Площадь треугольника

Площадь треугольника можно показать, например, посредством сравнения треугольников , как половину площади параллелограмма , имеющего ту же длину основания и высоту.

Графический вывод формулы $T={\frac {h}{2}}b$ это позволяет избежать обычной процедуры удвоения площади треугольника, а затем ее уменьшения пополам.

В геометрии вычисление площади треугольника . — элементарная задача, часто встречающаяся в самых разных ситуациях Самая известная и простая формула: $T=bh/2,$ где b — длина основания . треугольника, а h — высота или высота треугольника Термин «основание» обозначает любую сторону, а «высота» обозначает длину перпендикуляра, проведенного из вершины, противоположной основанию, на линию, содержащую основание. Евклид в 300 г. до н.э. доказал, что площадь треугольника вдвое меньше площади параллелограмма с тем же основанием и высотой в своей книге «Начала» . В 499 году н.э. Арьябхата использовал этот иллюстрированный метод в Арьябхатии (раздел 2.6).

Несмотря на простоту, эта формула полезна только в том случае, если высоту можно легко найти, что не всегда так. Например, геодезисту треугольного поля может быть относительно легко измерить длину каждой стороны, но относительно сложно построить «высоту». На практике могут использоваться различные методы, в зависимости от того, что известно о треугольнике. Другие часто используемые формулы площади треугольника используют тригонометрию, длины сторон (формула Герона), векторы, координаты, линейные интегралы, теорему Пика или другие свойства.

История

Герон Александрийский нашел так называемую формулу Герона для площади треугольника через его стороны, и доказательство можно найти в его книге «Метрика» , написанной около 60 г. н.э. Было высказано предположение, что Архимед знал эту формулу более двух столетий назад. и поскольку Метрика представляет собой собрание математических знаний, доступных в древнем мире, возможно, что формула предшествует ссылке, приведенной в этой работе. В 300 году до нашей эры греческий математик Евклид доказал, что площадь треугольника вдвое меньше площади параллелограмма с тем же основанием и высотой в своей книге «Начала геометрии» .

В 499 году Арьябхата , великий математик - астроном классической эпохи индийской математики и индийской астрономии , выразил площадь треугольника как половину произведения основания на высоту в Арьябхатии (раздел 2.6).

Формула, эквивалентная формуле Герона, была открыта китайцами независимо от греков. Оно было опубликовано в 1247 году в «Шушу Цзючжан» (« Математический трактат в девяти разделах »), написанном Цинь Цзюшао .

Использование тригонометрии

Применение тригонометрии для нахождения высоты h .

Высоту треугольника можно найти с помощью тригонометрии .

Зная SAS (сторона-угол-сторона)

Используя метки на изображении справа, высота равна h = грех . $\gamma$. Подставив это в формулу $T={\tfrac {1}{2}}bh$ Полученное выше значение площади треугольника можно выразить как:

$T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\tfrac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\tfrac {1}{2}}ca\sin \beta$

(где α — внутренний угол в точке A , β — внутренний угол в точке B , $\gamma$ — внутренний угол в точке C , а c — линия AB ).

Более того, поскольку sin α = sin ( π − α) = sin (β + $\gamma$), и аналогично для двух других углов:

$T={\tfrac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\tfrac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\tfrac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).$

Зная ААС (угол-угол-сторона)

$T={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin(\alpha +\beta ))}{2\sin \beta }},$

и аналогично, если известная сторона равна a или c .

Зная ASA (угол-сторона-угол)

$T={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}},$

и аналогично, если известная сторона равна b или c .

Использование длин сторон (формула Герона)

Основная статья: формула Герона

Форма треугольника определяется длинами сторон. Следовательно, площадь также можно определить по длинам сторон. По формуле Герона :

$T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

где ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ полупериметр или половина периметра треугольника.

Три других эквивалентных способа записи формулы Герона:

$T={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$T={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$T={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.$

Формулы, напоминающие формулу Герона.

Три формулы имеют ту же структуру, что и формула Герона, но выражаются через разные переменные. Во-первых, обозначая медианы со сторон a , b и c соответственно как m _a , m _b и m _c , а их полусумму ( m _a + m _b + m _c )/2 как σ, мы имеем

$T={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.$

Далее, обозначая высоты со сторон a , b и c соответственно как ha _, , h _b и h _c и обозначая полусумму обратных величин высот как $H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$ у нас есть

$T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.$

И обозначая полусумму синусов углов как S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 , имеем

$T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}$

где D — диаметр описанной окружности: $D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.$

Использование векторов

Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма :

${\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |.$

Площадь параллелограмма, вложенного в трехмерное евклидово пространство, можно вычислить с помощью векторов . Пусть векторы AB и AC направлены соответственно от к B и от A к C. A площадь параллелограмма ABDC Тогда равна

$|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |,$

что является величиной векторного произведения векторов AB и AC .

Площадь треугольника ABC также можно выразить через скалярное произведение следующим образом:

${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}.\,$

В двумерном евклидовом пространстве, выражая вектор AB как свободный вектор в декартовом пространстве, равный ( x ₁ , y ₁ ) и AC как ( x ₂ , y ₂ ), это можно переписать как:

${\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.$

Использование координат

Если вершина A расположена в начале координат (0, 0) декартовой системы координат , а координаты двух других вершин заданы выражениями B = ( x _B , y _B ) и C = ( x _C , y _C ) , то площадь можно вычислить как 1 ⁄ раза больше абсолютного значения определителя В

$T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.$

Для трех общих вершин уравнение имеет вид:

$T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},$

который можно записать как

$T={\tfrac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.$

Если точки помечены последовательно против часовой стрелки, приведенные выше определяющие выражения положительны, и знаки абсолютных значений можно опустить. Приведенная выше формула известна как формула шнурка или формула геодезиста.

Если мы расположим вершины в комплексной плоскости и обозначим их в последовательности против часовой стрелки как a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i и c = x _C + y _C i и обозначим их комплексно-сопряженные числа как ${\bar {a}}$, ${\bar {b}}$, и ${\bar {c}}$, то формула

$T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c}}&1\end{vmatrix}}$

эквивалентно формуле шнурков.

В трех измерениях площадь общего треугольника A = ( x _A , y _A , z _A ) , B = ( x _B , y _B , z _B ) и C = ( x _C , y _C , z _C ) равна Пифагорова сумма площадей соответствующих проекций на трех главных плоскостях (т.е. x = 0, y = 0 и z = 0):

$T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}}}.$

Использование линейных интегралов

Площадь внутри любой замкнутой кривой, такой как треугольник, определяется интегралом вокруг кривой алгебраического или знакового расстояния точки на кривой от произвольно ориентированной прямой линии L . Ориентированные точки справа от L считаются находящимися на отрицательном расстоянии от L , а вес для интеграла считается компонентом длины дуги, параллельной L , а не самой длиной дуги.

Этот метод хорошо подходит для вычисления площади произвольного многоугольника . Принимая L за ось x , линейный интеграл между последовательными вершинами ( x _i , y _i ) и ( x _{i +1} , y _{i +1} ) определяется как базовое умножение на среднюю высоту, а именно ( x _{i +1} - Икс _я )( y _я + y _{я +1} )/2 . Знак области является общим индикатором направления обхода, причем отрицательная площадь указывает на обход против часовой стрелки. Тогда площадь треугольника выпадает, как в случае многоугольника с тремя сторонами.

Хотя метод линейного интеграла имеет общее с другими координатными методами произвольный выбор системы координат, в отличие от других он не делает произвольного выбора вершины треугольника в качестве начала координат или стороны в качестве основания. Более того, выбор системы координат, определяемой L, предполагает использование только двух степеней свободы, а не обычных трех, поскольку вес представляет собой локальное расстояние (например, x _{i +1} − x _i в приведенном выше примере), поэтому метод не требует выбора ось, нормальная L. к

При работе в полярных координатах нет необходимости конвертировать в декартовы координаты , чтобы использовать линейное интегрирование, поскольку интеграл между последовательными вершинами ( r _i ,θ _i ) и ( r _{i +1} ,θ _{i +1} ) многоугольника задается непосредственно через r _i r _{i +1} sin(θ _{i +1} - θ _i )/2 . Это справедливо для всех значений θ, с некоторым снижением численной точности, когда |θ| на много порядков больше π. В этой формулировке отрицательная область указывает на обход по часовой стрелке, что следует учитывать при смешивании полярных и декартовых координат. Точно так же, как выбор оси y ( x = 0 ) неважен для интегрирования строк в декартовых координатах, так и выбор нулевого курса ( θ = 0 ) здесь неважен.

Используя теорему Пика

См. в теореме Пика метод определения площади любого произвольного многоугольника решетки (нарисованного на сетке с соседними по вертикали и горизонтали точками решетки на равных расстояниях и с вершинами в точках решетки).

Теорема гласит:

$T=I+{\tfrac {1}{2}}B-1$

где $I$ — количество внутренних точек решетки, а B — количество точек решетки, лежащих на границе многоугольника.

Другие формулы площади

Существует множество других формул площади, таких как

$T=r\cdot s,$

где r — внутренний радиус , а s — полупериметр (фактически эта формула справедлива для всех касательных многоугольников ), а

$T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)$

где $r_{a},\,r_{b},\,r_{c}$ — радиусы вписанных окружностей , касающихся сторон a, b, c соответственно.

У нас также есть

$T={\tfrac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )$

и

$T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}$

для окружного диаметра D ; и

$T={\tfrac {1}{4}}(\tan \alpha )(b^{2}+c^{2}-a^{2})$

для угла α ≠ 90°.

Площадь также можно выразить как

$T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$

В 1885 году Бейкер дал коллекцию из более чем ста различных формул площади треугольника. К ним относятся:

$T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c}}},$

$T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},$

$T={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},$

$T={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}$

для радиуса описанной окружности (радиуса описанной окружности) R и

$T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.$

Верхняя граница площади

Площадь T любого треугольника с периметром p удовлетворяет

$T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}},$

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

Другие верхние границы площади T даются выражениями

$4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

и

$4{\sqrt {3}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}},$

оба снова верны тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

Разделение площади пополам

Существует бесконечно много линий, делящих площадь треугольника пополам . Три из них — медианы, единственные биссектрисы, проходящие через центр тяжести. Три другие биссектрисы параллельны сторонам треугольника.

Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника. В любом треугольнике их может быть один, два или три.

См. также

• Площадь круга
• Равенство треугольников