенного сжатого состояния:

$\langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}|\zeta ,\alpha \rangle =\alpha$

$\langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}^{2}|\zeta ,\alpha \rangle =\alpha ^{2}-e^{i\theta }\cosh(r)\sinh(r)$

$\langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\zeta ,\alpha \rangle =|\alpha |^{2}+\sinh ^{2}(r)$

С ${\hat {S}}(\zeta )$ и ${\hat {D}}(\alpha )$ не ездите друг с другом,

${\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )\neq {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )$

$|\alpha ,\zeta \rangle \neq |\zeta ,\alpha \rangle$

где ${\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )={\hat {S}}(\zeta ){\hat {S}}^{\dagger }(\zeta ){\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\gamma )$, с $\gamma =\alpha \cosh r+\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh r$

Примеры

В зависимости от фазового угла, при котором ширина состояния уменьшается, можно выделить амплитудно-сжатые, фазово-сжатые и общие квадратурно-сжатые состояния. Если оператор сжатия применяется непосредственно к вакууму, а не к когерентному состоянию, результат называется сжатым вакуумом. Цифры ниже дать хорошую наглядную демонстрацию тесной связи между сжатыми состояниями и Гейзенберга соотношением неопределенности : Уменьшение квантового шума в определенной квадратуре (фазе) волны имеет прямым следствием усиление шума дополнительной квадратуры, то есть , поле в фазе, сдвинутой на $\tau /4$.

Измеренный квантовый шум электрического поля (3π-интервал показан для первых двух состояний; 4π-интервал для последних трех состояний)

Осциллирующие волновые пакеты пяти состояний.

Вигнер функции пяти государств. Рябь возникает из-за экспериментальных неточностей.

Различные сжатые состояния лазерного света в вакууме зависят от фазы светового поля. Изображения сверху: (1) Состояние вакуума, (2) Состояние сжатого вакуума, (3) Состояние фазового сжатия (4) Произвольное сжатое состояние (5) Состояние амплитудного сжатия

Как видно на иллюстрациях, в отличие от когерентного состояния , квантовый шум для сжатого состояния уже не зависит от фазы световой волны . Наблюдается характерное уширение и сужение шума в течение одного периода колебаний. Распределение вероятностей сжатого состояния определяется как квадрат нормы волновой функции, упомянутой в последнем абзаце. Он соответствует квадрату напряженности электрического (и магнитного) поля классической световой волны. Движущиеся волновые пакеты демонстрируют колебательное движение в сочетании с расширением и сужением их распространения: «дыхание» волнового пакета. Для состояния со сжатием амплитуды наиболее узкое распределение волнового пакета достигается в максимуме поля, в результате чего амплитуда определяется точнее, чем амплитуда когерентного состояния. Для состояния со сжатой фазой наиболее узкое распределение достигается в нулевом поле, в результате чего среднее значение фазы определяется лучше, чем значение для когерентного состояния.

В фазовом пространстве квантово-механические неопределенности можно изобразить с помощью распределения квазивероятностей Вигнера . Интенсивность световой волны, ее когерентное возбуждение, задается смещением распределения Вигнера от начала координат. Изменение фазы сжатой квадратуры приводит к повороту распределения.

Распределение числа фотонов и фазовые распределения

Угол сжатия, то есть фаза с минимальным квантовым шумом, оказывает большое влияние на распределение числа фотонов световой волны, а ее фазовое также на распределение.

Экспериментальные распределения числа фотонов для состояний со сжатием амплитуды, когерентного состояния и состояния со сжатием фазы, восстановленные на основе измерений квантовой статистики. Столбцы относятся к теории, точки — к экспериментальным значениям.

Фазовое распределение Пегга-Барнетта трех состояний

Для света со сжатием амплитуды распределение числа фотонов обычно уже, чем распределение числа фотонов в когерентном состоянии той же амплитуды, что приводит к субпуассоновскому свету, тогда как его фазовое распределение шире. Противоположное верно для света со сжатой фазой, который демонстрирует шум большой интенсивности (числа фотонов), но узкое распределение фазы. Тем не менее, статистика сжатого по амплитуде света не наблюдалась непосредственно с помощью детектора, разрешающего число фотонов, из-за экспериментальных трудностей.

Восстановленное и теоретическое распределения числа фотонов для состояния сжатого вакуума. Состояние чистого сжатого вакуума не будет иметь вклада от состояний с нечетным числом фотонов. Ненулевой вклад на приведенном выше рисунке обусловлен тем, что обнаруженное состояние не является чистым состоянием — потери в установке преобразуют чистый сжатый вакуум в смешанное состояние. (источник: ссылка 1)

Для состояния сжатого вакуума распределение числа фотонов демонстрирует нечетно-четные колебания. Это можно объяснить математической формой оператора сжатия , напоминающего оператор процессов двухфотонной генерации и аннигиляции. Фотоны в состоянии сжатого вакуума чаще появляются парами.

Классификация

По количеству режимов

Сжатые состояния света в целом подразделяются на одномодовые сжатые состояния и двухмодовые сжатые состояния. в зависимости от количества мод электромагнитного поля, участвующих в процессе. Недавние исследования изучали многомодовые сжатые состояния, показывающие также квантовые корреляции между более чем двумя модами.

Одномодовые сжатые состояния

Одномодовые сжатые состояния, как следует из названия, состоят из одной моды электромагнитного поля, одна квадратура которой имеет флуктуации ниже уровня дробового шума. а ортогональная квадратура имеет избыточный шум. В частности, состояние одномодового сжатого вакуума (SMSV) может быть математически представлено как:

$|{\text{SMSV}}\rangle =S(\zeta )|0\rangle$

где оператор сжатия S аналогичен введенному выше в разделе о представлениях операторов . В базисе числа фотонов записываем $\zeta =re^{i\phi }$ это можно расширить как,

$|{\text{SMSV}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\cosh r}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-e^{i\phi }\tanh r)^{n}{\frac {\sqrt {(2n)!}}{2^{n}n!}}|2n\rangle$

что явно показывает, что чистый SMSV полностью состоит из суперпозиций четнофотонных фоковских состояний .Одномодовые сжатые состояния обычно генерируются вырожденными параметрическими колебаниями в оптическом параметрическом генераторе. или с использованием четырехволнового смешивания.

Двухрежимные сжатые состояния

Двухмодовое сжатие включает две моды электромагнитного поля, которые демонстрируют снижение квантового шума ниже уровня дробового шума. в линейной комбинации квадратур двух полей. Например, поле, создаваемое невырожденным параметрическим генератором выше порога, демонстрирует сжатие в квадратуре разности амплитуд. Первую экспериментальную демонстрацию двухмодового сжатия в оптике провели Хайдманн и др. . Совсем недавно двухмодовое сжатие было сгенерировано на кристалле с использованием четырехволнового смешивающего OPO выше порога. Двухмодовое сжатие часто рассматривается как предшественник запутанности с непрерывными переменными и, следовательно, как демонстрация парадокса Эйнштейна-Подольского-Розена в его первоначальной формулировке в терминах непрерывных наблюдаемых положения и импульса. Двухрежимное состояние сжатого вакуума (TMSV) математически можно представить как:

$|{\text{TMSV}}\rangle =S_{2}(\zeta )|0,0\rangle =\exp(\zeta ^{*}{\hat {a}}{\hat {b}}-\zeta {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {b}}^{\dagger })|0,0\rangle$,

и, записывая $\zeta =re^{i\phi }$, в базисе числа фотонов как,

$|{\text{TMSV}}\rangle ={\frac {1}{\cosh r}}\sum _{n=0}^{\infty }(-e^{i\phi }\tanh r)^{n}|nn\rangle$

Если отдельные режимы ТМСВ рассматривать отдельно (т.е. $|nn\rangle =|n\rangle _{1}|n\rangle _{2}$), затем отслеживание или поглощение одной из мод оставляет оставшуюся моду в тепловом состоянии.

${\begin{aligned}\rho _{1}&=\mathrm {Tr} _{2}[|\mathrm {TMSV} \rangle \langle \mathrm {TMSV} |]\\&={\frac {1}{\cosh ^{2}(r)}}\sum _{n=0}^{\infty }\tanh ^{2n}(r)|n\rangle \langle n|,\end{aligned}}$

с эффективным средним числом фотонов ${\widetilde {n}}=\sinh ^{2}(r)$.

На основании наличия среднего поля

Сжатые состояния света можно разделить на сжатый вакуум и яркий сжатый свет, в зависимости от отсутствия или наличия ненулевого среднего поля (также называемого носителем) соответственно. Оптический параметрический генератор, работающий ниже порога, создает сжатый вакуум, тогда как тот же ОПГ, работающий выше порога, дает яркий сжатый свет. Яркий сжатый свет может быть полезен для некоторых приложений квантовой обработки информации, поскольку он устраняет необходимость отправки гетеродина для обеспечения опорной фазы, тогда как сжатый вакуум считается более подходящим для приложений квантового зондирования. Детекторы гравитационных волн AdLIGO используют сжатый вакуум для достижения повышенной чувствительности, выходящей и GEO600 за пределы стандартного квантового предела.

Сжатие атомного спина

См. Также: Сжатое состояние спина.

Для сжатия двухуровневых ансамблей нейтральных атомов полезно рассматривать атомы как частицы со спином 1/2 с соответствующими операторами углового момента, определяемыми как

$J_{v}=\sum _{i=1}^{N}j_{v}^{(i)}$

где $v={x,y,z}$ и $j_{v}^{(i)}$ является односпиновым оператором в $v$-направление. Здесь $J_{z}$ будет соответствовать разнице численности населения в двухуровневой системе, т.е. для равной суперпозиции состояния вверх и вниз $J_{z}=0$. $J_{x}$− $J_{y}$ Плоскость представляет собой разность фаз между двумя состояниями. Это также известно как картина сферы Блоха . Затем мы можем определить отношения неопределенности, такие как $\Delta J_{z}\cdot \Delta J_{y}\geq \left|\Delta J_{x}\right|/2$. Для когерентного (незапутанного) состояния $\Delta J_{z}=\Delta J_{y}={\sqrt {N}}/2$. Под сжатием здесь понимается перераспределение неопределенности одной переменной (обычно $J_{z}$) к другому (обычно $J_{y}$). Если мы рассмотрим состояние, указывающее на $J_{x}$ направлении, мы можем определить критерий Вайнленда для сжатия, или метрологическое усовершенствование сжатого состояния как

$\chi ^{2}=\left({\frac {{\sqrt {N}}/2}{\Delta J_{z}}}{\frac {\left|J_{x}\right|}{N/2}}\right)^{2}$.

Этот критерий имеет два фактора: первый фактор — это уменьшение спинового шума, т.е. насколько велик квантовый шум в $J_{z}$ снижается по сравнению с когерентным (незапутанным) состоянием. Второй фактор — насколько когерентность (длина вектора Блоха, $\left|J_{x}\right|$) уменьшается за счет процедуры сжатия. Вместе эти величины говорят вам, какое метрологическое улучшение дает процедура сжатия. В данном случае метрологическое усовершенствование представляет собой сокращение времени усреднения или количества атомов, необходимых для измерения определенной неопределенности. Метрологическое улучшение на 20 дБ означает, что такое же точное измерение можно выполнить с использованием в 100 раз меньшего количества атомов или в 100 раз более короткого времени усреднения.

Экспериментальные реализации

Был целый ряд успешных демонстраций зажатых государств. Первыми демонстрациями были эксперименты со световыми полями с использованием лазеров и нелинейной оптики (см. Оптический параметрический генератор ). Это достигается простым процессом четырехволнового смешивания с $\chi ^{(3)}$ кристалл; Аналогично фазочувствительные усилители бегущей волны генерируют пространственно многомодовые квадратурно-сжатые состояния света, когда $\chi ^{(2)}$ кристалл накачивается при отсутствии сигнала. Субпуассоновские источники тока, управляющие полупроводниковыми лазерными диодами, привели к сжатию амплитуды света.

Сжатые состояния реализуются также через двигательные состояния иона в ловушке, фононные состояния в кристаллических решетках и спиновые состояния в нейтральных атомов . ансамблях Большой прогресс был достигнут в создании и наблюдении спин-сжатых состояний в ансамблях нейтральных атомов и ионов, которые можно использовать для улучшения измерений времени, ускорений, полей, а также современного состояния техники для улучшения измерений. составляет 20 дБ. Генерация спин-сжатых состояний была продемонстрирована с использованием как когерентной эволюции когерентного спинового состояния, так и проективных измерений, сохраняющих когерентность. Даже макроскопические осцилляторы приводились в классические двигательные состояния, очень похожие на сжатые когерентные состояния. Современный уровень шумоподавления лазерного излучения сжатым светом составляет 15 дБ (по состоянию на 2016 г.), что побило предыдущий рекорд в 12,7 дБ (2010 г.).

Приложения

Сжатые состояния светового поля можно использовать для повышения точности измерений. Например, свет со сжатой фазой может улучшить считывание фазы интерферометрических измерений (см., например, гравитационные волны ). Свет со сжатием амплитуды может улучшить считывание очень слабых спектроскопических сигналов .

Сжатые по спину состояния атомов можно использовать для повышения точности атомных часов . Это важная проблема в атомных часах и других датчиках, в которых используются небольшие ансамбли холодных атомов, где квантовый проекционный шум представляет собой фундаментальное ограничение точности датчика.

Различные сжатые когерентные состояния, обобщенные на случай многих степеней свободы , используются в различных расчетах в квантовой теории поля , например эффект Унру и излучение Хокинга , и вообще, рождение частиц на искривленном фоне и преобразования Боголюбова .

В последнее время использование сжатых состояний для обработки квантовой информации в режиме непрерывных переменных (CV) быстро растет. Квантовая оптика с непрерывными переменными использует сжатие света как важный ресурс для реализации протоколов CV для квантовой связи, безусловной квантовой телепортации и односторонних квантовых вычислений. Это контрастирует с квантовой обработкой информации с использованием одиночных фотонов или пар фотонов в качестве кубитов. Обработка квантовой информации CV во многом зависит от того факта, что сжатие тесно связано с квантовой запутанностью, поскольку квадратуры сжатого состояния демонстрируют субдробовый шум. квантовые корреляции.

См. также

• Отрицательная энергия
• Неклассический свет
• Оптическое фазовое пространство
• Квантовая оптика
• Оператор сжатия

Внешние ссылки

• Учебник по квантовой оптике светового поля